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全国初中数学联赛_试题及答案_1991~2010年

发布时间:2014-01-02 15:47:01  

全国初中数学联赛_试题及答案_1991~2010年

1991年全国初中数学联赛

第一试

一、选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1. 设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立,其中a,x,y是两3x2?xy?y2

两不同的实数,则2的值是 2x?xy?y

15 (A)3 ; (B); (C)2; (D). 33

答( ) 2. 如图,AB‖EF‖CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是

(A) 10; (B)12;

(C) 16; (D)18.

答( )

3. (A)方程x2?x?1?0的解是 1?5?1?5; (B); 22

1?5?1??1?5或; (D)?. 222(C)

答( ) 4. ?1已知:x?(1991n?1991n)(n是自然数).那么(x??x2)n,的值是 211

(A)1991?1; (B)?

1991?1;

1

(C)(?1)n1991; (D)(?1)n1991?1.

答( )

5. 若1?2?3???99?100?12nM,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,

则M

(A)能被2整除,但不能被3整除;

(B)能被3整除,但不能被2整除;

(C)能被4整除,但不能被3整除;

(D)不能被3整除,也不能被2整除.

答( )

6. 若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a?b?c,b?c?d,c?d?a,那么 a?b?c?d的最大值是

(A)?1;(B)?5;(C)0;(D)1.

答( )

7. 如图,正方形OPQR内接于ΔABC.已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S1?1,

S1?1S2?3和S3?1,那么,正方形OPQR的边长是 (A)2;(B);(C)2 ;(D)3.

答( )

8.

(A)S

2?3 S3=1 在锐角ΔABC中,AC?1,AB?c,?A?60?,ΔABC的外接圆半径R≤1,则 11< c < 2 ; (B)0< c ≤; 答( ) 22

(C)c > 2; (D)c = 2.

答( )

2

二、填空题

1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE交对角线BD于G,如果ΔBEG的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是 .

2.已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,2b?3c? . a

(x?1)m(x?1)p

3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x >0,?1?恒成立,则 xnxq

(m2?2n?p)2q? .

4.四边形ABCD中,∠ ABC?135?,∠BCD?120?,AB?6,BC?5?3,

CD = 6,则AD = .

135?

120?

第二试

x

y四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数(一) x + y, x - y, x y,

对(x , y).

(二) ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且

3

BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).

求证:BF=AF+CF

(三) 将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,

把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

4

一九九二年

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

( )1. 满足a?b?ab?1的非负整数(a,b)的个数是

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

( )2. 若x0是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b2?4ac与平方式

M?(2ax0?b)2的关系是

(A)?>M (B)?=M (C)?>M; (D)不确定.

24?4( )3. 若x?13x?1?0,则x?x的个位数字是

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.

( )4. 在半径为1的圆中,有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边

形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

( )5. 如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函数y?k(k?0)的图像分x

别相交于A点和C点.若Rt?AOB和?COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是

(A)S1?S2 (B)S1?S2

(C)S1?S2 (D)不确定

( )6. 在一个由8?8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆

周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,则S1的整数部分是︰ (A)0; (B)1; (C) 2; (D)3. S2

5

( )7. 如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ?A?60?,又

E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.;则AE:EB等于

(A)1:2 (B)1:3

(C)2:5 (D)3:10

答( )

( )8. 设x1,x2,x3,???,x9均为正整数,且

x1?x2?????x9,x1?x2?????x9?220,则当x1?x2?x3?x4?x5的值最大时,x9?x1的最小值是

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.

答( )

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

?x2?x4??x4

2.若x?0,则的最大值是__________. x

3.在?ABC中,?C?90?,?A和?B的平分线相交于P点,又PE?AB于E点,若BC?2,AC?3,则AE?EB? .

4.若a,b都是正实数,且111ba???0,则()3?(3? . aba?bab

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2?6x?a?0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.

二、如图,在?ABC中,AB?AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且?BED?2

?CED??A.

6

求证:BD?2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:

A:320651

C:612305 B:105263 D:316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求:M和N.

一九九三年

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12?x6?1除以x2?1的余式是

(A)1; (B)-1; (C)x?1; (D)x?1;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x是实数,y?x??x?.下列四个结论:

7

Ⅰ.y没有最小值;

Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

?x1?x2?x3?a1;?x?x?x?a;2342?? ?x3?x4?x5?a3;

?x?x?x?a;514?4

??x5?x1?x2?a5.

其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是

(A)x1?x2?x3?x4?x5; (B)x4?x2?x1?x3?x5;

(C)x3?x1?x4?x2?x5; (D)x5?x3?x1?x4?x2.

5.不等式x?1?(x?1)2?3x?7的整数解的个解

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5

6.在?ABC中,?A是钝角,O是垂心,AO?BC,

则cos(

(A)??OBC??OCB)的值是 22 (B) 22

(C)1 (D)?. 22

答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p

,

8

那么m:n:p等于 111(A)::; (B)a:b:c abc

(C)cosA:cosB:cosC (D)sinA:sinB:sinC.

答( ) 8.3(421?1??)可以化简成 999

(A)3(2?1); (B)3(2?1) (C)2?1 (D)2?1

答( )

二.填空题

3x2?6x?51. 当x变化时,分式12的最小值是___________. x?x?12

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2?1)(x2?4)?k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,?A?30?.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于

它们的面积D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设

分别为S1, S2,则S1:S2=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况

至底边BC的距离变小,这时乘积S?ABC?S?HBC的值变小,变大,还是

你的结论.

二.?ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将?

ABC分下让顶点A不变?证明

9

成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

?,x?三.已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x12,且x1x2?0,

x1?x?2?0.

(1)求证:x1?0,x2?0,x1??0,x?2?0;

(2)求证:b?1≤c≤b?1;

(3)求b,c所有可能的值.

10

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

(4月3日上午8:30—9:30)

考生注意:本试共两道大题,满分80分.

一、选择题(本题满分48分,每小题6分)

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错

11

或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.

〔答〕( )

2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z

A.都不小于0 B.都不大于0

C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 〔答〕( )

3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD

的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相

切,若BC=2,DA=3,则AB的长

A.等于4 B.等于5

C.等于6 D.不能确定

〔答〕( )

A.1 B.-1 C.22001

2001 〔答〕( )

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD

相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角

A.4对 B.8对

C.12对 D.16对

〔答〕(

) D.-2

12

〔答〕( )

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是

〔答〕( )

A.1001 B.1001,3989

C.1001,1996 D.1001,1996,3989 〔答〕( )

二、填空题(本题满分32分,每小题8分)

各小题只要求在所给横在线直接填写结果.

3.在△ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

13

第二试

(4月3日上午10:00—11:30)

考生注意:本试共三道大题,满分60分.

一、(本题满分20分)

如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.求证: △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

二、(本题满分20分)

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?

三、(本题满分20分)

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.

n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15

做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3

1

14

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人?

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题;

小题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A D B B D C B C

二、填空题:

第二试提示及答案.

一、连结OA,OC,OP,OQ.证明△OCP≌△OAQ,于是

∠CPO=∠AQO,所以O,A,P,Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

15

995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[ ]

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b

D.a<c<b

A.1 B.2 C.3 D.4

3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是

16

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 [ ]

A.62π B.63π C.64π D.65π

5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,则 [ ]

A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[ ]

A.a>0且b>0 B.a<0且b>0

C.a>0且b<0 D.a<0且b<0

二、填空题

1.在12,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。

4.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=______.

17

第二试

一、已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆

交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数

理由。

18

三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

19

1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解:这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指数然后比较底数,本题是化为同指数,有

c=(53)11=12511

<24311=(35)11=a

<25611=(44)11=b。选C。

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算lga、lgb、lgc也可以,但没有优越性。

2.讲解:这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

直接判断:因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①

或无解或有两个解,对照选择支,

20

选B。

3.讲解:显然,方程的一个根为1,另两根之和为x1+x2=2>1。三根能作为一个三角形的三边,须且只须|x1-x2|<1又

有0≤4-4m<1.

4.讲解:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一.又由

AB2+AD2

=252+602

=52×(52+122)

=52×132

=(32+42)×132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65为直径,得周长为65π,选D.

5.讲解:此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,因为有些考生的理由是错误的.比如有的考生取AB为直径,则M=N=0,于是就选B.其实,这只能排除A、C,

不能排除D.

21

不失一般性,设CE≥ED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△ACE-S△ADE=S△AEF=2S△AOE.同理,S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=N.选

B.

若过C、D、O分别作AB的垂线(图3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理,知L是EF的中点.根据课本上做过的一道作业:梯形对角线中点的联机平行底边,并且等于两底差的一半,有

|CE-DF|=2OL.

即M=N.选B.

6.讲解:取a=-1、b=2可否定A、C、D,选B.一般地,对已知不等式平方,有 |a|(a+b)>a|a+b|.

显然|a||(a+b)|>0(若等于0,则与上式矛盾),有

22

两边都只能取1或-1,故只有1>-1,即

有a<0且a+b>0,从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解:本题虽然以计算为载体,但首先要有试验观察的能力.经计算12,22,…,102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后,对两位数10a+b,有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,也中有b=4或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,有2×9+1=19.

2.讲解:这类问题一般都先化简后代值,直接把a

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将a2+a作为整体代入.这里关键是整体代入,抓住这一点,计算可以灵活.比如,由①有

由②-①,得

由③-②并将④

代入,得

23

还可由①得

⑥÷⑤即得所求.

3.讲解:这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数

因而x=1时,y有最小值1.

4.讲解:此题由笔者提供,原题是求sin

∠CAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°.解

24

法如下:

与AB2=AB2+AC2 ②

联立,可推出

而式①、③表明,AB、AC是二次方程

改为求∠CAB之后,思路更宽一些.如,由

25

第二试

一、讲解:首先指出,本题有IMO29-5(1989年)的背景,该题是:在直角△ABC中,斜边BC上的高,过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L,△ABC和△AKL的面积分别记为S和T.求证S≥2T.

在这个题目的证明中,要用到AK =AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来,先给出AK=AL=AD(斜边上的高),再求证KL通过△ABD、△ADC的内心(图7).

其次指出,本题的证法很多,但思路主要有两个:其一,连FC、FD、FE,然后证其中两个为相应的角平分线;其二是过F作三边的垂线,然后证明其中两条垂线段相等.下面是几个有代表性的证法.

证法1:如图6,连DF,则由已知,有

连BD、CF,由CD=CB,知

26

∠FBD=∠CBD-45°

=∠CDB-45°=∠FDB,

得FB=FD,即F到B、D和距离相等,F在线段BD的垂直平分在线,从而也在等腰三角形CBD的顶角平分在线,CF是∠ECD的平分线.

由于F是△CDE上两条角平分线的交点,因而就是△CDE的内心.

证法2:同证法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得

∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分线.

本来,点E的信息很少,证EF为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了,因而证法2并不比证法1复杂.

由这个证明可知,F是△DCB的外心.

证法4:如图8,只证CF为∠DCE的平分线.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2, ∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1

得∠1=∠2.

从而∠DCF=∠GCF,

27

得CF为∠DCE的平分线.

证法5:首先DF是∠CDE的平分线,故

△CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系,并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次函数 y=-x+d ①

的图像(图9).若记内心I的坐标为(x1,y1),则

x1+y1=CH+IH

=CH+HB=CB=d

满足①,即I在直线AB上,但I在DF上,故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性知I就是F,从而证得F为Rt△CDE的内心.

还可延长ED交⊙O于P1,而CP为直径来证.

二、讲解:此题的原型由笔者提供.题目是:

于第一象限内,纵坐标小于横坐标的格点.

这个题目的实质是解不等式

求正整数解.直接解,数字较繁.但有巧法,由

28

及1≤y<x,

知1+2+…+(x-1)<1995<1+2+…+x.

但1953=1+2+…+62<1995<1+2+…+62+63=2016,得x=63,从而y=21,所求的格点为(21,63).

经过命题组的修改之后,数据更整齐且便于直接计算.

有x2-x+18≤10|x|.

当x≥0时,有x2-11x+18≤0,

得2≤x≤9,代入二次函数,得合乎条件的4个整点:(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x<0时,有

x2+9x+18≤0,

得-6≤x≤-3,代入二次函数,得合乎条件的2个整点:

(-6,6),(-3,3).

对x≥0,取x=2,4,7,9,12,14,…顺次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且当x>9时,由

对x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…顺次代入,得(-3,3)、(-6,6),且当x<-6时,由

29

知y>-x,再无满足y≤|x|的解.

故一共有6个整点,图示略.

解法3:先找满足条件y=|x|的整点,即分别解方程

x2-11x+18=0 ①

x2+9x+18=0 ②

可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).

