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九连环中的数学(杭州外国语学校赵肖东)(浙江省优质课一等奖)

发布时间:2014-01-04 10:42:35  

九 连 环 中 的 数 学

九连环的结构:

环柄

柄钗

9 柄把 环杆板

8

7

6

5

4

3

2

1


环杆

规则
要想下/上第 n 个环 (n ? 2) ,必须满足两个条 输入标题 件: 一、第 n - 1个环在环柄上; 二、前 n - 2个环全不在环柄上。

九连环的特殊状态

输入标题

111111111

000000000

满贯状态

零状态

解九连环

输入标题

111111111 满贯状态

000000000 零状态

解九连环(从满贯状态到零状态) 最少需要多少步?

小组合作

操作: 将五连环从“满贯状态”变成“零状态”。 记录: 五连环经过哪些变化状态? 探究: 上述变化过程中有什么规律?

如何将九连环从“满贯状态”变成“零状态”?

满贯状态 111111111

零状态 000000000

上述过程最少需要移动圆环多少步?

解九连环
111111111
解下七连环

a1 ? 1

a2 ? 2

a3 ? 5

110000000 010000000

解下第九环 套上七连 环

a4 ? 10
a5 ? 21 a6 ? a5 ? 2a4 ? 1 ? 42 a7 ? a6 ? 2a5 ? 1 ? 85 a8 ? a7 ? 2a6 ? 1 ? 170 a9 ? a8 ? 2a7 ? 1 ? 341

011111111
解下八连环

000000000
解下 n 连环所需的最少移动次数 an

a9 ? a8 ? 2a7 ? 1
an ? an -1 ? 2an -2 ? 1(n ? 2)

所以, 解九连环最少需要 移动圆环341步

回顾

解决问题运用的思想方法?

华生问题
上个世纪70年代早期,美国一家生产玩具的公司老板杰西华生 (Jesse R. Watson)提出这样一个问题:假设九连环的初始状态是 只有最靠近柄把的一个环在柄上,其他所有的环都在柄下,问解开这 个九连环最少需要多少步?

100000000 终端状态

000000000

零状态

100000000
套上八连 环

111111111
解下九连环

a1 ? 1 a2 ? 2

规定b1 ? 1
b2 ? 3
b3 ? 7
b4 ? 15

a3 ? 5
a4 ? 10 a5 ? 21

000000000

b5 ? 31
b6 ? 63
b7 ? 127

n 解下“终端状态”下 b 环最少需要移动步数n
bn ? an-1 ? an (n ? 1)



a6 ? 42

a7 ? 85
a8 ? 170 a9 ? 341

解下 步数

n 连环最少需要移动
an

b8 ? 255

b9 ? a8 ? a9

b9 ? 511

bn ? an-1 ? an (n ? 1)

100000000

套上八连环(从零 状态到终端状态)

规定b1 ? 1
b2 ? 3
b3 ? 7
b4 ? 15

110000000 010000000

解下第9环

解下八连环(从终 端状态到零状态)

b5 ? 31
b6 ? 63

000000000

b7 ? 127


n 解下“终端状态”下 b 环最少需要移动步数n
b9 ? 2b8 ? 1 bn ? 2bn-1 ? 1(n ? 1)

b8 ? 255

b9 ? 511
所以, 解下终端状态九连环 最少需要移动圆环511次。

九连环应用

千变万化的连环

回顾反思
请你谈谈这节课有什么收获?

谢谢

杭州外国语学校 赵肖东


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