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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

发布时间:2014-01-04 12:42:31  

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第1届

(1967年于波兰的华沙)

【题1】质量M=0.2kg的小球静置于垂直柱上,柱高h=5m。一粒质量m=0.01kg、以速度?0=500m/s飞行的子弹水平地穿过球心。球落在距离柱s=20m的地面上。问子弹落在地面何处?子弹动

能中有多少转换为热能?

解:在所有碰撞情况下,系统的总动量均保持不变:

mv0?mv?MV

其中v和V分别是碰撞后子弹的速度和小球的速

度. 两者的飞行时间都是t?2h?1.01s g

球在这段时间沿水平方向走过20m的距离,故它在水平方向的速度为:

V?20?19.8(m/s) 1.01

由方程0.01×500=0.01v+0.2×19.8

可求出子弹在碰撞后的速度为:v=104m/s

子弹也在1.01s后落地,故它落在与柱的水平距离为S=vt=104×1.01=105m 的地面上。 碰撞前子弹的初始动能为

球在刚碰撞后的动能为12mv0?1250 J 21MV2?39.2 J 2

12子弹在刚碰撞后的动能为mv?54 J 2

与初始动能相比,两者之差为1250 J-93.2 J=1156.8 J

这表明原来动能的92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在完全弹性碰撞的情形下,动能是守恒的。而如果是完全非弹性碰撞,子弹将留在球内。

【题2】右图(甲)为无限的电阻网A络,其中每个电阻均为r,求A、B两点

rrrr间的总电阻。

解:如图(乙)所示 BA、B两点间的总电阻应等于C、D

两点间的总电阻与电阻r的并联,再与r串联 图(甲) 后的等效电阻。 AC如果网络是无限的,则A、B

两点间的总电阻应等于C、D rrrr

两点间的总电阻,设为Rx。

BD 根据它们的串并联关系有:

Rx?r?rRx 图(乙) Rx?r

1?r 2解上式可得: Rx?

【题3】给定两个同样的球,其一放在水平面上,另一个以细线悬挂。供给两球相同的热量,问两球温度是否趋于相同?说明你的理由(忽略各种热

量损失)

解答:如右图所示,球体受热,体积增大。放在水平面上

的球重心升高,克服重力做功要耗费一部分热量,于是剩下提

高球体温度的热量减少了些。以细线悬挂的球与之相反。结果

放在水平面上球的温度将稍小于以细线悬挂球的温度。(这一差

-7 别是很小的,对于半径为10cm的铜球来说,相对差值约为10K)

【实验题】测定石油的比热。可供使用的物品有:天平、量热器、温度计、电源、开关、导线、停表、电热器、容器、水和石油。

解答:把已知温度t1和质量m1的水,与已知温度t2和质量m2的石油在量热器里混合,测出混合物的温度t3。从包含一方放热和另一方吸热的方程中可算出石油的比热。这是通常测定石油比热的方法。

也可以先用电热器加热水,再加热等量的石油,并且及时观察温度的改变。两条温度曲线起始点的切线斜率与比热成反比关系,据此可以测定石油的比热。

【替换题】(为在校没有上过电学的学生而设。)密闭容器中装有一个大气压、温度为 0℃的干燥空气10升,加入3克水后将系统加热到100℃,求容器的压强。

解:在100℃时,全部水都处于汽相。3克水是

atm下的体积是:22.4?

由状态方程求出1摩尔(18÷3=6),它们在100℃和161373??5.11(升)㎏ 62731摩尔水蒸气的压强: 6

1?22.4p?106 ?水气

273373

解得:p水气=0.507 atm 由空气的状态方程:p1?空气 273373

解得:p空气=1.366 atm

把两部分压强相加得到总压强为:

p?p空气?p水气=1.366 atm+0.507 atm=1.873 atm

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第2届

(1968年于匈牙利的布达佩斯)

0【题1】 在倾角为30的斜面上,质量为m2=4 kg的木块经细绳与质量为m1=8 kg 、

半径为r =5 cm的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系数μ=0.2,忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。

解:如果绳子是拉紧,则圆柱体与木块一同加速运动, 2m1设加速度为a,绳子中的张力为F,圆柱体与斜面之间

的摩擦力为S,则圆柱体的角加速度为a/r。

对木块有:m2a=m2gsinα-μm2gcosα+F

对圆柱体有:m1a=m1gsinα-S-F

S r=Ia/r

其中I是圆柱体的转动惯量,S r是摩擦力矩。

解以上方程组可得

a?g(m1?m2)sin???m2cos? (1) Im1?m2?2r

S?I(m1?m2)sin???m2cos?g (2) 2Irm1?m2?2r

F?m2g?(m1?II)cos??sin?22 (3) Im1?m2?2r

m1r2

均匀圆柱体的转动惯量为I? 2

代入数据可得a=0.3317g=3.25m/s

S=13.01 N

F=0.196 N

讨论:系统开始运动的条件是a>0。把a>0代入(1)式,得出倾角的极限α1为: 2

tan?1??

0/m2???0.0667 m1?m23α1=349

单从圆柱体来看,α1=0;

-10/单从木块来看,α1=tgμ=1119

如果绳子没有拉紧,则两物体分开运动,将F=0代入(3)式,得出极限角为:

m1r2

n2??(1?)?3??0.6 ta?I

α2=3058

0/

圆柱体开始打滑的条件是S值(由(2)式取同样的动摩擦系数算出)达到μ m1gcosα,由此得出的α3值与已得出的α2值相同。

圆柱体与木块两者的中心加速度相同,都为g(sinα-μ gcosα)圆柱体底部的摩擦力为μ m1gcosα,边缘各点的切向加速度为

m1r2

a=μ()gcosα, I

【题2】 一个杯里装有体积为300 cm、温度为0C的甲苯,另一个杯里装有体积为110 303cm、温度为100C的甲苯,两体积之和为410 cm。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯

0-1的体膨胀系数为β=0.001(C),忽略混合过程中的热量损失。

0解:若液体温度为t1时的体积为V1,则在0C时的体积为

V10?30V1 1??t1

0同理,若液体温度为t2时的体积为V2,则在0C时的体积为

V20?