再找满足y<|x|的整点,这时

2<x<9或-6<x<-3,

依次检验得(4,3)、(7,6).故共有6个整点.

三、讲解:直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,…,n-2中,必有一个数A与n互质(2≤A≤n-2),记

B=n-A≥2,

有n=A+B.

此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>1,则d也是n的约数,从而A与n有大于1的公约数,与A、n互质矛盾.

但是,对于初中生来说,这个A的存在性有点抽象,下面分情况,把它具体找出来.

(1)当n为奇数时,有

n=2+(n-2),

30

(2)当n为偶数,但不是4的倍数时,有

(3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有

31

1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定

A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在

3.如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BC∥OA,链接AC,则阴影部分的面积等于 [ ]

4.设x1、x2是二次方程x2+x?3=0的两个根,那么x13?4x22+19的值等于

[ ]

A.?4 B.8 C.6 D.0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的 [ ]

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个

32

数有 [ ]

A.4个 B.8个 C.12个 D.24个

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,则点N到边BC的距离等于______.

3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且

4.如图,将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位置,则这两个正方形重迭部分的面积是______.

第二试

33

一、(本题满分20分)

某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数.

二、(本题满分25分)

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的并行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF=∠OEP.

三、(本题满分25分)

已知a、b、c都是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B,若

A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

34

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.B 2.A 3.B

4.D 5.A 6.C

二、填空题

第二试

一、

解 据题意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得

综上可知,每人捐款数为25元或47元.

二、

作AD、BO的延长线相交于G,∵OE 而

35 ,

三、

解 据题意,方程ax2+bx+c=0有两个相异根,都在(?1,0)中,故

经检验,符合题意,∴a+b+c=11最小.

36

37

一九九七年

第一试

一.选择题

本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.

1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

(3)a2的平方根是?a;

(4)大于直角的角一定是钝角.

(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.

答( ) 2.已知4

?2?x?4

5?,那么满足上述不等式的整数x的个数是

答( )

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.

答( )

38

3.若实数a,b,c满足a2?b2?c2?9,代数式(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值是

(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.

答( )

4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( )

5.在梯形ABCD中,AD?DC,?B?300,?C?600,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为

1(A)4 (B)4 (C)5; (D)6. 答( ) 2

6.如图,已知?A??B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1,AA1?17,PP1?16,BB1?20,A1B1?12,则AP+PB等于

39

(A)12; (B)13; (C)14; (D)15. 答( )

二、填空题

1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .

2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是

.

3.若a,b满足3a?5b?7,则S?22?3b的取值范围是 .

4.若正整数x, y满足x2?y2?1997,则x?y等于___________.

第二试

一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其

证:BC?BD,且BC=BD.

二.已知a,b为整数,且a?b,方程 延长线上取一点D, 使得PD=PC,试

3x2?3(a?b)x?4ab?0

的两个根?,?满足关系式

40

?(??1)??(??1)?(??1)(??1)

试求所有的整数点对(a,b).

三.已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a?5b?c,则a?b?c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

1998年全国数学联赛试卷

一、选择题:(每小题6分,共30分)

1、已知a、b、c都是实数,并且a?b?c,那么下列式子中正确的是( )

(A)ab?bc(B)a?b?b?c(C)a?b?b?c(D)ab? cc

2、如果方程x2?px?1?0?p?0?的两根之差是1,那么p的值为( ) (A)2(B)4(C)(D)5

3、在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( )

(A)12(B)14(C)16(D)18

4、已知abc?0,并且a?bb?cc?a???p,那么直线y?px?p一定通过第( )象限 cab

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

?9x?a?05、如果不等式组?的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a、8x?b?0?

b)共有( )

(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个

二、填空题:(每小题6分,共30分)

6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。

41

7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x2相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax?3a?8ax?2a?13a?15?0(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么22?2?2

a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处,两船相距102km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题:(每小题20分,共60分)

11、如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=900,

点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积。

12、设抛物线y?x2??2a?1?x?2a?A点E为腰AC中BFC5的图像与x轴4只有一个交点,

(1)求a的值;(2)求a18?323a?6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支持给D市18台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

(1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数关

42

系式,并求W的最大值和最小值。

(2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。

1998年全国初中数学联赛参考答案

一、选择题

1.B

根据不等式性质.

2.D

由△=p2-4>0及p>2,设x1,x2为方程

的两根,那么有x1+x2=-p,x1x2=l.又由

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,

得l2=(-p)2-4.∴p2=5,

3.C

如图连ED,

又∵DE是△ABC两边中点联机.

43

故选C.

4.B

2(a+b+c)=p(a+b+c).

∴有p=2或a+b+c=0.

当p=2时,y=2x+2.则直线通过第一、二、三象限. 当a+b+c=0时,不妨取a+b=-c,于是

∴y=-x-1,则直线通过第二、三、四象限.

综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限,故选B.

5.C

在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间,如下图

44 得

∴a=1,2,3…9,共9个.

∴b=3×8+1,3×8+2,3×8+3,…,

3×8+8.共8个.

∵9×8=72(个),故选C.

二、填空题

6.解 如图,过A作AG⊥BD于G,

∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”.

∴PE+PF=AG.

∵AD=12,AB=5,

∴BD=13.

7.解 如图,直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1,1),B(-3,9),作AA1,BB1分别垂直于x轴,垂足为A1,B1

45

∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O

8.解 如图,当圆环为3个时,链长为3a+

故a可取1,3或5.

10.解 如图,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1,B1,设AA1=x,于是BB1=2x.

∴A1C=|10-x|,B1

C=|10-2x|.

46

三、解答题

11.解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D,

∵∠ABE+∠AEB=90°,

∠CED+∠AEB=90°,

∴∠ABE=∠CED.

于是Rt△ABE∽△CED,

又∠ECF=∠DCF=45°,所以,CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等.

解法2

作FH⊥CE于H,设FH=h.

47

∵∠ABE+∠AEB=90°,

∠FEH+∠AEB=90°,

∴∠ABE=∠FEH.

∴Rt△EHF∽Rt△BAE.

即EH=2h,

又∵HC=FH,

12.解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程

(2)由(1)知,a2=a+1,反复利用此式可得

a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2,

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13,

a16=(21a+13)2=441a2+546a+169

=987a+610.

a18=(987a+610)(a+1)=987a2

+1597a+610=2584a+1597.

48

∵a2-a-1=0,∴64a2-64a-65=-1,

即 (8a+5)(8a-13)=-1.

∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.

13.解(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10.于是

W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x+17200.

∴5≤x≤9.

∴W=-800x+17200(5≤x≤9,x是整数)

由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元;当x=5时,W取到最大值13200元.

(2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别是10-x,10-y,x+y-10,于是

W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y-17200

49

∴W=-500x-300y+17200,

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18+17200=9800.

当x=10,y=8时,W=9800.所以,W的最小值为9800. 又W=-200x-300(x+y)+17200

≤-200×0-300×10+17200=14200.

当x=0,y=10时,W=14200,所以,W的最大值为14200.

50

1999年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试 (4月4日上午8:30--9:30)

考生注意:本试两大题共10道小题,每题7分。全卷满分70分。

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。

1、计算的值是( )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( )。 (A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

51

3、设

有一组,将一次函数与的图像画在同一平面直角坐标系内,则的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )。

4、若函数

100这100个自然数时,函数值的和是( )。

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 ,则当自变量取1、2、3、…、

5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。

6、有下列三个命题:(甲)若是不相等的无理数,则是无理数;(乙)若是不相等的无理数,则是无理数;(丙)若是不相等的无理数,则

是无理数。其中正确命题的个数是( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

52

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

本题共有4道小题,要求直接把答案写在横在线。

1、已知且,则=________。

2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于________。

3、已知为整数,且满足,则=________。

4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=________。

=============== =============== ===============

第二试 (4月4日上午

10:00--11:30)

53

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分。

一、(本题满分20分)

某班参加一次智力竞赛,共

分,题、题三题,每题或者得满分或者得0分。其中题满分20满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1

的人数与答对题

的人数与答对题的人数之和为29,答对题的人,答对其中两道题的有15人,答对题人数与答对题的人数之和为25,答对题的人数之和为20,问这个班

的平均成绩是多少分?

二、(本题满分25分)

如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。

三、(本题满分25分)

已知为整数,方程的两根都大于-1且小于0,求和的值。

=============== =============== ===============

第一试参考答案

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0

分。

54

1、计算的值是( D )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

解:原式=。

2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( C )。

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

解:∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°,已知周长是24,则AC+BC=14,AC2+BC2=102。

2∴2AC×BC=(AC+BC)-(AC2+BC2)=142-102=4×24。∴。

3、设

有一组,将一次函数与的图像画在同一平面直角坐标系内,则的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( B )。

解:由方程组的解知两直线的交点为,而图A中交点横坐标是负数,

,小于的故图A不对;图C中交点横坐标是2≠1,故图C不对;图D中交点纵坐标是大于

数,不等于,故图D不对;故选B。

4、若函数

100这100个自然数时,函数值的和是( B )。

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 ,则当自变量取1、2、3、…、

55

解:当

。∴当自变量时,取2、3、…、98时,函数值都为

,故所求的和为:

。 0。而当取1、99、100时,

5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( C )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。

解:AD的中点M对BC张成90°角,又在AD上取点N使AN=998,则ND=1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC=90°,注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点,可知所求点的个数为2。

6、有下列三个命题:(甲)若是不相等的无理数,则是无理数;(乙)若

是不相等的无理数,则是无理数;(丙)若是不相等的无理数,则

是无理数。其中正确命题的个数是( A )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

解:

,则,只要令为有理数,故(甲)不对;又若令,

,,

56

则为有理数,故(乙)不对;又若令,则为有理数,故(丙)不对;故正确命题个数是0,应选(A)。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

本题共有4道小题,要求直接把答案写在横在线。

1、已知

解:且,即

,,则= 2 。 ,,

,,。

2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于 44° 。

解:∵∠B=36°,∠ACB=128°,AM为∠CAB的平分线,∴∠CAM=∠MAB=

,∵∠AMC=44°。又AN为切线,∴∠NAC=∠B=36°,∠NAM

=44°,∴∠N=180°-44°-44°=92°,∴△ANM的最小角为44°。

3、已知

为整数,且满足,则= 3

。 57

解:左边=,即,,而为整数,且不相等,

只可能取值或。不妨设,则,或

,∵(2)无整数解,由(1)得,。

4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=。

解:延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB,∴

,即

BM=,BT=。令DN=1,CT=MD=,代入(1)式得,则AM=,,注意到,解得。

=============== =============== ===============

第二试参考答案

一、(本题满分20

分)

58

某班参加一次智力竞赛,共

分,题、题三题,每题或者得满分或者得0分。其中题满分20满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1

的人数与答对题

的人数与答对题的人数之和为29,答对题的人,答对其中两道题的有15人,答对题人数与答对题的人数之和为25,答对题的人数之和为20,问这个班

的平均成绩是多少分?

解:设分别表示答对题、题、题的人数,则有,

,,∴答对一题的人数为37-1×3-2×15=4,全班人

数为1+4+15=20,∴平均成绩为

答:班平均成绩为42分。

二、(本题满分25分) 。

如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。

ED。由切割线定理有:AG2

=AF·AC, 证:作DE⊥AC于E,则AC=AE,AG=

59

∴ED2=AF·AE,∴5ED2=AF·AE,∴AB·ED=AF·AE,∴,∴△BAF∽△AED,∴∠ABF=∠EAD,而∠EAD+∠DAB=90°,∴∠ABF+∠DAB=90°,∴AD⊥BF。

三、(本题满分25分)

已知为整数,方程的两根都大于-1且小于0,求

的图像和题设条件知:当

,∴…①;当时,时,,∴…和的值。 解:根据函数

②。抛物线顶点的横坐标

满足,∴且且且且,∴…④,由①、③、④得,得,无整数解; ; …③。 ,,即,则由②、④得,则,则,则,无整数解; ,无整数解;故所求的值为

2000年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试(4月2日上午8:30----9:30)

一、选择题(本题满分42分,每小题7

分)

60

1、计算

(A)1;(B);(C)的值是( )。 ;(D)5。

2、若,则的值是( )。

(A);(B);(C)5;(D)6。

3、设是不相等的任意正数,又,则这两个数一定( )。

(A)都不大于2;(B)都不小于2;(C)至少有1个大于2;(D)至少有1个小于2。

4、正整数小于100,并满足等式

有( )。 ,其中表示不超过的最大整数,这样的正整数

(A)2个;(B)3个;(C)12个;(D)16个。

5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积等于( )。

(A)4;(B)6;(C);(D)。

6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于P且BP=8,∠APD=60°,则R等于( )。

(A)10;(B);(C);(D)14。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、

则是正数,并且抛物线的最小值是________。 和都与轴有公共点,

2、某果品店组合销售水果,甲种搭配:2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配:3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果;丙种搭配:2千克A水果,6千克B水果,l千克C

水果。

61

A水果价格每千克2元,B水果价格每千克1.2元,C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元,其中A水果的销售额为116元,则C水果的销售额为________元。

3、实数满足和,则________。

4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是边BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为和,则________。

第二试(4月2日上午10:30----11:30)

一、(本题满分20分)

设是实数,二次函数

(1)求证:

(2)若间的距离不超过; ,求的最大值。 的图像与轴有两个不同的交点

二、(本题满分25分)

EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=,FH=,四边形EFGH的面积为。

(1)求证:

(2)试用; 表示正方形ABCD的面积。

三、(本题满分25

分)

62

设关于的二次方程 的两根都是整数,求满足条件的所有实数的值。

=============== =============== ===============

第一试试题答案

一、1、(C);2、(A);3、(C);4、(D);5、(D);6、(B)。

二、1、20;2、150;3、4;4、。

第二试部分试题答案

三、。

2001年全国初中数学联赛

一、选择题(每小题7分,共42分)

1、a,b,c为有理数,且等式a?b?c?5?2成立,则2a+999b+1001c的值是(

(A) 1999(B)2000(C)2001(D)不能确定

2、若ab?1,且有5a2+2001a+9=0及9b2?2001b?5?0,则a

b的值是( )

(A)9

5(B)5

9(C)?2001

5(D)?2001

9

3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为( ) (A)2?(B)2?(C)0?3(D)?

