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奥数暑期五年级讲义

发布时间:2014-01-04 09:41:44  

2012-2013学年暑期五年级讲义 第九讲:进位制与取整运算

2012-2013学年度学暑期五年级讲义

第九讲:进位制与取整运算

一、知识要点

1. 进位制的本质:n进制就是逢n进一,借一当n.

2. 不同进制之间可以互化,一般以十进制作为桥梁.十进制化为二进制时,只需除2取余;

同理,十进制化为八进制时,只需除8取余.

3. 在某些数学计算中,有时会略去一些量的小数部分,而只需要求它的整数部分.例如计

算水费时,为方便计算经常忽略掉水表的小数部分.只关心某个数的整数部分,就涉及到取整问题。符号?x?表示不超过x的最大整数.例如,?3.14??3,?4.8??4,?5??5,

5??1?,?0??0,?0.03??0,??2???0 ???2??3?

4. 关于取整运算,显然有以下性质:

①?a?是整数; ②?a??a; ③a??a??1;

④若b?1,则?a?b???a?;若b?1,则?a?b???a??1;

⑤若n是整数,则?a?n???a??n.

5.数a的小数部分一般用符号{a}表示。例如,?3.14??0.14,?4.8??0.8,?5??0,

5??1??0??0,?0.03??0.03,?,?0.5?????0.25,显然有?a??a??a?,0??a??1. ?2??4?

二、典型例题

例1.计算:①(234)7?(656)7;②(123)8?(456)8

例2.(1)在几进制中有4?13?100?(2)在几进制中有125?125?16324?

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2012-2013学年暑期五年级讲义 第九讲:进位制与取整运算

例3.(1)将三进制中的数12120120110110121121改写为九进制,其从左向右数,第一位数字是几?(2) 将二进制中的数10100001101改写为八进制.

例4.(1)一个7进制的三位数abc化为9进制的数为cba,求这个数在十进制中为多少?

(2) 一个6进制的三位数abc化为9进制的数为cba,这个数在十进制中为多少?

例5.设1987在b进制中可以写成三位数xyz,且x?y?z?1?9?8?7,试确定出所有可能的x,y,z,b的值.

?????????2?2????2?1??7的余数.(2) 求?3??3???3???3?1?例6.(1) 求?2??????????26的余数.

2003??2003??

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例7.一袋花生共有2004粒,一只猴子第一天拿走一粒,从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和。如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走,共需多少天?

例8.求1~2010中能被2或3或5整除的整数的个数.

例9.求?

例10.求关于x的方程19?x??96?x??0的解的个数.

例11.求出方程5?x??19?x??2001的所有解.

第 3 页 共 8 页 ?23?1??23?2??23?39??23?40???????41??41???41?的值. 41????????

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例12.求满足?x???2x??18的x的值.

?12??22??32??19802?例13.在数列??,??,??,?,??中有多少不同的数? 1980198019801980????????

例14.求使2n?1能被7整除的所有自然数n.

例15.给定6个数:1,3,9,27,81,243,从这6个数中取出若干个数(每个数至多取一次),然后将取出的数相加得到一个和数,这样共可得到63个不同的和数.把这些数从小到大排列起来依次是1,3,4,9,10,12,??,请问其中的第39个数是多少? 分析与解:

三、练习题

1.填空:?101101?2??

2.填空:?26?7???5???8 ?4???3

3.若?52?10??34?n,则n?第 4 页 共 8 页

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4.若?20?10??202?m,则m?5.下列算式是几进位制的乘法?

123?302?111012

6.如果下列算式是八进制算式,请求出各字母表示的数字(不同字母表示不同数字).

A B C D

+ C B A B

B B C B B

7.一次乒乓球淘汰赛,共有23名同学参加,请问:共有多少人次轮空?

8.今有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码,却因为丢了一个砝码而使天平无法称出12克和23克的重量,请问:丢了哪个砝码?

9.夏季的一天,青蛙说:“今天我吃了3210只蚊子。”蜘蛛说:“你吹牛,我替你数的是344只蚊子。”原来青蛙有四条腿,按四进制计数;而蜘蛛有八条腿,按八进制计数.如果按十进制计数,青蛙吃了多少只蚊子?

10.求证:2

第 5 页 共 8 页 15?214?213?212?211?210???23?22?2?1能被5整除.

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11.计算:?13?????4?

12.在1~10000这一万个自然数中,有多少个数能被5或7整除?

13.在1~500这500个自然数中,有多少个数是3或5的倍数?

14.在1~1000这1000个自然数中,有多少个数既不是3也不是7的倍数?

15.已知S???97

第 6 页 共 8 页 ?199?1??199?2??199?96???????97??97?,求S的值. ?????

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四、练习题参考答案:

1.?101101?2??45?10,利用十进制化为n进制时“除n取余”的方法,可得

?45?10??140?5??55?8

2.?26?7??20?10??110?4??202?3

3.由n进制运算,可得?34?n?3?n?4,由已知可得方程3?n?4?52,所以n?16.

4.由m进制运算,可得?202?m?2?m?0?m?2?2m?2,由已知可得方程 212

2m2?2?20,解得m?3.

5.根据尾数分析法,可知算式为四进制.

6.由和的首位数字分析,可知B?1,从而加数中的D?0,进而由加数的最高位A?C需要进位1可得A?C?9,而4?5?3?6?2?7?9,最后试算可得C?3,A?6.综上可得A?6,B?1,C?3,D?0.

7.?23?10??10111?2,

8.丢的是4克的砝码.而?12?10??1100?2??1000?2??100?2,

?23?10??10111?2??10000?2??100?2??10?2??1?2,由题意,导致12克和23克的重量不能被称量的是两式中的公共加数?100?2?4.

9.?3210?4??228?10,?344?8??228?10,即按照十进制计数,青蛙共吃了228只蚊子.

10.215?214?213?212?211?210???23?22?2?1=214?212?210???22?1 化为二进制为?1010101?10101?2,其中的1共有8个,且与0间隔排列.而?5?10??101?2, 显然,在二进制下?101?2能整除?1010101?10101?2,

从而5能整除2

11.?13?????4?=?13?3?4???13?4?3?=?

12.在1~10000中能被5或7整除的数共有 15?214?213?212?211?210???23?22?2?1. ?52???17. 3??

?10000??10000??10000??5???7???5?7??2000?1428?285?3143个. ??????

13.在1~500这500个自然数中,是3或5的倍数的数共有

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?500??500??500??3???5???3?5??166?100?33?233个. ??????

14.在1~1000这1000个自然数中,既不是3也不是7的倍数的数共有

?1000??1000??1000?1000?????7???3?7??1000?333?142?47?572个. 3??????

15.提示:仿例9的方法,易得??199?1??199?96??????199?1?198,同理?97??97???199?2?

?97?????199?95?

?97???198,??,??199?48??199?49?

?97?????97???198,

S?198?48?950. 4

第 8 页 共 8 页 从而

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