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9.初中数学竞赛专题讲座——余数定理和试根法

发布时间:2014-01-08 11:02:03  

新初一数学联赛班 7 年级 第9讲 余数定理和试根法

知识总结归纳

一.除法定理:

f(x)和g(x)是两个一元多项式,且g(x)?0,则恰好有两个多项式q(x)及r(x),使

f(x)?q(x)?g(x)?r(x),其中r(x)?0,或者r(x)比g(x)次数小。

这里f(x)称为被除式,g(x)称为除式,q(x)称为商式,r(x)称为余式.

二.余数定理:

对于一元n次多项式f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0,用一元多项式x?c去除f(x),那么余式是一个数。设这时商为多项式g(x),则有

f(x)?(x?c)g(x)?f(c)

也就是说,x?c去除f(x)时,所得的余数是f(c).

三.试根法的依据(因式定理):

如果f(c)?0,那么x?c是f(x)的一个因式.反过来,如果x?c是f(x)的一个因式,那么f(c)?0。

四.试根法的应用:

假定f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0是整系数多项式,又设有理数c?p是f(x)的q根(p、q是互质的两个整数),则p是常数项a0的因数,q是首项系数an的因数.

特别的,如果an?1,即f(x)是首1多项式,这个时候q?1,有理根都是整数根。

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新初一数学联赛班 7 年级

典型例题

例题1 (1)求x?1除f(x)?7x5?4x4?6x2?5所得的余数;

(2)求2x?2除f(x)?7x5?4x4?6x2?5所得的余数;

例题2 多项式f(x)除以x?1、x?2所得的余数分别为3和5,求f(x)除以(x?1)(x?2)所得的余

式.

例题3 a、b是两个不相等的常数.若多项式f(x)能被x?a和x?b整除,证明f(x)也被

(x?a)(x?b)整除.

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新初一数学联赛班 7 年级

例题4 试确定a、b的值,使多项式f(x)?2x4?3x3?ax2?5x?b被(x?1)(x?2)整除.

例题5 已知关于若x的三次多项式f(x)除以x2?1时,余式是2x?1;除以x2?4时,余式是

?3x?4.求这个三项式.

例题6 若f(x)?x2?mx?n(m、n都是整数)既是多项式x4?6x2?25的因子,又是多项式

3x4?4x2?28x?5的因子,求f(x).

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例题7 分解因式:f(x)?x4?4x?3

例题8 分解因式:f(x)?x3?6x2?11x?6

例题9 分解因式:f(x)?2x3?x2?5x?2

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例题10 分解因式:f(x)?3x3?x2?x?2

例题11 分解因式:f(x)?6x4?5x3?3x2?3x?2

例题12 分解因式:x6?2x5?3x4?4x3?3x2?2x?1

5

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例题13 分解因式:x3?9x2?26x?24

例题14 分解因式:x3?9x2y?26xy2?24y3

例题15 分解因式:?24y3?26y2?9y?1

例题16 分解因式:x3?

5211x?x?1 33

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例题17 分解因式:x3?(a?b?c)x2?(ab?bc?ca)x?abc

例题18 分解因式:(a?1)x3?ax2?(a?3)x?(a?2)

例题19 分解因式:(l?m)x3?(3l?2m?n)x2?(2l?m?3n)x?2(m?n)

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作业

1. 若f(x)?2x3?3x2?ax?b除以x?1所得的余数为7,除以x?1所得的余数为5,试求a、b的

值.

2. 多项式f(x)除以x?1、x?2和x?3所得的余数分别为1、2、3,试求f(x)除以

(x?1)(x?2)(x?3)所得的余式.

3. 若x5?5qx?4r能被(x?2)2整除,求q与r的值.

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4. 分解因式:x3?4x2?5.

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5. 分解因式:x4?2x3?3x2?4x?4.

6. 分解因式:2x4?x3?7x2?4x?4.

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7. 分解因式:2x5?7x4?12x3?14x2?10x?3.

8. 分解因式:(x?2y)x3?(y?2x)y3.

9. 分解因式:6x3?5x2y?3xy2?2y3.

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10. 分解因式:8x3?4(a?b?c)x2?2(ab?bc?ca)x?abc.

11. 分解因式:(a?1)x3?ax2?(a?3)x?(a?2).

12. 一个整系数3次多项式f(x),有三个不同的整数a1,a2,a3,使

f(a1)?f(a2)?f(a3)?1.

又设b为不同于a1,a2,a3的任意整数,试证明:f(b)?1.

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