) 63

4、如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是( )

(A)AD?BC?AB?BD (B)AB2?AD?AC

(C)∠ABD=∠ACB (D)AB?BC?AC?BD

?b?b2?4ac 5、①在实数范围内,一元二次方程ax?bx?c?0的根为x?;②在△ABC中,2a2

若AC2?BC2?AB2,则△ABC是锐角三角形;③在△ABC和?A1B1C1中,a,b,c分别为△ABC的三边,a1,b1,c1分别为?A1B1C1的三边,若a?a1,b?b1,c?c1,则△ABC的面积S大于?A1B1C1的面积S1。以上三个命题中,假命题的个数是( )

(A)0(B)1(C)2(D)3

6、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( )

(A)522.8元(B)510.4元(C)560.4元(D)472.8

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为 。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 。

3、已知x,y是正整数,并且xy?x?y?23,x2y?xy2?120,则x2?y2= 。

4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数

64

为 。

三、解答题(共70分)

1、在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6);已知直线y?ax?b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求a,b的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。(20分)

(1) 证明:若x取任意整数时,二次函数y?ax2?bx?c总取整数值,那么2a,a?b,c都是整

数;

(2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。(25分)

3、如图,D,E是△ABC边BC上的两点,F是BC延长线上的一点,∠DAE=∠CAF。(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;(2)若△ABD的外接圆的半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长。

解答题:

1、 如图,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐

角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k,FH=l,四边形EFGH的面积为S。 ADECAEHDGCBF

65

(1)求证:sinθ=2S; kl

(2)试用k,l,S来表示正方形的面积。

2、 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2?3ax?2b?0,x2?3bx?2c?0, x2?3cx?2a?0的所有的根都是正整数。

3、在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足。O为△ABC的外心。

求证:(1)△AEF∽△ABC;

(2)AO⊥EF

4、如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,直线l平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。

求证:PM?PN=PR?PS

66

67

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

(2002年4月21日8:30—10:30)

一、选择题(本题42分,每小题7分)

1、已知a=2-1,b=22-,c=6-2,那么a,b,c的大小关系是( )

(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b

2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为( )

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图像如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( )

(A)M>0 (B)M=0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90o,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB于E,连CE交

AD于F,则△AFE的面积为( )

(A)18 (B)20 (C)22 (D)24

5、圆O1与O2圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平

68

行,则圆O1与圆O2的半径之比为( )

(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:3

6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那

么k的最小值为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、已知a<0,ab<0,化简,1? . |a?b?2|?|b?a?3|

2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两

人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件。

4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有 对。

69

三、(本题满分70分)

1、(本题满分20分)

a?b?8?已知:a ,b,c三数满足方程组?,试求方程bx2+cx-a=0的根。 2?ab?c?83c?48

2、(本题满分25分)

如图,等腰三角形ABC中,P为底边BC上任意点,过P作两腰的并行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,又P`的对称点,证明:P'在△ABC的外接圆上。

3、(本题满分25分)

试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC

70

A B P C

二、1、3? 2、2(??6)r 3、12 4、27 15

三、1、由方程组得:a、b是方程x2-8x+c2-82c+48=0的两根

△=-4(c-82)2≥0,c=42 a=b=4

所以原方程为 x2+2x-1=0

x1=?2?6?2?6,x2= 22

2、连结BP'、P'R、P'C、P'P

(1)证四边形APPQ为平行四边形

(2)证点A、R、Q、P'共圆

(3)证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形

(4)证∠P'BA=∠ACP',原题得证

1,原方程无整数根 2

r?2r?1 (2)当r≠0时,x1+x2=? x1x2= rr3、(1)若r=0,x=

消去r得:4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7

由x1、x2是整数得:r=?1,r=1 3

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试(4月13日上午8:30—9:30)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

C.5

D.1

A.5? B.1

2.在凸10

边形的所有内角中,锐角的个数最多是

A.0

B.1

C.3 D.5

3.若函数y?kx?k?0?与函数y?1

的图像相交于

2A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为

的正整数对?x,y?的个数是

71 A.1 B.2 C.k D.k 4.满足等式?2003

A.1 B.2 C.3 D.4

5.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且

3CE的面积为4,则EA

1A. AD?1.若在边AC上取一点E,使四边形DECB的值为 D.1

B.1

C.1

6.如图,在□ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为 D C

A.3 B.4 C.

1.抛物线154 D.165 二、填空题(本题满分28分,每小题7分) y?ax2?bx?c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,则

3?9

5而小于7,则ac=__________. 2.设m是整数,且方程3x2?mx?2?0的两根都大于m=____________.

的度数为_____________.

3.如图,AA',BB'分别是∠EAB,∠DBC的平分线.若

AA'?BB'?AB,则∠BAC

4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_________.

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试(A)(4月13日上午10:00—11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分.

一、(本题满分20分)

试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.

二、(本题满分25分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.设线段PA,PB的中点分别为M,N.

求证:⑴△DEM≌△DFN;⑵∠PAE=∠PBF.

72

三、(本题满分25分)

已知实数a,b,c,d互不相等,且a?1?b?1?c?1?d?1?x,试求x的值.

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试(B)(4月13日上午10:00—11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分.

一、(本题满分20分)

试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.

二、(本题满分25分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.求证:∠PAE=∠PBF.

三、(本题满分25分)

已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16.

⑴这样的四边形有几个?

⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试(C)

(4月13日上午10:00—11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分.

一、(本题满分20分)

已知实数a,b,c,d互不相等,且

二、(本题满分25分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长AC,BC到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作AC,a?1?b?1?c?1?d?1?x,试求x的值. BC的垂线,相交于P.求证:∠PAE=∠PBF.

三、(本题满分25分)

已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16.

⑴这样的四边形有几个?

⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.

73

2004年全国初中数学联合数学竞赛试题

第一试

一.选择题

a2b2c2

1.已知abc≠0,且a+b+c=0, 则代数式??的值是( ) bccaab

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

2.已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是( )

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形

3. 一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等,则a的值等于( )

b

(A) ?1

(B) 21

(C) 22

(D) 2?2 2

4.过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作( )

(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条

74

5.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为( ) (A) ab?1111 (B) ab? (C) ab? (D) ab? 8844

6.如图,在2×3矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( )

(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50

DA

B

二.填空题

1.计算? . 2.如图ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,则BN= . NC

3.实数a,b满足a3+b3+3ab=1,,则a+b= .

4.设m是不能表示为三个合数之和的最大整数,则m= .

第二试

一. 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值。

二.(A) 已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,EP⊥l于P,FQ⊥l于Q。

求证:EP=FQ

75

G

二.(B) 已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M。

求证:M为EF的中点。

GG

二. (C)已知如图,梯形

ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF, 连接EF,设线段EF的中点为M。

求证:MA=MD。

三. 已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y=x2上位于三角形ABC内(包括边界)的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F。将

参考答案:

一试 一.ABBCBD 二.1. ?1 2. BF表示为自变量t的函数。 CE1 3.1或-2 4.17 2

t2?2t?5二试 一. -18,-8,0,10 二.(略)三.2(?

1?t?1) t?2t?5

76

2005年全国初中数学联赛初赛试卷

3月25日下午2:30-4:30或3月26日上午9:00-11:30

学校___________ 考生姓名___________ 题 号 得 分 评卷人 复核人

合 计

一、选择题(每小题7分,共计42分)

1、若a、b为实数,则下列命题中正确的是( )

(A)a>b?a2>b2

(B)a≠b?a2≠b2 (C)|a|>b?a2>b2 (D)a>|b|?a2

>b2

2、已知:a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是( )

(A) 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·22005

3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为正六边形,(如图),如果缝制

77

好的这种足球黑皮有12块,则白皮有( )块。

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

4、在Rt△ABC中,斜边AB=5,而直角边BC、AC之长是一元二次方程x-(2m-1)x+4(m-1)=0的两根,则m的值是( )

(A)4 (B)-1 (C)4或-1 (D)-4或1

5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时,k的值可以取( )

(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个

6、如图,直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴,则有( )

(A)a+b+c=0 (B)b>a+c (C)c>2b (D)abc<0

二、填空题 (每小题7分,共计28分) 2

x2?11、已知:x为非零实数,且x?x = a, 则 =_____________。 x?1212

2、已知a为实数,且使关于x的二次方程x+ax+a = 0有实根,则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC于Q,则 则∠PQC = _________.

4、对于一个自然数n,如果能找到自然数a和b,使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如: 3=1+1+1×1,则3是一个“好数”,在1~20这20个自然数中,“好数”共有__________个。

三、(本题满分20分)设A、B是抛物线y=2x+4x-2上的点,原点位于线段AB的中点处。

试求A、B两点的坐标。

78

222

四、(本题满分25分)如图,AB是⊙o的直径,AB=d,过A作⊙o的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC叫⊙o于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长。

A O E 79

五、(本题满分25分)设x = a+b-c ,y = a+c-b ,z = b+c-a ,其中a、b、c是待定的质数,如果x = y ,2

= 2,试求积abc的所有可能的值。

80

2005年全国初中数学联赛初赛试题参考解答及评分标准

一、选择题(每小题7分,共计42分)

1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C

二、填空题 (每小题7分,共计28分)

1、 a2-2 2、

2 3、 45° 4、 12

三、解:∵原点是线段AB的中点?点A和点B关于原点对称

设点A的坐标为(a,b),则点B的坐标为(―a,―b)………………………………5分

又 A、B是抛物在线的点,分别将它们的坐标代入抛物线解析式,得: b = 2a2+4a-2

……………………………………………………………………10分 -b = 2a2-4a-2

解之得: a = 1 , b = 4 或者a = -1 ,b = -4……………………………………………………15分

故 A为(1,4),B为(-1,-4) 或者 A(-1,-4),B(1,4).………………………20分 四、解:如图连结AD,则∠1=∠2=∠3=∠4 ∴ΔCDE∽ΔCAD ∴T?1

2?T?1CD

2DE?CA

AD ① ………………5分 又∵ΔADE∽ΔBDA

∴AE

DE?AB

AD ② ………………10分

由①、②及AB=AC,可得AE=CD …………15分

81

CDCE又由ΔCDE∽ΔCAD可得CA?CD,即AE2=CD2=CE?CA …………20分

设AE=x,则CE=d-x ,于是 x2=d(d-x)

即有

AE = x =?1

2d (负值已舍去) …………………………25分

五、解:∵a+b-c=x, a+c-b=y, b + c-a =z ,

∴a=1

2(x?y), b=1

2(x?z), c=1

2(y?z) …………………5分

又∵ y=x2 , 故 a=12

2(x?x)---(1); b=1

2(x?z)-----(2) c=1

2(x2?z)----(3)

x=?1?2 ---------------(4)

∵x是整数,得1+8a=T2,其中T是正奇数。 ………………10分 于是,2a=T?1T?1T?1

2?2 ,其中a是质数,故有T?1

2=2,2=a

∴T=5 ,a=3 ……………………15分 将a=3代入(4) 得 x=2或-3.

