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小五奥数第四课时

发布时间:2014-01-04 10:44:37  

学而优小五奥数

第四课时 容斥原理

【知识讲解】

定理:

| A∪B |=|A| + |B| - |A∩B|

|A∪B∪C|=|A| + |B| + |C|- |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|

【典型例题讲解】

1、五(1)班同学去借书,每人至少借1本,最后统计,20人借了文艺书,25人借了故事书,有30人借了科技书,有9人既借了文艺书又借了故事书,有11人既借了文艺书又借了科技书,有10人既借了故事书又借了科技书,有1人三种书都借了。五(1)班共有学生多少人?

分析:|A|=20 |B|=25 |C|=30 |A∩B|=9 |A∩C|=11 |B∩C|=10 |A∩B∩C|=1 问题就是求|A∪B∪C|

2、五(2)班有45名同学,每人都报名参加暑期体育训练班,其中足球班报名25我,篮球班报名20人,游泳班报名30人,足球班、篮球班都报名的有10人,足球班、游泳班都报名的有10人,篮球班、游泳班都报名的有12人,三个班都报名的有多少人?

分析: |A|= |B|= |C|= |A∩B|= |A∩C|= |B∩C|= |A∪B∪C|= 问题就是求|A∩B∩C|

3、在1~1000这1000个数中,有多少个数不能被3,5,7中任何一个数整除?

分析:用A,B,C表示能被3,5,7整除的数的集合,则A∪B∪C表示至少能被3,5,7之一整除的数的集合,于是1000-|A∪B∪C|即为问题所求。 100010001000=333 (取整数) |B|= =200 |C|= =142 357

100010001000|A∩B|= = 66 |A∩C|= =47 |B∩C|= =28 3?53?75?7

1000|A∪B∪C|= =9 3?5?7|A|=

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4、五(3)班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、语文两科满分的7人,数学、英语两科满分的8人,语文、英语两科满分的9人,三科都没得满分的3人。这个班最多多少人?最少多少人?

分析:|A|=20 |B|= 20 |C|=20 |A∩B|= 7 |A∩C|= 8 |B∩C|=9 问题就是求|A∪B∪C|+3

【终极挑战】

某年级60人中有234的同学爱打乒乓球,的同学爱踢足球, 的同学爱打篮球,345

这三项运动都爱好的有22人。这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好?

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【现场练兵】

1、桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片,它们的面积都是100平方米,并且A、B两圆重叠的面积为20平方米,A、C两圆重叠的面积为45平方米,B、C两圆重叠的面积为31平方米,三个圆共同重叠的面积为15平方米,求三个圆盖住桌子的总面积是多少平方米?

2、在一个炎热的夏日,10个学生去冷饮店每人买了饮料。其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。三样都买的有几人?

3、在1~1000的所有自然数中,既非3的倍数,也不是4与5的倍数的数有多少个?

4、五(4)班同学参加语文、数学、英语三科考试,得优秀的人数如下:语文20人,数学21人,英语24人,语文和数学都得优秀的有7人,语文和英语都得优秀有10人,数学和英语都得优秀的有8人,三科都没得优秀的有10人。该班最多有几人?最少有几人?

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