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2005年第十六届希望杯复赛试题及答案(初一、七年级)

发布时间:2013-09-22 16:38:04  

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2005年4月17日 上午8∶30至10∶30 得分

一、选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1、如果(a?b)?(a?b)?4,则一定成立的是( )

A.a是b的相反数 B.a是-b的相反数 C.a是b的倒数 D.a是-b的倒数

2、当x??2272时,式子(x?2)?2(2?2x)?(1?x)(1?x)的值等于( ) 12

232349A.? B. C.1 D. 727272

3、从不同的方向看同一物体时,可能看到不同的图形。其中,从正面看到

的图叫主视图,从左面看到的图叫左视图,从上面看到的图叫俯视图。由

若干个(大于8个)大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图

如图1所示,则这个几何体的左视图不可能是( ) ...

主视图 俯视图

图1

A B C D

114、如图2所示,在矩形ABCD中,AE=BG=BF=AD=AB=2, 23

E、H、G在同一条直线上,则阴影部分的面积等于( )

图2 A.8 B.12 C.16 D.20

5、In a triangle ,if measures of three angles are x ,2x and 3x respectively ,then the measure of is( )

A.150° B.120° C.90° D.60°

(英汉词典 triangle:三角形,Measure:量度,the largest angle:最大角。)

6、If we have a?0,a?b?0and a?b?0,then the points in real number axis,given by a and b,can be b

represented as( )

A. B CD. (英汉词典 point:点,real number axis:实数轴,represented:表示)

7、方程|x?2|?|x?3|?6的解的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

8、如果|a?b|??|a|?b,那么下列不等式中成立的是( ) 33331 B F 4 G

A.a?b B.a?b C.a≥b D.a≤b 图3 9、如图3,两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )

A.630° B.720° C.800° D.900°

10、若大于1的整数n可以表示成若干个质数的乘积,则这些质数称为n 的质因数。则下面四个命题中正确的是( )

A.n的相反数等于n的所有质因数的相反数之积 ;

B.n的倒数等于n的所有质因数的倒数之积;

C.n的倒数的相反数等于n的所有质因数的倒数的相反数之积;

D.n的相反数的倒数等于n的所有质因数的相反数的倒数之积。

二、填空题(每小题5分,共50分.含两个空的小题,前空3分,后空2分.)

11、若x=0.7是方程ax?15?的解,则a= 23

12、张师傅加工一批同样类型的零件,他用A车床加工了这批零件的二分之一后,再用B车床加工余下的零件,共用了4小时。已知用B车床比用A车床每小时可以多加工8个零件,后两个小时比前两个小时多加工了12个零件,张师傅加工零件的总数是 个。

13、如果x?2x?3,那么x?7x?8x?13x?15?14、两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则xy?3xy?1?15、If two rational numbers x,y satisfy |x|?y?3 and |x|y?x?0,then x=,y=

(英汉词典 rational number:有理数。) 2222432

16、小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯各若干袋,用了340元。葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元和42元。小明的妈妈至少买了 袋果脯,其中苹果果脯是 袋

17、地球陆地总面积相当于海洋总面积的41%,北半球的陆地面积相当于其海洋面积的65%,那么,南半球的陆地面积相当于其海洋面积的 %(精确到个位数)

18、在公路上汽车A、B、C分别以每小时80、70、50公里的速度匀速行驶,A从甲站开往乙站,同时,B、C从乙站开往甲站,A在与B相遇后两小时又与C相遇,则甲、乙两站相距

19、我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如3|12表示3整除12,那么满足x|(y?1)与 y|(x?1)的正整数组(x,y)共有

20、用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺设广场,中间的

正六边形瓷砖记为A,定义为第一组,在它的周围铺上六块同样大小的正

六边形瓷砖,定义为第二组,在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖

来铺满,定义为第三组,?,按这种方式铺下去,用现有的2005块瓷砖

最多能完整地铺满 组,此时还剩余 块瓷砖。

三、解答题(每题10分,共30分) 要求:写出推算过程. 图4

21、请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图(经过平移或旋转后能够重合的,算作一种)。

22、已知非负实数x,y,z满足x?12?yz?3,记W?3x?4y?5z。求W的最大值与最小值。 ??234

23、如图6(a)是一个3×3的网格,其中放了“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字块,但是放错了顺序。问:

是否可以移动网格中的字块,将图6(a)中所示的八个字块校正成图6(b) 中所示的八个字块。如果能,请写出操作过程;如果不能,请说明理由。

要求:在每次移动网格中的字块时,只能将字块滑动到相邻的空的网格中。

希 望 杯 希 望 杯

学 数 数 学

竞 赛 题 竞 赛 题

(a) (b)

图6

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中一年级 第2试

二、填空题(每小题5分,含两个空的小题,前空3分,后空2分)

三、解答题

21、答案不惟一。(每作对一图得2分)

22、设x?12

?yz?3???k,则x?2k?1,y??

3k?2,z?4k?3 (3分) 234

因为

x,y,z均为非负实数,

?2k?1?012?所以 ??3k?2?0 解得 -≤k≤ (5分) 23?4k?3?0?

于是 W?3x?4y?5z?3(2k?1)?4(3k?2)?5(4k?3)?14k?26 (7分)

所以 -121×14+26≤14k+26≤×14+26,即 19≤W≤35 (10分) 233

23、不能。

理由如下:

⑴将“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字编号,分别是1、2、3、4、5、6、7、8,则图6(a)变为图(c),调整汉字就是调整这些数字。 (1分) ⑵将3×3网格中的数字从左至右、从上往下排成一个

八位数,则图(c)对应的八位数是12354678,其中,数 1 2 3 1 2 3

字5排在了4的左端,则称这个八位数有一个逆序,一 5 4 5 7 4 个网格所对应的八位数的逆序的总数称为这个网格的

“逆序量”。例如:图(c)的“逆序量”是1;图(d) 对应 6 7 8 6 8

的八位数是12357468,其中,5的右端有1个数字4比 (c) (d) 5小,7的右端有2个比7小的数字4和6,所以图(d)的

“逆序量”是3。 (3分)

⑶两个相邻数字交换位置,逆序的改变量只能是1或-1 (5分)

⑷在同一行中,按照要求调整数字时,数字只能左右移动,移动前后的网格所对应的八位数完全相同,

“逆序量”不发生变化,或称“逆序量”的改变是0。 (6分)

如果按照要求,将数字移动到相邻的行中,相当于在网格所对应的八位数中,将某个数字向左(或向右)跳过了两个数字,既然两个相邻数字交换位置,逆序的改变量只能是1或-1,那么,交换两个数字逆序的改变量只能是2或者是0或者是-2。 (8分)

如由图(c)到图(d),相应的八位数由12354678调整为12357468,相应的“逆序量”由1改变为3,改变量是2。

⑸按照要求移动汉字时,逆序的改变量是偶数,不会改变网格的“逆序量”的奇偶性。(9分)

但是,图6(a)的“逆序量”是奇数,图6(b) 的“逆序量”是偶数,所以,不能按要求将图6(a)调整为图6(b)。 (10分)

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