当x=2时,y=x2=4,

z=16 ,

代入(2)、(3)可得b=9 ,c=10,

与b、c是质数矛盾,当舍去。 ……………………………………20分 当x=-3时

,y=9 . ∴z=25

代入(2)、(3)可得 b=11,c=17

∴abc=3×11×17=561 ………………………………………25分 82

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

(2002年4月21日8:30—10:30)

一、选择题(本题42分,每小题7分)

1、已知a=2-1,b=22-,c=6-2,那么a,b,c的大小关系是( )

(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b

2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为( )

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图像如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( )

(A)M>0 (B)M=0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90o,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB于E,连CE交

AD于F,则△AFE的面积为( )

(A)18 (B)20 (C)22 (D)24

5、圆O1与O2圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平

行,则圆O1与圆O2的半径之比为( )

(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:3

6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那

么k的最小值为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

83

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、已知a<0,ab<0,化简,1? . |a?b?2|?|b?a?3|

2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两

人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件。

4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有

对。

三、(本题满分70分)

1、(本题满分20分)

a?b?8?已知:a ,b,c三数满足方程组?,试求方程bx2+cx-a=0的根。 2?ab?c?83c?48

2、(本题满分25分)

如图,等腰三角形ABC中,P为底边BC上任意点,过P作两腰的并行线分别与AB,AC相交于

Q,R

84

两点,又P`的对称点,证明:P'在△ABC的外接圆上。

P C

3、(本题满分25分)

试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC 二、1、3?15 2、2(??6)r 3、12

4、27

85

三、1、由方程组得:a、b是方程x2-8x+c2-82c+48=0的两根

△=-4(c-82)2≥0,c=42 a=b=4

所以原方程为 x2+2x-1=0

x1=?2?6?2

2,x2=?6

2

2、连结BP'、P'R、P'C、P'P

(1)证四边形APPQ为平行四边形

(2)证点A、R、Q、P'共圆

(3)证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形

(4)证∠P'BA=∠ACP',原题得证

3、(1)若r=0,x=1

2,原方程无整数根

(2)当r≠0时,xr?2r?11+x2=?r x1x2=r

消去r得:4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7

由x11、x2是整数得:r=?3,r=1

2003年“TRULY○R信利杯”全国初中数学竞赛试题及答案 题 号 一 二 三

1~5 6~10 11 12 13 14 总 分

得 分 评卷人 复查人 答题时注意:(1)用圆珠笔或钢笔作答(2)解答书写时不要超过装订线

(3)草稿纸不上交

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题

均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确

的,请将正确结论的代号填入题后的括号里,不填、多填或错

86

填得零分)

1、若4x―3y―6z=0,x―2y―7z=0,(xyz≠0),则代数式

A ―1 B ―

5x2?2y2?z2

的值等于( )

2x2?3y2?10z2

19

C ―15 D ―13 2

A

G

F

2、在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.8元,超过 20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增 加邮费0.80元(信的质量在100g以内),如果某人所寄一封信的 C 质量为72.5g,那么他应付邮费( )

A 2.4元 B 2.8元 C 3元 D 3.2元 3、如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ) 4、四条线段的长分别为9,5,x,1(其中x为正实数),用它们 C 拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如图), 则x可取值的个数为( )

A 2个 B 3个 C 4个 D 5个

A

A 360° B 450° C 540° D 720°

E

B

5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( )

A 1种 B 2种 C 4种 D 0种 二、填空题(共5个小题,每小题6分,满分30分)

111

= 。 ?2?

x?2x?4x?2

1117

7、若实数x,y,z满足x+=4,y+=1,z+=,则xyz的值为 。

yzx3

得 分 评卷人

6、已知x=1―,那么

8、观察下列图形:

① ② ③ ④

根据图①、②、③的规律,图④中的三角形的个数为 。 9、如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好 照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45°, ∠A=60°,CD=4m,BC=(46―22)m,则电线杆AB的长为

87

m。

10、已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图像经过点A(―1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为 。

三、解答题(共4小题,每小题15分,满分60分)

11、如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,

OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,

与DE交于点P,问EP与PD是否相等?证明你的结论。

12、某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时),若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

D E C B O A H F G

88

得 分 评卷人

13、如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k―2)x+k=0(k是整数的最大整数根),P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B、C是直线PBC与⊙O的交点,若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA2+PB2+PC2的值

14、沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足不等式(a―d)(b―c)>0,那么就可以交换b、c的位置,这称为一次操作。

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a―d)(b―c)≤0?请说明理由。

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a―d)(b―c)≤0?请说明理由。

3 2 89

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题(每小题6分,满分30分)

1.D

由??4x?3y?6z?0,?x?3z,

?x?2y?7z?0, 解得??y?2z. 代入即得.

2.D

因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元). 3.C

如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°, 而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

A

G

B A

D

C M F

N C O

D E B

90

4.D

显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x。

(1)若AB=9,当CD=x时,92?x2?(1?5)2,x?3;

当CD=5时,92?52?(x?1)2,x?2?1;

当CD=1时,92?12?(x?5)2,x?45?5.

(2)若AB=x,当CD=9时,x2?92?(1?5)2,x?3;

当CD=5时,x2?52?(1?9)2,x?5;

当CD=1时,x2?12?(5?9)2,x?.

故x可取值的个数为6个.

5.B

设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,…,k+(n-1),由题意可知kn?n(n?1)?100,即n?2k??n?1???200. 2

因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同. 将200分解质因子,可知n=5或n=8. 当n=5时,k=18;当n=8时,k=9. 共有两种不同方案. 6.?. 2

?3111?41?3?2??2?2?2=??。 2x?2x?4x?2x?4x?4x?4(1?)?42

7.1. 71?11z7x?3因为4?x??x??x??x??x?, 171yz?14x?31???1z3x

所以 4(4x

?3)?x(4x?3)?7x?3,

91

解得 x?3

2. 从而 z?7

3?1

x?7

3?25132

3?3,y?1?z?1?5?5. 于是 xyz?3

2?2

5?5

3?1.

8.161.

根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161(个). 9.62. 如图,延长AD交地面于E,过D作

于F.

因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,CF=DF=22m, EF=DFtan60°=2因为AB?tan30??,所以AB

?BE?3?62BE33

10.-4.

由于二次函数的图像过点A(-1,4),点B(2,1),所以??a?b?c?4,

a?2b?c?1,

?4

解得 ??b??a?1,

?c?3?2a.

因为二次函数图像与x轴有两个不同的交点,所以??b2?4ac?0, (?a?1)2?4a(3?2a)?0,即(9a?1)(a?1)?0,由于a是正整数,故a?1, 所以a≥2. 又因为b+c=-3a+2≤-4,且当a=2,b=-3,c=-1时,满足 题意,故b+c的最大值为-4.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

DF⊥CE所以(m). 92

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC 切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB

是⊙O的于点E,相等?

连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否

证明你的结论.

解:DP=PE. 证明如下:

因为AB是⊙O的直径,BC是切线, 所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC,得

EPAE

? . ① ……(6

BCAB

又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC. 故

EDAEAE2AE

② ……(12分) ???

BCOB1AB

AB2

由①,②得 ED=2EP.

所以 DP=PE. ……(15分) 12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,经过的城市以及通过两城市之间所需的小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均元. 试指出此人从A城出发到B城的最有推理过程),并求出所需费用最少为多

解:从A城出发到达B城的路线分类:

(1)从A城出发到达B城,经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时,从O

93

沿途可能

时间(单位:为80千米费用为1.2短路线(要少元? 成如下两

城到B城所需最短时间为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为26+22=48(小时). ……(5分)

(2)从A城出发到达B城,不经过O城. 这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至少为49小时. ……(10分)

综上,从A城到达B城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为:

A→F→O→E→B. ……(12分)

所需的费用最少为:

80×48×1.2=4608(元)…(14分)

答:此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B,所需的费用最少为4608元 ……(15分)

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.

CD2?BD2AD?BD(1)当点D在斜边AB内部时,求证:?. 2BCAB

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小

题中的等式CE 是否存在?请说明理由.

解:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得

CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)

?CE?BE?(CE?BE)BC.

CD2?BD2CE?BECEBE所以 ???. 2BCBCBCBC

因为DE∥AC,所以 CEADBEBD?,?. BCABBCAB22B D A 94

故 CD2?BD2

BC2?ADAB?BD

AB?AD?BD

AB. ……(10分)

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0,CD=AC,BD=AB. CD2?BD2AC2?AB2?BC2

所以 BC2?BC2?BC2??1,

AD?BD

AB??AB

AB??1.

从而第(1)小题中的等式成立. ……(13分)

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立. 作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则

CD2?BD2CE2?BE2

BC2?BC2

CE?BE2 E

??BC??1?CE

BC,而AD?BD

AB??AB

AB??1, BCD2?BD2A D 所以 BC2?AD?BDAB. ……(15分)

〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清 者不扣分).

a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值; (2)求a?b?c的最小值.

解:(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0, 且b+c=2-a,bc?4

a.

于是b,c是一元二次方程x2?(2?a)x?4

a?0的两实根, 95 14B.已知实数

??(2?a)2?4?4≥0, a

a3?4a2?4a?16≥0,(a2?4)(a?4)≥0. 所以a≥4. ……(8分)

又当a=4,b=c=-1时,满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4. ……(10分)

(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

1)若a,b,c均大于0,则由(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2

矛盾.

2)若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则

a?b?c?a?b?c?a?(2?a)?2a?2,

由(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。故a?b?c的最小值为6. ……(15分)

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求 PA2?PB2?PC2的值.

解:设方程x2?2(k?2)x?k?0的两个根

为x1,x2,x1≤x2.由根与系数的关系得

x1?x2?4?2k, ①

x1x2?k. ②

P

由题设及①知,x1,x2都是整数. 从①,②消去k,得

2x1x2?x1?x2?4,

(2x1?1)(2x2?1)?9. 96

由上式知,x2?4,且当k=0时,x2?4,故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.

因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4. ……(6分) 连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,

PAPC?。 PBPA

故 PA2?PB(PB?BC) ③ ……(10分)

(1)当BC=1时,由③得,PA2?PB2?PB,于是

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(2)当BC=2时,由③得,PA2?PB2?2PB,于是

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(3)当BC=3时,由③得,PA2?PB2?3PB,于是

(PA?PB)(PA?PB)?3PB,

由于PB不是合数,结合PA?PB?PA?PB,故只可能

?PA?PB?1,??PA?PB?3PB,

?PA?2,解得 ?

?PB?1.

此时 PA2?PB2?PC2?21.

(4)当BC=4,由③得,PA2?PB2?4PB,于是

(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2,矛盾.

综上所述

PA2?PB2?PC2?21. ……(15分) ?PA?PB?3, ??PA?PB?PB,?PA?PB?PB, ??PA?PB?3,

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,

97

那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)答案是肯定的. 具体操作如下:

……(5分)

(2)答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……(7分)

开始时,P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1,经过k(k≥0)次操作后,这

98

2003个数的相邻两数乘积之和为Pk,此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1,有

Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0.

所以Pk?1?Pk??1,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有(a?d)(b?c)≤0. ……(15分)

2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1. 已知实数a?b,且满足(a?1)2?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1)2.则b

( ).

(A)23 (B)?23 (C)?2 (D)?13

答:选(B)

∵ a、b是关于x的方程 ba?a的值为ab

?x?1?2?3(x?1)?3?0

99

的两个根,整理此方程,得

x2?5x?1?0,

∵ ??25?4?0,

∴ a?b??5,ab?1.

故a、b均为负数. 因此 babaa2?b2

b?a??ab?ab??ababab2?a?b??2abab????23. ab

2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有 ( ).

(A)ab?h2 (B)

答:选(C)

∵ a?h?0,b?h?0,

∴ ab?h2,a2?b2?h2?h2?2h2;

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

111设斜边为c,则有a?b?c,(a?b)h?ch?ab,即有 222

111??, abh111111?? (C)2?2?2 (D)a2?b2?2h2 abhabh

因此,结论(B)也不正确. 由11111a2?b2h?ab化简整理后,得2?2?2, 22abh

因此结论(C)是正确的.

3.一条拋物线y?ax2?bx?c的顶点为(4,?11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负,

则a、b、c中为正数的( ).

(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b

答:选(A)

由顶点为(4,?11),拋物线交x轴于两点,知a>0.

100

设拋物线与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,即为方程

ax2?bx?c?0

的两个根.

由题设xc

1x2?0,知a?0,所以c?0.

根据对称轴x=4,即有?b

2a?0,知b<0.

故知结论(A)是正确的.

4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、

的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32,△CDE的面积

则△CFG的面积S等于

( ).

(A)6 (B)8

(C)10 (D)12

答:选(B) 由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以

CDS?CDE21

CA?S??,

?CAB324

又由题设知FD

FA?1

2,所以

FD

AD?1

3,

FD?11

3AD?3?3

4AC?1

4AC,

故FD?DC,于是

S2

?CDE

S???1???1,S?CFG?8.