0V2 1??t2如果液体在0C时的密度为d,则质量分别为

m1=V10d m2=V20d

混合后,液体的温度为

t?m1t1?m2t2 m1?m2

在该温度下的体积分别为V10(1+βt)和V20(1+βt)。所以混合后的体积之和为

V10(1+βt)+V20(1+βt)=V10+V20+β(V10+V20)t

= V10+V20+βm1?m2m1t1?m2t2? dm1?m2

= V10+V20+β(m1t1m2t2) ?dd

=V10+βV10t1+V20+βV20t2=V10(1+βt1)+V20(1+βt2)

=V1+V2

3 体积之和不变,在本题仍为410 cm。当把多杯甲苯不断地加入进行混合,对任何数量

的甲苯这个结果都成立。

0【题3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内,以45角射

在半圆柱体的平面上(如右图),玻璃的折射率为2。试

问光线在何处离开圆柱体表面?

解:用角度Ψ描述光线在玻璃半圆柱体内

的位置如解图2.3所示。按照折射定律:

sin450

?2 sin?

得:sin?=?,?=30

所有折射光线与垂直线的夹角均为

0030,有必要研究一下,当Ψ角从0增至

0180的过程中发生了什么现象。

0 不难看出,Ψ角不可能小于60。

光线从玻璃射向空气全反射的临界角由解图3.2 0sin?t?12 ?n2

0求出:?t=45,

0000则:Ψt=180―60―45=75

0如果Ψ角大于75,光线将离开圆柱体。随着Ψ角的增加,光线将再次发生全反射,

0000此时Ψt=90+30+45=165

0000故当:75<Ψ<165时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为165―75

0=90。

【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子,每个盒上有两个插孔。不许打开盒子,试确定盒中元件的种类,并测定其特性。可供使用的是,内阻和精度已知交流和直流仪器,以及交流电源(频率50 HZ)和直流电源。

解:在任何一对插孔中都测不到电压,因此,盒子都不含有电源

先用交流,再用直流测电阻,有一盒给出相同的结果。结论是:该盒包含一个简单电阻,

其阻值由测量确定。

另一盒有极大的直流电阻,但对交流来说是导体。结论是:该盒包含一个电容,其电容

值由C?1算得。 ?R

第三个盒子对交流和直流都是导体,而交流电阻较大。结论是:该盒包含一个电阻和电

感,两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第3届

(1969年于捷克斯洛伐克的布尔诺)

【题1】右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为mA=0.3kg,mB=0.2kg,mC=1.5kg。 (a)沿水平方向作用于C车的力F很大。使A、B两车相对C车保持静止。求力F及绳子的张力。

(b)C车静止,求A、B两车的加速度及绳子的张力。

(忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量)

解:(a)A、B两车相对C车保持静止,A车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的拉力为mAg。这个力使B车得到加速度aB?mAg。又三车系统以相同的加速度运动,则: mB

F?(mA?mB?mC)mAg mB

2由给定的数值得:aB=aC=aA=1.5g=14.7m/s

绳中的张力为:T=mAg=2.94N

水平推力为:F=29.4N

(b)如果C车静止,则力mAg使质量mA+mB加速,加速度为:

aAB?mAg=0.6g=5.88N mA?mB

/绳中的张力为:T=mAg-mA×0.6g=1.176N

【题2】在质量为m1的铜量热器中装有质量为m2的水,共同的温度为t12;一块质量为m3、温度为t3的冰投入量热器中(如右图所示)。试求出在各种可m3c3t3能情形下的最终温度。计算中t3取负值。铜的比热c1=

000.1kcal/kg·C,水的比热c2=1kcal/kg·C,冰的比热c3=

00.5kcal/kg·C,冰的熔解热L=80kcal/kg。 解:可能存在三种不同的终态:(a)只有冰;(b)冰水共存;

(c)只有水。

(a)冰温度升高,但没有熔化,达到某一(负)温度ta;

放出的热量和吸收的热量相等:

c3 m3(ta-t3)=(c1 m1+c2 m2)(t12-ta)+m2L 得出最终的温度为ta?(m1c1?m2c2)t12?m3c3t3?m2L (1) m1c1?m2c3?m3c3

0情况(a)的条件是ta<0(注:指0C),如果上式的分子为负值,我们得到下列条件:

(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3―m2L (2)

(c)现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为tc,冰块吸收的热量等于量热器和水放出的热量:c3 m3(0-t3)+m3 L+c2 m3tc=(c1 m1+c2 m2)(t12-tc) 得出最终的温度为tc?(m1c1?m2c2)t12?m3c3t3?m3L (3) m1c1?m2c2?m3c2

这种情况只有在tc>0时才能发生。取上式的分子为正值,得到下列条件:

(c1 m1+c2 m2)t12>―c3 m3t3+m3L (4)

0 (b)冰水共存这种情况是冰和水混合后都以0C共存于量热器中。根据(2)式和(4)

式,条件为:―c3 m3t3―m2L<(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3+m3L

如果混合后有x克冰熔化了,则―c3 m3t3+x L=(c1 m1+c2 m2)t12

(m1c1?m2c2)t12?m3c3t3

L

于是混合后,在量热器中有质量为(m3―x)的冰和质量为(m2+x)的水。x为负值意

故冰熔化了的质量为x?

