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小升初第7讲[1].竞赛题

发布时间:2014-01-07 17:08:48  

必须有勇气正视无情的真理。 —— 列宁

第七讲

数论综合

被世人誉为数学王子的德国数学家高斯曾经说过“如果说数学是科学的皇后,那么数论是数学皇后的皇冠。” 大家熟知的“费马大定理”,“哥德巴赫猜想”就是这个皇冠上璀璨的明珠。有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。

1. 回顾数论知识体系;

2. 精讲数论经典范例。

【例1】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序

每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?

【分析】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、

B、C个工人,有6A?10B?15C?k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即?6,10,15??30。所以A?5,B?3,C?2,则三道工序最少共需要5?3?2?10名工人.

【例2】 甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是

126,那么甲数是多少?

【分析】对90分解质因数:90?2?3?3?5。

因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5。

因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2。

因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3,甲必含9。

综上所述,甲为18的倍数,所以只能是18。

注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值.如a?2?33?52?7,b?23?32?5?7?11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依

次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]?23?33?52?7?11。

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枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类),然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类,分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质,降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类,按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

【例3】 求这样的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

【分析】三位数只有900个,可用枚举法解决,枚举时可先估计有关量的范围,以缩小讨论范围,减少

计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x,y,z。由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以x2?y2?z2?10。

从而1?x?3,0?y?3,0?z?3。所求三位数必在以下数中:

100101102103110111112

120121122130200201202

211212220221300301310

不难验证只有100,101两个数符合要求。

【例4】 写出12个都是合数的连续自然数。

【分析】(法一)在寻找质数的过程中,我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数:90,91,

92,93,94,95,96。我们把筛选法继续运用下去,把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数:114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126。

(法二)如果设这12个数分别是a,a?1,a?2,?,a?11,如果a?2能被2到13中任意

一个数整除,那么a,a?1,a?2,?,a?11,能分别被2、3、4,?,13整除,所以,只要取a?13!即可得到符合条件的12个数。

(法三)上面的方法虽然巧妙,但是计算13!非常困难,所以应该选取折中的方法,设这12个

数分别是a?5,a?4,?,a?4,a?5,a?6。所以只要使a能被2到6的所有整数整除,并且保证a?1和a?1都是合数即可,通过试验可得到a?120即是符合条件的值。

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【例5】 如图,有三张卡片,在它们上面分别写着"1","2","3"。从中抽出一张、两张、三张,按任

意次序排起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。(素数即质数)

【分析】 因为这三个数字的和为6,能被3整除,所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整

除,所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为1?2?3,根据同样的道理,用1,2组成的两位数也能被3整除,因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有13,31,23,32这四个了。其中13,31,23都是素数。最后一位数素数只有2,3。

【拓展】a、b和c都是两位数,a、b的个位分别是7和5,c的十位是1,如果它们满足等式

ab?c?2005,则a?b?c?______。

【分析】既然a和b的个位分别是7与5,ab的个位是5,可知c?2005?ab的个位一定是0,而且。已

知c的十位是1,所以c?10.ab?1995,既然a、b的个位分别是7与5,可知a?57,b?35,所以a?b?c?57?35?10?102。

对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有:

1. 十进制表示形式:N?an10n?an?110n?1???a0100;

2.

3.

4.

5.

6.

【例6】 求一个四位数,它的前两位数字及后两位数字分别相同,而该数本身等于一个整数的平方.

【分析】设所求的四位数为x?aabb,则x?1000a?100a?10b?b?11?100a?b?,其中0?a?9,二进制表示形式:N?an2n?an?12n?1???a020; 带余形式:a?bq?r;(奇数可以表示为2n?1,偶数表示为2n,其中n为整数) aka2标准分解式:p1a1p2; ?pk(其中t为奇数)。 2的乘方与奇数之积式:n?2mt;最大公约数与系数之积式:m?dm1,n?dn1,其中?m,n??d,?m1,n1??1。

0?b?9。可见平方数x被11整除,从而x被112整除.因此,数100a?b?99a??a?b?能被11整除,于是a?b能被11整除.但0?a?b?18,以a?b?11.于是x?112??9a?1?,由此可知9a?1是某个自然数的平方.对a?1,2,?,9逐一检验,易知仅a?7时,9a?1为平方数,故所求的四位数是7744?882。

【前铺】一个两位数,其十位与个位上的数字交换以后,所得的两位数比原来小

27,则满足条件的两

位数共有______个。

【分析】原两位数为10a?b,则交换个位与十位以后,新两位数为10b?a,两者之差为

?10a?b???10b?a??9?a?b??27,即a?b?3,a、b为一位自然数,即96,85,

74,63,52,41满足条件。

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【例7】 求一个最大的完全平方数,在划掉它的最后两位数后,仍得到一个完全平方(假定划掉的两个

数字中的一个非零)。

【分析】设 n2满足条件,令n2?100a2?b,其中0?b?100。于是n?100,即n?10a?1。因此

b?n2?100a2?20a?1,由此得20a?1?100,所以a?4。 经验算,仅当a?4时,n?41满足条件。若n?41则n2?402?422?402?100。因此,满足条件的最大的完全平方数为412?1681。

【例8】 从自然数1,2,3,?,1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能

被18整除?

