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小升初第2讲[1].竞赛1

发布时间:2014-01-07 17:08:50  

在真理和认识方面,任何以权威者自居的人,必将在上帝的戏笑中垮台! —— 爱因斯坦

第二讲

几何模型及应用

平面几何是小升初考试的必考内容,而且常常以大题形式出现,名牌中学的选拔考试几何题目,分值较高,并且难度有逐步增加的趋势,虽然几何题形式多样,但通过总结归纳,掌握小学奥数中的基本几何模型,有助于解决更多几何新题、难题。

1. 回顾等积与倍比模型;

2. 相似三角形模型以及燕尾(共边)定理的运用;

3. 图形变换。

模型之相似三角形性质:

EFDA

A

D

B

BGCFGEC

如图DE//BC,BD和CE相交(延长线)交于A,则有如下等量关系。

ADAEDEAF; ???ABACBCAG

2222②S△ADE:S△ABC?AF:AG?DE:BC ①

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在真理和认识方面,任何以权威者自居的人,必将在上帝的戏笑中垮台! —— 爱因斯坦

模型之燕尾定理(共边定理):

两个有公共边的三角形ABD和ABC,ABC与DC交于点M,则三角形ABC的面积与三角形ABD的面积之比等于CM与DM的比。(定理描述对下图所示四种图形都成立)

C

C

C

C

ABM

A

M

B

D

D

DDABM

AMB

【例1】 如图,长方形ABCD中,E为AD中点,AF与BE、BD分别交于G、H,已知AH?5cm,

HF?3cm,求AG。

A

E

D

A

G

E

D

G

H

F

B

C

H

F

BC

【分析】 注意三角形AHB和三角形DHF相似,

利用三角形相似的性质可以得到 AB:DF?AH:HF?5:3,作OE垂直于AD,且交AF于点O,又因为E为AD中点,则有OE:DF?1:2,

所以AB:OE?5:所以AG?4?

311

?10:3,AG:GO?10:3,AO?AF???5?3??4, 222

1040=。 1313

【例2】 如右图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.

B

【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们

可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,

(法一)连接CF,因为BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,

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11所以S?ABE?S?ABC?10,S?ABD?S?ABC?15。32 根据燕尾定理,S?ABFAE1S?ABFBD??,??1, S?CBFEC2S?ACFCD

1所以S?ABF?S?ABC?7.5,S?BFD?15?7.5?7.5, 4

所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5。

1 (法二)连接DE,有题目条件可得到S?ABE?S?ABC?10, 3

AFS?ABE1112??, S?BDE?S?BEC??S?ABC?10,所以FDS?BDE1223

111111 S?DEF??S?DEA???S?ADC????S?ABC?2.5, 223232

21 而S?CDE???S?ABC?10。所以阴影部分的面积为12.5。 32

【例

3】

(08年清华附中入学考试)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为

________。

【分析】连接AD、CD、BC、AB,

则可根据格点面积公式,可以得到?ABC的面积=1?4?1?2, 2

?ACD的面积=3?3?1?3.5, 2

4412?S?ABD??3?。 4?71111所以BO:OD=S?ABC:S?ACD?4:7,所以S?ABO?

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[拓展]如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。

E

D

C

[拓展]因为BD:CE?2:5,且BD\\CE,所以DA:AC?2:5,S?ABC?5510S?DBC??2?。 2?577

【例4】 如下图,D、E、F、G均为各边的三等分点,线段EG和DF把三角形ABC分成四部分,

如果四边形FOGC的面积是24平方厘米,求三角形ABC的面积。

A

D

EOGADEOG

BFCBFC

【分析】 设三角形以AB为底的高为h,

∵FG:AB?2:3; ∴ED:FG?1:2;

122 ∴ 三角形OGF以GF为底的高是h??h; 3392 又∵三角形CFG以FG为底的高是h, 3

22∴ 三角形OGF的面积:三角形CGF的面积?h:h?1:3 93

3 所以三角形CFG的面积?24??18(平方厘米) 3?1

224 而三角形CFG的面积占三角形ABC的??, 339

41所以三角形ABC的面积是18??40(平方厘米)。 92

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【例5】 如图,长方形ABCD中,E、F分别为CD、AB边上的点,DE?EC,FB?2AF,求

PM:MN:NQ。

AFBAFBPM

NPQMNQ

DECDKEHC

【分析】作MK?DE,NH?EC;

∵AF:DE?2:3,BF:CE?4:3,

∴EM:MA?3:2,EN:NB?3:4,

∴EK:DK?3:2,EH:HC?3:4,

69912 则DK?,KE?,EH?,HC?; 5577

69912 PM:MN:N?:??5577 107:1。8:

【例6】 如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是ABCD各边的中点,求阴影部分四边

形PQRS的面积之比。

BC

【分析】 (法一)设S?AED?S1,S?BGC?S2,S?ABF?S3,S?DHC?S4。

1111S?ABD,S1?S?ABD,S1?S?ABD,S2?S?BCD; 2222连接BD知S1?所以S1?S2?11?S?ABD?S?BCD??SABCD; 22

1同理S3?S4?SABCD。 2

于是S1?S2?S3?S4?SABCD;

注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形,没算的部分是四边形PQRS; 因此四块阴影的面积和就等于四边形PQRS的面积。

(法二)特殊值(只用于填空选择)将四边形画成正方形,就如【例11】,结论很容易得到

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【例7】 如图,对于任意四边形ABCD,通过各边三等分点的相应连线,得到中间四边形EFGH,求

四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几?

