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全国初中数学竞赛九年级预赛试题2013

发布时间:2014-01-04 10:42:32  

全国初中数学竞赛九年级预赛试题

(本卷满分120分,考试时间120 分钟)

一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分.

1. 从长度是2cm,2cm,4cm,4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )

1

A. 4

1B.

3

C.

1 2

C

2题图) (第

D.1

2.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,AN⊥BN 于N,且AB=10,BC=15,MN=3,则△ABC的周长为( ) A.38 B.39 C.40 D. 41

x

3.已知xy?1,且有5x2?2011x?9?0,9y2?2011y?5?0,则的值等于( )

yA.

5

9

B.

9

5

20112011

D.? 59

4.已知直角三角形的一直角边长是4C.?

为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图 中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( ) A.6

B. 7 C.8 D.9

bb

5.设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y?(a?x2?cx?a?在x?1时取最小值

22

8

?b,则△ABC是( ) 5

A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

6.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2个连续存储单元

(1) (2)

(第5题图)

已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个

连续存储单元已依次存入数据e,d,c,取出数据的顺序是c,d,

,则不 e,现在要从这两个堆栈中取出5个数据(每次取出1个数据)

同顺序的取法的种数有( )

A.5种 B.6种 C.10种 D.12种

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

7.若x2?2x??4?0,则满足该方程的所有根之和为 .

8.(人教版考生做)如图A,在

中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相

切,若AB=4,BE=5,则DE的长为 .

8.(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC

中,D,E分别为AB,BC边上的两个动点,

且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则

2FG?. AF2a4?3xa2?229.已知a?a?1?0,且3,则x? . ??3a?2xa2?a

10.元旦期间,甲、乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,且每件商

品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的

商品有 件.

11.如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,

如果CD与地面成45o,∠A=60o,CD=4m,BC=(46?22)m,则电线杆AB的长为 m.

12.实数x与y,使得x?y,x?y,xy,x四个数中的三个有相同的数值,则所有具有y

这样性质的数对(x,y)为 .

(第8题图A) FC(第11题图) GAD (第8题图B) B

三、解答题(本大题共3个小题,每小题20分,共60分)

13.(本题满分20分)

已知:(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)是完全平方式.

求证: a?b?c.

14.(本题满分20分)如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.

(1)点B的坐标为t的式子表示点P的坐标为

(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最

大值?

(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三

1角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐3

标;若不存在,请说明理由.

15.(本题满分20分)

对于给定的抛物线y?x2?ax?b,使实数p,q适合于ap?2(b?q).

(1)证明:抛物线y?x2?px?q通过定点;

(2)证明:下列两个二次方程,x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根. (备用图) (第14题图)

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