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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第24讲 几何的定值与最值

发布时间:2014-01-01 16:56:08  

第二十四讲 几何的定值与最值

几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:

1.特殊位置与极端位置法;

2.几何定理(公理)法;

3.数形结合法等.

注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例1】 如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为 .

思路点拨 如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD=DQ+CQ,DQ=2221

2AB

一常数,当CQ越小,CD越小,本例也可设AP=x,则PB=10?x,从代数角度探求CD的最小值.

注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:

(1)中点处、垂直位置关系等;

(2)端点处、临界位置等.

【例2】 如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆 ⌒

交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN为的度数( )

A.从30°到60°变动 B.从60°到90°变动

C.保持30°不变 D.保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.

注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究问题 1

中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值.

【例3】 如图,已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b(a>b),P为AB边上的一动点, 直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.

思路点拨 设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示,运用不等式a2?b2?2ab (当且仅当a?b时取等号)来求最小值.

【例4】 如图,已知等边△ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明:线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.

思路点拨 即要证AK·BN是一个定值,在图形中△ABC的边长是一个定值,说明AK·BN与AB有关,从图知AB为△ABM与△ANB的公共边,作一个大胆的猜想,AK·BN=AB,从而我们的证明目标更加明确.

注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.

【例5】 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值.

思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=x,CZ=y,建立x,y的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.

注:数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:

(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;

(2)构造二次函数求几何最值.

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