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初中及高中数学竞赛试题及答案

发布时间:2014-01-04 16:47:23  

数学竞赛训练题三

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)

1.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<1

125

的最小整数n是( )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式

111( ) ??PQPRPS B.有最小值而无最大值 D.是一个与面QPS无关的常数

2005A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等

3.给定数列{xn},x1=1,且xn+1=3xn?1

3?xn

,则?xn?1n=( ) A.1 B.-1 C.2+ D.-2+

4.已知=(cos22π, sinπ), ??, ??,若△OAB是以O为直角顶点的等33

B.腰直角三角形,则△OAB的面积等于( ) A.1 1 2 C.2 D.3 2

x2y2

5.过椭圆C:,延长??1上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)32

PH到点Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围为( )

A.(0,3] 3 B.(3,] 32 C.[3,1) 3D.(3,1) 2

6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且

logbCsinB,都是方程AsinAx=logb(4x-4)的根,则△ABC( )

A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形

C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

8.如果:(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}

(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

(3)a是a, b, c, d中的最小数

那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

9.设n是正整数,集合M={1,2,…,2n}.求最小的正整数k,使得对于M的任何一个k

元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于

10.若对|x|≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________.

11.我们注意到6!=8×9×10,试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.

12.对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

三、解答题(每小题20分,共60分)

13.已知a, b, c∈R+,且满足

14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2,Q是l上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交l于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

15.已知a>0,函数f(x)=ax-bx2,

(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2;

(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2;

(3)当0<b≤1时,讨论:对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

kabc≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。 a?b?c

数学竞赛训练题三答案

一、选择题

1.由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以8为首项,公比为-1的等比数列,3

18[1?(?)n]1113∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n,∴|Sn-n-6|=6×()n<,得:1331251?3

3n-1>250,∴满足条件的最小整数n=7,故选C。

2.设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,则VS-PQR=111S△PQR·h=(PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面,记O到各面的距离为d,则332

VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,

1111d1d1d1S△PQR·d=S△PRS·d+S△PRS·d+S△PQS·d=?PQ·PRsinα+?PS·PRsinα+?PQ·PS·3333323232sinα,故有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即

故选D。 111sin?=常数。???PQPRPSd

,令x=tanα,∴x=tan(α+?), ∴x=x, x=1,x=2+3, x=-2-3, 3.xn+1=nnn+1nn+6n12361?xn3xn?

2005

x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1,……,∴有?x

n?1n?x1?1。故选A。

??(a?b)(a?b)?04.设向量=(x, y),则?,

??|?|?|?|

?113)?(?x?,?y??022?(x?,y??31??x?y?12222即?,即?. ∴b?(,)或22??(x?1)2?(y?)2?(x?1)2?(y?)2?x?3y

?2222?

(?311,),∴S△AOB=|a?b||a?b|=1。 2225.设P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为x=3,所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH,3(1??)?x?HP?1?x1?所以,所以由定比分点公式,可得:?,代入椭圆方程,得Q??PQ1????y1?y

3?2?22[x?3(1??)]2y2

???[,1)。故选点轨迹为,所以离心率e=??122323?3?23?

C。

6.由logx=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A=

二、填空题 11,而sinA>0,∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。 42

?x?2y?0?x?2|y|???27.。?x?2y?0 2?(x?2y)(x?2y)?4?x?4y?4?

由对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。

8.46个。abcd中恰有2个不同数字时,能组成C4=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时,能组成C3C2C2?C2C2=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时,能组成A4=24个不同数,所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

9. 解考虑M的n+2元子集P={n-l,n,n+1,…,2n}.

P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以k≥n+3.

将M的元配为n对,Bi=(i,2n+1-i),1≤i≤n.

对M的任一n+3元子集A,必有三对Bi1,Bi2,Bi3同属于

A(i1、i 2、i 3两两不同).

又将M的元配为n-1对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1.