?CFG?2?4

因此,结论(B)是正确的.

AB为2,101

5.如果x和y是非零实数,使得

x?y?3和xy?x3?0,

那么x+y等于( ).

(A)3 (B) (C)1?2 (D)4?

答:选(D) 将y?3?x代入xy?x3?0,得x3?x2?3x?0.

(1)当x>0时,x3?x2?3x?0,方程x2?x?3?0无实根;

(2)当x<0时,x3?x2?3x?0,得方程x2?x?3?0 解得x?1?2,正根舍去,从而x?1?2. 于是y?3?x?3?1?7?2?2. 故x?y?4?.

因此,结论(D)是在正确的.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,?BAD?60?,则?EDC? (度).

答:30°

解:设?CAD?2?,由AB=AC知

?B?1

2(180??60??2?)?60???,

?ADB?180???B?60??60???, 由AD=AE知,?ADE?90???,

所以?EDC

?180???ADE??ADB?30?.

102

7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有T?kmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三2d

个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电

次数为 次(用t

答:t 2

50?80k, 1602

话通话表示). 解:据题意,有t?∴k?32t. 5因此,B、C两个城市间每天的电话通话次数为

TBC?k?80?10032t5t???. 25642320

8.已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2,ax?by?5,则(a2?b2)xy?ab(x2?y2)? . 答:?5

解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4,

∵ ax?by?5,

∴ ay?bx??1.

因而,(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?(ay?bx)(ax?by)??5.

9. 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC (BC>AD),

?D?90?,BC=CD=12, ?ABE?45?,若AE=10,

长为 .

答:4或6

则CE的

解:延长DA至M,使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM,

足.易

知四边形BCDG为

正方形,

所以BC=BG.

又G为垂?CBE??GBM,

103

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE,?ABE??ABM?45?,

∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.

设CE=x,则AG=10?x,AD=12?(10?x)?2?x,DE=12?x.

在Rt△ADE中,AE2?AD2?DE2,

∴ 100?(x?2)2?(12?x)2,

即x2?10x?24?0,

解之,得x1?4,x2?6. 故CE的长为4或6.

10.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是 . 答:13 3

解:∵ x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z2?5z?3,

∴ x、y是关于t的一元二次方程

t2?(5?z)t?z2?5z?3?0

的两实根.

∵ ??(5?z)2?4(z2?5z?3)?0,即

3z2?10z?13?0,(3z?13)(z?1)?0. 13113,当x?y?时,z?. 333

13故z的最大值为. 3∴ z?

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图像如图所示(y越大表示学生注

104

意力越集中). 当0?x?10时,图像是拋物线的一部分,当10?x?20和20?x?40时,图像是线段.

(1)当0?x?10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36.

解:(1)当0?x?10时,设拋物线的函数关

为y?ax2?bx?c,由于它的图像经过点(0,

(5,39),(10,48),所以

系式20),

?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?

124解得,a??,b?,c?20. 55所以

124y??x2?x?20,0?x?10. …………………(5分) 55

7(2)当20?x?40时,y??x?76. 5

124所以,当0?x?10时,令y=36,得36??x2?x?20, 55

解得x=4,x?20(舍去);

7当20?x?40时,令 y=36,得36??x?76,解得 5

2004x??28. ……………………(10分) 77

44因为28?4?24?24,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于36时,77

讲授完这道竞赛题. ……………………(15分)

12.已知a,b是实数,关于x,y

的方程组

105

?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b

有整数解(x,y),求a,b满足的关系式.

解:将y?ax?b代入y?x3?ax2?bx,消去a、b,得

y?x3?xy, ………………………(5分)

(x?1)y?x3.

若x+1=0,即x??1,则上式左边为0,右边为?1不可能. 所以x+1≠0,于是

x31y??x2?x?1?. x?1x?1

因为x、y都是整数,所以x?1??1,即x??2或x?0,进而y=8或y?0. 故

?x??2 ? 或 y?8??x?0 ………………………(10分) ?y?0?

?x??2当?时,代入y?ax?b得,2a?b?8?0;

?y?8

?x?0当?时,代入y?ax?b得,b?0. y?0?

综上所述,a、b满足关系式是2a?b?8?0,或者b?0,a是任意实数.

………………………(15分)

13.D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得?ADP??ACB,求PB的值. PD

解:连结AP,则?APB??ACB??ADP,

所以,△APB∽△ADP, …………………………(5分) ∴ABAP?, APAD

所以AP2?AB?AD?3AD2, ∴AP?AD,

106

所以PBAP??. ………………(15分) PDAD

14.已知a?0,b?0,c?0, 且2?4ac?b?2ac,求b2?4ac的最小值.

解:令y?ax2?bx?c,由a?0,b?0,c?0,

所以这个二次函数的图像是一条??b2?4ac?0,

下的拋物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0),

因为x1x2?

x??c?0,不妨设x1?x2,则x1?0?x2,a判别式开口向B(x2,0),对称轴b?0,于是 2a

?b?b2?4acb?b2?4acx1???c, ………………(5分) 2a2a

4ac?b2b?b2?4acb2?4ac所以?c???, …………………(10分) 4a2a2a

故b2?4ac?4,

当a??1,b=0,c=1时,等号成立.

所以,b2?4ac的最小值为4. ………………………(15分)

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题A

参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分)

107

1.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6. 将纸片折迭,使得AD

边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

答:A

解:由折迭过程知,DE=AD=6,?DAE??CEF?45?,所以△CEF是等腰直角三角形,且EC=8-6=2,所以,S?CEF?2.

故选A.

2. 若M?3x2?8xy?9y2?4x?6y?13(x,y是实数),则M的值一定是( )

(A)正数 (B)负数 (C)零 (D)整数

答:A

解:因为M?3x2?8xy?9y2?4x?6y?13?2?x?2y?2?(x?2)2?(y?3)2?0,

且x?2y,x?2,y?3这三个数不能同时为0,所以M > 0.

故选A.

3.已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1,B1,C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上,则?ABC等于(

108

(A)30? (B)45? (C)60? (D)90? 答:C

解:因为IA1?IB1?IC1?2r(r为△ABC的内切圆半径),

I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心.设IA1与BC的交点为D,所以点则 IB

=IA1=2ID,所以?IBD?30?.同理,?IBA?30?.于是,?ABC?60?.

故选C.

4.设A=48?(

( )

(A)18 (B)20 (C)24 (D)25 答:D

解:对于正整数n?3,有

11?11?????, 2n?44?n?2n?2?111????),则与A最接近的正整数是 32?442?41002?4

所以 A=48?(111???? 32?442?41002?4

1??11??111?? =48???1????????????? 4??298??56102??

111??1111 =12??1???????? 23499100101102??

111??1 =25-12??????. ?99100101102?

111?41?1因为 12??????<12?<,所以,与A最接近的正整数为25. 992?99100101102?

故选

D.

109

5.设a,b是正整数,且满足56?a?b?59,0.9<a<0.91,则b2?a2等于( ) b

(A)171 (B)177 (C)180 (D)182

答:B

解:由题设得

0.9b?b?59, 0.91b?b?56,

所以 29?b?32.

因此b=30,31.

当b=30时,由0.9b?a?0.91b,得27?a?28,这样的正整数a不存在.

当b=31时,由0.9b?a?0.91b,得27?a?29,所以a=28.

所以, b2?a2?177.

故选B.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6. 在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,则经过 秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大.

答:1515 59

解:设OA边上的高为h,则h?OB,所以

S?OAB?11OA?h?OA?OB, 22

当OA?OB时,等号成立.此时△OAB的面积最大.

设经过t秒时,OA与OB第一次垂直.又因为秒针1秒钟旋转6度,分针1秒钟旋

转0.1度,于是

?6?0.1?t?90,

110

解得 t?1515. 59

37.在直角坐标系中,拋物线y?x2?mx?m2(m>0)与x轴交于A,B两点,若A,B4

112两点到原点的距离分别为OA,OB,且满足??,则m的值等于 . OBOA3

答:2 3解:设方程x2?mx?m2?0的两根分别为x1,x2,且x1?x2,则有 4

3x1?x2??m?0,x1x2??m2?0. 4

112所以x1?0,x2?0,由 ??,可知OA?OB,又m>0,所以,拋物线的对称轴OBOA3

在y轴的左侧,于是 OA?x1??x1,OB?x2.所以

112??, x2x13

故 x1?x22?, x1x23?m2?. 33?m2

4

解得 m?2.

8.有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,2,3,…,J,Q,K的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下迭放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,……如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_ _.

答:第二副牌中的方块6

解:根据题意,如果扑克牌的张数为2,22,23,?,2n,那么依照上述操作方法,只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张.例如,手中只有64张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第64张牌.

111

现在,手中有108张牌,多出108-64=44(张),如果依照上述操作方法,先丢掉44张牌,那么此时手中恰有64张牌,而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层.这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原顺序的第88张牌.按照两副扑克牌的花色排列顺序, 88―54―2―26=6,所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6.

9.已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2.连结AD和BE,它们相交于点P.过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q,R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 .

答:400 1089

解:过点E作EF∥AD,且交边BC于点F,则

CFCE2??, FDEA5

55所以 FD??CD?. 5?27

因为PQ∥CA,所以

PQBPBD???EABEBF

140. 3344?57?28, 33于是 PQ?

因为PQ∥CA,PR∥CB,所以?QPR??ACB,因此△PQR∽△CAB,故

S?PQR

S?CAB400?PQ??20???. ?????1089?CA??33?

2222210.已知x1,x2,?,x40都是正整数,且x1?x2???x40?58,若x1?x2???x40的最

大值为A,最小值为B,则A+B的值等于 .

答:494

解:因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种,故x1?x2???x40的最小值和

最大值是存在的.

112

222

不妨设x1?x2???x40,若x1?1,则x1?x2??x1?1???x2?1?,且

?x1?1?2??x2?1?2?x1?x2?2?x2?x1??2?x1?x2. 2222

所以,当x1?1时,可以把x1逐步调整到1,这时,x1?x2???x40将增大;同样地,可以把x2,x3,…,x39逐步调整到1,这时x1?x2???x40将增大.于是,当x1,x2,?,x39均为1,x40?19时,x1?x2???x40取得最大值,即

2222A=1?1???1?19?400. ???????

39个222222222

若存在两个数xi,xj,使得xj?xi?2?1?i?j?40?,则

?xi?1?2??xj?1?2?xi?xj?2?xj?xi?1??xi?xj, 2222

这说明在x1,x2,?,x39,x40中,如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时,x1?x2???x40将减小.

所以,当x1?x2???x40取到最小时,x1,x2,?,x40中任意两个数的差都不大于1.于是当x1?x2???x22?1,x23?x24???x40?2时,x1?x2???x40取得最小值,即

222222B?1?1???1?2?2???2???????????????94.

22个18个222222222

故A?B?494.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11(A).8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离火车站15 km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟.这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60 km/h,人步行的平均速度是5 km/h. 试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.

113

解:【方案一】当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送到火车站,立即返回接步行的4个人到火车站.

设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为x km,根据题意,有

解得x?x15?15?x?, 56030.因此这8个人全部到火车站所需时间为 13

3030355?5?(15??60?(小时)?40(分钟)<42(分钟). 13135213

故此方案可行. ………………………15分

【方案二】当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人先下车步行,另一辆车将车内的4个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人,使得两批人员最后同时到达车站.

分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如

为无故障汽车人员下车地点,C为有故障汽车人员再

点.因此,设AC?DB?y,根据题意,有

y15?y?15?2y?, 560图所示,D次上车地

解得 y?2.因此这8个人同时到火车站所需时间为

215?237??(小时)?37(分钟)<42(分钟). 56060

故此方案也可行. ……………………15分

12(A).如图,半径不等的两圆相交于A,B两点,线段CD经过点A,且分别交两圆于C,D两点. 连结BC,BD,设P,Q,K分别是BC,BD,CD的中点,M,N分别是弧BC和弧BD的中点. 求证: (1)BPNQ?;

PMQB

114

(2)△KPM∽△NQK.

证明:(1) 因为M是弧BC的中点,P是BC

所以MP?BC,?BPM?90?,同理,?NQB?90?.

连结AB,则

?PBM?11?CAB?180???DAB 22

1=90???DAB=90???NBD 2的中点,??

=?QNB.

所以,

Rt△BPM∽Rt△NQB, ……………………5分

于是 BPNQ?. ① PMQB

……………………10分

1(2)因为KP∥BD,且KP=BD=BQ,所以四边形PBQK是平行四边形.于是BP=KQ,2

BQ=KP,由①,得

KQNQ?, PMKP

又 ?KPM??KPB?90???KQB?90???NQK,

所以

△KPM∽△NQK. ……………………15分

13(A).已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程

x2??8p?10q?x?5pq?0

至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).

