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第七届数学大奖赛试卷(解答)

发布时间:2014-01-04 09:41:42  

华东理工大学第七届数学大奖赛笔试试卷(解答)

一、填空题:(每题7分,共28分)

1、当x?0时,3x?4sinx?sinxcosx与x同阶无穷小,则n? 答:5 n

ln(1?x3)sinx?x2、计算极限lim[。 ]3x?0x

答:e

3、设D?{(x,y)|x?y?1,x?0},则22131?xy?。 22??

Dx?y?1

答:?

2ln2。

1?x?y的通解为:。 1?x?y

4、微分方程y'?答:y?x?Ce

x?y

二、(本题满分10分)设f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,f'(0)??1,求

x2x

?dtf(t)du

x?0?

u2lim0(1?cosx)(?2x?1)2。 x

f(x2)2xf(x2)2x解:原式?lim ?lim ?lim x?0?14x?0??10x3x?0??10x31(x)((?2x))2200?du?f(t)dt

1f(x2)?f(0)11 ??lim。 ??f'(0)?2x?0?555x

三、(本题满分10分)计算函数z??x?2y沿方向l?{1,1}在(0,0)处的方向导数。 22

x2?2y2?0?z?lim解:,其中????0?l?

因此,x?x2?y2,x:y?1:1,且x?0。 ?

2?y,代入上式,有

?2

?z?lim?l??02??2??。 2

?z?x2?y2

四、(本题满分10分)求曲线?投影到平面x?y?z?0上的投影曲线方程。 z?1?

解:首先计算投影柱面。设P(x,y,z)为投影柱面上任意一点,则存在P0(x0,y0,z0)在曲线?z?x2?y2

使得直线PP0的方向向量为平面x?y?z?0的法向量,于是??z?1

x?x0?y?y0?z?z0,

?z?x2?y222又因为P0(x0,y0,z0)在曲线?,即有z0?x0?y0,z0?1,

?z?1

消去x0,y0,z0,得到投影柱面方程为(x?z?1)?(y?z?1)?1, 22

?(x?z?1)2?(y?z?1)2?1故投影曲线为:?。 x?y?x?0?

五、(本题满分10分)设xn?

解:考虑xn2132n?1,计算极限limxn。 ????n??242n1133552n?12n?1, ??2244662n2n

2由于(2n?1)(2n?1)?(2n),故有

xn?

所以0?xn?21133552n?12n?112n?11 ???2244662n2n2n2n2n1

2n,由夹逼定理知limxn?0 。 n??

六、(本题满分10分)设0?x?1,试比较sinx与ln(1?x)的大小,并证明你的结论。 解:设f(x)?sinx?ln(1?x),则

f'(x)?cosx?1,f'(0)?0, 1?x

1,f''(0)?1, 2(1?x)f''(x)??sinx?

f'''(x)??cosx?2,f'''(0)??3, (1?x)3

f(4)(x)?sinx?6(4),f(x)?0,x?(0,1), 4(1?x)

x2x3f(4)(?)4将f(x)在原点泰勒展开至三阶,得到f(x)?-?x,其中??(0,x)。 224!

x2x3x2

所以,当0?x?1时,有f(x)?-?(1-x)?0。因此, 222

当0?x?1时,有sinx> ln(1?x)。

x?f(x)sinxdx,七、(本题满分10分)设函数f(x)在[??,?]上连续,且f(x)?1?cos2x???

求f(x)。

??

解:设A?

???f(x)sinxdx,则f(x)?x?A,以下计算A。 21?cosx

对等式f(x)?

?x?A两边同时乘以sinx再积分,有 1?cos2x??xf(x)sinxdx?sinxdx??Asinxdx,即 2??

????1?cosx??

xxsinx?2

sinxdx???A??sinxdx?2?dx= 2221?cosx1?cosx1?cosx20??0???

x?2

?因此,f(x)?。 221?cosx

11

八、(本题满分12分)设函数f(x)在[0,1]上连续,

存在??[0,1],使得|f(?)|?4。 ?f(x)dx?0,?xf(x)dx?1,证明:00

证明:反证法。假设对任意x?[0,1],|f(x)|?4。 1

考虑(x?)f(x)dx?1,

111?12111另一方面,1=|?(x?)f(x)dx|??|(x?)f(x)|dx??|x?||f(x)|dx 222000

1

??|x?

01|4dx=1 2

最后一个不等式中等号成立的条件是|f(x)|?4,由于是连续函数,必须是f(x)?4或者

1

f(x)??4,这些都与已知?f(x)dx?0矛盾。因此,假设不成立,故结论正确。

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