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6.初中数学竞赛专题讲座——整式乘法和乘法公式

发布时间:2014-01-08 11:02:07  

新初一尖子超前班 8 年级

第6讲 整式乘法和乘法公式

知识总结归纳

一. 整式的乘法:

(1)单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式含有

的字母,则连同它的指数作为一个因式;

(2)多项式乘以单项式,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加;

(3)多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得

的积相加.

二.一元整式的乘法可以列竖式进行计算

例如计算?2x2?x?3???x2?5?,我们可以列出如下竖式:

2x2

?x2?x?3?0x?5

10x2?5x?15

2x4?x3?3x2

2x4?x3?7x2?5x?15

这里,把多项式按降幂排列,再把各项一一列举出来(如果有缺项必须用零补足),用类似乘法竖式的方法进行计算.

上式中其实我们也可以只保留各项系数,利用系数列出如下竖式:

2

?1?10?35

10?5?15

2?1?3

2?17?5?15

三. 常用乘法公式

1. 平方差公式:?a?b??a?b??a2?b2;

2. 完全平方公式:?a?b??a2?2ab?b2; ?a?b??a2?2ab?b2

3. 立方和与立方差公式:?a?b??a2?ab?b2??a3?b3; ?a?b??a2?ab?b2??a3?b3

4. 完全立方公式:?a?b??a3?3a2b?3ab2?b3; ?a?b??a3?3a2b?3ab2?b3

3322

1

新初一尖子超前班 8 年级

5. 三个数的完全平方公式:(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca,

(a?b?c)n?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac

6. (a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)?a3?b3?c3?3abc

nnkn?kk7. 二项式定理:(a?b)??Cnab

k?0

典型例题

例1. 计算:(1)(3x?2x?1)(x?x?1)

(2)(3x?x?1)(2x?3x?1)

例2. 计算:(1)(a?b)(a?b)

(2)(4x?3)(4x?3)

32222

2

(3)(2a?3b)(2a?3b)

(4)(a?b?c)(a?b?c)

新初一尖子超前班 8 年级

(5)(a?b?c?d)(c?a?d?b)

(6)(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)

例3. 若(x?1)(x?1)(x?5)?x?bx?cx?d,求b?d的值.

322244

3

例4. 计算:(1)(a?b)

(2)(a?b)

(3)?x?1?

(4)(2x?3y)

(5)9997

222新初一尖子超前班 8 年级 222例5. 计算:(1)(a?b)(a?ab?b)

2

4

22(2)(a?b)(a?ab?b)

(3)?x?y2??x2?xy2?y4?

22新初一尖子超前班 8 年级 (4)(2a?b)(4a?2ab?b?2)

(5)(a?b)(a?b)(a?ab?b)(a?ab?b).

例6. 计算:(1)?a?b? 32222

5

(2)?a?b?3

(3)?2x?y?3

(4)?3x?2y?3

例7. 计算:(1)?a?b?c?2

(2)?a?b?c?2

(3)?2x?3y?z?2

新初一尖子超前班 8 年级

6

(4)??2x?3y?4z? 2新初一尖子超前班 8 年级

(5)(x?2y?z)(x?2y?z)?(x?2y?z)

例8. (1)证明:(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)?a?b?c?3abc

(2)计算:(x?y?2z)(x?y?4z?xy?2yz?2zx)

2222223332

7

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n?18 年级 例9.(1)当n为正整数时,(a?b)(a

(2)当n为正奇数时,(a?b)(a

(3)当n为正偶数时,(a?b)(a

n?1n?1?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)?an?bn ?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)?an?bn ?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)?an?bn

例10. 请按照上题的公式,把下列整式式拆成一个一次因式和另一个因式的乘积。

(1)x?1

7

8

(2)x7?1

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(3)x6?1(请根据例题9的(1)和(3)拆成两种形式)

例11. 计算:(2?1)(2?1)(2?1)?(2

例12. 根据二项式定理:(a?b)?

(1)(a?b)

72464?1)(2128?1) n?Ck?0nknan?kbk,计算下列整式:

9

(2)(a?2b)

(3)(a?b)(a?b)

31444新初一尖子超前班 8 年级 例13. (1)若 a?81,b?27,c?9,请指出a、b、c的大小关系.

(2)请指出3

(3)已知a?2,b?3,且a?0,b?0,请比较a和b的大小. 225554161、4444、5333的大小关系.

10

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28 年级 课后作业 1. 计算:(2x?3x?x?1)(x?3x?1)

2. 计算:(a?b?c?d)(c?a?d?b)

3. 计算:(a?2b)(a?2ab?4b?3)

4. 计算:?2x?3y? 33222

11

5. 计算:?x?2y?3z? 2新初一尖子超前班 8 年级

6. 计算:?x?2y? 5

7. 证明:

a1?(1?a1)a2?(1?a1)(1?a2)a3???(1?a1)(1?a2)?(1?a9)a10?1?(1?a1)(1?a2)?(1?a10)

12

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