解:由方程两根的和为8p?

10q可知,若方程有一个根为整数,则另一个根也是整数.由方

115

程两根的积为5pq,知方程的另一个根也是正整数.

设方程的两个正整数根分别为x1,x2?x1?x2?,由根与系数的关系得

x1?x2?8p?10q, ①

x1x2?5pq. ②

由②得,x1,x2有如下几种可能的情况:

?x?1,5,p,q,5p,5q, ?1 x?5pq,pq,5q,5p,q,p,?2

………………………5分

所以, x1?x2?5pq?1,pq?5,p?5q,q?5p,代入①.

当x1?x2?5pq?1时,5pq?1?8p?10q,而5pq?1?10p?8p?10q,故此时无解. 当x1?x2?pq?5时,pq?5?8p?10q,所以

?p?10??q?8???85,

因为p,q都是质数,只可能

?q?8??5,?1, ?p?10?17,85,?

所以(p,q)=(7,3).

当x1?x2?p?5q时,p?5q?8p?10q,所以,7p?15q,不可能.

当x1?x2?5p?q时,5p?q?8p?10q,所以,3p?11q,于是,

(p,q)=(11,3).

综上所述,满足条件的质数对(p,q)=(7,3),或(11,3).……15分

14(A).从1,2,…,205共205个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c(a?b?c),都有ab?c.

解:首先,1,14,15,…,205这193个数,满足题设条件.

116

事实上,设a,b,c(a?b?c)这三个数取自1,14,15,…,205.若a?1,则ab?b?c;若a?1,则ab?14?15?210?c.

………………………5分

另一方面,考虑如下12个数组:

(2,25,2×25),(3,24,3×24),…,(13,14,13×14),

上述这36个数互不相等,且其中最小的数为2,最大的数为13×14=182<205.

所以,每一个数组中的三个数不能全部都取出来.于是,如果取出来的数满足题设条件,那么取出来的数的个数不超过205-12=193(个).

综上所述,从1,2,…,205中,最多能取出193个数,满足题设条件.

…………………………15分

2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ).

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

答:C.

解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.

117

故选C.

2.已知m?1?2,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)?8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

答:C.

解:由已知可得 m2?2m?1,n2?2n?1.又

(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)?8,

所以 ?7?a??3?7??8,

解得 a??9.

故选C.

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在拋物线y?x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h?1 (B)h?1 (C)1?h?2 (D)h?2

答:B.

解:设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(c?a),则点B的坐标为(?a,a2),由勾股定理,得

AC2?(c?a)2?(c2?a2)2,

BC2?(c?a)2?(c2?a2)2,

AC2?BC2?AB2,

所以 (a2?c2)2?a2?c2.

由于a2?c2,所以a2?c2?1,故斜边AB上高h?a2?c2?1.

故选B.

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,

118

再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

答:B.

解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为

34×(62-2)×180°=34×60×180°,

其余多边形有(k+1)-34=k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33)×180°.所以

(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,

解得k≥2005.

当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了

58+33+33×58=2005(刀).

故选B.

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,DP交AC于点Q.若

119

QP?QO,则QC

QA的值为( ) (A)2?1 (B)23 (C)3?2 (D)3?2

(第5题图)

答:D.

解:如图,设⊙O的半径为r,QO?m,则QP?m,QC?r?m,QA?r?m. 在⊙O中,根据相交弦定理,得QA?QC?QP?QD. 即 (r?m)(r?m)?m?QD, r2?m2

所以 QD?m.

连结DO,由勾股定理,得QD2?DO2?QO2,

2

即 ???r2?m2?22

m???r?m, ??

解得m?3

3r. 所以, QC

QA?r?m

r?m??1

?1?3?2.

故选D.

120

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c?a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为 .

答:5013.

解:由a+b=2006,c?a=2005,得a+b+c=a+4011.

因为a+b=2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.

于是,a+b+c的最大值为5013. 7.如图,面积为a?c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则

答:?20. 3a?c的值等于 . b

解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则m2?

3m?xxABC,可得?

, mm24.由△ADG ∽ △121

解得x?(2?3)m.于是x2?(23?3)2m2?28?48,

由题意,a=28,b=3,c=48,所以a?c20??. b3

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.

答:104.

解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了46?400x?368x米.于是368(x?1)?800?400(x?1)?400, 50

且 (368x?800)?400x≤400,

所以,12.5≤x<13.5.

故x=13,此时t?400?13?104. 50

1??2?29???9.已知0?a?1,且满足?a????a??????a???18(?x?表示不超过x的最大30??30?30???

整数),则?10a?的值等于 .

答:6.

解:因为 0?a?12291??2?29????a????a??2,所以?a??,?a??,…,?a??等于30303030??30?30???0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以

1??2?11???a?=a?=…=a?=0, ??????30??30?30???

13?29??12???a?=a?=…=a???????=1, 303030??????

所以 0?a?11?1, 30

121≤a?<2. 30

122

故18≤30a<19,于是6≤10a<19,所以?10a??6. 3

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .

答:282500.

解:设原来电话号码的六位数为abcdef,则经过两次升位后电话号码的八位数为2a8bcdef. 根据题意,有81×abcdef=2a8bcdef.

记x?b?104?c?103?d?102?e?10?f,于是

81?a?105?81x?208?105?a?106?x,

解得x?1250?(208?71a).

因为0≤x≤105,所以0≤1250?(208?71a)<105, 故128208<a≤. 7171

因为a为整数,所以a=2.于是

x?1250?(208?71?2)?82500.

所以,小明家原来的电话号码为282500.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分) 11.已知x?b,a,b为互质的正整数,且a≤8,2?1?x?3?1. a

(1)试写出一个满足条件的x;

(2)求所有满足条件的x.

解:(1)x?1满足条件. ……………………5分 2

123

(2)因为x?b

a,a,b为互质的正整数,且a≤8,所以

2?1

?b

a??1,

?

1)a?b?1)a.

当a=1时,(2?1)?1?b?(?1)?1,这样的正整数b不存在. 当a=2时,(2?1)?2?b?(3?1)?2,故b=1,此时x?1

2.

当a=3时,(2?1)?3?b?(?1)?3,故b=2,此时x?2

3.

当a=4时,(2?1)?4?b?(3?1)?4,与a互质的正整数b不存在. 当a=5时, (2?1)?5?b?(3?1)?5,故b=3,此时x?3

5.

当a=6时, (2?1)?6?b?(3?1)?6,与a互质的正整数b不存在. 当a=7时, (2?1)?7?b?(3?1)?7,故b=3,4,5,此时x?3

7,45

7,7.

当a=8时, (2?1)?8?b?(?1)?8,故b=5,此时x?5

8. 所以,满足条件的所有分数为1233455

2,3,5,7,7,7,8.

…………………15分

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①及 bc?a2?4a?5, ② 求a的取值范围.

解法1:由①-2×②得

(b?c)2?24(a?1)?0,

所以a??1.

当a??1时,

124

b2?c2?2a2?16a?14?2(a?1)(a?7)?0.

…………………10分

又当a=b时,由①,②得

c2?a2?16a?14, ③

ac?a2?4a?5, ④

将④两边平方,结合③得

a2?a2?16a?14???a2?4a?5?2,

化简得

24a3?8a2?40a?25?0,

故 (6a?5)(4a2?2a?5)?0, 解得a??51

6,或a??21

4.

所以,a的取值范围为a??1且a??51?

6,a?21

4.

……………15分

解法2:因为b2?c2?2a2?16a?14,bc?a2?4a?5,所以

(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)=4a2?8a?4=4(a?1)2,

所以 b?c??2(a?1).

又bc?a2?4a?5,所以b,c为一元二次方程

x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤

的两个不相等实数根,故

??4(a?1)2?4(a2?4a?5)?0,

所以a??1.

125

当a??1时,

b2?c2?2a2?16a?14?2(a?1)(a?7)?0.

…………………10分

另外,当a=b时,由⑤式有

a2?2(a?1)a?a2?4a?5?0,

4a2?2a?5?0,或?6a?5?0, 解得a?1?215,或a??. 46

51?21所以,a的取值范围为a??1且a??,a?. 64

…………………15分

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的并行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于

AE交PB于点K. 求证:PE?AC?CE?KB.

点E;连结AE,并延长证明:因为AC∥PB,所以?KPE??ACE.又PA是⊙O的切线,所以?KAP??

ACE.故

126

?KPE??KAP,于是

△KPE∽△KAP,

所以 KPKE?, KAKP

即 KP2?KE?KA.

………………5分

由切割线定理得

KB2?KE?KA,

所以, KP=KB.

…………………10分

因为AC∥PB,所以,△KPE∽△ACE,于是

PEKP?, CEAC

PEKB故 ?, CEAC

即 PE?AC?CE?KB.

…………………15分

14.2006个都不等于119的正整数a1,a2,?,a2006排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求a1?a2???a2006的最小值.

解:首先证明命题:对于任意119个正整数b1,b2,?,b119,其中一定存在若干个(至少一个,

也可以是全部)的和是119的倍数.

事实上,考虑如下119个正整数

b1,b1?b2,…,b1?b2???b119, ①

若①中有一个是119的倍数,则结论成立.

若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118

127

种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为b1???bi和b1???bj(1≤i<j≤119),于是

119bi?1???bj,

从而此命题得证.

…………………5分

对于a1,a2,?,a2006中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为2006?16?119?102,所以

a1?a2???a2006≥16?238?102?3910. ②

…………………10分

取a119?a238???a1904?120,其余的数都为1时,②式等号成立.

所以,a1?a2???a2006的最小值为3910.

…………………15分

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b

满足 2a?4?b?2?4?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 128

【答】C.

解:由题设知a≥3,所以,

题设的等式为b?2?0,于是a?3,b??2,从而a?b=1.

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A)?1

2

(B)?1

2 (C)1 (D)2 【答】A.

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以BO

AB?BC

AC,即

1a

a?a?1,

所以, a2?a?1?0.

由a?

0,解得a?1?2.

3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组??ax?by?3,

?x?2y?2

有正数解的概率为( ).

(A)1

12 (B)2

9 (C)513

18 (D)36

【答】D.

解:当2a?b?0时,方程组无解.

?

当2a?b?0时,方程组的解为?6?x??2b

?2a?b,

?2a? ??y?3

2a?b.

?6?2b?0,??2a?b?0,??2a

?b?0,

由已知,得???2a?b即?3?3

?2a?3?a?,或?a?

??2a?b?0,?2,

??2

?b?3,??b?3.

只 129

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或共3种情况. ??2,5,6,?b?1,?b?4,

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点

B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B.

解:=5.关于x,yxy ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

x2?yx?(2y2?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

由 ??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0,

130

解得 y≤

2

116

?16.57.于是 7

y2

?

2

0 116

1 109

4 88

9 53

16 4

显然,只有y?16时,??4是完全平方数,符合要求. 当y?4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x1??1,x2??3; 当y=-4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x3?1,x4?3. 所以,原方程的整数解为

?x1??1,

?

y?4;?1?x2??3,

?

y?4;?2?x3?1,

?

y??4;?3?x4?3,

?

y??4.?4

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为

kk

,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交50003000

换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx

??k,??50003000

?

kykx???k,??50003000

k(x?y)k(x?y)

??2k,

50003000

2

则 x?y??3750.

11?

50003000

两式相加,得

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使

131

得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,

AH则的值为 .

AB

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知AC?

11

AD,AB?AE,在△FHA和△EFA中, 33

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,

AHAF

? . AFAE

AH1

而AF?AB,所以?.

AB3

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?

9若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b【答】 10.

解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且12345是五个不同的整数,所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

又因为2009?1???1??7???7??41,所以

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .

【答】

. 7

解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 .

132

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?.

作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF?

∥AC,所以 1?ACB?45?,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF2

EFBF?, ACBC

x20?x即 ?, 1520

60解得x?

.所以CE?x?. 77

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人

并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将

诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的

是 .

【答】?2. 心里都想好一个数,他两旁的两个人告人心里想的数 解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8

于是报7

的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3的人心里想的数是4?.所以 x??4?x,

解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11(A).函数y?x2?(2k?1)x?k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线x?1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x?1的右侧时k的取值范围.

解:不一定,例如,当k=0时,函数的图像与x轴的交点为(0,0)和

(1,0),不都在直线x?1的右侧. ………………5分

设函数与x轴的两交点的横坐标为x1,x2,则x1?x2??(2k?1),x1x2?k2,当

133

且仅当满足如下条件

??≥0,

??(x1?1)?(x2?1)?0, ………………10分

??(x1?1)(x2?1)?0

时,抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧.