【分析】设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数,则a?b?c?18m,a?b?d?18n,其中m,

n是自然数。于是c?d?18?m?n?。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数,即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则a?18a1?r,b?18b1?r,

c?18c1?r,其中a1,b1,c1是整数。于是a?b?c?18?a1?b1?c1??3r。因为18|?a?b?c?,

所以18|3r,即6|r,推知r?0,6,12。因为1000?55?18?10,所以,从1,2,?,1000中可取6,24,42,?,996共56个数,它们中的任意3个数之和能被18整除。

【例9】 如果?a?2b?被5除余数为2,?3a?b?被5除所得的余数为3,求证:?a?b?能被5整除。(a、

b都是自然数)

【分析】(法一)设a?2b?5k?2,3a?b?5l?4,

10l?5k?8?a???a?2b?5k?215l?10k?5?7 解方程组?得到?,所以a?b?能被5整除。 3a?b?5l?33?15k?5l7??b??7? (法二)由题目条件2?3a?b??3?a?2b?能被5整除,即3a?8b能被5整除,继而得到3a?3b

能被5整除,所以a?b能被5整除。

【前铺】如果?2a?3b?是5的倍数,证明:2b?3a也是5的倍数。(a、b都是自然数)

【分析】(法一)?5a?5b?是5的倍数,所以5a?5b??2a?3b??3a?2b是5的倍数。

(法二)设2a?3b?5k,那么a?5b5k?3b?5k?3b?15k?,则2b?3a?2b??,是5的倍数。 3??22?2?

【前铺】如果?3a?b?是7的倍数,求证?2b?a?也是7的倍数。(a、b都是自然数)

【分析】(法一)?3a?b?是7的倍数,所以?6a?2b?也是7的倍数,所以?6a?2b?7a?也是?2b?a?也

是7的倍数。

7k?b7b?7k,所以2b?a?也是7的倍数。 33

【拓展】如果a?b?c是5的倍数,2a?3b?4c也是5的倍数,求证a?c是5的倍数。(a、b、c都是(法二)设3a?b?7k,那么a?自然数)

【分析】a?c=3?a?b?c???2a?3b?4c?,所以a?c能被5整除。

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【例10】 有一个自然数,它除以15、17、19所得到的商(?1)与余数(?0)之和都相等,这样的数

最小可能是多少。

?A?15?a......Xa(?X?a)?A?15a?(X?a)?14a?X?

【分析】?A?17?b......Xb(?X?b)?A?17b?(X?b)?16b?X

?

?A?19?c......Xc(?X?c)?A?19c?(X?c)?18c?X

14a?16b?18c?72|a?a至少为72,A?15a?Xa?15?72?Xa?1080?Xa

14a?16b?18c?63|b?b至少为63,A?17b?Xb?17?63?Xb?1071?Xb 14a?16b?18c?56|c?c至少为56,A?19c?Xc?19?56?Xc?1054?Xc

最小为1081。

如何计算一个自然数的约数个数:

aka2

a 将该自然数用标准分解式表达:p1a1p2; ?pkb c d 【例11】

bkb2

将该自然数的约数用标准分解式表达:p1b1p2,则b1?a1,b2?a2,?,bn?an; ?pk对于任意的bi可以取值0到ai这?ai?1?个整数;

根据乘法原理不同的约数有(a1?1)(a2?1)...(ak?1)个。 在1到600中,恰好有3个约数的数有几个?

【分析】3只能表示为?2?1?,所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个,且该质因数有2个,注

意到有3个约数的数一定是质数的完全平方,2,3,5,7,11,13,17,19,23这9个数的平方数在1到600之间,共有9个符合要求。

【拓展】在1到100中,恰好有6个约数的数有多少个? 【分析】6只能表示为?5?1?或?1?1??2?1?,所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方,

要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数,100以内符合前者的只有32,符合后者的数枚

举如下:

22?322?522?722?1122?1322?1722?1922?23??8种32?232?532?732?11??4种

22

5?25?3??2种72?2??1种所以符合条件的自然数一共有1?8?4?2?1?16种。

【例12】 两个自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”比如16?52?32,16就是一个“智慧

数”.在自然数列中从1开始数起,试问第1990个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由。

【分析】显然1不是“智慧数”,而大于1的奇数2k?1??k?1??k2,都是“智慧数”。

4k??k?1???k?1?,可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”,由于

2

2

2

x2?y2=?x?y??x?y?(其中x、y?N),当x,y奇偶性相同时,?x?y??x?y?被4整除。

当x,y奇偶性相异时,?x?y??x?y?为奇数,所以形如4k?2的数不是“智慧数”,在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”,此后每连续四个数中有三个“智慧数”,由于1989?3?663,所以2656?4?664是第1990个“智慧数”。

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【拓展】如果自然数n使得2n?1和3n?1都恰好是平方数,试问5n?3能否是一个素数?

