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初中数学竞赛代数部分修改稿

发布时间:2014-01-02 10:35:34  

广东省奥数教练员培 训教程
(代数部分)

初中数学竞赛代数内容主要分为四部分
?代数式的求值问题
?方程与方程组的求解问题及其应用

?一元一次不等式(组)及二元一次不等式
(组)的求解及应用 ?二次函数问题

一、代数式的求值问题
?代数式求值的相关考点: ? 关于整式的求值问题 ? 关于分式的求值问题 ? 二次根式的求值问题

(一)知识梳理
1、整式的知识点: (1)高次二项式的变形公式:

x ?y
5

5

? 3? ??x ? ?

x ?y
6

6

?x

y

3

?? 2 ? ?? x ??

3

3 3 3 ? ? y 2x y

?

y

2

?? 2 2 ? x y ?

?x ? y ? ?x ? y ?

2

x ?y
7

7

? 4? ??x ?

y

4

?? 3 ? ?? x ??

y

3

?? 3 3 ? x y ?

(2)乘法公式: 完全平方公式:(a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b 2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2 2

2

(a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 平方差公式:
立方和(差)公式: (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b
2 2 3 3

(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3

(3)多项式平方公式:

(a ? b ? c ? d )
2 2 2

2 2

? a ?b ?c ?d

?2ab ? 2ac ? 2ad ? 2bc ? 2bd ? 2cd
即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
(4)完全立方公式:

(a+b) =a +3a b+3ab +b (a-b) =a -3a b+3ab -b
3 3 2 2

3

3

2

2

3

3

a 2 + b2 + c 2 - ab - bc - ca (5)

(6)欧拉公式

1 ? [(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a) 2 ] 2

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca )
1 ? (a ? b ? c)[(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] 2
特别地:当 a ? b ? c ? 0 时,有 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

(7)a + b = (a + b)(a
n n

n- 1

+b

n- 1

)-ab(a

n- 2

+b

n- 2

)

(8)常用公式的变形: ? ?

a ? b ? (a ? b) ? 2ab ,
2 2 2

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ( a 2 ? b 2 ) ? ( a ? b) 2 ab ? ? 2 2 . ( a ? b) 2 ? ( a ? b) 2 , ? 4

?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 ? 2(ab ? bc ? ac)
a ? b ? ? a ? b ? -3ab ? a ? b ?
3 3 3

?

(9)多项式的带余除法:
若多项式f(x)除以g(x),所得商式为q(x),余式为 r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x)

(10)因式分解的方法: ?提公因式法
?十字相乘法 ?待定系数法 ?公式法 ?双十字相乘法 ?添项、拆项、配方法 ?换元法 ?分组法

例(1)x 2 ? 3xy ? 10 y 2 ? x ? 9 y ? 2
(2) k 为何值时, x ? 2 xy ? ky ? 3x ? 5 y ? 2
2 2

能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式
(11)幂指数运算性质:

a ?a ? a
m n

m? n

?a ?
m

m n

?a
n

mn

?ab?

n

?a b
n

n

a ?a ? a

m?n

2、分式的知识点

(1)基本公式
A A? M A ? M ? ? (其中 M 是不为零的整式) 。 B B?M B ? M

a b a?b ? ? c c c

a c ad ? bc ? ? b d bd

a c ac ? ? b d bd

a c ad ? ? b d bc

a ?a? ? ? ? n b ?b?

n

n

(2)分式化简、求值的常用方法有: ?设参法:主要用于连比式或连等式 ?拆项法(裂项法) ?因式分解法 ?通分法:分组通分、逐项通分 ?换元法 ?整体代入法 ?取倒法 ?公式法 ?代换法

3、二次根式的知识点
(1)当 a ? 0 时,称 a 为二次根式,显然 a ? 0 。
(2)二次根式具有如下性质:
(1)

? a?
2

2

? a?a ? 0 ? ;

?a,当a ? 0时, (2) a ? a ? ? ?? a,当a ? 0时;
(3) ab ?

a ? b ?a ? 0,b ? 0 ? ;

a (4) ? b

a b

?a ? 0,b ? 0? 。

(3)二次根式的运算法则如下:
? ?

a c ? b c ? ?a ? b ? c ?c ? 0 ? ;

? a?

n

? a ?a ? 0 ? 。
n

(4)设 a,b,c,d,m 有理数,且 m 不是完全平方数,则 当且仅当 a ? c,b ? d 时, a ? b m ? c ? d m 。

(5)若a ? b c ? 0,则a ? 0, b ? 0

(6)二次根式的求值
?基本思路:先将二次根式化为最简根式

再作加减乘除运算
?特殊的方法、技巧:换元法、拆项法、因式 分解法、运用乘法公式、分母有理化、配方。

(二)代数式求值方法例析 1、公式法
利用各种公式、各种运算法则对代数式进行变形化简。

例 若m ? m ?1 , n ? n ?1 , 且m ? n, 求m ? n 的值。
2 2 5 5

? m ? n ? 1, mn ? ?1

解:由已知条件得m、n是方程 x ? x ?1?0 的两个不相等的根。
2

?

? m?n ? ? 2mn?3 m ? n ? ? m? n ? ? m ? mn ? n ? ? 4
m ?n
2 3 3 2

?

2

2

2

?m ? n ?
5 5

?m ? n ??m ? n ? ? ? mn ? ? m?n ??11
3 3 2 2 2

条件 推导

分析 问题

【例】(2000 年全国初中数学联赛题)

3 3 1 ? 3 的值. 已知 a ? 4 ? 2 ? 1 ,求 ? a a2 a 1 4 2 【例】已知: x ? x ? 1 ? 0 ,求 x ? 4 的值。 x
3 3 3

如何变形: 1、迎合公式等,对条件、问题变形 2、迎合问题,对条件变形

3、迎合条件,对问题变形
4、迎合一个条件,对另一个条件变形

怎么做到:多观察、多联想

a3 2 练习.如果 a ? 3a ? 1 ? 0 ,那么 6 的值是___________. a ?1
练习、若 a ? b ? 1 ? 3, b ? c ? 1 ? 3,

1 求 2 的值. 2 2 a ? b ? c ? ab ? ac ? bc

1 1 1 ? ? ? 0, 练习、如果 a ? b ? c ? 0, a ?1 b ? 2 c ? 3
那么 ( a ? 1) ? (b ? 2) ? (c ? 3) 的值为(
2 2 2

) .

2、换元法
如果代数式较繁,且相同的地方较多,则可以考虑 换元法.
x y z a b c x 2 ? y2 ? z 2 的值。 例 已知 ? ? ? 1, ? ? ? 0,求 a b c x y z a b c
2 2 2

x y z 1 1 1 解:令 ? u , ? v, ? w, 于是条件变为u ? v ? w ? 1① ? ? ? 0② a b c u v w uv ? vw ? wu 由②有 ? 0,

所以uv ? vw ? wu ? 0. uvw 把①两边平方得u ? v ? w ? 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? uv ?vw? wu ??1
2 2

x ? y ? z ?1 所以u ? v ? w ? 1 即 a b c

1 1 1 1 1 1 例、设 a ? ( ? ? ? ? )(1 ? ? ? ? ) 2 3 2004 2 3 2003 1 1 1 1 1 1 ?(1 ? ? ?? ) ( ? ??? ) 2 3 2004 2 3 2004

求 2004a ?1 之值

3、 整体法:将已知条件整体代入求值
【例】(2001 年全国初中数学联赛题)

a?b 设 a ? b ? 0 , a ? b ? 4ab ,求 的值. a ?b
2 2

【例】已知当 x ? ?2 时,代数式 ax3 ? bx ? 1 的值为 6, 那么当 x ? 2 时,代数式 ax ? bx ? 1 的值是
3

1 1 1 ?0, 【例 】若a、b都是正实数,且 ? ? a b a?b 3 3

求 ? b ? ? ? a ? (1992年全国联赛试题) ? ? ? ? ?a? ?b?