?(2k?1)2?4k2≥

由 ?0,

??2k?1?0,

??k2?2k?0,

??k≤1,

?4

解之,得 ??k??1, ………………15

?2分

??k??2或k?0.

?

所以当k??2时,抛物线与x轴的两交点在直线x?1的右侧.

………………20分 11(B).已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1),(x2,y2), 且x222

1?x2?t?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

解:(1)联立y?x2与y?(2t?1)x?c,消去y得二次方程

x2?(2t?1)x?c?0 ①

有实数根x1,x2,则x1?x2?2t?1,x1x2?c.所以

c?x1

1x2?2[(x2x22

1?x2)?(1?x2)] =1

2[(2t?1)2?(t2?2t?3)]=1

2(3t2?6t?4). ②

………………5分 把②式代入方程①得

134

1x2?(2t?1)x?(3t2?6t?4)?0. ③ 2

………………10分

t的取值应满足

2t2?2t?3?x12?x2≥0, ④

且使方程③有实数根,即

??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)=?2t2?8t?7≥0, ⑤

解不等式④得 t≤-3或t≥1,解不等式⑤

得 2?

所以,t

的取值范围为 ≤t

≤2?. 22

2?≤t

≤2?. ⑥ 22

………………15分

(2) 由②式知c?1231(3t?6t?4)?(t?1)2?. 222

由于c?31(t?1)2?

在2?≤t

≤2?

时是递增的,所以,当t?2?

22222

时,cmin?3111?(2??1)2??. ………………20分 2224

12(A).在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数y?(x?90)2?4907的图像上所有“好点”的坐标.

解:设y?m2,(x?90)2?k2,m,k都是非负整数,则

k2?m2?7?701?1?4907,

即 (k?m)(k?m)?7?701?1?4907. ……………10分

则有 ??k?m?701,

?k?m?7;?k?m?4907, ??k?m?1.

135

解得 ??k1?354,

?m1?347;?k2?2454, ??m2?2453.

所以 ?x1?444,?x2??264,?x3?2544,?x4??2364, ????y?120409;y?120409;y?6017209;y?6017209.?1?2?3?4

故“好点”共有4个,它们的坐标是:

(444,120409),(?264,120409),(2544,6017209),(?2364,6017209).

………………20分

12(B).已知正整数a满足192a?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和. 解:由192a?191可得192a?1.192?3?26,且 333

a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1).

………………5分

因为a?a?1??1是奇数,所以2a?1等价于2a?1,又因为3(a?1)a(a?1),所以3a?1等价于6363

3a?1.因此有192a?1,于是可得a?192k?1.

………………15分

又0?a?2009,所以k?0,1,?,10.因此,满足条件的所有可能的正整数a的和为

11+192(1+2+…+10)=10571. ………………20分

13(A).如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ………………5分

因为?FCD??EAB,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

CD. AB

CE同理可得 EG?AD?. ABDF?BE?

………………10

分 136

又因为tan?ACB?ADBE?,所以有BE?CD?AD?CE,于是可得 CDCE

DF?EG. ………………20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明.

……………… 5分

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,所以A,B,D,E四点共圆,故

?CED??ABC.

又l是⊙O

的过点C的切线,所以?

ACG??ABC

. 所以,?CED??ACG,于是DE∥FG,故DF=EG.

………………20分

13(B).已知AB为⊙O的直径,弦DC//AB,连接DO.过点DBA的延长线交于点E,过点E作AC的并行线交CD于点F,过点D作AC的并行线交BF于点G.求证:AG?BG.

证明:连接AD,BC,因为四边形AEFC是平行四边形,所以

AE?FC.

由于AD?CB,?DAE??BCF,因此有?DAE≌?BCF,于是可得

?ADE??CBF. ………………10又因为DE与⊙O相切于点D,所以?DCA??ADE.结合DG//

?GDC??DCA??ADE??GBC,

137

于是D,B,C,G四点共圆.因此点G在⊙O上,从而有AG?BG.

………………20分

14(A).n个正整数a1,a2,?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009;

且a1,a2,?,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

解:设a1,a2,?,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i?1,2,?,n.即 bi?(a1?a2???an)?ai. n?1

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有

bi?bj?aj?ai

n?1,

从而 n?1(aj?ai). ………………5分 由于 b1?bn?an?a12008?是正整数,故 n?1n?1

3 n?12?251. ………………10分

由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1?

2≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1), 2所以,(n?1)≤2008,于是n ≤45.

结合n?123?251,所以,n ≤9. ………………15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,…,a8?8?7?1,

a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ………………20分

14(B).已知正整数x,y使得4xy4xy是一个奇数,证明:存在一个正整数k,使得4k-1整除. x?yx?y证明:设x?2sa,y?2tb,这里的s,t是非负整数,a,b都是奇数,不妨设s≥t,则

4xy2s?t?2ab2s?2ab?ts?t?s?t. ………………5分 x?y2(2a?b)2a?b

138

若s?t,则上式的分母是一个奇数,而分子是一个偶数,故上式是偶数,于是,s?t.所以

4xy2s?2ab? . x?ya?b

设(a,b)?d,a?a1d,b?b1d,(a1,b1)?1,则

4xy2s?2a1b1d ?x?ya1?b1

是一个奇数. ………………10分

所以,a1?b1能被2s?2整除,故a1?b1能被4整除,所以a1,b1都是奇数,它们除以4的余数为1或3,如果a1,b1除以4余数都是1,则它们的和不能被4整除,所以其中一定有一个除以4余数为3,设a1除以4余3,则可设a1?4k?1,k是一个正整数,因为(a1,a1?b1)?1,所以a1整除4xy4xy,从而4k-1整除. x?yx?y

………………… 20分

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.

1.设a2?1?3a,b2?1?3b,且a?b,则代数式11?的值为 ( ) 22ab

(A) 5. (B)7. (C) 9. (D)11.

139

【答】B.

解 由题设条件可知a2?3a?1?0,且a?b,所以a,b是一元二次方程x2?3x?1?0b2?3b?1?0,

11a2?b2(a?b)2?2ab32?2?1???7. 故选B. 的两根,故a?b?3,ab?1,因此2?2?2222abab(ab)1

2.如图,设AD,BE,CF为三角形ABC的三条高,若AB?6,BC?5,EF?3,则线段BE的长为 ( )

(A)182124. (B)4. (C). (D). 555

【答】D.

解 因为AD,BE,CF为三角形ABC的三条高,易知B,C,E,F四点共圆,

AFEF334??,即cos?BAC?,所以sin?BAC?. ACBC555

424在Rt△ABE中,BE?ABsin?BAC?6??. 故选D. 55于是△AEF∽△ABC,故

3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( )

(A)1321. (B). (C). (D). 51052

【答】C.

解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.

所以所组成的数是3的倍数的概率是82?. 故选C. 205

4.在△ABC中,?ABC?12?,?ACB?132?,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则 ( )

(A)BM?CN. (B) BM?

CN.

140

(C) BM?CN. (D) BM和CN的大小关系不确定.

【答】B.

解 ∵?ABC?12?,BM为?ABC的外角平分线,∴?MBC?1(180??12?)?84?. 2

又?BCM?180???ACB?180??132??48?,∴?BMC?180??84??48??48?,

∴BM?BC. 又?ACN?11(180???ACB)?(180??132?)?24?, 22

∴?BNC?180???ABC??BCN?180??12??(?ACB??ACN)?168??(132??24?)

?12???ABC,

∴CN?CB. 因此,BM?BC?CN.故选B.

5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为 ( )

9999(A) (3. (B) ()4. (C) (5. (D) . 8888

【答】 B.

解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为a,过了n天. n天后每种商品的价格一定可以表示为

98a?(1?10%)k?(1?20%)n?k?a?(k?(n?k,其中k为自然数,且0?k?n. 1010

9i8n?i9i?18n?i?1要使r的值最小,五种商品的价格应该分别为:a?()?(,a?(?(, 10101010

989898a?(i?2?()n?i?2,a?(i?3?(n?i?3,a?(i?4?(n?i?4,其中i为不超过n的自然数. 101010101010

98a?()i?4?()n?i?49所以r的最小值为?(4. 故选B. 988a?()i?()n?i

1010

6. 已知实数x,y

满足(xy??2008,则3x2?2y2?3x?3y?2007的值为 ( )

141

(A) ?2008. (B)2008. (C) ?1. (D)1.

【答】D.

∵(x?

∴xy?2008,

?y?, ?

y??x?由以上两式可得x?y.

所以(x2?2008,解得x2?2008,所以

3x2?2y2?3x?3y?2007?3x2?2x2?3x?3x?2007?x2?2007?1. 故选D.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

a5?a4?2a3?a2?a?211.

设a?,则?2a3?a

∵a2??2. ?123??1?a,∴a2?a?1, 22

a5?a4?2a3?a2?a?2a3(a2?a)?2a3?(a2?a)?2∴? a3?aa?a2?a

a3?2a3?1?21?a31?a3

??????(1?a?a2)??(1?1)??2. 2a?(1?a)?a?a1?a

2.如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD

所在直线上的两点,且AM??MAN?135?,则四边形AMCN的面积为5

解 设正方形ABCD的中心为O,连AO,则AO?

BD,AO?OB?

, 2

142

MO???,

∴MB?MO?OB?. 2

又?ABM??NDA?135?,

?NAD??MAN??DAB??MAB?135??90???MAB?45???MAB??AMB,

所以△ADN∽△MBA,故ADADDN?

,从而DN??BA?1?. MBBAMB2根据对称性可知,四边形AMCN

的面积

115S?2S△MAN?2??MN?AO?2?????. 22222

3.已知二次函数y?x?ax?b的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且m?n?1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则p?q?21

解 根据题意,m,n是一元二次方程x2?ax?b?0的两根,所以m?n??a,mn?b. ∵m?n?1,∴m?n?m?n?1,m?n?m?n?1.

a2(m?n)21∵方程x?ax?b?0的判别式??a?4b?0,∴b???. 44422

114b?4mn?(m?n)2?(m?n)2?(m?n)2?1??1,故b??,等号当且仅当m??n?时取得; 42

114b?4mn?(m?n)2?(m?n)2?1?(m?n)2?1,故b?,等号当且仅当m?n?时取得. 42

111所以p?,q??,于是p?q?. 442

4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .

解 1到32,结果都只各占1个数字,共占1?3?3个数位; 2

42到92,结果都只各占2个数字,共占2?6?

12个数位;

143

102到312,结果都只各占3个数字,共占3?22?66个数位;

322到992,结果都只各占4个数字,共占4?68?272个数位;

1002到3162,结果都只各占5个数字,共占5?217?1085个数位;

此时还差2008?(3?12?66?272?1085)?570个数位.

3172到4112,结果都只各占6个数字,共占6?95?570个数位.

所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是411的个位数字,即为1. 2

第二试 (A)

一.(本题满分20分) 已知a2?b2?1,对于满足条件0?x?1的一切实数x,不等式

a(1?x)(1?x?ax)?bx(b?x?bx)?0 (1)

恒成立.当乘积ab取最小值时,求a,b的值.

解 整理不等式(1)并将a?b?1代入,得 22

(1?a?b)x2?(2a?1)x?a?0 (2)

在不等式(2)中,令x?0,得a?0;令x?1,得b?0.

易知1?a?b?0,0?2a?1?1,故二次函数y?(1?a?b)x2?(2a?1)x?a的图像(抛物线)2(1?a?b)

的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.

由题设知,不等式(2)对于满足条件0?x?1的一切实数x恒成立,所以它的判别式??(2a?1)2?4(1?a?b)?a?0,即ab?

由方程组 1. 4

?a2?b2?1,?

(3) ?1?ab??4

144

消去b,得16a4?16a2?1?

0,所以a2?

22?或a2?. 44

又因为a?

0,所以a?

?或a?,

44

???,?a?,?a???44于是方程组(3)的解为?或?

??b?,b?.???

4?4

所以ab的最小值为1,此时a,b

的值有两组,分别为 4

a???,b?

和a?,b?. 4444

二.(本题满分25分) 如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB?BC.

(1)证明:点O在圆D的圆周上.

(2)设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.

解 (1)连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心,AB?BC,所

以△OBA∽△OBC,从而?OBA??OBC.

因为OD?AB,DB?BC,所以

?DOB?90???OBA?90???OBC??DBO,

所以DB?DO,因此点O在圆D的圆周上.

