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4.初中数学竞赛专题讲座——一元一次方程

发布时间:2014-01-08 11:02:03  

七年级数学联赛班 7 年级

第4讲 一元一次方程

知识总结归纳

一. 含字母系数的一次方程的解法

关于x的方程ax?b

(1) 当a?0时,方程有唯一解x?b; a

(2) 当a?b?0时,方程的解为任意实数;

(3) 当a?0且b?0时,方程无解.

二. 对于特殊的一元一次方程,可以用验根法解方程,即代入某数验证它就是方程的根,然后说明此方程有唯一解(一次项系数不为0).

三. 当一个一元一次方程有两个或者两个以上的解时,它必有无穷多个解,即它的一次项系数和常数都为0.

四. 整数根的两种解法:

方法1:先解方程,然后把解的代数式适当变形,根据整数的整除性求解; 方法2:直接把方程化成一个整式,利用因式分解的方法求解.

典型例题

一. 解一元一次方程

1?6?x?xx?3x????3??3?2?例题1 解方程:x? 22

思维的发掘 能力的飞跃

1

七年级数学联赛班 7 年级 1?1?1?x???例题2 解方程:?x??x??x?????52 2?3?5?6???

例题3 解方程:

xxxx??????2009 1?22?33?42009?2010

1111例题4 解方程:y?1)?y?2)?y?3)???y?2013)?2013; 2342014

思维的发掘 能力的飞跃 2

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二. 含参数的方程

例题5 解下列关于x的方程.

(1)mx?1?nx; (2)4x?b?ax?8;

(3)m(x?n)?

131(x?2m); 4

例题6 解关于x的方程

x?ax?bb??,其中a?0,b?0. baa

例题7 解关于x的方程:(mx?n)(m?n)?0.

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3

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例题8 解关于x的方程:(a?x?b)(a?b?x)?(a2?x)(b2?x)?a2b2

三. 解的情况的讨论

例题9 关于x的方程mx?4?3x?n,分别求m、n为何值时,原方程:(1)有惟一解;(2)有无

数解;(3)无解.

例题10 已知关于x的方程2a?x?1???5?a?x?3b 无穷多解,求a、b.

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例题11 已知关于x的方程 2m?3x?2??1??2n?1?x无穷多解,求m、n.

例题12 已知关于x的方程a(2x?1)?3x?2无解,试求a的值.

例题13 证明:若一元一次方程ax?b有两个不同的解x1和x2,求证:这个方程必有有无数多个解。

例题14 已知关于x的方程ax?3?2x?b有两个不同的解,求(4a?3b)2005的值.

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5

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例题15 已知关于x的方程 m2x?6x??5x?1?m?3至少有两个解,求m.

例题16 无论k取何值时,x?2总是关于x的方程

kx?ax?bk的解,求a、b的值. ?1?23

例题17 不论k为何值时,x?1总是关于x的方程

2kx?ax?bk 的解,求a、b的值. ?2?36

2例题18 已知p、则以x为未知数的一元一次方程px?5q?97的解是1,求代数式p?qq都是质数,

的值。

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例题19 k为何正数时,方程k2x?k2?2kx?5k的解是正数?

例题20 当k取何值时,关于x的方程3(x?1)?5?kx分别有:(1)正数解;(

大于1的解.

四. 公共解

例题21 已知下面两个方程

3(x?2)?5x ①

4x?3(a?x)?6x?7(a?x) ②

有相同的解,试求a的值.

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7 2)负数解;(3)不

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a?3x?a1?5x?例题22 已知关于x的方程3?x?2(x???4x和??1有相同的解,那么这个解是多3?128?

少?

例题23 已知关于x的方程ax?b?0与bx?a?0的解相同,则a、b满足什么关系?

五. 整数根

例题24 关于x的方程kx?k?2x?5的解为整数,求整数k.

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例题25 关于x的方程3m?x?3??4m?1?x??1 的解为正整数,求整数m.

例题26 关于x的方程 ?k?5?x?6?1?5x的解为整数,求正整数k.

例题27 若k为整数,则使得方程(k?1999)x?2001?2000x的解也是整数的k值有几个?

58例题28 已知关于x的方程x?a?x?142,其中a为某些正整数时,方程的解为正整数,试求正25

整数a的最小值.

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六. 其他问题

例题29 已知(m2?1)x2?(m?1)x?8?0是关于x的一元一次方程,求代数199(m?x)(x?2m)?m

的值.

11131999x例题30 已知?4(??1,那么代数式1872?48?()的值是多少? 41999x41999?x

例题31 一个六位数左端的数字是1,如果把左端的数字移到右端,那么所得的六位数等于原数的3倍,

则原数是什么?

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例题32 求自然数a1a2?an,使得12?2a1a2?an1?21?1a1a2?an2.

例题33 小张在解方程3a?2x?15(x为未知数)时,误将?2x看成2x得到的解为x?3,请你求出

原来方程的解.

思维飞跃

例题34 已知:关于x的方程?3a?b?x?8b?1 仅有正整数解,并且和关于x的方程

?3b?a?x?8a?1 是同解方程,若 a?0,a2?b2?0,求这个方程的解。

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例题35 若abc?1,解方程:

七年级数学联赛班 2ax2bx2cx???1; ab?a?1bc?b?1ca?c?17 年级

例题36 若a、b、c是正数,解方程:

x?a?bx?b?cx?c?a???3; cab

例题37 设n为自然数,?x?表示不超过x的最大整数,解方程:

n2(n?1)2

x?2?x??3?x??4?x????n?x??. 2

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作业

1. 解方程:

121(20x?50)?(5?2x)?(4x?10)?0. 632

2. 解方程:

3. 解方程:

思维的发掘 11?12?33x??x?(x?)???x? 26?43?442x2x2x2x???????2006 1?x3?55?72005?2007 能力的飞跃

13

4. 解下列关于x的方程:

(1)a(x?2)?3a?x?1; 2七年级数学联赛班 7 年级

3x?2ab1?; 32x?bx?a(3); ?2?ab(2)ax?b?

(4)?k?1??k?1?x?k?1

5. 若(3a?2b)x?ax?b?0是关于x的一元一次方程,且有唯一解,求x的值.

2

6. b?1时,关于x的方程a(3x?2)?b(2x?3)?8x?7有无数多个解,求a的值.

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kx?a2x?bk??1 的解,求a、b. 237 年级 7. 不论k为何值时,x??1总是关于x的方程

8. 已知关于x的方程ax?3?2x?b有两个不同的解,求?a?b?

9. 关于x的方程9x?3?kx?14 的解为整数,求整数k.

2010.

10. 是否存在整数k,使关于k的方程(k?5)x?6?1?5x在整数范围内有解?并求出各个解.

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11. 关于x的方程

12. 已知

13. 解关于x的方程:七年级数学联赛班 7 年级 255x?a?x?142 有一个正整数解,求最小正整数a. 28x?a?bx?b?cx?c?a111???3,且???0,求x?a?b?c的值。 cababcx?ax?bx?c3x ???b?cc?aa?ba?b?c

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