1 1 1 1 1 1 解:由 ? ? ? 0, 得 ? ? a b a?b a b a?b

?

a?b a?b b a b a ? ? 1,1 ? ? ? 1 ? 1. ? ? ? 1 a b a b a b
2 2

? b a ? ?? b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ?5 ?a b? ?a b?
? b ? ?? a ? ?? ? ? ? ?a? ?b?
3 3

b a ? ? ? 5 a b
2

? ?b a ? ? ? ?a b

?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

b a? ? ? ?3 a b?

? ?? ? ? ?

5 ? 5?3??2 5

4、构造方程法求值
例、 已知 ax ? by ? 7, ax ? by ? 49 , ax ? by ? 133 ,
2 3 2 3

ax ? by ? 406
4

4

17 , 试求1995 ?x ? y ? ? 6 xy ? ?a ? b ?的值。 2

分析:观察待求值的多项式,它是关于x+y、 xy、a+b的多项式,如果能通过已知条件的变 形,求出x+y、xy、a+b,问题就解决了。或 者构造出关于x+y、 xy、 a+b的方程组,问题 也解决了。

解:由ax ? by ? 7, 得ax ? 7 ? by, by ? 7 ? ax. ? ax ? 7 x ?bxy , by ? 7 y ? axy .
2 2

? ax ? by ? 7
2

2

?x ? y ? ? ?a ?b?xy ? 49 ①
2 2 2 2 2 3 2

同样的 由 ax ? by ? 49 , 得 ax ? 49 ?by , by ? 49 ? ax .
2 2

? ax ? 49 x ?bxy , by ? 49 y ? ayx .
3

?x ? y ? ? xy?ax?by? . ? ax ? by ? 7 ,? 49?x ? y ?? 7 xy ?133 . 即 7?x ? y ?? xy ?19 ②
? ax ? by ? 49
3 3

又由ax ? by ? 133 , 得 ax ? 133 ?by , by ? 133 ? ax .
3 3 3 3 3 3

? ax ? 133 x ?bxy , by ? 133 y ? ayx .
4 3 4 3

?x ? y ? ? xy ?ax2?by 2? . ? ax ? by ? 49 ,?133?x ? y ?? 49 xy ? 406 . 即19?x ? y ?? 7 xy ?58③
? ax ? by ? 133
4 2 2 4

解②③组成的方程组,得x ? y ? 2.5, xy ? ?1.5. 将它们代入①,得7 ? 2.5 ? 1.5 ? ?a ? b ? ? 49 ? a ? b ? 21 . 17 ?1995 ? x ? y ? ? 6 xy ? ?a ? b ? 2 17 ? 1995 ? 2.5 ? 6 ? 1.5 ? ? 21 ? 4800 2

例、设 a、b、c、d 都是不为零的实数, 且满足(a2+b2)d2+b2+c2=2(a+c)bd,求 b2-ac 的值。

[解]

将已知等式整理成关于 d 的二次

方程 (a2+b2)d2-2b(a+c)d+(b2+c2)=0 △=4b (a+c) -4(a +b ) (b +c ) =-4(b2-ac)2 ∵d 是实数,∴△≥0 即-4(b -ac) ≥0
2 2 2 2 2 2 2 2

则 b -ac=0

2

5、利用数的性质
若所给条件限制于整数、有理数,或涉及到质数,奇偶数, 整除性、数的非负性等,把握住这方面的性质,有利于寻到突破 口。
x? 例、已知p、q是有理数, 5 ?1 2

x 满足 ? px?q?0 ,
3

则p+q的值是(
(A)-1

)。
(C)-3 (D)3

(B)1

解:将x ?
3

5 ?1 3 代入 x ? 2

px? q ?0 , 得

? 5 ?1 ? ? 5 ?1 ? ? ? ? p? ?? q ?0 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
? 5 ?1? ? 5 ? 2 ? p? ? 2 ??q ?0 ? ?

分组!

? p ? 2q ? 4 ? ?

5 ? p ? 2? ? 0

? p ? 2q ? 4 ? 0 ? p、q是有理数。 ? ? ? p ? 2 ? 0. ? p ? ?2 ?? ? p ? q ? ?1.故选A。 ?q ? 1.

例、若实数 a、b 满足 a b +a +b -4ab+1=0,
b a 求 ? 之值。 a b
例、 3 x ? 5 y ? 2 ? m ? 求 m 的值。

2 2

2

2

2 x ? 3 y ? m ? x ? 199 ? y ? 199 ? x ? y ,

6、参数法:
【例】(2003 年天津市初中数学竞赛题)

设 abc ? 0 ,且

? a ? b ?? b ? c ?? c ? a ? . a ? b ? c a ? b ? c ?a ? b ? c ,求 ? ? c b a abc
a b c 3a ? 2b ? c 【例】已知 abc ? 0 ,且 ? ? ,求 的值? b c a a ? 2b ? 3c

【例】 x, y 都是正整数,且 y = 求 y 的最大值.

x - 116 +

x + 100 ,

例、 (第 3 届美国中学生数学竞赛题)设 a、b、c、d 都是正整数,且 a5=b4,c3=d2,c-a=19,求 d-b. 解:由质因数分解的唯一性及 a5=b4,c3=d2,可设 a=x4,c=y2, 故 19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)

? y ? x 2 ? 1, ? ?? ? y ? x 2 ? 19 . ?
∴ d-b=y3-x5=757

解得 x=3. y=10.

7、取倒法
【例】(1997 年希望杯初中数学邀请赛试题)

已知 a, b, c 满足

ab 1 bc 1 ca 1 abc ? , ? , ? ,求 . a?b 3 b?c 4 c?a 5 ab ? bc ? ca
【例】已知 x ?

1

x ? ? 2 ,那么 2 x ? 3x ? 1 x

x 2 x ? 9x ? 1

的值等于______________。

注:条件取倒,问题取倒,条件问题均取倒

8、代换法:变量个数多于等式个数
例、已知 abc ? 1,

a b c ? ? ? 则 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1

.

1 1 1 例、已知 a ? ? 1 , b ? ? 1 ,求 c ? 的值。 b c a

例、设 a+2b-5c=0,2a-3b+4c=0(c≠0),
3a ? 2b ? 3c 求 2 的值。 2 2 6a ? 5b ? 4c
2 2 2

9、利用多项式除法:用于高次一元多项式情形

【例 2】(2002 年杭州市初中数学竞赛题)

2 x 4 ? 9 x3 ? x 2 ? 10 x ? 2 已知 x 2 ? 5 x ? 1 ? 0 ,求 的值. x2 ? 1

10、因式分解法、分组法(分门别类)

a 2b 2 例.(北京市初二数学竞赛试题)实数 a 和 b 满足等式 ? 1, 4 4 a ? 2b a 2 ? b2 求 的值. 2 2 19a ? 96b
例、 求满足等式 x y + y x 的所有正整数对 (

x, y ) .

2011x -

2011y +

2011xy = 2011

11、运用韦达定理逆定理求值法

b a 例、若 a -7a-5=0 ,b -7b-5=0 ,求 ? 之值 a b
2 2

12、配对法求值

b 例、已知 x -x-1=0 的两根为 a、b,求 之值。 a
2

[解]

?a ? b ? 1, 根据题意有 ? ?ab ? ?1.

b a a 2 ? b 2 (a ? b) 2 ? 2ab ∴ ? ? ? ? ?3 a b ab ab

1 b 设 y= ,则有 y+ ? ?3 , y a
?3? 5 即 y +3y+1=0, ∴y= 2
2

【例】 x ?
2

?

x ? 2008 y ?
2

??

y ? 2008 ? 2008 ,
2

?

求 x ? 3xy ? 4 y ? 6 x ? 6 y ? 58
2

13、配方法求值
例、 (1986 年全国初中竞赛题)设 a、b、c、d 都是整数, 2 2 2 2 且 m=a +b ,n=c +d ,mn 也可以表示成两个整数的平方和, 其形式是______.

解:mn=(a +b )(c +d ) 2 2 2 2 2 2 2 2 =a c +2abcd+b d +a d +b c -2abcd 2 2 =(ac+bd) +(ad-bc) 2 2 =(ac-bd) +(ad+bc) ,

2

2

2

2

1 例、已知 a + b - 2 a - 1 - 4 b - 2 = 3 c - 3 - c - 5 , 2 求 a+ b+ c.

