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有理数竞赛训练试题

发布时间:2014-01-07 11:47:29  

有理数竞赛训练试题(一)

一、典型例题

例1.若多项式2mx?x?5x?8?7x?3y?5x的值与x无关,

求m?2m??5m?4??m的值. 2222?2???

分析:多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零

因为2mx?x?5x?8?7x?3y?5x??2m?8?x?3y?8 2222??

所以 m=4

将m=4代人,m?2m??5m?4??m??m?4m?4??16?16?4??4 222??

利用“整体思想”求代数式的值。

例2.x=-2时,代数式ax?bx?cx?6的值为8,求当x=2时,代数式ax?bx?cx?6的值。

分析: 因为ax?bx?cx?6?8

当x=-2时,?2a?2b?2c?6?8 得到2a?2b?2c?6??8, 所以2a?2b?2c??8?6??14

当x=2时,ax?bx?cx?6=2a?2b?2c?6?(?14)?6??20 例3. 已知a?a?1?0,求a?2a?2007的值.

分析:解法一(整体代人):由a?a?1?0 得 a?a?a?0

所以: a3?2a2?20072322325353535353535353?a3?a2?a2?2007?a?a2?2007?1?2007?2008

解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。 由a?a?1?0,得a?1?a,

所以: a3?2a2?200722

?a2a?2a2?2007?(1?a)a?2a2?2007?a?a2?2a2?2007?a?a2?2007

?1?2007

?20081

解法三(降次、消元):a?a?1(消元、、减项) 2

a3?2a2?2007

?a3?a2?a2?2007

22?a(a?a)?a?2007

2?a?a?2007

?1?2007

?2008

abcabacbc?????, abcabacbc例4.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x?

则 ax?bx?cx?1的值是_______ 。

解:因为abc<0,所以a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数

又因为a+b+c>0,所以a、b、c中只有一个是负数。

不妨设a<0,b>0,c>0

则ab<0,ac<0,bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。

同理,当b<0,c<0时,x=0。 32

abcabacbc?????另:观察代数式 ,交换a、b、c的位置,我们发现代数abcabacbc

式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。

例5: 有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子a?b?a?b?b?c化简结果为( )

A.2a?3b?c B.3b?c C.b?c D.c?b

拓广训练:

1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简a?b?b?1?a?c??c的结果为 。

2、已知a?b

?a?b?2b,在数轴上给出关于a,b的四种情况如图所示,则成立的

2

① ② ③ ④

3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图:则c?1?a?c?a?b化简后的结果是( )

(湖北省初中数学竞赛选拨赛试题) 5?x?2例6.(1)当xx?3有最小值?这个最小值是多少?(2)当x取何值时,

有最大值?这个最大值是多少?(3)求x?4?x?5的最小值。(4)求x?7?x?8?x?9的最小值。

(5)求x?1?x?2?x?3?????x?617的最小值。

有理数的运算

例3、计算1111 ???????1?22?33?42009?2010

1??11??11?1??1????????????????? 2??23??34?20092010??解:原式=?1?

=1???1111111 ??????????2233420092010

12009 =1? ?20102010

拓广训练:

1、计算:1111 ??????1?33?55?72007?2009

?

?7137??121738??27?11???13?8?5? 271739??172739?3、以符代数 例4:计算:?17

解:分析:177341243776?16,27?26,11?10 272717173939

1217387137342476令A=13?8?5,则17?27?11?16?26?10?2A 172739271739271739

原式=2A?A?2

拓广训练:

1、计算:???????

4、分解相约 ?11?231??111??111??111????1?????????1??????????????? 2006??232005??232006??232005?

?1?2?4?2?4?8?????n?2n?4n?例5:计算:??

1?3?9?2?6?18?????n?3n?9n??2

3

?1?2?4?2??1?2?4??????n?1?2?4???1?2?4??1?2?????n??解:原式=??1?3?9?2?1?3?9?????n1?3?9??=?1?3?9?1?2?????n? ????22

64?1?2?4? =? ??729?1?3?9?

三、培优训练

1、a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,则a

2、计算:(1)20072b2009 ?20081111= ; ???????3?55?77?91997?1999

43 (2)??0.25????8??2???2????6????4???1? 2?3??

1898a2?99b2

3、若a与?b互为相反数,则= 。 1997ab

4、计算:1?13??135?397??1??????????????????????= 。 2?44??666?98??9898

23456789105、计算:2?2?2?2?2?2?2?2?2?2。

6、?199797199898这四个数由小到大的排列顺序,?,?,?199898199999

是 。

7、(2007“五羊杯”)计算:3.14?31.4?628?0.686?68.6?6.86=( )

A.3140 B.628 C.1000 D.1200

1?2?3?4?????14?15等于( ) ?2?4?6?8?????28?30

1111A. B.? C. D.? 4242

5?6?4?2.5?3?29、(2006“五羊杯”)计算:=( ) 2?9?8?1?4.5?4

5102040A. B. C. D. 23998、(2005“希望杯”)

10、(2009鄂州中考)为了求1?2?2???2

则2S=2?2?2???22342009232008的值,可令S=1?2?2???2232008, ,因此2S-S=22009?1,所以1?22?23???22008=22009?1仿照以上推理计算出1?52?53???52009的值是( )

A、52009?1B、5

2010201052009?1C、D、5?1 ?144

4

11、a1,a2,a3,???a2004都是正数,如果M??a1?a2?????a2003???a2?a3?????a2004?,N??a1?a2?????a2004???a2?a3?????a2003?,那么M,N的大小关系是( )

A.M?N B.M?N C.M?N D.不确定

12、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,a?b,a的形式,又可表示为0,

求a1999b,b的形式,a“希望杯”邀请赛试题) ?b2000的值(

13、计算

(1)5.7?0.00036??0.19?0.006?5700?0.000000164?

??1?24??1?4(2)??0.25????8?????3?????6.5????2????6?????2? 313???????3?43

14、已知m,n互为相反数,a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,

求x??1?m?n?ab?x??m?n?x322001???ab?2003的值

15.已知ab?2?a?2?0, 求1111的值 ???????a?2006b?2006aba?1b?1a?2b?216、(2007,无锡中考)图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1?2?3???n?n(n?1). 2

第 1层

第2层 ?? n层 第

图1 图2 图3 图4 如果图1中的圆圈共有12层,(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串

?,则最底层最左边这个圆圈中的数是 ;连续的正整数1(2)我们自,2,3,4,

上往下,在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数?23,?22,?21,?,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.

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