味着有水结为冰,冰的质量增加。对于给定的数值,我们可以从公式容易得到最终的结果。

【题3】在竖直平面内有半径R=5cm的线圈(如图)。质量m=1g的小球系在长度为l的绝缘轻绳上,从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球-8

两者都带有Q=9×10C的相同电量时,发现小球在垂

直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 解:如果线圈上的全部电荷集中与一点,则库仑力

Q2

为F?k2

l

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为?,它们在轴上的投影为Fn=Fcos?。小球的重量为mg。由上图可得:sin??mg?R?mg

FlQ2

k2

l

所以:l?3

RkQ2922

=7.2cm(k=9×10N m/C) mg

(注:以上解答为原解,可能有错) 另解:如解答图3.3.1,在线圈上取一电荷微元,长为d ,电荷量为?d ,?为线电荷密度,2πR ?=Q。则微元电荷对小球的作用力为: Fi?k

i

?dQ

l

2

把Fi沿平行轴和垂直轴分解:Fni=Fi cos? 解答图??? Fti=Fi sin?

Fi

在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元,如解答图3.3.2。对称的电荷微元,长也为d ,电荷量为?d ,它对小球的作用力为:Fi?k

/

?dQ

l

2

Fni

把Fi沿平行轴和垂直轴分解:

Fn/i=Fi /cos? 解答图3.3.2 Ft/i=Fi /sin?

Fni与Fn/i方向相同,合力为大小相加,Fti与Ft/i方向相反,合力为大小相减,等于零。 所以线圈对小球作用的库仑力为:

2??QQ2

cos??k2cos? Fn=∑Fni=k2

ll

对小球受力分析,小球受三力作用:重力mg、

库仑力Fn、拉力T,如解答图3.3.3。则:

lcos?Fn

解答图3.3.3 ?

RmgRkQ2Q2922把Fn=k2cos?代入上式解得:l?=7.2cm (k=9×10N m/C)

mgl

【题4】一块平板玻璃放置在边长为2cm的玻璃立方体上,两者之间有一层平行的薄空

气隙。波长在0.4μm到1.15μm之间的电磁波垂直入射到平板上,经空气隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强,

其一是?1=0.4μm。求空气隙的厚度。

解:光在厚度为d的空气隙中往返,经过的距离为2d。光被玻璃反射

时,还经受180的相位改变。于是对波长为?1的光,增强的条件为: 2d=k1?1?

?1

2

(k1=0,1,2,3,??)

类似地,对其它波长的光,产生极大增强的条件是: 2d=k2?2?

?2

2

(k2=0,1,2,3,??)

比较这两个条件,得到:

2k1?1?2

?

2k2?1?1

根据波长给定的范围,得到:

?21.15=?2.875 ?10.4

这个比值的最小可能值为1,最大可能值为2.875。因此我们得到关于k1和k2的下列条件:1<

2k1?1

<2.875 (1)

2k2?1

只有分数值满足条件(1)式的各个1和2对才是合格的,我们已在表格中算出。但其中只有一对是允许的。这就是说,我们应当找出这样的一列,其中只能有一对是允许的k1和k2。从表中看出,仅有的是k1=2,k2=1这一对,其分数值是1.67,这就是解答。 对于k1=0.4μm的光,根据2d=2×0.4+0.2=1μm,得到空气隙的厚度为d=0.5μm

由2×0.5=?2??2

2

得到第二个波长为k2=0.667μm

【实验题】给定一闭合电路,它是由已知电阻R、未知电阻X以及内阻可以忽略的电源组成的。电阻X是可调电阻器,由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和零点在中心的电流计组成,它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻X及端电压之比。

U

E

UE

解答图3.5.1 解答图3.5.2

解答:联接两种补偿电路,如解答图3.5.1和解答图3.5.2。第一次测量不包括R。滑动接触块的位置在第一次测量中由比率x给出,在第二次测量中由y给出,在此两中测量下,电阻值之比等于电势差之比,所以有

ExXER?yX, ??UR?XUR?X

1) x?y解得:X?R(

把X?R(

1ExExX得: )代入??x?yU1?x?yUR?X

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第4届

(1970年于苏联的莫斯科)

【题1】如图4.1(a)、(b),在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇

上的马达牵引着一根绳子,使雪橇以速度v0=0.1m/s运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数μ=0.02。把住木板,起动马达。当雪橇达到速度v0时,放开木板。在此瞬间,雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在(a)远处的桩子,(b)木板的端面上。

试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面?

图4.1(a) 图4.1(b)

解:(a)在第一种情形中(如图4.1(a)),雪橇处于匀速运动状态。

雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为?mg,它作用在木板上,产生的加速度a?

5.1s 22v0v0M?在这段时间内,雪橇的位移为S0?=0.255m 2a2?mg?mgM,直至木板达到雪橇的速度v0为止。加速时间为t0?v0v0M=?a?mg

因此,雪橇离木板右端点的距离为0.5m-0.255m=0.245m

雪橇不能达到木板的一端,因为这段时间以后,木板与雪橇以相同的速度v0一起运动。在木板加速期间,马达必须用力?mg牵引绳子,但以后马达不能施加力的作用,它只是卷绳子。

(b)在第二种情形中(如图4.1(b)),木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个孤立系统,可以用动量守恒定律。当我们放开木板时,雪橇的动量为mv0,释放后的木板具有速度v2,它由下式决定:

mv0=M v2+m(v0+v2)

此式表明v2=0,所以木板保持不动,雪橇以同一速度继续前进。 雪橇达到木板右端的时间为t?