14、数形结合法求值

【例】已知 a、b 均为正数,且 a ? b ? 2 , 求U ?

a ? 4 ? b ? 1 的最小值。
2 2

学法指导
?1、系统掌握数学知识点 ?2、系统掌握数学思想、方法

?3、学会思考数学问题 : ?四种思路:条件、条件与条件、问题、条件与问题 ?三种本领:观察、对比、联想
? 4、不断总结、反思。

西蒙数学教学法
一、理论基础 1.认知心理学原理: 陈述性知识→程序性知识; 2.现代教学方法:

例中学与做中学
(Learning mathematics from example and by doing)。

二、西蒙数学教学特质

? 使学生习得数学产生式,从而显著 提高数学认知能力。
三、工作单的编排方式

? 题组+小结

四、与传统数学课堂对比
西蒙数学教学
教师备课
教师上课 教学程序 认识活动 解决问题教学 学习程序的设计(编写工
作纸)

传统数学教学
编写教案
分析解释概念(法则) 概念(法则)→例子 一般→具体 单一问题教学

引导学生总结规律 例子→概念(法则) 具体→一般 组块式问题教学

心理学基础

科学心理学

民间心理学

五、西蒙数学理念(32字诀)
西蒙数学,小步台阶;
编排题组,从易到难; 知识求联,技能求变; 突出小结,训练从严。

二、方程与方程组的求解问题 及其应用
考点: 1.解含绝对值的方程 2.利用含字母系数的一次方程求字母的值; 3.含字母一元二次方程的整数根; 4.一元二次方程的根的相关问题; 5.解高次方程; 6.含字母无理方程的根的相关问题; 7.方程(组)的实际应用;

? 早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟 大的设想:首先把宇宙万物的所有问题都转 化为数学问题;其次,把所有的数学问题转 化为代数问题;最后,把所有的代数问题转 化为解方程.虽然笛卡尔“伟大设

想”没有 实现,但是充分说明了方程的重要性.

(一)绝对值以及绝对值方程
【知识梳理】
1、解绝对值问题的切入点是:脱去绝对值符号。 (1)脱去绝对值符号常用到: 符号法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
?a ? (2)去绝对值的符号法则: ? ? 0 a ?? a ?

?a ? 0 ? ?a ? 0 ? ?a ? 0 ?

2、恰当地运用绝对值的几何意义

从数轴上看 a 表示数 a 的点到原点的距离;
a ? b 表示数 a 、数 b 的两点间的距离。

3、灵活运用绝对值的基本性质

①a ?0

a ? a ? a2 ②
2 2

③ ab ? a ? b

a a ④ ? ?b ? 0 ? b b

⑤ a?b ? a ? b

⑥ a?b ? a ? b

4. 解决绝对值问题的常用方法: (1)零点分段法; (2)数形结合法;

5、零点分段法 (1)令各绝对值为0,得若干个绝对值为零的点(零 点); (2)用这些点把数轴分成几个区间; (3)再在各区间内化简代数式即可 。

【例题分析】
1、赛点1:绝对值的化简
b?c c?a a?b ? ? 例、设 a ? b ? c ? 0 , abc ? 0 ,则 是( a b c
A.-3 B.1 C.3 或-1 D.-3 或 1

) .

2、赛点2:绝对值的非负性
b 【例】已知 ab ? 2 与? ? 1 互为相反数,试求代数式:

1 1 1 1 ? ? ??? 的值. ab (a ? 1)(b ? 1) (a ? 2)(b ? 2) (a ? 2002 )(b ? 2002 )

练习、若 a ? b ? 1 与 (a ? b ? 1) 互为相反数,
2

则 a 与 b 的大小关系是( A. a ? b B. a ? b

). C. a ? b

D. a ? b

3、赛点3:绝对值方程 对策:

(1)采用 “零点分段法”:分类讨论; (2)采用“数形结合法”:利用数轴上绝对值的几何意义 求解.

【例】方程 5x ? 6 ? 6x ? 5 的解是
【例】方程 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 的整数解有( A. 2 个 B. 3 个 C. 5 个


) 。

D. 无穷多个

【例】解下列方程: x ? 3 ? x ? 1 ? x ? 1. (北京市“迎春杯” 竞赛题)

4、赛点4:绝对值求最值 例、求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2005|的最小值
注:一般地,设 a1 , a2 , a3 ,...an 是数轴上依次排列的有理数,则

(1) 当 n 为奇数时,若 x ? a n ?1 ,即 x 是中间点时,
2

则 x 到这 n 个点的距离之和 | x ? a1 | ? | x ? a2 | ?...? | x ? an | 最小
?1

(2)当 n 为偶数时,若 a n ? x ? a n ,即 x 位于中间两个点之间时,
2 2

则 | x ? a1 | ? | x ? a2 | ?...? | x ? an | 的值最小。

思考、求|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值。

(二)一元一次方程 【知识梳理】
1.关于x的方程ax=b的解得情况: b a ? 0时,方程有唯一解 x ? ; a a?0 且 b ? 0时,方程有无穷多个解; a ? 0 且 b ? 0 时,方程无解。
2.方程的解是方程理论中的一个重要概念,解题中要学 全从两个方面去应用: (1)求解;通过解方程,求出

方程的解进而解决问题; (2)代解:将方程的解代入原方程进行解题.

【例题分析】

mx ? n x ? km ? ? 2k 例.已知关于x的方程 3 4

,无论k

x ? ?2 ,求m,n的值。 思路:方程总有根表示 x ? ?2 满足方程,将-2代入方程
为何值,总有根
并化简,可得有关k的一次方程,又因“无论k为何值” 都成立,所以 有关k的方程为0k=0 解:将x=-2代入方程并化简为:3m ? 24)k ? 8m ? 4n ? 6 ( 因为对任何k都成立
?m ? 2 ? 所以: 8m ? 4n ? 6 ? 0 ?n ? 29 ? 2 ?
3m ? 24 ? 0

a ? 3x ? a 1 ? 5 x ? 例、已知关于 I 的方程 3? x ? 2( x ? )? ? 4 x 和 ? ?1 3 ? 12 8 ?
有相同的解,那么这个解是 (北京市“迎春杯”竞赛题) .

练习、当 b=1 时,关于 x 的方程 a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7 有无数多个解,则 a 等于( ). A.2 B.一 2

2 C. ? 3

D.不存在

(“希望杯”邀请赛试题)

例、是否存在整数 k,使关于 k 的方程(k 一 5)x+6=1—5x 在整数范围内有解?并求出各个解.

注:(1)对于含字母系数的方程,我们不但可讨论方 程根的个数,而且还可以探求解的性态,如整数解、正 数解,负数解。解这类问题,常常要用到整数知识、枚 举、分类讨论等方法。
(2)解一元一次方程常用的技巧有: ?有多重括号,去括号与合并同类项可交替进行; ?当括号内含有分数时,常由外向内先去括号,再去分 母; ?用整体思想,即把含未知数的代数式看作一个整体进 行变形.

(三)一次方程组 【知识梳理】
1. “消元”是解一次方程组的基本思想,即通过消元把 一次方程组转化为一元一次方程来解,而代人法、加 减法是消元的两种基本方法.
2.解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数 较多等),需要观察方程组系数的特点,着眼于整体 上解决问题,常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、 对称处理、换元转化、代换法等方法技巧.

3.对于含有字母系数的二元一次方程组,我们可以 进一步讨论解的特性、解的个数.基本思路是通 过消元,将方程组的解的讨论转化为一元一次方 程解的讨沦.

【例题分析】
例、解方程组

?x ? 1 ? 2 y ?1 ? ? ?x ? 3 y ? 1 ?

注:加减消元法

【例】 若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0 (xyz≠0),
x2+2 y2 - z2 的值等于______ 则式子 5 2x2 -3 y2 z2 -10

注:代换法

z x y 【例】(周报杯)解方程组: 4 = 5 = 6
2x+3y+4z=-3 注:设参数法 【例】(1997北京)解方程组 1995x+1997y=5989 1997x+1995y=5987

注:累加累减法

【例】(第7届华杯赛)解方程组

x1 + x2 = x2 + x3 = x3+x4 =…= x1997 + x1998= x1998+x1999=1 x1 + x2 + … + x1998 + x1999 =1999

注:换元法
? 1988 ( x ? y ) ? 1989 ( y ? z ) ? 1990 (

z ? x) ? 0 ? (1) 【例】 (全国通讯赛试题) ? , 2 2 2 ?1988 ( x ? y ) ? 1989 ( y ? z ) ? 1990 ( z ? x) ? 1989 ? (2)
求 z-y 的值.

