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自测题九

发布时间:2014-01-02 15:44:29  

自测题九

一、解: 不是. 如取?=(1,2),?=(3,4),?????1,2?,?????3,4?,则有???????..

二、解:(1)令A??1?1??

??11??,则(X)?AX,X?V.

?X,Y?V,?k?P,则

(X?Y

)?A(X?Y)?(X)+(Y),(kX)

?k(X), 所以是线性变换.

(2)(E?10?

11)?AE(E?AE?01?

11????10??,12)12???0?1??,

(E

??10?

21)?AE21???10??,(E22)?AE22???0?1?

?01??,

?10?10??

E,则B??010?1?

11,E12,E21,E22下的矩阵为B??.

??1010?

?0?101??

(3)令B?(?1,?2,?3,?4)其中?i为B的列向量,由于 rank(B)?2,

且?1,?2是?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组, 所以dim(V)?2,且

(V)?L(B1,B2),其中

B?(E,E??10?

111,E12,E2122)?1???10??,

B?(E???0?1?

211,E12,E21,E22)?2?01??,

且B1,B2为(V)的一组基,得dimKer=4-dim(V)=2.

在基1

??x1????0??1??0?令B?x2

??x???0???,得基础解系?0??1?1???,?2???. 记3??0?

??1???0?

?x?????40?

?0???1??B,E?10?

3?(E11,E1221,E22)?1???10??

,B?01?

4?(E11,E12,E21,E22)?2???01??

,

则ker

?L(B3,B4),且B3,B4为

Ker

的一组基.

三、解: 非负性. A=0时,

A

a

?0,AH

b

?0,从而A?0;A?0时,Aa?0,AH

b

?0,从而A0.

相容性. 设A,B?Cn?n,则有

AB?ABH

a??AB?b

?A

aBa?BH

b

AH

b

?AH

a?A

b

B

a

?B

H

b

??

A?B.

同样可验证齐次性与三角不等式.在此A是矩阵范数.

?10?11??10?

四、解:(1)A???行

???0111???,A???1?2?10?11????0000????14??

?0111??FG?.

?1

(2)F??(FTF)?1FT???3?6?1???620??FT

?1042?12??303??

. ?10??1

G??GT(GGT)?1?GT?30??

?03?

?

1??01???

3???11?. ?11??

?10

42??

A??G?F?

?

1?303??36??

?7?41?. ?1345??

(3)A?b?(1,0,?1,1)T,AA?b?b,故AX?b有解,极小范数解为

2

X0?A?b?(1,0,?1,1)T.

五、解: (1)因rankA?3,rankB?2,得

rank(A?B)?rank(A)?rank(B)?3?2?6. 令?I?B?(??7)(??2)?0,特征值?1?7,?2??2. 所以A?B的所有特征值为:

11?1??7,?2??7,?3???2,?14??14,?5??14,?6?4;

A?B?AB?(?2)2?(?14)3??10976. 23

(2)∵ B的特征值?1?7,?2??2,∴f(B)?B2?B?3I的特征值'?1?72?7?3?45;?'

2?(?2)2?(?2)?3?11.

?1??1???1???????六、解: ?1??1e1?2?30?21, ?????????2????0???1??

??1?1???1?1?,?3??1??2??121? H1?I?2?1?1T??21?2?3???2?21???3??H1A???0??03??????,令A??02?,???e??0??2?0??1??1????1? 121?11?2?1??1??0??1??02?????????????11??

?01?H2?I?2?2????,10??T211??1??2??1?,2???11?H2A1??? 02??

2??12?1?1???2?21?所以取Q?H1???,H32????21?2??

?313??得A?QR. R??11???2???

七、证:(1)令 W?L(?1,?,?n?1),其中?1,?,?n?1线性无关.通过标准正交化,将?1,?,?n?1变为W的一个标准正交基?1,?,?n?1. 3

由已知可得??,?i??0关.把?单位化,令?n?

1|?|

i?1,2,?,n?1;因而?1,?,?n?1,?线性无

?1,?,?n?1,??n?与??,于是??1,?,?n?1,?n?均为V的标

(?i)??i,i?1,2,?,n?1,,而

准正交基.同时,由题设

(?n)???n,则

为正交变换. (2)因为

把标准正交基??1,?,?n?1,?n?变为标准正交基,故

为正交变换,

(?1,?2,?,?n)=(?1,?2,?,?n)A ,所以A

T

T

为正交矩阵.又?A的所有特征值?1,?2,?,?n都为实数,故有AA?I?AA,即A为实的正规矩阵,从而存在正交矩阵Q,使得

??1

QTAQ???

??

则A=Q?Q,变换.

八、证:

T

T

?2

?

???, ??3??

AT??Q?QT??Q?QY?A ,即A为实对称矩阵,故A是对称

(1)设A的特征根是?1,?,?n,令f(?)?1??,则f(A)?I?A的特征根是

1??1,?,1??n,由题设??i〈1,i?1,?,n, 故?1??i?1?1,即0??i?2,因此0??i?2,i?1,?,,n,进而0?|?1|?|?n|?2n,然而

|A|?d??1??n,故0?|d|?|?1,??n|?2n.

(2)设A的三个特征根为?1,?2,?3 ,则

f(?)?|?I?A|??3?(?1??2??3)?2?(?1?2??1?3??2?3)???1?2?3,

由于A是奇数阶正交方阵,且|A|?1,易证奇数维欧氏空间中的旋转变换一定有特征值1,因此不妨设?1?1,则?1?2?3??2?3?|A|?1,于是

?1??2??3??1?2??1?3??2?3?1??2??3,

4

从而f(?)?|?I?A|???t??t??1.其中t?1??2??3为实数(因?2,?3或均为实数或为一对共轭复数).

又由于正交方阵的特征根的模为1.故有 32

?(?2??3)??2??3??2??3,?2??2??3?2,

32所以?1?1??2??3?3,即?1?t?3.由哈密顿-凯莱定理知:A?tA?tA?I?0.

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