【题2】NaCl的晶体点阵由边长为5.6×10cm的立方晶胞组成,它是面心立方点阵。钠原子量约为23,氯原子量为35.5,

3NaCl密度为2.22g/cm。试计算氢原子

的质量(如图4.2)。

解:我们先求出一个晶胞的Na离子5.610-8cm数。在立方晶胞中心有一个离子,在立

方晶胞的每一边也有一个离子,但后者

仅有四分之一是属于这个晶胞的。 故钠离子数为:1?-8L0.5?=5 s v00.112?4 4

氯离子也是这个数。密度可以表示为晶

图4.2

胞的质量与体积之比,故若用m表示氢原子的质量,则密度可表示为:

?=4?23m?4?35.5m?2.22 (5.6?10?8)3

解上式可求得氢原子的质量为

-2427 m=1.66×10g=1.66×10-kg

【题3】半径r=10cm的金属球置于半径R=20cm的薄金属空心球内,两球同心。内球

-8靠一根长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量Q=10C,求外球电势(如图4.3)。

解:这里有两个电容,并联连接。其一由外球和内球组成,另一

由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。

导体球相对远处地球的电容为R9 22,其中k=9×10N m/C,Rk

①为导体球半径。在空心球情形,如果内球接地,电容为:

111?k(?), 图4.3 CarR

所以:Ca?1Rr ?kR?r

R1Rr1R2

两个电容并联总电容为:C??? ??kkR?rkR?r

把R=0.2m,r=0.1m,k=9×10N m/C代入上式得:C=44.4×10F=44.4 pF 故外球相对与地球的电势为:U?

①9 22-12Q=225V C(注:Ca是内外球组成的球形电容器的电容,与内球是否接地无关。)

【题4】在半径r=2m、孔径d=0.5m的凹面镜的焦点位置上,放一块圆形屏幕,使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到

仅由原来的1/8,问有多少部分的光能达

到在同样位置的屏幕上? 解:我们只有采用较精确形式的反射定律,通过利用某些数学近似来求解本题。

按照教科书中通常的理论推导,半径

PO=R的凹面镜的焦点位于距离R的中点F

处。我们用h表示凹面镜孔径之半。在P

点的入射光线与半径的夹角为?,反射后

与轴交于F1点。OP F1是等腰三角形。 图?? 则:OF1?R 2cos?

RRR??(se?c?1) 2co?s22

故实际焦点与理论距离的偏差为 FF

1?OF1?OF?

我们把圆形屏放在点F处,要求出屏幕的最小半径值x。在直角三角形P F F1中,应用通常的小角近似,得:x?F1Ftan2??F1Fsin2??F1F2hR2h?(sec??1)?h(sec??1) R2R

1?2

对于小角度:cos??1?,故sec?? ?1?2cos?2?2

h3h将??代入,得焦“斑”的半径为x? 2R2R

将数值:h=50/2=25cm;R=200cm,代入

即得:x=0.195cm=1.95mm

再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为x,则入射到凹面镜的光束半径为 h?2R2x

如果我们用半径kx的屏代替半径为x的屏,则入射光束的半径为:

2 hk?2Rkx

入射光的量正比于hk,因此

22222 hk?(2Rkx)?hk 2

本题情形是k?11,由此得出,落在圆形屏幕上光的量将是前者的 84

【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜,一块有几何图形的屏,一支杆和一把卷尺。仅用所给的工具,以不同的方法测定透镜的焦距。

解答:有几种可能的方法。在凸透镜情形,我们用目视观查虚像的消失,并测定透镜的距离。

我们注视着实像,借助于视差把杆放在实像的位置上,测量物距和像距,从而计算出焦距。

再看凹透镜情形。我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起,并用上述方法之一测量系统的焦距,然后算出凹透的焦距。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第5届

(1971年于保加利亚的索菲亚)

【题1】质量为m1和m2的物体挂在绳子的两端,绳子跨过双斜面顶部的滑轮,如图5.1。

统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么?摩擦可以忽略。

解:我们用a表示双斜面在惯性参照系中的加速度(正号表示向右的方向)。用a0表示物体相对斜面的加速度(正号表示左边物体m?下降)两个物体在惯性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到(如解 图5.1

图5.1)。用F表示绳子中的张力。 对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。2使物体m1加速下降的力是 m1gsin?1-F 在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为 a0-acos?1

所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为: 解图5.1

m1(a0-acos?1)=m1gsin?1-F

同样,对于m2有

m2(a0-acos?2)=F-m2gsin?2

两式相加:(m1cos?1+m2cos?2)a=(m1+m2)a0-(m1sin?1-m2sin?2)g (1)

我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。

斜面在惯性系中的速度为v(向右)。物体相对斜面的速度为v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量(向左)分别为:v0 cos?1-v 和 v0 cos?2-v

利用动量守恒原理:m1(v0 cos?1-v)+m2(v0 cos?2-v)=m v

对匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:m1(a0 cos?1-a)+m2(a0 cos?2-a)=m a 所以a?m1cos?1?m2cos?2a0 (2) m?m1?m2

上式给出了有关加速度的信息。很明显,只有当两物体都静止,即两个物体平衡时,斜面才静止,这是动量守恒原理的自然结果。

由方程(1)和(2),可得到加速度为:

a0?(m?m1?m2)(m1sin?1?m2sin?2)g 2(m1?m2)(m?m1?m2)?(m1cos?1?m2cos?2)

a?(m1cos?1?m2cos?2)(m1sin?1?m2sin?2)g (m1?m2)(m?m1?m2)?(m1cos?1?m2cos?2)2

1如果m1sin?=m2sin?2 即 m1sin?2? m2sin?1

则两个加速度均为零。

【题2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气,在圆筒内有空气。第一步,水银柱高度h1=70cm,空气压强pk1=1.314atm=133.4kPa=100cmHg,

0温度为0C=273K。第二步,向上提升活塞,直至水银柱高度降为h2=40cm,这时空气压强为pk2=0.79atm=80kPa=60cmHg。第三步,保持体积不变,提高温度到T3,此时水银柱的高度为h3=50cm。最后,第四步,温度为T4,水银柱的高度为h4=45cm,空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。

解:我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L表示。为了简单起见,我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg为单位给出(见解图5.2第一步至第四步)。