思路点拨∵x-y=(x-z)+(z-y),代入方程组并化简得

2( x ? z ) ? ( z ? y ) ? 0 ? (3) ? ? ?2(1988 ? 1990 )( x ? z ) ? (1988 ? 1989 )( z ? y ) ? ?1989 ? (4)
(4)-(3)×(1988+1990)得 z-y=1989

? 4x ? 3y ? 6 例、已知 m 是整数,方程组 ? 有整数解, ?6 x ? my ? 26
求 m 的值. (“华杯赛”试题)
思路点拨 先求出 y,运用整除的性质求出 m 的值,需注意所求的 整数 m 要使得 x 也为整数.

? 5 x ? y ? 3 ?5 x ? by ? 3 例、已知方程组 ? 与? 有相同的解, ?ax ? 5 y ? 4 ? x ? 2 y ? 5
则 a, b 的值为( )

?5 x ? y ? 3 思路点拨 由方程组的解的意义可知,它的解满足方程组 ? ?x ? 2 y ? 5

? x ?1 ?ax ? 5 y ? 4 ?a ? 14 解之得 ? ,代入 ? 得解 ? ?b ? 2 ? y ? ?2 ? 5 x ? by ? 1

例、 (全国初中联赛题)若 a、c、d 是整数,b 是正整数,且满足 a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么 a+b+c+d 的最大值是( ) A.-1 B.-5 C.0 D. 1

?a ? ?3b ? 思路点拨 有条件得 ?c ? ?2b ,∴a+b+c+d=-5b ? d ? ?b ?
∵b 是正整数,其最小值为 1,于是 a+b+c+d =-5b 的最大值是-5.故选 B.

? ?2 ? 5 ? ? y ? ? 8 ? x ? 3? ? 20 ? 3 ? ? 思考题: 1、 ? ? ? 20 ? x ? 3 ? ? 5 ? 2 ? y ? ? 27 ? ? ? ?3 ? ?

?3 x ? 7 y ? z ? 5?? ① 2、已知 ? ,求 x + y + z 的值. ?4 x ? 10 y ? z ? 3?? ②
?x ? y ? a ? 5 3、当 a 取何值时,关于 x、y 的方程组 ? 有正整数解 ? 2 x ? y ? 3 ? 2a

? x( x ? y ? z ) ? 6 4、解方程组: ? y ( x ? y ? z ) ? 12 ? ? z ( x ? y ? z ) ? 18 ?

(1) ( 2) (3)

(四)一元二次方程
【知识梳理】
1、一元二次方程的一般形式: ax 2 ? bx ? c ? 0 (a,b,c为常数,a≠0)

2、一元二次方程的解法 2 (1)配方法 解 : ax ? bx ? ?c. 2 2 b c b 2 ? b ? ? b ? c 2 x ? x?? . x ? x?? ? ? ? ? ? . a a a ? 2a ? ? 2a ? a
b ? b 2 ? 4ac ? . ?x? ? ? 2 2a ? 4a ?
2

b x? ?? 2a

b ? 4ac . 2a
2

(2)公式法 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
? b ? b 2 ? 4ac 2 当b ? 4ac ? 0时, 它的根是 : ? x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a
2

?

?

注:求根公式 x1,2

? b ? b 2 ? 4ac 内涵丰富: ? 2a

它包含了初中阶段已学过的全部代数运算; 它回答了诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题; 它展示了数学的简洁美。

(3)因式分解法 1o方程右边化为0 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

3、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?

a ? 0 ? 根的情况:
2

令 ? ? b ? 4ac ,称为判别式
2

(1)若 ? ? 0 ,则方程有两个不相等的实数根:

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac x1 ? ,x 2 ? 2a 2a
(2)若 ? ? 0 , 则方程有两个相等的实数根: x1 ? x 2 ? ?

b 2a

(3)若 ? ? 0 ,

则方程无实根

4、判别式的应用: ?利用判别式,可以判断方程实根的个数; ?运用判别式,可以建立等式、不等式,从而求方程中 参数或参数的取值范围; ?通过判别式,可以证明与方程有关的代数问题; ?借助判别式,可以解几何存在性问题、最值问题。

5、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的根与系数的关系
2

b c 若方程的两个根 x1,x2 ,则 x1 ? x 2 ? ? ,x1 x 2 ? 。 a a

------韦达定理

注:(1)韦达定理应用广泛,主要体现在: ?运用韦达定理,求方程中参数的值; ?运用韦达定理,求代数式的值; ?利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; ?利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题。 (2)设而不求、整体代入是利用韦达定理解题 的基本思路。

6、运用韦达定理时,常需要作下列变形:
(1) x1 ? x 2 ? ?x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ;
2 2 2

?x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 x 2 x1 x1 ? x 2 ? ? ? (2) ; x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2
2 2 2

(3) x1 ? x 2 ? ?x1 ? x 2 ??x1 ? x 2 ? ? 3x1 x 2 ;
3 3 2

?

?

(4) ?x1 ? x 2 ? ? ?x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ;
2 2

(5) x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

?

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1x2 。

7、一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )直接作零值多项式代换; (2)把方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )变形为 ax 2 ? ?bx ? c , 代换后降次; (3)把方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )变形为 ax 2 ? bx ? ?c 或 ax 2 ? c ? ?bx ,代换后使之转化关系或整体地消去 x 。

【例题分析】 (一)解方程问题
【例】设 x1 、 x 2 是二次方程 x 2 ? x ? 3 ? 0 的两个根, 那么 x13 ? 4 x 2 2 ? 19 的值等于( A、一 4 B、8 C、6 ) D、0

利用根 的概念 降次

思路点拨:求出 x1 、 x 2 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键 是利用根的定义及变形,使多项式降次,如 x1 2 ? 3 ? x1 , x 2 2 ? 3 ? x 2 。

【例】设方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 4 ? 0 ,求满足该方程的所有根之和。

思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化 为一般的一元二次方程求解。
2

零 点 分 段

【例】解关于 x 的方程: ? m ? 1? x ? ? 2m ? 4 ? x ? m ? 3 ? 0 。

思路点拨:因不知原方程的类型,故需分两种情况讨论。

m ?1 ? 0 及

m ?1 ? 0

分情

况 讨论

【例】已知方程 x ? kx ? 7 ? 0 与 x ? 6 x ? ?k ? 1? ? 0 有公共根。
2
2

(1)求 k 的值; (2)求二方程的所有公共根和所有相异根。

根的概念, 设元法
2

【练习】是否存在某个实数 m ,使得方程 x ? mx ? 2 ? 0 和 x ? 2 x ? m ? 0
2

有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数 m 及两方程的公共实根; 如果不存在,请说明理由。

x 2 ? 3x ? 2 ? k 2 ? 0,k为实数, 【例】已知方程
证明方程有两个实数根,其中一根大于1,另 一根小于1。

? 思路1:证方程有实根,即证:? 0 ;证两根为α、 β, α>1, β<1,即α-1>0, β-1<0从而利用韦达定 理证(α-1)(β-1)<0。
思路2:直接将原方程转为 y ? y ? k ? 0 ,证两 根之积小于0
2 2

问题的转化

(二)利用判别式问题
x 的一元二次方程 ?1 ? 2k ?x 2 ? 2 k ? 1x ? 1 ? 0 【例】 已知关于
有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围。(广西中考题)
思路点拨:利用判别式建立关于 k 的不等式组,注意 1? 2k 、 k ? 1 的隐含制约。
【拓展】关于 x 的方程 kx ? ?k ? 1?x ? 1 ? 0 有有理根,求整数 k 的值。
2

