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数一竞赛试题

发布时间:2014-01-05 12:43:29  

2010年全国大学生数学竞赛中北大学选拔赛试题

5小题,每题3分,共15分)

1.以下说法错误的是

(A)设f(x)与g(x)分别是(??,??)上的奇函数与偶函数,则g(f(x))与f(g(x))都是

(??,??)上的偶函数;

(B)若f(x)是可导的奇函数,则其导函数f'(x)是偶函数;

(C)若f(x)为(??,??)上的奇函数,且存在反函数,则其反函数f?1(x)为奇函数;

(D)若f(x)为(-a,a)上(a>0)的偶函数,且存在原函数F(x),则F(x)为奇函数。

2. x?1是y?2

1?e1 的间断点,则其类型为

(A)无穷间断点; (B)跳跃间断点; (C)可去间断点; (D)振荡间断点;

sinx?0的解,f??x0??0,则在x?x0处f?x? 3. 设y?f?x?为微分方程y???y??e

(A)x?x0的邻域内单增; (B)x?x0的邻域内单减;

(C)取极大值; (D)取极小值.

4.下列级数中,收敛的是

n100

(A)?nn?02?

?

(C)?1??????1???2n?1?1; (B)?; n?0nlnn?11n?11?? ; (D)n?n?01????n

?.

5. 若点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点,则

(A)必有f??(x0)存在且等于0; (B)必有f??(x0)存在但不一定等于0;

(C)如果f??(x0)存在则必有f??(x0)?0; (D)如果f??(x0)存在,则必不等于0. 共7页 第1页

5小题,每题3分,共15分)

1.?表示单位球面x2?y2?z2?1外侧,则???xdydz?ydzdx?zdxdy= .

?

2.设f(x)是以2?为周期的周期函数,且 ?2??x,???x?0? f(x)??0,x?0

?2,0?x???

22(x?y)dv????又设f(x)的傅立叶级数展开式的和函数为S(x),则S(2?)= 3.?表示由曲面z?x?y,z?1,z?4围成的立体,则

4 设函数f(x)在x?0处可导,且limx?022?f(x)?f(0)?sin2x?5, 则f?(0)?x2

x2y222??1,其周长为a,则?5设L为椭圆(2xy?4x?3y)ds= 。

?L34

5小题,每题8分,共40分) 1.讨论下面函数在x?0处的连续性

?sin(ex?1)??xln(1?x)?f(x)??1

?x?ecosx?1

??sinx

2x?0x?0 x?0共7页 第2页

?

已知函数f(x)在(??,??)上连续,且其导函数f?(x)的图形如图所示,求函数f(x?1)的所有极值点、极值和拐点。

2223. L表示从(t,0)沿上半圆周x?y?t到(?t,0)一段弧,其中t?0,曲线积分

I(t)??y3dx?(3x?x3)dy,求I(t)的最大值。 L

共7页 第3页

?(x2?x?1)n

4. 求级数?的收敛域 n(n?1)n?1

5. 证明函数?xysin(x,y)?(0,0)?,在原点处可微。 f(x,y)???0(x,y)?(0,0)?

共7页 第4页

四、(本大题共5小题,每题6分,共30分)

n21.试确定常数a,n.使得当x?0时,ax与xsinx?ln(1?x)互为等价无穷小

共7页 第5页

2. 交换积分次序 I?

3. 已知证明:

?0dyay?af(x,y)dx p(x),f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,且p(x)?0,f(x),g(x)单调增,bbbb?ap(x)f(x)dx?ap(x)g(x)dx??ap(x)dx?ap(x)f(x)g(x)dx

共7页 第6页

4. 已知连续函数f(x)满足f(x)?x??x?1?f(t)(x?t)dt,判定级数?f??的敛散性,并?求极限xf(t)dt

xlim?0? 0n?1

?n?共7页 第7页

数学竞赛试题评分标准

一、选择题(本大题共5小题,每题3分,共15分)

D,B,D,A,C

二、填空题(本大题共5小题,每题3分,共15分)

1. 4?; 2. ??1; 3. 45?2

2; 4. 5; 5. 12a 2三、解答题(本大题共5小题,每题8分,共40分) ex?1?1,????????????????3分 1.解:因为:lim?f(x)?lim?x?0x?0xln(1?x)

excosx?1limf(x)?lim??1,???????????????????3分 x?0?x?0sinx

所以:lim?f(x)?lim?f(x)?1?f(0), ??????????????? 1分 x?0x?0

因此函数f(x)在x?0处连续。????????????????????1分

2. 解:根据导数的符号可以判断出,

极值点分别为:“?2,0,1”,或极值分别为“

如果没有考虑到考察的是函数f(?2),f(0),f(1)”,????3分 f(x?1)也可以不扣分

f(x)不可导点为0,再结合左右导数的符号判断,f(x)极值点还有0, f(x?1)的极值点1为或极值为f(1) ................................................................... 2分 拐点(?1,

共5页 第1页 f(?1))???????????????????????????3分

3.解:以L1表示线段y

林公式得: ?0上(?t,0)到(t,0)的一段,D表示半径为t的上半圆域,由格

??