对M的任一n+3元子集A,必有一对Ci4同属于A,

这一对Ci4必与Bi1,Bi2,Bi3中至少一个无公共元素,这4个元素互不相同,且和为1111124

2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+3

10?121?1t?1t?1,。①若t2-4>0,即t<-2或t>2,则由2>x(|x|≤1)恒成立,得2?1, 22t?4t?4

t+1>t2-4, t2-t-5<0解得1?211?211?211?21,从而<t<-2或2<t<。②若?t?2222

t2-4=0,则t=2符合题意。③若t2-4<0,即-2<t<2,则由t?1t?1<x(|x|≤1)恒成立,得??1,t2?4t2?4

t+1>-t2+4; t2+t-3>0,解得:t<?1??1??1?或t>,从而<t<2。综上所述,222

t的取值范围是:?121?1<t<。 22

11.23.。

12.1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,又令x=1, y=-1可得f(1)=1,再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以f(y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由f(1)=1可知对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t,由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0

相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。

三、解答题

13.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab)2+(22ac+22bc)2= (a?b)2?(a?b?4c)2

?(a?b?c) 4ab+8ac+8bc+16c。所以abc

221abc)?(5)?100。 ≥8(52a2b2c224

当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。

14.以l为x轴,点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x?2=1+r。所以22

r?2r?3, ∴tan∠MAN=2kAN?kAM

1?kAN?kAMo?ro?h?? o?ho?h1??x?r?hx?r?k

?2rh2rh2rh??(x?k)2?r2?h2(?r2?2r?3)2?r2?h2h2?k2?3?2r?2kr2?2r?3

,令2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

21,所以nm+r?kr2?2r?3=nhr,∴m+(1-nh)r=?kr?2r?3,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为

?m2??3k2(1)?2对于任意实数r≥1,上式恒成立,所以?2m(1?nh)?2k(2),由(1)(2)式,得m=0, k=0,

?22(1?nh)?k(3)?

由(3)式,得n=11。由2m=h2+k2-3得h=±3,所以tan∠MAN=。所以∠MAN=60°hn

或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。

a2a2a2a15.(1)证:依题设,对任意x∈R,都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)+,∴f()=≤1,4b2b2b4b

∵a>0, b>0, ∴a≤2b。

(2)证:(必要性),对任意x∈[0, 1],|f(x)|≤1?-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1,∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1],|f(x)|≤1?f(x)≤1,因为b>1,可推出f(1

)≤1。即1

-≤1,

∴a≤2b,所以b-1≤a≤2b。

(充分性):因b>1, a≥b-1,对任意x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x

≥-1,即:ax-bx2≥-1;因为b>1,a≤2,对任意x∈[0, 1],可推出ax-bx2≤2-bx2≤1,即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。

综上,当b>1时,对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2b。

(3)解:因为a>0, 0<b≤1时,对任意x∈[0, 1]。

f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即f(x)≥-1;

f(x)≤1?f(1)≤1?a-b≤1,即a≤b+1;

a≤b+1?f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即f(x)≤1。

所以,当a>0, 0<b≤1时,对任意x∈[0, 1],|f(x)|≤1的充要条件是:a≤b+1.

数学竞赛训练题四答案

一、选择题

1.设函数f(x)?x?6x?8,如果f(bx?c)?4x?16x?15,那么c?2b的值等于( )

A.3 B.7 C.-3 D.-7

解:取x??2,有f(c?2b)?16?16?2?15??1,而当x?6x?8??1时有x??3,所以c?2b??3,故选C.

2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( ) 222

A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆 解:把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题,容易的出答案D

3.给定数列{xn},x1=1,且xn+1=3xn?1

3?xn

2005,则?xn?1n=( ) A,1 B.-1 C.2+ D.-2+3

?,解:xn+1=令xn=tanαn,∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1,x2=2+, x3=-2-3, 61?xn3xn?

2005

x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1,……,∴有?x

n?1n?x1?1。故选A。

11?x?,x?[0,)?224.已知f(x)??,定义fn(x)?f(fn?1(x)),其中f1(x)?f(x),则1?2(1?x),x?[,1]2?

1f2007()等于( ) 5

1342A. B. C. D. 5555

解:计算17131412191117f1()?,f2()?,f3()?,f4()?,f5()?,f6()?,f7()? 51055555551055510

11111可知fn()是最小正周期为6的函数。即得fn?6()?fn(),所以f2007()?f3()=55555

4,故选C. 5

x2y2

5.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,右准线为l,一直线交双曲线两支于ab

P、Q两点,交l于R,则 ( )

A.?PFR??QFR B. ?PFR??QFR

C.?PFR??QFR D.?PFR与?QFR的大小定

解:分别做PP??l,QQ??l,垂足分别为P?,Q?,由相似三角形的性质,得

PFQFPRPFPRQR?e?,则?.故FR平分?,又有双曲线的第二定义,得PP?QQ?RQQFPP?QQ?

?PFQ.所以选C.