【例】已知方程 x ? ?k ? 2 ?x ? 2k ? 0 。
2

(1)求证:无论 k 取任何实数值,方程总有实数根; (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 a ? 1 ,另两边长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求 ? ABC 的周长。
思路点拨:对于(1)只需证明△≥0;对于(2)由于未指明底与腰, 须分 b ? c 或 b 、 c 中有一个与 a 相等两种情况讨论,运用判别式、 根的定义求出 b 、 c 的值。

【巩固】1、等腰三角形 ABC 中,BC=8,AB、AC 的长是关于

x 的方程 x 2 ? 10 x ? m ? 0 的两根,则 m ? ___________。
2、在等腰三角形 ABC 中, ? A、 ? B、 ? C 的对边分别为 a、b、c , 已知 a ? 3 , b 和 c 是关于 x 的方程 x ? mx ? 2 ?
2

1 m ? 0 的两个实数根, 2

求三角形 ABC 的周长。

【例】设方程 x ? ax ? 4 有三个不相等的实数根,
2

求 a 的值和相应的 3 个根。(重庆市竞赛题)

思路点拨:去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元 二次方程.原方程只有3个不相等的实数根,则其中一 个判别式大于零,另一个判别式等于零。
【巩固】已知方程 x ? ?1 ? a ?x ? 2ax ? a ? 0
3 2 2

有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是_____

【例】已知:如图,矩形 ABCD 中,AD= a ,DC= b , 在 AB 上找一点 E,使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分成 的三个三角形相似,设 AE= x ,问:这样的点 E 是否存在? 若存在, 这样的点 E 有几个?请说明理由。(云南省中考题)

思路点拨:要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相 似,点E必须满

足∠AED+∠BEC=90°,为此,可设 在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC, 建立一元二次方程的数学模型,通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数。

(三)利用韦达定理问题
【例】 已知 ? 、 ? 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则代数式 ? 2 ? ? (? 2 ? 2) 的值为 。

思路点拨:所求代数式为 ? 、 ? 的非对称式, 通过根的定义、一元二次方程的变形进行问题转化

【例】已知a,b,c为整数,满足c>0,a+b=3, c 2 ? 2c ? ab ? ?2 ,若关于x的方程 dx2 ? (c ? d ) x ? ab ? d ? 0 的解只有一个,求d. 思路:可以将a,b作为关于x的方程的两根,根 据判别式和c的范围来求出c的值;再根据原方 程的判别式为零求出d.

解:易知a,b是 x 2 ? 3x ? c 2 ? 2c ? 2 ? 0 的两根,又 ? ? 9 ? 4(c 2 ? 2c ? 2) ? 0 ,则: c 2 ? 8c ? 1 ? 0 4 由c为正整数,则:c=1,2 当c=1时,a,b无整数解; 当c=2时,a=1,b=2或a=2,b=1 从而原方程可化为 dx2 ? (2 ? d ) x ? 2 ? d ? 0 当d=0时,x=-1; 当d≠0时,方程有等根,则: ? ? (2 ? d ) 2 ? 4d (2 ? d ) ? 0
2 d ? ,?2 3

2 综上所述: d ? ,?2,0 3

【例】如果 a 、 b 都是质数,且 a 2 ? 13a ? m ? 0 , b 2 ? 13b ? m ? 0 , 那么 A、
b a ? 的值为( a b

) C、
125 22

123 22

B、

125 或2 22

D、

123 或2 22

思路点拨:可将两个等式相减,得到 a 、 b 的关系, 由于两个等式结构相同,可视 a 、 b 为方程 x 2 ? 13x ? m ? 0 的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于 x1 、 x 2 的对称式, 这类问题可通过变形用 x1 + x 2 、 x1 x 2 表示求解, 而非对称式的求值常用到以下技巧: (1)恰当组合; (2)根据根的定义降次;(3)构造对称式。

m2 【例】 已知关于 x 的方程: x 2 ? (m ? 2) x ? ?0 4 (1)求证:无论 m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根。

(2)若这个方程的两个实根 x1 、 x 2 满足 x 2 ? x1 ? 2 , 求 m 的值及相应的 x1 、 x 2 。
思路点拨:对于(2),先判定 x1 、 x 2 的符号特征,并从分类讨论入手。

【例】 设 x1 、 x 2 是方程 2x 2 ? 4mx? 2m 2 ? 3m ? 2 ? 0 的两个实数根, 当 m 为何值时, x1 2 ? x 2 2 有最小值?并求出这个最小值。

思路点拨:利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示, 再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。

注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根, 即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0 这一条件,转 化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性。

【例】 已知:四边形 ABCD 中,AB∥CD,

且 AB、CD 的长是关于
1 7 的方程 x 2 ? 2mx ? (m ? ) 2 ? ? 0 的两个根。 x 2 4 (1)当 m=2 和 m>2 时,四边形 ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由。 (2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点,线段 MN 分别交 AC、 BD 于点 P,Q,PQ=1,且 AB<CD,求 AB、CD 的长. (2003 年哈尔滨市中考题)
思路点拨:对于(2),易建立含 AC、BD 及 m 的关系式, 要求出 m 值,还需运用与中点相关知识找寻 CD、AB 的另一隐含关系式。

(四)方程的构造问题
注:有些与一元二次方程表面无关的问题,可通过构 造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法有: (1)利用根的定义构造;

(2)利用根与系数关系构造;
(3)确定主元构造。

【例】 已知 x 、 y 是正整数,并且 xy ? x ? y ? 23 , x 2 y ? xy 2 ? 120, 则 x2 ? y2 ?
思路点拨



x 2 ? y 2 ? ( x ? y) 2 ? 2 xy ,变形题设条件,可视 x ? y 、 xy 为

某个一元二次方程两根,这样问题可从整体上获得简解.

【例】 若 ab ? 1 ,且 5a 2 ? 2001 ? 9 ? 0 及 9b 2 ? 2001 ? 5 ? 0 , a b 则
a 的值是( b

)
5 B. 9

9 A. 5

2001 C. ? 5

2001 D. ? 9

思路点拨

2001 第二个方程可变形为 2 ? ? 9 ? 0 ,这样两个 b b

5

方程具有相同的结构,从利用定义构造方程入手.

【例】 已知实数 a 、 b 满足 a 2 ? ab ? b 2 ? 1 ,且 t ? ab ? a 2 ? b 2 , 求 t 的取值范围.

思路点拨 由两个等式可求出 a ? b 、 ab 的表达式,这样既可 以从配方法入手,又能从构造方程的角度去探索,有较大的思维空间.

【例】 已知实数 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ? 2 , abc ? 4 . (1)求 a 、 b 、 c 中最大者的最小值; (2)求 a ? b ? c ? 3 的最小值. 思路点拨 不妨设 a≥b,a≥c,由条件得 b ? c ? 2 ? a , bc ?
4 . a

构造以 b、c 为实根的一元二次方程,通过△≥0 探求 a 的取 值范围,并以此为基础去解(2).

(五)一元二次方程的整数解问题

1、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略 (1)从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解; (2)从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围, 或引入参数(设△= ),通过穷举,逼近求解; k2 (3)从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去 参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因 式分解求解; (4)从变更主元入人,当方程中参数次数较低时, 可考虑以参数为主元求解.

2、一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、 判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、 奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.

【例题分析】
【例】是否存在正整数m,使关于x的方程 2 mx ? 2(m ?

4) x ? m ? 12 ? 0 有整数根,若存在, 请求出m的值。

解:若m ? 0, 方程为: 8 x ? ?12, 方程无整数根; ? 若m ? 0, 则: ? ? ? ?2(m ? 4) ? ? 4m(m ? 12) ? 0, 解得m ? 4
2

? m是整数 ? m的值可能是:2 3、 1、、 4 当m ? 1时,x 2 ? 10 x ? 13 ? 0, 方程无整数根; 当m ? 2时,x 2 ? 12 x ? 14 ? 0, 方程无整数根; 2 当m ? 3时,x 2 ? 14 x ? 15 ? 0,方程有整数根,x ? 3; 3 当m ? 4时,x ? 16 x ? 16 ? 0,, 方程有整数根, ? 2 4 ,x
2

所以当m为3或4时,方程有整数根。

解:若m ? 0, 则? ? 64 ? 16m 又因方程有整数根,以?为一个开平方数 s2 令64 ? 16m ? s 2 ,, 则:m ? 4 ? 16 8? s 8 8 x ? 1? , 即:x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? , 2 s 8? s 8? s 8? 8 因x1为整数根或x2为整数根,则: 8 ? s ? 1, 2, 4,8或8 ? s ? 1, 2, 4,8 当8 ? s ? 1, 2时,解得m都不符合题意; 当8 ? s ? 4,8时,解得m ? 3和m ? 4 所以当m ? 3或4, 方程有整数根。

【例】 若关于 x 的方程 ax 2 ? 2(a ? 3) x ? (a ? 13) ? 0 至少有一个整数根,求非负整数 a 的值. 思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的 a 的两个关系式中消去 a 也较困难,又因 a 的次数低 于 x 的次数,故可将原方程变形为关于 a 的一次方程.

