haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

赠送——新知杯初中数学竞赛模拟试题(含详解)

发布时间:2014-01-06 09:38:32  

新 知 杯 模 拟 试 题

一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)

1. 对于任意实数a,b,定义a?b=a(a?b)?b,已知a?2.5?28.5,则实数a的值是_________。

22,BC?a,CA?2a,其中a,b是大于1的整数,2. 在三角形ABC中,AB?b?1

则b?a? 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是

4. 已知关于x的方程x?2x?(3?k)x?(2?k)x?2k?0有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。

5. 如图,直角三角形ABC中AC?1,BC?2,P为斜边AB上一动点。PE?BC,PF?CA,则线段EF长的最小值

为 。

22432EC6. 设a,b是方程x?68x?1?0的两个根,c,d是方程x?86x?1?0的两个根,则 ?a?c??b?c??a?d??b?d?的值为

7. 在平面直角坐标系中有两点P??1,1?,Q?2,2?,函数y?kx?1的图像与线段PQ延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

8. 方程xyz?2009的所有整数解有组。

9. 如图,四边形ABCD中AB?BC?CD,?ABC?78,?BCD?162。设AD,BC延长线交于E,则?AEB?_________________.

E

??

1 E

10. 如图,在直角梯形ABCD中,?ABC??BCD?90?,AB?BC?10,点M在BC

上,使得?ADM是正三角形,则?ABM与?DCM的

面积和是________________。

?MA二、(本题15分)如图,?ABC中,?ACB?90,点D在CA上,使得CD?1 ,AD?3,

并且?BDC?3?BAC,求BC的长。

BB

C

三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数abcd:abcd?ab?cd,其中数字c可

以是0。

?2

2

四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正

整数中,至少有一个素数,求最小的n。

五、(本题15分)若两个实数a,b使得a?b与a?b都是有理数,称数对?a,b?是和谐的。 22

① 试找出一对无理数,使得?a,b?是和谐的;

② 证明:若?a,b?是和谐的,且a?b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数; ③ 证明:若?a,b?是和谐的,且a是有理数,则a,b都是有理数。 b

3

新知杯模拟试题(参考答案)

一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)

1. 对于任意实数a,b,定义a?b=a(a?b)?b,已知a?2.5?28.5,则实数a的值是_________。

【答案】4或?13 2

22【解析】a?a?2.5??2.5?28.5,a?2.5a?26,2a?5a?52?0,

?2a?13??a?4??0,所以a?4或?13 2

,BC?a,CA?2a,其中a,b是大于1的整数,2. 在三角形ABC中,AB?b?1

则b?a? 。

【答案】0

【解析1】若b?a,则b?1?(a?1)?1?a?2a,即AB?BC?CA.矛盾

若b?a,则b?a?1,b?1?(a?1)?1?a?2a,即AB?BC?CA矛盾,22222222

?b?a?0

【解析2】?a,b是大于1的整数,所以a?2,此时BC?CA?a?2a?a?a?2??0,2

?BC?CA?AB?BC?CA,即a2?2a?b2?1?a2?2a,

??a?1??b2??a?1?,即a?1?b?a,?b?a,即b?a?0 22

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是。

【答案】50,94

【解析】设两边长分别为x和y,则2xy?92,xy?46?1?46?2?23,所以周长为

2??1?46??94或2??2?23??50

4. 已知关于x的方程x?2x?(3?k)x?(2?k)x?2k?0有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。

【答案】5

【解析】原方程可化为(x2?x?2)(x2?x?k)?0,?x2?x?2?0?x?x?k?0,2432

?k??2,?x2?x?2?0,x1??2,x2?1,即x1?x2?4?1?5

5. 如图,直角三角形ABC中AC?1,BC?2,P为斜边AB上一动点。

PE?BC,PF?CA,则线段EF长的最小值为。 22

4

ECA

【答案】25 5

【解析】设CF?x,EC?y,则EPBEx2?y,所以?,y?2?2x,?CABC12

24?44?EF2?x2?y2?x2?(2?2x)2?5x2?8x?4?5?x???,当x?,5?55?

y?2时,EF?5242?最小。 5526. 设a,b是方程x?68x?1?0的两个根,c,d是方程x?86x?1?0的两个根,则

?a?c??b?c??a?d??b?d?的值为

【答案】2772

【解析】?a?b??68,ab?1,c?d?86,cd?1,??a?c??b?c??a?d??b?d?