6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且

log

bCsinB,都是方程AsinAx=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形

b解:由logx=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因

A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A=11,而sinA>0,∴sinA=。因此42

A=30°,B=90°,C=60°。故选B。

二、填空题

7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. ?x?2y?0?x?2|y|???2答案:。?x?2y?0 2?(x?2y)(x?2y)?4?x?4y?4?

由对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。

8.如果:(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}

(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

(3)a是a, b, c, d中的最小数

那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

答案:46个。abcd中恰有2个不同数字时,能组成C4=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时,能组成C3C2C2?C2C2=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时,能组成A4=24个不同数,所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

9.设t?()?()?(),则关于x的方程(t?1)(t?2)(t?3)?0的所有实数解之和为

答案:4解:令411111212x23x56x125345f(x)?()x?()x?()x,变形为f(x)?()x?()x?()x,可236666

以发现函数f(x)是R上的减函数。又因为f(3)?1,f(1)?2,f(0)?3,从而关于x的方程(t?1)(t?2)(t?3)?0的解分别为0、1、3,

10.若对|x|≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________. 答案:?121?1t?1,。解:①若t2-4>0,即t<-2或t>2,则由2>x(|x|≤1)恒成立,22t?4

得1?211?211?21t?122?t?, t+1>t-4, t-t-s<0解得,从而<t<-2或?1222t2?4

2<t<1?21t?1。②若t2-4=0,则t=2符合题意。③若t2-4<0,即-2<t<2,则由2<x(|x|≤2t?4

?1??1?t?122,t+1>-t+4; t+t-3>0,解得:t<或t>,从而??122t2?41)恒成立,得

?1??121?1<t<2。综上所述,t的取值范围是:<t<。 222

11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为

解:设直角三角形的三边为a,b,a2?b2,则有

11ab=a+b+a2?b2,?ab-a-b?a2?b2,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, 22

?(a-4)(b-4)=

8,?a,b都是正整数,?a=5时b=12;a=6时b=8,所以满足题意的三角形有2个。

12.对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

答案:1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,又令x=1, y=-1可得f(1)=1,再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以f(y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由f(1)=1可知对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t,由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0

相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。

三、解答题:

13.已知a, b, c∈R+,且满足kabc≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。 a?b?c

解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab)2+(22ac+22bc)2= (a?b)2?(a?b?4c)2

?(a?b?c) 4ab+8ac+8bc+16cab。所以abc

221abc)?(5)?100。 ≥8(522242abc2

当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。

14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2,Q是l上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交l于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

解:以l为x轴,点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x?2=1+r。所以x=22

±r?2r?3, ∴tan∠MAN=2kAN?kAM

1?kAN?kAMo?ro?h??x?r?hx?r?h o?ho?h1??x?r?hx?r?k

?2rh2rh2rh??(x?k)2?r2?h2(?r2?2r?3)2?r2?h2h2?k2?3?2r?2kr2?2r?3,令2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

21,所以m+r?knr2?2r?3=nhr,∴m+(1-nh)r=?kr?2r?3,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对

?m2??3k2(1)?2于任意实数r≥1,上式恒成立,所以?2m(1?nh)?2k(2),由(1)(2)式,得m=0, k=0,

?22(1?nh)?k(3)?

11由(3)式,得n=。由2m=h2+k2-3得h=±,所以tan∠MAN==h=±3。所以∠hn

MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。

?an?1,当n为偶数时,??2

15. 数列?an?定义如下:a1?1,且当n?2时,an??1 ,当n为奇数时.???an?1

已知an?30,求正整数n. 19

解 由题设易知,an?0,n?1,2,?.又由a1?1,可得,当n为偶数时,an?1;当n(?1)是奇数时,an?1?1. an?1

由an?301130n?1,所以n为偶数,于是an??1??1,所以,是奇数. 19191922

于是依次可得:

an?

2?119n?1, ?1是偶数, 112

an?2?

4198n?2?1??1,是奇数, 11114

an?2?

4?111n?6?1,是偶数, 84

an?6?8113n?6是奇数, ?1??1,888

8n?14是偶数, ?1,38an?6?

8?1

85n?14是偶数, an?14??1??1,331616

an?14?

3252n?14是奇数, ?1??1,3332

an?14?

32?13n?46?1,是偶数, 232an?46?6431n?46?1??1,是奇数, 2264

an?46?2?1,64?1n?110是偶数, 64

an?110?2?1?1, 128

所以, n?110?1,解得,n=238. 128

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