L70cm40cm50cm45cm

次 数 1 2 3 4

氢气压强 ph1 ph2 ph3 ph4

氢气体积 V h1 V h2 V h3 V h4

空气压强 100cmHg 60cmHg pk3 = pk4

空气体积 V k1 V k2 = V k3 V k4

两者温度 273K 273K T3 T4

解图5.2

从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律:(L-70)(100-70)=(L-40)(60-40)

由此式求得玻璃管的长度L=130cm,

因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:V h1=60cm,V h2=90cm,V h3=80cm,V h4=85cm 从第二步到第三步,氢气的状态方程为:(60?40)?90?(ph3?50)?80 273T3

对空气应用盖吕萨克定律:pk360? T3273

从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便使空气压强保持不变。氢气的状态方(p?50)?80(pk4?45)?85程为:k3 ?T3T4

解以上方程组,得:pk3=pk4=80cmHg, T3=364K, T4=451K,

所以氢气的压强为:ph3=30cmHg ph4=35cmHg

算出空气的体积比为:V k1:V k2:V k4=6:10:12.4

(注:cmHg为实用单位,应转换成国际单位Pa)

【题3】四个等值电阻R、四个C=1?F的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来,如图5.3所示。各电池的电压为U1=4V,U2=8V,U3=12V,U4=16V,它们的内电阻均可忽略。(a)求每个电容器的电压和电量,(b)若H点与B点短路,求电容器C2上的电量。 U1_C解:(a)GRGCC11将这个网U2U1_F络展开成BC3RRR2U平面图_3C3FHC2(如解图URC4R_3R5.3.1)。HC4U4D_由于电流EU4C2R_不能通过AE电容器,

所以只在图 图5.3 解图5.3.1 中A-B-C-G-H-E-A回路的导线中有电流。在这个回路中,电压为12V,电阻为4R。 因此电流为:I?U4?U1 4R

于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A点的电势为零,就能很容易地算出各点的电势。

A 0 V

B (U4-U1)/4 3 V

C (U4-U1)/2 6 V

G (U4-U1)/2+U1 10 V

H (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4 13 V

E (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/2 16 V

D (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4-U3 1 V

F (U4-U1)/4-U3+U2 11 V

从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下:

-6 C1 (11-10)V=1V, 1×10C。

C2 (16-11)V=5V, 5×10-6C。

C3 (6-1)V=5V, 5×10-6C。

C4 (1-0)V=1V, 1×10-6C。 _2CG我们可以算出各电容器的储能量CU /2。电容器C1和

U1C4各有0.5×10-6 J,电容器C2和C3各有12.5×10-6 J。

RR(b)H点与B点连接,我们得到两个分电路。如解图

U5.3.2。在下方的分电路中,电流为4,E点相对A点的电2R

势是U4=16 V,H点与B点的电势是U4/2=8 V。F点的电势为U2_HRU4_EC2RAU4?U2=16 V 2

于是,电容器C2两极板的电势均为16 V,结果C2上无电量。 解图5.3.2

【题4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离镜面3R,缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。4水的折射率为n?。如图5.4(a),5.4(b) 3

解:鱼在1秒钟内

游过的距离为v。 图5.4(a) 我们把这个距离当作物,而必须求出两个不同的像。在计算中,我们只考虑近轴光线和

小角度,并将角度

的正弦用角度本身 图5.4(b)

去近似。

在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,如图5.4(a)所示。从T1点以角度r=∠A T1O发出的光线,在A点水中的入射角为r,在空气中的折射角为n r。把出射光线向相反方向延长,给出虚像的位置在K1,显然∠K1A T1=n r-r=(n-1)r

从三角形K1 T1 A,有:K1T1(n?1)r??n?1 K1Ar

利用通常的近似:K1A≈K1O+R, K1AT1≈K1O-R 于是K1O?R?n?1 K1O?R

所以这个虚像与球心的距离为K1O?

水的折射率n?

得到放大率为nR 2?n4,从而K1O=2R。若折射率大于2,则像是实像。有像距与物距之商3K1On? T1O2?n

对水来说,放大率为2。

以与速度v相应的线段为物,它位于在E处的平面镜前的距离为2R处,它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下,我们假设T2O=kR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此,我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4(b)所示。

我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角β,其中r=∠CT2F。 在三角形T2OC中,?

r?T2OkR??k β=k r COR

玻璃中的折射角为:?

n?kr??DCO??CDO n

需要算出∠DOB。 因为:∠COF=β-r=k r-r=r(k-1)

而且∠COD与C点和D点的两角之和相加,或与∠COF和∠DOB之和相加,两种情况都等于180,因此?DOB?r(k?1)?

即?DOB?r(02kr n2k?k?1) n

OK2?DK2从三角形DOK2,有?2kr(?k?1)n?k2k?k?1n 此外OK2k, ?2kOK2?R?k?1n

nkR n(2k?1)?2k因此像距为:OK2?

若k=5,n=410,得OK2?R 33

放大率为OK2n? OT2n(2k?1)?2k

若k=5,n=42,则放大率为 33

综合以上结果,如鱼以速度v向上运动,则鱼的虚像以速度2v向上运动,而鱼的实像以速度228v向下运动。两个像的相对速度为2v+v=v, 333

是原有速度的倍。

我们还必须解决的最重要的问题是:从理论上已经知道了像是如何运动的,但是观察者在做此实验时,他将看到什么现象呢?

两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察到两个反向的速度,其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实像是可能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”,是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远,尽管有距离差,但所看到的速度将逐渐增加而接近8。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息。 3

2n(k?1)(n?1) ?2?n2k(n?1)?n 两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为:

用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。

【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻Rb和电动势U0。

画出作为外电阻R函数的有用功率,总功率以及效率?的曲线。

解答:端电压为U?

U0R

R?Rb

电流为I?

U0U

?

