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029二元一次不等式(组)与简单线性规划问题(学生学案)(生)

发布时间:2013-09-22 11:21:38  

专题029:二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(学生学案)(生)

考点要求:

1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围).

2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.

3.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域).

4.理解目标函数的几何意义,掌握解决线性规划问题的方法(图解法),注意线性规划问题与其他知识的综合. 知识结构:

1.二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:

①直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;

②直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;

③直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0.

所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.

(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念

3确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.

(1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线.

(2)特殊点定域,即在直线Ax+By+C=0的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一侧.特别地,当C≠0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.

4.平移直线法求最优解:

利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:

(1)在平面直角坐标系内作出可行域;

- 1 -

(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;

(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;

(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

注意:

(1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.

(2)求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-x,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.要注意:当b>0时,截距zz也取最小值;当b<0取最大值时,z取最小值;截距z取最大值.

基础自测:

1.如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为( ). abzbzbzbzbzbzb

A.2x-y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0

2.(zh2002201)下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的点是( ).

A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3)

3.如图所示,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( ).

?????x+y-1≥0?x+y-1≤0?x+y-1≥0?x+y-1≤0???A. B.C. D.? ?x-2y+2≥0?x-2y+2≤0??x-2y+2≥0???x-2y+2≤0?

4.(2011·安徽)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为( ).

A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1

5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,请工人的约束条件是________.

例题选讲:

1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域

- 2 -

??y≥0,

例1:(2011·湖北)直线2x+y-10=0与不等式组?x-y≥-2,

??4x+3y≤20

A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个

0≤x≤2,??

学生练习:已知关于x,y的不等式组?x+y-2≥0,

??kx-y+2≥0A.1 C.1或-3

x≥0

表示的平面区域的公共点有( ).

所表示的平面区域的面积为4,则k的值为( ).

B.-3 D.0

2.求线性目标函数的最值

7x-5y-23≤0??

例2 已知x,y满足条件?x+7y-11≤0

??4x+y+10≥0

,求z=4x-3y的最大值和最小值.

?x?y?2

?

学生练习:(2013年高考福建卷(文))若变量x,y满足约束条件?x?1,则z?2x?y的最大值和最小值分别为

?y?0?

A.4和3

( )

B.4和2

C.3和2

D.2和0

x-4y+3≤0,??

例3:(zh2002405)变量x、y满足?3x+5y-25≤0,

??x≥1.y

(1)设z=,求z的最小值;

x(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.

2x-y+2≥0,??

学生练习:(zh2002506) 如果点P在平面区域?x+y-2≤0,

??2y-1≥0( ).

上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为

34

A. B.-1 C.22-1 D.2-1 24.线性规划的实际应用

例4:某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:

已知生产每吨A300个,

- 3 -

煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?

学生练习 (2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z=( ).

A.4 650元 B.4 700元 C.4 900元 D.5 000元

巩固作业:

?x?y?8,?2y?x?4,?1 .(2013年高考四川卷(文8))若变量x,y满足约束条件?且z?5y?x的最大值为a,最小值为b,则a?b

?x?0,

??y?0,

的值是

A.48 B.30 C.24 ( ) D.16

?x?y?1?0,?2 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文3)) 设x,y满足约束条件?x?y?1?0,,则z?2x?3y的最小值是( )

?x?3,?

(A)?7 (B)?6 (C)?5 (D)?3

?3x?y?6?0,?3 .(2013年高考天津卷(文2))设变量x, y满足约束条件?x?y?2?0,则目标函数z?y?2x的最小值为

?y?3?0,?

B.-4

D.2

4 .(2013年高考湖北卷(文))某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分

别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为 ( )

A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元

5.(2013年高考陕西卷(文7))若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x-y的最小值为

( )

A.-6 B.-2 C.0 D.2 A.-7 C.1 ( )

?x?0,?6.(2013年高考大纲卷(文15))若x、y满足约束条件?x?3y?4,则z??x?y的最小值为____________.

?3x?y?4,?

?x?2y?8,?7.(2013年高考湖南(文13))若变量x,y满足约束条件?0?x?4,则x+y的最大值为________

?0?y?3,?

?1?x?3,8.(2013年高考课标Ⅰ卷(文14))设x,y满足约束条件 ?,则z?2x?y的最大值为______. ?1?x?y?0?

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