【例】当 m 为整数时,关于 x 的方程 (2m ? 1) x 2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 是否有有理根?如果有,求出 m 的值;如果没有,请说明理由. 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数.

设△= (2m ? 1) 2 ? 4(2m ? 1) ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? (2m ? 1) 2 ? 4 ? n 2 ( n 为整数)解不定方程,讨论 m 的存在性.

【例】 试确定一切有理数 r ,使得关于 x 的方程
rx 2 ? (r ? 2) x ? r ? 1 ? 0 有根且只有整数根.

思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论. 当 r ? 0 时,由根与系数关系得到关于 r 的两个等式, 消去 r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根.
【例】若关于 x 的方程 (6 ? k )(9 ? k ) x 2 ? (117 ? 15k ) x ? 54 ? 0 的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个. 思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型 未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是 的值才能全面而准确.

(六)可化为一元二次方程的方程
1、匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一 书中写道:“作为数学家的思维来说是很典型的,他们 往往不对问题进行正面攻击,而是不断地将它变形,直 至把它转化为已经能够解决的问题.”

2、转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次 的整式方程)的基本思想. 解分式方程,通过去分母和换元; 解

高次方程,利用因式分解和换元,转化为一元二次 方程或一元一次方程去求解.

3.分式方程 整式方程; 无理方程 有理方程; 高次方程 一元一(二)次方程 4.余数定理:已知x的多项式f(x),若对于常数a,有 f(a)=0,则f(x)有因式(x-a); 5.解分式、有理、无理方程时,可能会产生增根, 因此必须检验。

【例】解方程:x3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 4 ? 0
解1(因式分解): 原式可化为:
x 3 ? x 2 ? 3x 2 ? 3x ? 4 x ? 4 ? 0 ? x 2 ( x ? 1) ? 3 x ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 0 ? ( x ? 1)( x 2 ? 3 x ? 4) ? 0 ? ( x ? 1) 2 ( x ? 4) ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1, x3 ? 4

解2(余数定理): 令f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 4, 因f(-1)=0,所以f(x)有因式(x+1) ( x ? 1)( x 2 ? 3x ? 4) ? 0 原方程可化为

【例】已知关于x的方程 x ? m ?
x ?1

2m ? 19 6 ? ?2 ( x ? 1)( x ? 2) x ? 2

只有一个实数根,求m的值。

思路:将原方程化简为关于x的一元二次方程,因原 方程只有一实根,要分类讨论判别式:△=0与△>0; 对于△>0:一元二次方程有两个根,但是当其中一 个为增根时,原方程还是只有一个实根。

a 2 5a 【例】 已知关于 x 的方程 ( x ? ) ? 5 x ? ? ?6 x x

有两个根相等,求 a 的值. 思路点拨 通过换元可得到两个关于 x 的含参数 a 的一元二次方程,利用判别式求出 a 的值.

【例】 若 2 x 2 ? 5x ? 则 2x 2 ? 5x ?1 的值为

8 2 x ? 5x ? 1
2

?5 ? 0 ,



思路点拨 视 2 x 2 ? 5 x 为整体,令 2 x 2 ? 5 x ? y , 用换元法求出 y 即可.

【例】 若方程 p ? 2 x ? ? x 有两个不相等的实数根, 则实数 p 的取值范围是( ) A. p ? ?1 B. p ? 0 C. ?1 ? p ? 0 D. ?1 ? p ? 0

思路点拨 通过平方有理化,将无理方程根的个数讨 论转化为一元二次方程实根个数的讨论,但需注意注
p ? 2 x ? ? x ? 0 的隐含制约.

【例】解下列方程: (1)

11 ; ? ? 2 2 2 x ? 2 x ? 8 3x ? 9 x 12

x 2 ? 3x

x2 ? x ? 4

(2) (1999? x) ? ( x ? 1998 ? 1 ; )
3 3

13x ? x 2 13 ? x (3) (x ? ) ? 42 . x ?1 x ?1

【思路】求解繁难,应恰当转化, 对于(1),利用倒数关系换元; 对于(2),从 (1999? x) ? ( x ? 1998 ? 1 受到启示; ) 对于(3),设 y ?
13 ? x ,则可导出 x ? y 、 xy 的结果. x ?1

注:换元是建立在观察基础上的,换元不拘泥于一元代换, 可根据问题的特点,进行多元代换.

(七)化归—解方程组的基本思想

? 初中阶段已学过的方程组有:二元一次方程 组、三元一次方程组、二元二次方程组. ? 化归是解方程组的基本思想; ? 降次与消元是化归的主要途径; ? 因式分解、换元是降次的常用方法

; ? 代人法、加减法是消元的两种主要手段.

? 解一些特殊方程组(如未知数系数较大,未知数 个数较多等),需要在整体分析方程组特点基础 上,灵活运用一些技巧与方法,常用的技巧与方 法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等. ? 转化与化归是解方程组的基本思想,常见形式有: 分式方程整式化 无理方程有理化 高次方程低次化 多元方程一元化

? x ? y ? xy ? 8 ? 【例】已知正实数 x 、 y 、 z 满足 ? y ? z ? yz ? 15 , ? z ? x ? zx ? 35 ?

则 x ? y ? z ? xyz = . 思路点拨 由 ab ? a ? b ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) 想到从分解 因式入手,还需整体考虑.
? xz ? yz ? 23 【例】方程组 ? 的正整数解的组数是( ? xy ? yz ? 63



A.4 B.3 C2 D.1 思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难, 从分析常数项的特征入手.

【例】

解下列方程组:

? xy ? x ? y ? ?13 (1) ? 2 x ? y 2 ? 29 ?

? x( x ? 1)(3 x ? 5 y ) ? 144 (2) ? x 2 ? 4 x ? 5 y ? 24 ?

?3 x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 2 ? (3) ? ? x ? y ? 26 ?

思路点拨 对于(1),先求出整体 x ? y 、 xy 的值, 对于(2),视 x 2 ? x 、 3x ? 5 y 为整体,可得到 ( x 2 ? x) ? (3x ? 5 y) 、
( x 2 ? x)(3x ? 5 y) 的值;

对于(3)设 3 x ? 1 ? a , 3 y ? 1 ? b ,用换元法解.

a?b ?8 ? 【例】 已知 a 、 b 、 c 三数满足方程组 ? , 2 ?ab ? c ? 8 2c ? 48

试求方程 bx2 ? cx ? a ? 0 的根. 思路点拨 先构造以 a 、 b 为两根的一元二次方程, 从判别式入手,突破 c 的值.