R?RbR

总功率为P0=U0I 有用功率为:P=U I 效率为η=

P P0

利用以上公式,得到要求的六个函数,如解图5.4(a)――(f)所示。

(a(bU02R

P=U0I-RbI P=

(Rb?

R)2

2

(c(dU0

2

P0=U0I P0=

Rb?R

(e(f)

?=1-

RbRI ?= U0Rb?R

测出适当选择的两个值,由以上公式便可求出Rb和U0。这些数据应该是独立于外负载,

所以这样的测量并不可靠,大负载时尤其如此。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第6届

(1972年于罗马尼亚的布加勒斯特)

【题1】给定三个圆柱,它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱;第二个是空心圆筒,壁有一定厚度;第三个是同样壁厚的圆筒,但两端用

薄片封闭,里面充满一种密度与筒壁相同的液体。如将它们放

在倾角α为的斜面上,如图6.1所示,求出并比较这些圆柱的线加速度。研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。圆柱与斜面

的摩擦系数为μ,液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。

解:沿斜面方向作用在圆柱上的力是:作用于质心重力的分量mg sin?和作用于接触点的摩擦力S,如图6.1所示。产生的

加速度a :

ma=mg sin?-S

纯滚动时的角加速度为:

?=

转动的运动方程为:

RS?

以上方程组的解为:

a?a RaI Rgsin? I1?mR2

mgsin??

S?

1?I

mR2ImR2 (1)

当S达到最大可能值μmg cos?时,也就到了纯滚动的极限情形,这时:

I

2mR ?mgcos?h?mgsin?h I1?mR2

即维持纯滚动的极限条件为

mR2

) (2) tan?h??(1?I

下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。

(Ⅰ)实心圆柱的转动惯量为

I?1mR2 2

2gsin?, tan ah=3μ

3从(1)式和(2)式分别得到 a?

角加速度为:β=a R

(Ⅱ)设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的n倍。因已知圆柱的质量是相等的,故可以算出圆筒空腔的半径r:

??RL?n??L(R?r)

r2?R2

转动惯量为:

I?0.5n??LR2?R2?0.5n??LR2?r2?0.5mR2

由(1)式和(2)式分别算出:

a?

角加速度为:β=222n?1 n2n?1 n2n4n?1gsin?, tan?h?? 4n?12n?1a R

(Ⅲ)对充满液体的圆筒,因液体与筒壁之间无摩擦力,故液体不转动。总质量为m,但转动惯量只需对圆筒壁计算:

I?0.5n??LR?R?0.5n??LR?r?0.5mR

由(1)式和(2)式分别算出: 222222n?1 n

2n22n2?2n?1 a?gsin?, ta?nh?? 2n?12n2?2n?1

角加速度为:β=a R

现在比较三个圆柱体的运动特点:线加速度和角加速度之比为:

3n23n 1∶∶ 4n?12n2?2n?1

极限角正切之比为:

2n2?2n?14n?1 1∶∶ 3(2n?1)3(2n?2)

如果斜面倾角超过极限角,则圆柱又滑又滚。此时三个圆柱体的摩擦力均为μmg cos?,故线加速度相同,为:

a=g(sin?-?cos?) 角加速度由?=R?mgcos?给出,但转动惯量在三种情况下各不相同。因此,若圆柱体又I

2?cos?g R滚又滑,则三种情况下的角加速度分别为: ?1?

?2?2?cos?n?g R2n?1

2?cos?n2

?3??g R2n?1

2【题2】有两个底面积为1dm的圆筒,如图6.2所示,左方圆筒装有一种气体,气体的质

0量4g,体积22.4L,压强1atm,温度0C。右方圆筒装有同种气体,气体的质量7.44g,体

00积22.4L,压强1atm,温度0C。左方圆筒筒壁绝热,右方圆筒靠一个大热库维持温度0C。

整个系统在真空中。放开活塞,它移动了5dm后达到平衡并静止。试问右方圆筒中的气体吸收了多少热量?气体等容比热为0.75cal/g?K。

00C

图6.2

解:放开连杆前,右方气体压强为:

7.44/4=1.86(atm)

33在达到平衡时,左方气体体积为22.4+5=17.4(dm),右方气体体积为22.4+5=27.4(dm)。

左方气体经绝热过程升高温度到T,压强为p。右方气体经等温膨胀到同一压强。等温膨胀由下式表示:

1.86×22.4=×27.4

解得:

p=1.521 atm

对左方气体应用绝热过程定律,得:

kk 1×22.4=1.521×17.4

由此可求得比热之商k如下

(22.4k)?1.521 17.4

k 1.2874=1.521

k=1.66

(看来它是一种单原子气体:氦。)

左方气体的温度可从状态方程算出:

1?22.41.521?17.4 ?273T

解得:

0 T=322.5K t=49.5C

在这个过程中,右方气体的温度没有改变,它吸收了

0.75×4×49.5=148.5 cal

注的热量,这些热量表现为气体的内能。

(注:此处是指左方气体的内能。因为右方气体等温膨胀,所吸收的热量等于它对左方气体所作的功。左方气体绝热压缩,右方气体对它所作的功等于左方气体内能的增量。)

【题3】将焦距为f的一个透镜,沿其表面的垂直方向切割成两部分。把两个半透镜移开一

色点光源,问在透镜的另一方距离H处的屏幕上将出现多少干涉条纹?

解:由两部分透镜所产生的像是相干光源,所以可以发生干涉。设两个点光源的距离为d,若光程差等于波长λ,则在h远处的屏幕上将出现第一个极强,如解图6.1所示。即:

dsin?=λ 解图6.1 S,各级极强的间距为: h

dS?h ??, S?hd由于?是小角,取近似sin??

下面计算两个焦点的位置。

一个点光源位于焦距为f的透镜前t距离处,它产生的实像位于k?