L1I(t)??y3dx?(3x?x3)dy??LL?L1L1??????????????2分 =22(3?3x?3y)dxdy??0dx??????????????1分 ??D

?t3232342 =?t?3?d??rrdr=?t??t ????????????1分 00224

I?(t)?3?t(1?t)(1?t)?0,得 t?0,t?1,t??1 ???????????1分 容易判定t

极大值为 ?1为极大值点,????????????????????????2分 3I(1)????????????????????????????? 1分 4

2?yn

4.解:令y?x?x?1,于是级数化为?,???????????1分

n?1n(n?1)

容易求出新级数的收敛域为[?1,1]????????????????????2分

1?33?2由于 x?x?1??x????????????????????????1分 2?44?

解不等式 x?x?1?1?????????????????????????2分 得收敛域为[?1,0]????????????????????????????2分 22 共5页 第2页

5.解:fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)?lim?x?0?x?x?0sin2?x1?x····················· 2分 ?0 ·

同理,fy(0,0)?0

于是

lim?x??x?······················································ 2分

?lim?x??y?

由0???2分

根据夹逼准则,可得lim?x??y?··························· 2分 ?0,因此可微。 ·

注:只要写出微分概念就可得2分。

四、(本大题共5小题,每题6分,共30分)

xsinx?ln(1?x2)1.解: lim (本题使用泰勒公式方便,下面就是泰勒公式) nx?0ax

1314?3?2x?x?x?o(x)??(x?x?o(x4))3!2??lim? ??????????2分 nx?0ax

14x?o(x4)

?lim???????????????????????? 2分 nx?0ax

1为使上述极限为1,显然应有:a?,n?4????????????? 2分 3

注:使用罗比达法则,需要使用3次,只要正确使用2次就得3分,第三次1分,结果2分。 共5页 第3页

2

.解:I??0dxbaaf(x,y)dy??2aadx?ax?af(x,y)dy???????????6分 草图正确,其余不对可以给1分。上面两部分对一部分可以给3分。 3.证明: ?ap(x)dx?ap(x)f(x)g(x)dx??ap(x)f(x)dx?ap(x)g(x)dx

bbbbbb1?b??p(x)dx?p(y)f(y)g(y)dy??p(x)f(x)dx?p(y)g(y)dyaaa?a2?

??p(y)d?yabbap(x)f(x)g(x)?d?xabb?(??2分(p)y(f?)ydy(p)xg)xd xa??

?1?p(x)p(y)f(y)g(y)?p(x)f(x)p(y)g(y) ??2[a,b]?[a,b]

?p(y)p(x)f(x)g(x)?p(y)f(y)p(x)g(x)?dxdy?????2分 ?1p(x)p(y)?f(y)?f(x)??g(y)?g(x)?dxdy????1分 ??2[a,b]?[a,b]

?0???????????????????????????????1分 注:若用定积分和单调性,则构造辅助函数得2分,求导数2分,结果2分。

4. 解:f(x)?x??0xf(t)(x?t)dt?x?x?f(t)dt??tf(t)dt (1) 00

xx

00xx两边求导数得 f?(x)?1?xf(x)??f(t)dt?xf(x)?1??f(t)dt (2)??1分

对(1)再求导数,得

由(1)f??(x)?f(x ) (3)??1分 ???????????????? ??1分 ()1?f(0)?0;由(2),f?0

解微分方程(3),得通解为: f(x)?aex?be?x

由初值条件,得通解:

11???1?1?nf????e?en? ?n?2??11f(x)?ex?e?x???????????????1分 22

共5页 第4页

1??1?1??1???1?1???1???1??o?????1??o????=?o???????????1分 2??n?n??n???n?n???n故所给级数发散。

x?0?limxf(t)dt??lim0

x?0?xf(t)dt2x2

1x?xe?ef(x) ?lim??lim?x?0x?0xx

1?lim?ex?e?x?1????????????????1分 x?02????

共5页 第5页

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