(2)设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE?AC.设AC?2y(0?y?a),OE?x,AB?l,则a2?x2?y2,S?y(a?

x),

145

l2?y2?(a?x)2?y2?a2?2ax?x2?2a2?2ax?2a(a?x)?2aS. y

因为?ABC?2?OBA?2?OAB??BDO,AB?BC,DB?DO,所以△BDO∽△ABC,所以

raalBDBO?,即?,故r?. ABACl2y2y

a2l2a22aSSa3S????()?所以r?,

即r?,其中等号当a?y时成立,这时AC是圆O的4y24y2y2y222

直径.所以圆D的的半径r

的最小值为. 2

三.(本题满分25分)设a为质数,b为正整数,且

9(2a?b)2?509(4a?511b) (1)

求a,b的值.

解 (1)式即(6a?3b24a?511b6a?3b4a?511b)?,设m?,n?,则 509509509509

509m?6a509n?4ab?? (2) 3511

22故3n?511m?6a?0,又n?m,所以3m?511m?6a?0 (3)

由(1)式可知,(2a?b)能被509整除,而509是质数,于是2a?b能被509整除,故m为整数,

即关于m的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式??511?72a为完全平方数.

不妨设??5112?72a?t2(t为自然数),则72a?5112?t2?(511?t)(511?t).

由于511?t和511?t的奇偶性相同,且511?t?511,所以只可能有以下几种情况: 22

①??511?t?36a,两式相加,得36a?2?1022,没有整数解.

?511?t?2,

?511?t?18a,②?两式相加,得18a?4?1022,没有整数解. 511?t?4,?

③??511?t?12a,两式相加,得12a?6?

1022,没有整数解.

?511?t?6,

146

④??511?t?6a,两式相加,得6a?12?1022,没有整数解.

?511?t?12,

?511?t?4a,两式相加,得4a?18?1022,解得a?251. 511?t?18,?

?511?t?2a,两式相加,得2a?36?1022,解得a?493,而493?17?29不是质数,故舍去. ?511?t?36,⑤?⑥?

综合可知a?251.

502(舍去). 3

509?3?6?251把a?251,m?3代入(2)式,得b??7. 3此时方程(3)的解为m?3或m?

第二试 (B)

一.(本题满分20分)已知a?b?1,对于满足条件x?y?1,xy?0的一切实数对(x,y),不等式 22

ay2?xy?bx2?0 (1)

恒成立.当乘积ab取最小值时,求a,b的值.

解 由x?y?1,xy?0可知0?x?1,0?y?1.

在(1)式中,令x?0,y?1,得a?0;令x?1,y?0,得b?0.

将y?1?x代入(1)式,得a(1?x)?x(1?x)?bx?0,即

22

(1?a?b)x2?(2a?1)x?a?0 (2)

易知1?a?b?0,0?2a?12?1,故二次函数y?(1?a?b)x?(2a?1)x?a的图像(抛物线)2(1?a?b)

的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.

由题设知,不等式(2)对于满足条件0?x?1的一切实数x恒成立,所以它的判别式??(2a?1)2?4(1?a?b)?a?0,即ab?

由方程组

1. 4

147

?a2?b2?1,? ? (3) 1?ab??4

消去b,得16a4?16a2?1?

0,所以a2?

2?2?或a2?,又因为a?

0,所以a?

444或a?.

4

???a?,a?,????44于是方程组(3)的解为?或?所以满足条件的a,b

的值有两组,分别为

??b?,b?.???

4?4

a???,b?

和a?,b?. 4444

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)设a为质数,b,c为正整数,且满足

(1)?9(2a?2b?c)2?509(4a?1022b?511c) ?(2)b?c?2?

求a(b?c)的值.

2

)?, 509509

6a?6b?3c4a?1022b?511c设m?,n?,则 509509解 (1)式即(

148

2b?c?509m?6a509n?4a? (3) 3511

2故3n?511m?6a?0,又n?m,所以

3m2?511m?6a?0 (4)

由(1)式可知,(2a?2b?c)能被509整除,而509是质数,于是2a?2b?c能被509整除,故m为整数,即关于m的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式??511?72a为完全平方数.

不妨设??5112?72a?t2(t为自然数),则72a?5112?t2?(511?t)(511?t). 由于511?t和511?t的奇偶性相同,且511?t?511,所以只可能有以下几种情况: 22①??511?t?36a,两式相加,得36a?2?1022,没有整数解.

?511?t?2,

?511?t?18a,两式相加,得18a?4?1022,没有整数解. 511?t?4,?

?511?t?12a,两式相加,得12a?6?1022,没有整数解.

?511?t?6,

?511?t?6a,两式相加,得6a?12?1022,没有整数解. 511?t?12,?

?511?t?4a,两式相加,得4a?18?1022,解得a?251.

?511?t?18,

?511?t?2a,两式相加,得2a?36?1022,解得a?493,而493?17?29不是质数,故舍去.综合?511?t?36,②?③?④?⑤?⑥?

可知a?251,此时方程(4)的解为m?3或m?502(舍去). 3

509?3?6?251把a?251,m?3代入(3)式,得2b?c??7,即c?2b?7. 3

代入(2)式得b?(2b?7)?2,所以b?5,c?3,因此a(b?c)?251?(5?3)?2008.

149

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

设a??1,则3a3?12a2?6a?12? ( A )

A.24. B. 25.

C. ?10.

D. ?12.

2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC= ( C )

A. B. 10.

C.

3.用[x]表示不大于x的最大整数,则方程x2?2[x]?3?0的解的个数为 ( C )

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B ) A.

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半

D

D. 3314. B. . C. . D. . 14727

圆的切线AE,则sin?CBE= ( D )

21A.. B. . C. .

D. . 33310

6.设n是大于1909的正整数,使得Cn?1909为完全平方数的n的个数是 ( B ) 2009?n

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

150

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x2?2x?t?1?0的两个非负实根,则(a2?1)(b2?1)的最小值是_____?3_______.

2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF

的面积为______.

3.如果实数a,b满足条件a2?b2?1,|1?2a?b|?2a?1?b2?a2,则a?b?__?1____.

4.已知a,b

是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对(a,b)共有___7__对. 第二试

一.(本题满分20分)已知二次函数y?x?bx?c(c?0)的图像与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明:⊙P与y轴的另一个交点为定点.

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.

解 (1)易求得点C的坐标为(0,c),设A(x1,0),B(x2,0),则x1?x2??b,x1x2?c.

设⊙P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×2

cOA?OBx1x2OB=OC×OD,则OD????1. OCcc

因为c?0,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).

151

(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,?1), 即c??1.

又AB?x1?x2???

,所以

S△ABC?1AB?OC?1?2,

2解得b??.

二.(本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.

NB

解 因为BN是∠ABC的平分线,所以?ABN??CBN.

又因为CH⊥AB,所以?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB,

因此CQ?NC.

又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以?CFB?90???CHB,因此C、F、H、B四点共圆. 又?FBH=?FBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂在线.

同理可证,点E在CH的中垂在线.

因此EF⊥CH.

又AB⊥CH,所以EF∥AB.

152

三.(本题满分25分)已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?a

bc?c?a?b

ca?a?b?c

ab?1

4 ②

解法1 将①②两式相乘,得(b?c?a

bc?c?a?b

ca?a?b?c

aba?b?c)?8, 即(b?c)2?a2(

bc?c?a)2?b2

ca?(a?b)2?c2

ab?8, (b?c)2?a2(c?a)2

bc4??b2

ca?4?(a?b)2?c2

即?ab?0, (b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即bc?ca?ab?0, 即(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(

bc?c?a?b)

ca?(a?b?c)(a?b?c)

ab?0, 即(b?c?a)

abc[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, 即(b?c?a)

abc[2ab?a2?b2?c2]?0,即(b?c?a)2

abc[c?(a?b)2]?0, 即(b?c?a)

abc(c?a?b)(c?a?b)?0,

所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°. 解法2 结合①式,由②式可得32?2a

bc?32?2b

ca?32?2c

ab?1

4, 变形,得1024?2(a2?b2?c2)?1

4abc ③

又由①式得(a?b?c)2?1024,即a2?b2?c2?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?1

4abc,

即abc?16(ab?bc?ca)?4096.

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

??4096?256?32?163?0,

153

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°.

154

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1. 若a,b,c均为整数且满足(a?b)10?(a?c)10?1,则|a?b|?|b?c|?|c?a|? ( B )

A.1. B.2. C.3. D.4.

2.若实数a,b,c

满足等式?3|b|?

6,?9|b|?6c,则c可能取的最大值为 ( C )

A.0. B.1. C.2. D.3.

a?1b?1??1?0, 则 ( C ) ba

1144A.0?a?b?. B.?a?b?1. C.1?a?b?. D.?a?b?2. 33333.若a,b是两个正数,且

4.若方程x2?3x?1?0的两根也是方程x4?ax2?bx?c?0的根,则a?b?2c的值为 ( A )

A.-13. B.-9. C.6. D. 0.

5.在△ABC中,已知?CAB?60?,D,E分别是边AB,AC上的点,且?AED?60?,ED?DB?CE,?CDB?2?CDE,则?DCB? ( B )

A.15°. B.20°. C.25°. D.30°.

6.对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如a2009?2?0?0?9?11,a2010?2?0?1?0?3,则a1?a2?a3???a2009?a2010? ( D )

A.28062. B.28065. C.28067. D.28068.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

?x3?y3?19,221.已知实数x,y满足方程组?则x?y? 13 .

?x?y?1,

2.二次函数y?x?bx?c的图像与x轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知2

AB?3AC,?CAO?30?,则c? 1 . 9

3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且

155

4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.

第二试 (A)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c(a?b?c)为三角形的三边长,满足a?b?c?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得 222

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m?n?(m?n)?26,即 222

m2?n2?mn?13 ②

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:??m?3,?m?1,和?

?n?1?n?3.

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30,解得c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. 33

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30,解得c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形. 33

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=

AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I

与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明:PD是⊙IA

C N

的切线.

证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.

因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.

又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.

又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.

由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.

又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.

又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.

三.(本题满分25分)已知二次函数y?x?bx?c的图像经过两点P(1,a),Q(2,10a).

(1)如果a,b,c都是整数,且c?b?8a,求a,b,c的值.

(2)设二次函数y?x?bx?c的图像与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程22

x2?bx?c?0的两个根都是整数,求△ABC的面积.

解 点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y?x2?bx?c的图像上,故1?b?c?a,4?2a?c?10a, 解得b?9a?3,c?8a?2.

(1)由c?b?8a知??8a?2?9a?3,解得1?a?3.

?9a?3?8a,

又a为整数,所以a?2,b?9a?3?15,c?8a?2?14.

(2) 设m,n是方程的两个整数根,且m?n.

由根与系数的关系可得m?n??b?3?9a,mn??c?2?8a,消去a,得9mn?8(m?n)??6, 两边同时乘以9,得81mn?72(m?n)??54,分解因式,得(9m?8)(9n?8)?10.

所以??9m?8?1,?9m?8?2,?9m?8??10,?9m?8??5,或?或?或?

?9n?8?10,?9n?8?5,?9n?8??1,?9n?8??2,

157

1021???m?,m??,m?,???m?1,????9993解得?或?或?或?

?n?2,?n?13,?n?7,?n?2,???993???

又m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m?1,n?2.

因此,b??(m?n)??3,c??mn??2,二次函数的解析式为y?x2?3x?2.

易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为1?(2?1)?2?1. 2

第二试 (B)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c为三角形的三边长,满足a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).

解 不妨设a?b?c,由已知等式可得

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m2?n2?(m?n)2?26,即

m2?n2?mn?13 ②

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:??m?3,?m?1,和?

?n?1?n?3.

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30,解得c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. 33

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30,解得c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形. 33

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

158

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y?x2?px?(k?1)p?4的图像与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.

解 由题意知,方程x2?px?(k?1)p?4?0的两根x1,x2中至少有一个为整数. 由根与系数的关系可得x1?x2??p,x1x2?(k?1)p?4,从而有 (x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?(k?1)p ①

(1)若k?1,则方程为x2?px?2(p?2)?0,它有两个整数根?2和2?p.

(2)若k?1,则k?1?0.

因为x1?x2??p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数. 又因为p为质数,由①式知p|x1?2或p|x2?2.

不妨设p|x1?2,则可设x1?2?mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2?2?故(x1?2)?(x2?2)?mp?k?1, mk?1k?1,即x1?x2?4?mp?. mm

k?1又x1?x2??p,所以?p?4?mp?,即 m

k?1(m?1)p??4 ② m

k?1k?1如果m为正整数,则(m?1)p?(1?1)?3?6,?0,从而(m?1)p??6,与②式矛盾. mm

k?1k?1如果m为负整数,则(m?1)p?0,?0,从而(m?1)p??0,与②式矛盾. mm

159

因此,k?1时,方程x2?px?(k?1)p?4?0不可能有整数根. 综上所述,k?1.

160

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