示。

tf,如解图6.2所t?f

解图6.2

若切口的宽度为δ,则两实像点间的距离可从下列比例式中得到:

因此d??d??t?k tt?k?t ?tt?f

像点K1和K2是相干光源。它们发射出来的光束的干涉在屏幕上观察到。条纹的间距为S??h

d,其中d为已知。屏幕到像点的距离为:h?H?k?H(t?f)?tf t?f

在此实验中,条纹间距为:S???H(t?f)?tf? t?

干涉条纹出现在K1和K2发出的两束光交叠处。由相似三角形求得两束光交叠部分的直径为D??h?t t

D?2H?t??用S除D,得条纹数目为N? S?H(t?f)?tf

如果f =10cm,t=20cm,δ=0.1cm,λ=0.5μm,H=50cm,则得N=46.6 。 当屏幕比A点更近时,对D必须另作计算。如屏幕在B点以内,则无干涉条纹。

【实验题】给定两个圆柱体,它们的大小、形状、材料均相同,其一是实心体,另一个内部有一个与圆柱轴平行的圆柱形空腔。后者两端用薄片封闭。试确定材料密度,以及空腔轴与圆柱轴之间的距离。

解答:实心圆柱体的密度可由其质量和体积确定。其次我们测量有空腔的圆柱体的质量,根据两个圆柱体质量之差,算出空腔的体积和直径。为求出两轴的距离,可以用几种方法。例如,把圆柱体放在水平面上。确定使它恢复平衡的力矩最大时的位置,这时两轴构成的平面是水平面,由于知道了空腔的大小,便可算出轴间距离。另一种方法在于测定圆柱体对空腔最近或最远的那条母线的转动惯量。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第7届

(1974年于波兰的华沙)

【题1】一个处于基态的氢原子与另一个静止基态的氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少?如果速度较大而产生光发射,且在原速度方向可以观察到光。问这种

-27光的频率与简正频率相差多少?氢原子质量是1.67×10kg,电离能E=13.6 eV=

-18 2.18×10J。 解:处于基态的氢原子能量为E1??E?

原子吸收的最小能量为?E?E2?E1?E(11,第一激发态能量为。被氢E??E?22212113?18 J ?)?E?1.163?1041222

我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数据代最小速度。如果碰撞是完全非弹性的,则

2v2m()2

mvmv2 2碰撞中能量损失最大,碰撞后的速度将是v/2,??224

mv2

这个值应等于最小的能量子?E? 4

因此v?4?E?6.26?104m/s m

非弹性碰撞后,两个原子的速度为v?3.13?104m/s 2

本题第二问的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度,相对速度之比给出

48-4-2 频率相对变化的极好近似:6.26×10∶3×10=2.09×10=2.09×10%

两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率。

【题2】给定一厚度为d的平行平板,其折射率按 下式变化n(x)?n0

x1?r 束光在O点由空气垂直射入平板,并在A点以角 度?射出,如图7.1所示。求A点的折射率nA,并

确定A点的位置及平板的厚度。(设n0=1.2,r=13cm,β1解:首先考虑光的路线,如解图7.1所示。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光,可以应用斯奈尔

定律:sin?1n2si?n2n3??, sin?2n1si?n3n2

?

?

?更简单的形式是: n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3??

这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里,

n4n1n2n3折射率只沿x轴变化,即nxsin?x=常数

解图7.1

在本题中,垂直光束从折射率为n0的点入射,即

0 nx=n0 ?x=90

则常数等于n0,于是在平板内任意一点有 nxsin?x=n0

nx与x的关系已知,因此沿平板中的光束为:

sin?x?n0xr?x?1?? nxrr由解图7.2表明光束的路径是一个为XC=r的圆, 解图7.2 从而有:OC?x=sin?x XC

sin?sin?? sin(900??A)cos?A

n0 nA 现在我们已知光的路径,就有可能找到问题的解答。按照折射定律,当光线在A点射出时,有:nA?因为nA sin ?A=n0,故有:sin?A?

cos?A??(

于是nA?n02) nA sin?

?(n02)nA

因此nA?2n0?sin2?

在本题情形n A=1.3

由1.3?1.2 x1?1.3

得出A点的x坐标为x=1 cm

光线的轨迹方程为y+(1-x)=r

代入x=1 cm,得到平板厚度为y=d=5 cm

【题3】一科学探险队因船只失事流落荒岛。他们没有能源,却发现了一种惰性气体源。

这种气体比空气重,其压强与温度同周围的大气相等。探险队有两个膜片,其中一个能渗透

该气体,另一片只能渗透空气。试设计一个做工的热机。

解:我们要用到两个重要的定律。如果一个容器中装着气体混合物,则每种气体的分压

强等于这种气体在同样温度下单独占据相同体积时的压强。压强计在混合气体中读出的是各

分压强之和。如果一膜片对某一气体是可渗透的,则在膜

片两侧该气体的分压强相等。我们设计这样的热机(见解

图7.3)对惰性气体能渗透的那张膜片装在管子里,这个

管子把气源与活塞下面的圆筒连通。对空气能渗透的那张

膜片装在圆筒底部。在活塞下部总有同样的一个大气压压1

对气体可渗透2强,因而空气对所做的功来说是没有关系的。首先,打开

管中的阀门1,导通可渗透气体的膜片。膜片两侧气体的

分压强将相等,于是活塞下部也有这一分压强。结果圆筒

气体源内总压强将达到二个大气压,活塞上升做功。关闭阀门1

可停止活塞的上升运动,然后打开阀门2,活塞回到初始

位置而不做功。 解图7.3

如果圆筒导热良好,且过程足够缓慢,则上述过程是等温的,做功等于

RTln对气体可渗透 222V2 V1

这个过程不是循环过程,我们也不在乎它的效率。

有两个膜片就可以实现上述过程,只要有一个周围是真空的气体源。

【实验题】两个同类的半导体二极管和一个欧姆电阻以未知方式联接,并封闭在一个盒

里。盒子有两个引出线接线柱,不打开盒子

试测量该电阻的欧姆值。

解答:分别在两个方向测定两个不同电压下

的电流,我们得到下列结果:两个方向都能

观测到电流,但并不相同,且不是电压的线

性函数。根据这些结果,不难画出如解图7.4所示的网络。 解图7.4

其次,画出两个方向的伏安图,找到在两个方向上电流相同的两个电压。电压之差

给出电阻两端的电压,除以电流,得出电阻的欧姆值。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第8届

(1975年于德意志民主共和国的居斯特罗)