D

D

【分析】 如图,分层次来考虑:

22

(1)SBMD?SABD?,SBPD?SCBD?,

33

所以SMBPD?(SABD?SCBD)?

22

?SABCD? 33

又因为SDOM?SPOM,SMNP?SBNP, 所以SMNPO?

1

SMBPD; 2

121

SMNPO???SABCD??SABCD。

233

DD

12

(2)已知MJ?BD,OK?BD;

33

所以MJ:BD?1:2;

所以ME:EO?1:2,即E是三等分点; 同理,可知F、G、H都是三等分点; 所以再次应用(1)的结论,可知, 1111

SEFGH??SMNPO???SABCD?SABCD。

3339

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【例8】 如图,在四边形ABCD中,?ABC??ADB?105?,?CDB?60?,?CBD?75?,AB?CD?15

厘米,求四边形ABCD的面积。

C'

CC

D

ABDAB

【分析】 将?BCD沿BD剪下,翻转,再贴在BD边上,如图。

?C'DB??ADB??CBD??ADB?75??105??180?

即A、D、C'三点共线

?A?180???ADB??ABD?45?

?C'??C?180???A??C'?90?

即?ABC是直角三角形

四边形面积等于?ABC的面积即112.5平方厘米。

【例9】 如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出

过程。

30A

?

30??CD

C'A'BB'

【分析】 因为AB?CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD边对齐,如图。

因为?BCA?110?,

所以?ACD?70?,于是

?ACC'??ACD??DCC'??ACD??DCC'??ACD??ABC?70??40??110?; 即?ACC'??CC'D,

结合C'A'只是CA移动的变化,所以AC?A'C'

可得到AB'C'A'是一个等腰梯形。于是?ADC'?180??110??70?,

(如果学生无法理解这一步,可以延长AC和A'C',构造等腰梯形CC'E, 再并说明AA'E也是等腰三角形)

?ADC?70??30??40?。

学而思教育

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【例10】 一张边长为20厘米的正方形纸片,从顶点起5厘米处,沿45度角下剪(如右图),中间形成一

个小正方形。小正方形的面积是多少平方厘米?

OC

E

DB5cm

45?45?45A

45?

【分析】 如下图,延长AD和BC,相交于O点。

∵?OCD是等腰直角三角形,

∴OB?OC?CB?CD?CB?20(厘米)。

∵?OAB是等腰直角三角形,S?OCD?20?20?4?100(平方厘米)

∴大正方形的面积是?AOB的4倍。

又因为大正方形面积等于ADCB的4倍加上小正方形的面积。

∴小正方形的面积是三角形COD的4倍,等于CD2?2?4?50(平方厘米)。

【例11】 在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图),连接

线段AF、BG、CH、DE,由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的____分之______。

AAD

E

EG

BB

C

【分析】 如图,通过操作,三角形BOD的面积=正方形BOQP的面积同理,其它相应部分的三角形

面积都可转化为一个小正方形的面积,也即,大正方形是由五个小正方形组成的。所以,阴影1部分的面积为大正方形面积的。 5

【点评】这样的解法比较巧妙,应用全等三角形的知识。一般地,还可以如下解:

1因为H是AD中点,所以AM?MN,HM?DN; 2

111 所以三角形AHM的面积=三角形AND=三角形ADG=正方形ABCD, 4520

又根据三角形ADG+三角形CBE+三角形ABH+三角形CDF=正方形ABCD

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所以,重复加了4个类似于AHM的三角形,少加了中间的阴影部分,都能等于大正方形, 11可知,四边形MNOQ的面积=4个三角形的面积之和=4?正方形ABCDA=正方形ABCD。 205

在真理和认识方面,任何以权威者自居的人,必将在上帝的戏笑中垮台! —— 爱因斯坦

【拓展】若E、F、G、H分别是四边的三等分点(如图),那么所得的小正方形的面积占大正方形面

积的______分之______。

1

【分析】思路同上,但要注意,四个三角形ABH之和=4??正方形

M6

N2G

ABCD=正方形ABCD。因为OE:CQ:OQ?1:3:6,又可以计

3

EO111

算出,三角形OBE的面积=??正方形ABCD=正方形

Q10660

213

所以空白部分的面积为??4?(正方形ABCD的BABCD。CF3605

32

面积),所以阴影部分的面积为1??。

55

【例12】(08年迎春杯决赛)如图,已知AB?AE?4cm, BC?DC,?BAE??BCD?90?,

A

H

D

AC?10cm,则S⊿ABC?S⊿ACE?S⊿CDE?________cm2。

B

C

A

A'

B

A

E

D

【分析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90,构成三角形AEC'和A'DE,

再连接A'C',显然的AC?AC',AC?A'C,AC?A'C?AC',所以ACA'C'是正方形。三

?