?(ab?(a?b)c?c2)(ab?(a?b)d?d2)?1?68c?c21?68d?d2 ????

?(86c?68c)(86d?68d)?18?154cd?2772

7. 在平面直角坐标系中有两点P??1,1?,Q?2,2?,函数y?kx?1的图像与线段PQ延长

线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

【答案】13?k? 322?112?0213???k? ?,k2?2??1332??132【解析】k1?

8. 方程xyz?2009的所有整数解有

【答案】72

【解析】2009?287?7?1?1?1?2009?7?7?41?1?49?41

正整数解6+3+3+6=18组,非正整数解18×3=54组,共72组

5

9. 如图,四边形ABCD中AB?BC?CD,?ABC?78,?BCD?162。设AD,BC

延长线交于E,则?AEB?_________________.

E

??E

【答案】21?

【解析】作AF∥BC,FC∥AB,易知,四边形ABCF为平行四边形,

?BAF??FCB?180???ABC?102?,??FCD?162??102??60?,

?CDF是等边三角形,即?AFD为等腰三角形,

?AFD?78??60??138?,?AEB??FAE?21?

10. 如图,在直角梯形ABCD中,?ABC??BCD?90,AB?BC?10,点M在BC

上,使得?ADM是正三角形,则?ABM与?DCM的面积和是________________。

?M

AM

【答案】300?150

【解析】将图补成正方形,易知?ABM≌?AHD,令BM?HD?x,则

CD?CM?10?x,由勾股定理得?10?x???10?x??x2?102,解得22

x?20?10,S?11?10?20?10?103?1022

?????2?300?150 二、(本题15分)如图,?ABC中,?ACB?90,点D在CA上,使得CD?1 ,AD?3,

并且?BDC?3?BAC,求BC的长。

BB

C

【答案】BC?4。 11

6

【解析】设BC?x,则BD?x2?1,AB?x2?16,作?DBA的平分线交AC于点E,

?DBE?11?DBA???BDC??A???ABE,则?BDE∽?ADB,所以22

BD2?DE?DA?3DE,由角平分线定理可知,

DEBDDEBD3BD因此????DE?。AEABAE?DEAB?BDAB?BD

x?1?29x2?1

x2?16?x2?1,解得BC?x?4。 11

三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数abcd:abcd?ab?cd,其中数字c可

以是0。 【答案】abcd?9801,2025,3025 【解析】设x?ab,y?cd,则由题意得100x?y??x?y?,即2?2

x2??2y?100?x?y2?y?0,因为x为整数,

???2y?100??4y2?y?4?2500?99y??4t2,99y??50?t??50?t?,2????

?0?t?50,且在100内11的倍数只有9个,经验证,t?49时,y?1,t?5

?x?98?x?20?x?30时,y?25,解得?,?,?,因此,abcd?9801,2025,3025 y?1y?25y?25???

四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。

【解析】由于2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质,因此。而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数a1,a2,??,a15的最小素因子p1,p2,??,p15,则必有一个素数?47,不失一般性,设p15?47,由于p15是合数a15的最小素因子,因此a15?p15?47?2009,矛盾。所以,任意15个大于1且不超过2009的互质整数a1,a2??,a15中至少有一个素数。综上所述,n最小是15。

五、(本题15分)若两个实数a,b使得a?b与a?b都是有理数,称数对?a,b?是和谐的。 222222222222222222

④ 试找出一对无理数,使得?a,b?是和谐的;

⑤ 证明:若?a,b?是和谐的,且a?b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数; 7

⑥ 证明:若?a,b?是和谐的,且

【解析】

① 不难验证(a,b)??2?a是有理数,则a,b都是有理数。 b?

?11?,?2?是和谐的。 22?

2② 由已知t?a?b?a?b?2?????a?b??a?b?1?是有理数,a?b?s是有理数,所以

t1t,解得a?s?是有理数,所以b?s?a也是有理数。 )a?b?12s?1

a2222若a?b?0,则b??是有理数,因此a??a?b??b也是有理数。若a?b?0,由b

a21()?()1y2?xa2?ba已知x?是有理数,y?也是有理数,因此?,故?a1bxy?1ba?b2()()?1bba?b?

b?

xy?122是有理数,因此a?(a?b)?b也是有理数。 2y?x

8

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com