0【题1】一根杆以恒定的角速度ω绕竖直轴旋转,杆与轴的夹角为(90-α)。质量为

m的质点可以沿杆滑动,摩擦系数为μ 。求转动过程中,质点保

持在同一高度的条件(如图8.1)。

解:我们发现,采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如

果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值,就称这个角ε为“滑动

摩擦角”(如解图8.1所示),即tan ε=μ

我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线之间的夹角在滑动摩擦角之内,则摩擦力大到足以阻止运动。极

限情形是合力与摩擦角的一臂重合。

对于本题,当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况 时,合力应位于(α+ε)角的双臂内(如解图8.2所示)。 图8.1

解图8.1 解图8.2

22把质点压在杆上的力是重力mg与mωr=mωLcosα的合力。故质点在向上滑动的极限

情形下,角(α+ε)的正切为

m?2Lcos??2Lcos?tan(???)?? mgg

同理,质点向下滑动的极限情形可用角(α+ε)的正切得到。于是,如果tan(?-?)?60045030

150?2Lcos?g?tan(???)

则质点在旋转杆上处于平衡。

从边界条件可以看出,存在着一个较高位置(Lf)和一个0.3m0.10.2

较低位置(La),质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇

解图8.3

平衡状态。在这两边界之外,质点无法平衡,质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置Lf-La可由边界条件导出:

Lf?La?2gtan? 2322?cos?(1?tan??tan?)

解图8.3对不同的α角,画出质点在杆上哪些部分处于随遇

-10平衡,(取ω=10 s,μ=0.268,ε=15)。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。

【题2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件,并就不同类型的透镜讨论可行性。

解答:我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜

由下述数据表征:球形表面的半径r1和r2,厚

度d和折射率n(如解图8.4所示)。焦距f=B F

由下式给出

?111n?11??(n?1)???d()? frrnrr212??1焦距是从主点B算起的。B点离表面的距离为 解图8.4

BA?h?r2d n(r1?r2)?d(n?1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立,但只对近轴光线才给出满意的结果,因为是在一

定的近似下得到的。

光被透镜色散。透镜对波长λ a的折射率是n a,对波长λ b的折射率是n b。按折射

率的幂次整理焦距公式,得

f(r1+r2-d)n2+[2fd-f(r1 +r2)-r1r 2]n-f d=0

这是一个二次方程。给定一个f值,应有两个n值,因此,我们的问题可望解决。

先后以n a和n b代入方程,并令其相等:

(na?1)(n?1n?11111??d?a)?(nb?1)(??db) r1r2nar1r2r1r2nbr1r2

结果得出r1?r2?d(1?1) nanb

如果半径r1、r2与厚度d满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两个不同的折射率

来说,焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积n a·n b在起作用,而不是色散(n b-n a)。

因为折射率大于1,于是括号内的数值小于1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相

当厚的。

结果讨论:首先透镜不能是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次,r1

和r2之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。

如果要求的不是f而是(f-h)对两个折射率有相同的值(注:即要求消除焦点色差),

实现这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。

【题3】质量为m的一簇离子在P点以同一速度v向不同方向散开(如图8.2)。垂直纸

面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点,距离PR=2a,离子的轨道应是对称的。试确定磁

场区的边界。 解:在磁场B中,作用于电量为Q、速度为v的质点

上的洛仑兹力为Q v B。结果使粒子在半径为r的圆轨道上运动,即:

2

QvB?mv rPR

质量为m的所有粒子都在半径为 图8.2

mv的相同的圆轨道上运动。离开磁场后,它们将r?QB沿最后的切线方向直线飞行。磁场边界应按所有离子都打在同一点R的要求去寻找。要解决的数学问题是,粒子应从这

些半径为r的圆的何处离开,才能使它们的切线在R点相交。

这些半径为r的圆的圆心都位于y轴上(如解图8.5所示) 在半径为r的圆轨道上运动的粒子,在坐标为(x,y)

的A点离开磁场,沿切线飞向R。由相似三角形得到:

图8.5

y?ba?x ?xy

222圆的方程为x?(y?b)?r

消去(y-b),得到满足条件的A点的集合,因此,表示磁场

边界的函数为:

y?(a)x(a?x)

r?x22

这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线,(b)

把它对y轴反演即可。

表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离a和半径r的

相对大小(见解图8.6(a),(b),(c))。

(c) 如果半径r小于a(小速度强磁场),则磁场边界无限延伸,

①向任何方向出发的离子也都能聚焦。

② 如果半径r等于a,所有的离子也都能聚焦。磁场边界在P和R点处垂直出发,处在

有限的范围内。

如果半径r大于a,边界更为平坦。那些出发方向比P点切线更陡的离子不能达到R点。 解图8.6

① (注:原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在r<a时,v与x轴夹角

0②大于90的离子无法聚焦。在r=a时,“所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。v与x

0轴夹角大于90的离子也无法聚焦。)

【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为0.25W,

可供使用的是:对所有量程内阻均已知的两个电表,一个9V的电池,一个可调电阻器及一

个固定电阻器。

解答:通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线,表明该半导体器件是

齐纳( Z e n e r )二极管。

(注:原文无详细解答,没有给出测量伏安特性的具体线路)

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