角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称,在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系:

S?AEC?SA'DC';S?AEC'?S?A'DC;S?CED?S?C'DE。

所以S?ABC?S?ACE?S?CDE?S?AEC'?S?ACE?S?CDE?

图形变换方法技巧归纳总结:

主要方法:1.割补 2.翻转 3.旋转. 4.平移 主要技巧:

1. 2. 3.

尽量将图形转化为基本图形(正方形、等腰直角三角形、等边三角形等)处理; 图形若出现相等的边,考虑通过图形转化将这两条边对应部分的图形缝合; 图形中出现互补(两个角和为180?)、互余(两个角和为90?)角,考虑将对应部分的图形缝合。

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11

S?ACA'C'??10?10?50cm2。22

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【例1】 如图所示,梯形ABCD中,AB平行于CD,又BD?3,AC?4,AC?BD?5,试求梯形ABCD的

面积。

ABAB

【分析】 如下图,将AB沿AC平移至CE,连接BE,在三角形BDE中,有BD?3,BE?4,DE?5,

1有BD2?BE2?DE2,所以三角形BDE为直角三角形。梯形面积为?3?4?6。 2

【例2】 如图:已知在梯形ABCD中,上底是下底的2,其中F是BC边上任意一点,三角形AME、3DCDCE

三角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12。求三角形NDE的面积。

ABAB

M

E

F

N

DCDEMFNCh

【分析】 如图,设上底为2a,下底为3a,三角形ABE与三角形ABF的高相差为h,

∵S?ABF?S?ABE?S?BMF?S?AME?20?14?6。

1∴?2ah?6。即ah?6。 2

11又S?CDE?S?CDF?S?DEN?S?CFN??3ah??3?6?9。 22

∴?DEN?12?9?21。

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【例3】 如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE?2BE,CF?2DF,连接BF,

相交于点G,过G作MN,设正方形MGQAPQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG,DF,

的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,则S1:S2?______。

A

Q

D

F

M

G

N

BEPC

【分析】

连接BD、EF。设正方形边长为3,则CE?CF?2,BE?DF?1,所以,EF2=22+22=8,

BD2=32+32=18。因为,EF2?BD2=8×18=144=122,所以,EF?BD=12。

由梯形蝴蝶定理,得S?DEF∶S?BEG∶S?DFG∶S?BDG

?EF2∶BD2∶EF?BD∶EF?BD?8:18:12:12?4:9:6:6

66

所以,S?BEG =SBDFE=SBDFE。

4?9?6?625945

因为S?BCD=3×3÷2=,S?CEF=2×2÷2=,所以,SBDFE=S?BCD-S?CEF=,所以,S?BEG

222

65336=×=。因为正方形PCNG的边长等于BEG底边BE对应的高,所以,CN=×2÷1=,

25525569

NP=3-=。

55

998166368136

因为S1=×=,S2=×=,所以,S1∶S2=∶=9∶4。

552555252525

1.

三角形ABC的面积为15平方厘米,D为AB中点,E为AC中点,F为BC中点,求阴影部

分的面积。

B

C

F

【分析】 设CD交BE于O CD交EF于M S?ABO:S?BCO?AE:EC?1:1 S?ACO:S?BCO?AD:DB?1:1

S?BCO?15?3?5 S?BDC?15?2?7.5

1

S?FCM??7.5?1.875, 所以阴影面积?5?1.875?3.125平方厘米。

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2. 如右图,长方形ABCD中,EF?16,FG?9,求AG的长。

D

G

FA

E

CB

DGAGAG, ??GBGE25

DGFG9 又∵, ??GBGAAG

AG9 ∴ 即AG2?25?9?225,∴AG?15。 ?25AG

【分析】 ∵

3. 如图,三角形ABC是等腰直角三角形,P是三角形外的一点,其中?BPC?90?,AP?10cm,

求四边形ABPC的面积。

AA

D'

D

BCBDC

【分析】 因为?BAC和?BPC都是直角,和为180?,所以?ABP和?ACP的和为180?,旋转三角形

使AC和AB重合,则四边形的面积转化为等腰直角三角形AD'P,面积为10?10?2?50APC,

平方厘米。

4. 如下图,六边形ABCDEF中,AB?ED,AF?CD,BC?EF,且有AB平行于ED,AF平

行CD,BC平行EF,对角线FD垂直于BD,已知FD?24厘米,BD?18厘米,试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米。

BA

CACBPP

FD

EFDE

【分析】 如图,我们将BCD平移使得CD与AF重合,DEF平移使得ED与AB重合,这样就组成

一个长方形,显然有面积24?18?432平方厘米,即ABCDEF的面积为432平方厘米。

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