三、不等式(组)及其应用
考点: ?考察不等式组的解法 ?不等式组的整数解问题 ?不等式中字母范围的确定 ?带绝对值的不等式解答 ?利用不等式解决实际问题

【知识回顾】 1、一元一次不等式(组)
性质
(1)不等式的两边都加 上(或都减去)同一个 数,不等号的方向不变。

步骤 与解一元一次 方程的步骤相 同,知识在用 到性质(3) 时,要改变不 等号的方向

解得情况
如果 x>a x>b 且a>b,那么 x>a 如果 x<a x<b 且b<a,那么 x>b 如果 x>a x<b 且a<b,那么 a<x<b 如果 x>a x<b 且a<b,那么 解集是空集

(2)不等式的两边都乘 以(或都除以)同一个 正数,不等号的方向不 变。 (3)不等式的两边都乘 以(或都除以)同一个 负数,不等号的方向要 改变。

2、二元一次不等式(组)
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x<x1或x>x2} _____________ {x|x1<x<x2} ___________ 有两相等实根 x1=x2=- b Δ>0 Δ=0 Δ<0

没有实数根

2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a

>0)的解集

{x|x≠x1} __________
? ___

{x|x∈R} __________ ? ___

3、不等式基本性质 ⑴对称性 ⑵传递性

a ?b?b?a

a ? b, b ? c ? a ? c

⑶加法单调性 a ? b ? a ? c ? b ? c ⑷乘法单调性 ① a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ⑸a ?b ? 0? ② a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ( n 是自然数,且 n ? 1)

4、性质 ⑴移项法则

a?m ?b?a ?b?m

⑵相加法则 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向可加) ⑷相乘法则 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向皆正可相乘)

1 1 ⑹倒数法则 a ? b ? 0 ? ? (皆正可取倒数) a b
⑺乘方法则 a ? b ? 0 ? a ? b ( n 是自然数,且 n ? 1)(皆正可乘方)
n n

5. 绝对值不等式性质: (1)若 x ? a(a ? 0) ,则 ? a ? x ? a ; (2)若 x ? a ,则 x ? a或x ? ?a ; (3)若 a ? a ,则 a ? 0 ;
2 2 (4)若 a ? b ,则 a ? b .

6、相等与不等既对立,又统一,具体体现 (1)运用不等式(组)讨论方程(组)的解的正负性; (2)运用不等式(组),用逼近的方法求特殊方程 (组)的解; (3)对于含有等式、不等式的混合型问题,综合 运用方程(组)(消元思想)、不等式(组)(逼近思 想)求解. 7. 确定不等式(组)中参数的取值范围常用的方 法有: (1)逆用不等式(组)解集确定, (2)分类讨论确定; (3)借助数轴确定.

8、常用解法 (1)基本解法(2)数形结合法

(3)分类讨论法(4)综合法

【例题分析】
(一)基本解法
?9 x ? a ? 0 【例】如果不等式组?8 x ? b ? 0 ?

的整数解仅为1、2、3,

那么,适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a、 b)共有 ( )

(A)17个

(B)64个

(C)72个

(D)81个

提示:由9x-a≥0得到x≥

a 后,注意题目中 9

的“仅为”两字含义,确定出a的值;同样确

定出b值即可.所以答案选C!!!

(二)数形结合法 【例】已知b,c正整数,方程 5 x ? bx ? c ? 0 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。
2

-1

0

解:根据函数的图象和题设条件知:当x=0时, x 2 ? bx ? c 5

>0,∴c>0…①;当x=-1时, x ? bx ? c >0,∴b<5+c…②。 5 b b 抛物线顶点的横坐标 ? 满足 -1< ? <0 ,∴0<b<10… 2?5 2?5 ③。
2

∵ # > 0 ,即 b ? 20c ? 0 ,∴b ? 20c …④,由①、③、④ ?
2

2

得 100 ?

b

2

? 20c ,c<5,
2

若c=1,则由②、④得0<b<6且

若c=2,则0<b<7且 b ? 40 ,无整数解;

b

2

? 20 ,得b=5;

b 若c=4,则0<b<9且 b
若c=3,则0<b<8且 b=5、c=1

2 2

? 60 ,无整数解; ? 80 ,无整数解;故所求b、c的值为

(三)分类讨论法
实数a的数值范围是( )。

【例】已知关于x的不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? a的解集是非空集合,则

分析:可以根据对 x ? 2 ? x ? 3 的意义的不

同理解,获得多种方法。
解法一:(1)当x ? 2时,不等式化为 ? x ? 2 ? x ? 3 ? a, 即-2x ? 1 ? a有解,而-2x ? 1 ? 5 ? a ? 5. (2)当 ? 2 ? x ? 3时,不等式化为x ? 2 ? x ? 3 ? a, 即a ? 5. (3)当x ? 3时,不等式化为x ? 2 ? x ? 3 ? a即2 x ? 1 ? a有解, 而2 x ? 1 ? a , ? a ? 5. 综上所述,a>5时不等式有解,从而解集非空。

解法二: ? 2 ? x ? 3 表示数轴上的点 ? 2到3两点的距离之和. x 显然最小值为3 ? ? ?2 ? =5. 故可求a的取值范围为a ? 5.
解法三:利用 m ? n ? m ? n 得 ? a ? 5时不等式有解. x ? 2 ? x ? 3 ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 3? ? 5.

(四)综合法
【例】将两筐苹果分给甲,乙两个班级,甲班 有1人分到6个,其余的人,每人分到13个;乙 班有1人分到5个,其余的每人分到10个,如果 两筐苹果的个数相同,并且大于100不超过 200.那么,甲班有____人,乙班有____人.

解 设甲班有x人,乙班有y人,根据题意可得

因为x,y都是正整数,故根据②,③知 x可能为:9,10,11,12,13,14,15; y可能为:11,12,13,14,15,16,17,18, 19,20. 由①又可得,故知13x-2应是10的倍数,13的末 位数应是2,所以x只能取14,这时y=18.所以甲 班有14人,乙班有18人.

?5 ? 2 x ? ?1 【例】 (1) 已知关于 x 的不等式组 ? 无解, ? x?a ?0
则 x 的取值范围是 ; (2)已知不等式 3x—a≤o 的正整数解恰是 l,2,3, 则 a 的取值范围是 . 思路点拨 (1)从数轴上看,原不等式组中两个不等式的解集无公共部分; (2)由题意知不等式的解在 x<4 的范围内.

【例】已知三个非负数 a、b、c 满足 3a ? 2b ? c ? 5 和 2a ? b ? 3c ? 1,若 m ? 3a ? b ? 7c ,求 m 的最大值和最小值. 思路点拨 解题的关键是通过解方程组,用含一个字母的代数式 来表示 m,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,在约束 条件下,求 m 的最大值与最小值.

【例】(1)若不等式(ax 一 1)(x 十 2)>0 的解集是一 3<x<一 2, 那么 a 等于( ) .

1 A. 3

1 B. ? 3

C.3

D.一 3

(2)已知一 1<a<0, x ? a ? a ,则 x 的取值范围是(
2

).

A.一 l<x<0

B.0<x<1

C.一 2<x<0

D.0<x<2

思路点拨 (1)由有理数的乘法法则,将不等式转化为不等式组, 由不等式组的解集逆推出参数 a 的值; (2)把 x 用 a 的代数式表示,由 a 的范围来确定 x 的取值范围,注意 分类讨论.

?x ? 6 x ? ? ? 1? (1) 【例】 若关于 x 的不等式组 ? 5 的解集为 x<4, 4 ? x ? m ? 0? (2) ?
则 m 的取值范围是 . 思路点拨 由①得 x<4. 由②得 x<—m.∵其解集为 x<4, ∴-rn≥4,∴m≤-4.

4 【例】 若不等式(2a—b)x+3a

—4b<0 解集是 x ? , 9
则不等式(a-4b)x+2a—3b>0 的解集是 思路点拨 原不等式可化为(2a—b)x<4b-3a .

4 ? 2a ? b ? 0 8 ? 4b ? 3a 4 ∵ x ? ∴? ,可得 a ? b, b ? 0 , ? 9 ? 7 ? 2a ? b 9 1 代入所求的不等式得解集为 x ? ? . 4

【例】 在满足 x+2y≤3,z≥0,y≥0 的条件下, 2x+y 能达到的最大值是 . 思路点拨 ∵x+2y≤3,∴x≤3-2y, ∴2x 十 y≤2(3-2y)+y=-3y+6 ∵y≥0, ∴2x+y≤6. 故 2x+y 的最大值为 6.

【例】设 x1,x2,?,x7 为自然数,且 x1< x2< x3<?< x6< x7, 又 x1+ x2+ ?+x7=159,则 x1+ x2+x3 的最大值为 . 思路点拨 ∵x1,x2,?,x7 为自然数, 且 x1< x2< x3<?< x6< x7, ∴ 159= x1+ x2+ ?+x7≥x1+(x1+1)+(x1+2)+?+(x1+6) =7x1 +21,

5 ∴x1≤19 ,∴x1 的最大值为 19; 7
又∵19+x2+x3+?+x7=159, ∴ 140≥x2+(x2+1)+( x2+2)+?+(x2+5)=6x2+15,

5 ∴x2≤ 20 ,∴x2 的最大值为 20 6
当 x1,x2 都取最大值时,有 120=x3+x4+?+x7≥ x3+( x3+1)+?(x3+4)=5x3+10 ∴x3≤22,∴x3 最大值为 22. ∴x1+ x2+x3 的最大值为 19+20+22=61.