【分析】如果2n?1?k2,3n?1?m2,则5n?3?4?2n?1???3n?1??4k2?m2??2k?m??2k?m?.因为

5n?3??3n?1??2?m2?2?2m?1,所以2k?m?1(否则5n?3?2k?m?2m?1)。 从而5n?3??2k?m??2k?m?是合数。

1表示成两个自然数的倒数之和,有多少中表示方法?请给出所有的答案。 6

111【分析】设有??,化简有?a?6??b?6??62?2?2?3?3,所以?a?6?是36的约数,一共有ab6

?2?1??2?1??9个答案。分别是: 【拓展】将

111111111111111 ??;??;??;??;??; 7426824691861015612126

111111111111 ??;??;??;??。 42762486189615106

1.

【分析】设2n2?kd,k是正整数,如果n2?d是整数x的平方,那么k2x2?k2?n2?d??n2?k2?2k?但

这是不可能的,因为k2x2与n2都是完全平方,而由k2?k2?2k??k?1?得出k2?2k不是平方数。

2.

【分析】2d?1、5d?1、13d?1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可. 用反证法,设2d?1?x2??????????⑴

5d?1?y2??????????⑵

13d?1?z2??????????⑶

其中x、y、z是正整数.

由⑴式知,x是奇数,不妨设x?2n?1。

代入有2d?1??2n?1? 即d?2n2?2n?1 ???????⑷

⑷式说明d也是奇数.于是由⑵、⑶知y、z是偶数,

设y?2p,z?2q,代入⑵、⑶相减后除以4有 2d?q2?p2??q?p??q?p?。 因2d是偶数,即q2?p2是偶数,所以p、q同为偶数或同为奇数,从而q?p和q?p都是偶数,即2d是4的倍数,因此d是偶数.这与d是奇数相矛盾,故命题正确。

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2 假设n是自然数,d是2n的正约数.证明:n2?d不是完全平方。 22(1986国际数学奥林匹克)设正整数 d不等于2、5、13。求证:2d?1、5d?1、13d?1这三个数中至少有一个不是完全平方数。

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3.

将95写成若干个(至少两个)连续自然数的和,有多少种不同的写法?给出全部可能的答案。

【分析】设这个自然数可以表示为k个连续自然数和的形式,如果k是奇数,那么一定存在中间数,即

为p,则这k个连续自然数的和为kp,即为一个奇数和一个自然数的乘积形式,如果k是偶数,

k那么存在两个中间的数,即为q,q?1,则这k个联系自然数的和为?2q?1?,?2q?1?是奇2

k数,k为偶数,所以为整数,也是奇数与一个自然数的乘积形式。95?5?19,其大于1的奇2

约数有5,19,95这三个,如果有奇数个连续自然数相加:

当k?5时,p?19,即5个连续的自然数,中间数为19,有17,18,19,20,21; 当k?19或95时,在在自然数范围内没有符合条件的连续数。

如果有偶数个连续自然数相加: k当?1时,2q?1?95,即2个自然数相加,中间两个数中较小的数是47,有47,48; 2

k当?5时,2q?1?19,即10个自然数相加,中间两数中较小的是9,有5,6,?,14; 2

k当?19或95时,自然数范围内不存在符合条件的连续数。 2

所以符合条件的自然数一共有3种。

1. 自然数n的数字和用S?n?来表示。是否存在一个自然数n,使得n?S?n??1980;

【分析】1980?n?S?n?,表明n?1980那么:S?n??S?1899??1?8?9?9?27

从而:n?1980?S?n??1980?27?1953;

1953?S?1953??1953?1?9?5?3?1971;

1954?S?1954??1954?1?9?5?4?1973;

1954?S?1955??1955?1?9?5?5?1975;

1962?S?1962??1962?1?9?6?2?1980。 ??????

当n?1962时,n?S?n??1980。

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2.

一个三位数,个位和百位数字交换后还是一个三位数,它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差。

【分析】设原三位数是abc,交换后是cba,有:abc?cba?99?a?c?,或者cba?abc?99?c?a?

因为差的个位数字是7,所以a?c?3,或者c?a?3。即差是297。

3.

【分析】设5a?b?11k?4,a?b?11l?3,那么可以得到方程组:

?5a?2b?11k?444l?11,解得b?,所以b是11的倍数。 ?a?b?11l?33?

4. 红、黄、白、蓝卡片各一张,每张上写有一个数字。小明将这4张卡片如下图放置,使它们组

成一个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。 如果?5a?2b?被11除余4的倍数,?a?b?被11除余3,求证:b是11的倍数。(a、b都是自然数)

红黄白蓝

小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是5544。那么红、黄、蓝三张卡上的数字分别是_____、_____、_____。

【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字分别是A,B,C,D,则有

1000A+100B+10C+D-10×(A+B+C+D)=5544,110A+10B-D=616。由上式可得A=5,

B=7,D=4。

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