【例】 (江苏省竞赛试题)货轮上卸下若干只箱子,其总重量为 10t, 每只箱子的重量不超过 1t,为保证能把这些箱子一次运走,问至少 需要多少辆载重 3t 的汽车? 思路点拨 设共需 n 辆汽车,它们运走的重量依次为 a1,a2,?,an 则 2≤ai≤3(I=1,2,?,n),al+a2+?+an=10

10 ∴2n≤10≤3n,解得 ? n ? 5. 3

∵ 车子数 n 应为整数,

∴ n=4 或 5,但 4 辆车子不够.例如有 13 只箱子,每只重量为 10 , 13 而 3× 10 <3,4× 10 >3,即每辆车子只能运走 3 只箱子,4 辆车子 13 13 只能运走 12 只箱子,还剩一只箱子,故需 5 辆汽车。

【例】为了迎接 2002 年的世界杯足球赛,某足球协会举办了一次足球赛, 其记分规则和奖励方案如下:
胜一场 积分 奖金(元/人) 3 1500 平一场 1 700 负一场 0 0

当比赛进行到第 12 轮结束时(每队需要比赛 12 场),A 队共积 19 分。 (1)请通过计算,判断 A 队胜、平、负各九场? (2)若每赛一场,每个参赛队员得出场费 500 元,设 A 队其中一名, 参赛队员所得的奖金和出场费的和为 W(元),试求 W 的最大值。 思路点拨

? x ? y ? z ? 12 ? y ? 19 ? 3 x , 解得 ? ? ? 3 x ? y ? 19 ? z ? 2x ? 7

?19 ? 3 x ? 0 ? x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,∴ ? 2 x ? 7 ? 0 ? x?0 ?
解得 3

1 1 ≤x≤6 ,∴ x=4,5,6。 2 3

∴ A 队胜 4 场,平 7 场,负 1 场;或胜 5 场,平 4 场,负 3 场; 或胜 6 场,平 1 场,负 5 场 (2)W=(1500+500)x+(700 十 500)y+ 500z=-600x 十 19300, 观察代数式-600x+19300,发现 x 越小,W 越大。

四、二次函数
二次函数考点:
?二次函数的性质 ?二次函数的

表达式 ?二次函数与一元二次方程的关系 ?根与系数的关系

【知识回顾】

6.根与系数的关系:
x1 , x2是方程ax ? bx ? c ? 0的两个
2

b c 实根,则x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a

7、补充公式
抛物线y ? ax 2 ? bx ? c与x轴交于A, B两点,M 为抛物线顶点 连结MA,MB,过M作MC ? AB于C.设AB=d,MC=h,A,B横坐标分 别为x1 , x2 .则有如下结论: ? 1.d= a ? 2.h ? 4a 3.s?MAB ? ? ? 8a 2

【例题分析】

例1:已知二次函数y ? 2 x ? 4mx ? m 的图像
2 2

与x轴有两个交点,交点为A,B.顶点为C,如 果?ABC的面积为4 2,那么m等于多少?( 第九届“祖冲之杯”竞赛题)

解: s?ABC ? 4 2, ? ? ? ? ? ? ? 4 2, ?4 2 2 8a 8? 4 即? ? =2
2 7

2, =2 ,? =2 ??
3 15

5

? 8m ? 2 , m ? ?2
5

? m ? ?2时,?ABC的面积为4 2

例2:已知函数y ? x 2 ? x ? 12的图像与x轴交于相异两点A, B.另一抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c过点A, B.顶点为P,且?APB是等腰直角三角形。求a , b, c
解:方程x 2 ? x ? 12 ? 0即 x ? x ? 12 ? 0
2

? ? x ? 4 ?? x ? 3? ? 0 ? x ? 3 ? 0 ? x ? 4 ? 0, x ? ?4 ? 抛物线于x轴的交点分别为A ? 4, 0 ?,B ? ?4, 0 ? ? 抛物线的对称轴是y轴,顶点在y轴上 设y ? a ? x ? 4 ?? x ? 4 ? ? ?ABC是等腰Rt? ?点P的坐标为 ? 0, 4 ? 或 ? 0, 4 ? ? 当点P的坐标为 ? 0, 4 ? 时, 16a ? 4 ? a ? ? ? y?? 1 4

1 2 1 1 x ? 16 ? ? ? x 2 ? 4 ? a ? ? , b ? 0, c ? 4 ? 4 4 4 1 当P的坐标为 ? 0, 4 ? 时, 16a ? ?4, a ? ? ? 4 1 1 1 y ? ? x 2 ? 16 ? ? x 2 ? 4 ? a ? , b ? 0, c ? ?4 4 4 4

例3:方程x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0的两根为?,?。求二次函数f ? x ? , 满足f ?? ? ? ? , f ? ? ? ? ? , f ?1? ? 1
解: ?,? 是方程x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0的两根 ?? ? ? =2 2,?? =1 ? ?? ? ? = ?? ? ? ? ? 2?? =8 ? 2=6,由方程x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0知
2 2 2

? =4 ? 0,?? ? ?。设f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? ,由f ?? ? ? ? , f ? ? ? ? ? , f ?1? ? 1得a? 2 ? b? ? c ? ? ① a?2 +b?+c=? ② a ? b ? c ? 1③ ①+②整理得3a+ 2b ? c ? 2④ ① ? ②得a ?? 2 ? ? 2 ? +b ?? ? ? ? =- ?? ? ? ? ?? ? ? ? a ?? ? ? ? +b=-1 2 2a+b=-1⑤ 解③④⑤组成的方程组得a ? 1.b ? ? 2 2 ? 1 , c ? 2 2 ? 1 ? f ? x ? ? x2 ? 2 2 ? 1 x ? 2 2 ? 1

?

?

?

?

例4:设m是不小于 ? 1的实数,使得关于x的方程x 2 ? 2 ? m ? 2 ? x ? m2 ? 3m ?3 ? 0有两个不相等的实数根x1 , x2 . (1)若x12 ? x2 2 ? 6, 求m的值 mx12 mx2 2 (2)求 ? 的最

大值 1 ? x1 1 ? x2

解:(1 ? 方程有两个不相等的实根 ) ?? =4 m ? 2) 2 ? 4 ? m 2 ? 3m ? 3? ? 0,? m ? 1 ( 又 ? m ? ?1??1 ? m ? 1 x1 ? x2 ? ?2 ? m ? 2 ? , x1 x2 ? m 2 ? 3m ? 3 ? x12 ? x2 2 ? 2m 2 ? 10m ? 10由题意得 2m 2 ? 10m ? 10 ? 16即m 2 ? 5m ? 2 ? 0 5 ? 17 5 ? 17 ?m ? .? ?1 ? m ? 1.? m ? 2 2

mx12 mx2 2 (2)设y ? ? 1 ? x1 1 ? x2 则y ?

?1 ? x1 ??1 ? x2 ? x12 ? x2 2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? ?m 1 ? ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 2m 2 ? 10m ? 10 ? 2 ? m ? 2 ? ? m 2 ? 3m ? 3? ?m 1 ? 2 ? m ? 2 ? ? m 2 ? 3m ? 3 2 ? m3 ? 4m 2 ? 4m ? 1? 2m ? m ? 1? ? m 2 ? 3m ? 1? ?m ? 2 m ?m m ? m ? 1?
3? 5 ? 2 ? 2 ? m ? 3m ? 1? ? 2 ? m ? ? ? 2? 2 ?
2

mx12 ?1 ? x2 ? ? mx2 2 ?1 ? x1 ?

? ?1 ? m ? 1?当m ? ?1时,y有最大值10 mx12 mx2 2 即 ? 的最大值是10 1 ? x1 1 ? x2


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