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1999年全国初中数学联赛(Ⅰ)试题答案

发布时间:2014-01-08 11:02:10  

1999年全国初中数学联赛(Ⅰ)试题

第一试

选择题

A.1 B.-1 C.2 D.-2

2.△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是 [ ]

A.12 B.16 C.24 D.30

3.设b>a,将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组a、b的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是 [ ]

A.540 B.390 C.194 D.97

5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为 [ ]

A.0 B.1 C.2 D.不小于3的整数

6.有下列三个命题:

(甲)若α、β是不相等的无理数,则αβ+α-β

是无理数;

A.0 B.1 C.2 D.3

填空题

2.如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于______.

3.已知a、b为整数,且满足

则a+b=______.

4.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=______.

第二试

1.某班参加一次智力竞赛,共a、b、c三题.每题或者得满分或者得0分,其中题a满分20分,题b、题c满分分别为25分,竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1个,答对其中两道题的有15人,答对题a的人数与答对题b的人数之和为29;答对题a的人数与答对题c的人数之和为25;答对题b的人数与答对题c的人数之和为20.问这个班的平均成绩是多少分?

2.如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC.已知圆过点C且与AC相交于F,与AB相切于AB的中点G.求证:AD⊥BF.

3.a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关于x的二次方程 x2+(k2+ak)x+1999+k2+ak=0

的两个根均为质数,求a的值.

1999年全国初中数学联赛(Ⅰ)参考答案

一、选择题

2.解 ∵MA=MB=MC=5,

∴∠ACB=90°

已知周长是24,则

AC+BC=14,AC2+BC2=102,

∴2AC·BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)

=142-102=4×24

图(A)中交点横坐标是负数,故图(A)不对.

图(C)中交点横坐标是2≠1,故图(C)不对.

图(D)中交点纵坐标是大于a小于b的数,不等于a+b,故图(D)不对,故选

(B).答:(B)

4.解 ∵x2-100x+196=(x-2)(x-98),

∴当2≤x≤98时,

|x2-100x+196|=-(x2-100x+196)

∴当自变量x取2,3,…,98时函数值都为0.

而当x取1,99,100时,

|x2-100x+196|=x2-100x+196

故所求的和为

(1-2)(1-98)+(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390 答:(B)

5.解 AD的中点M,对BC张成90°角;又在AD上,取点N,使AN=998,则ND=1001.由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知,∠BNC=90°.注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点,可知所求点的个数为2.答:(C).

二、填空题

1.解 ∵(b-c)2=4(a-b)(c-a),

即b2-2bc+c2=4ac-4bc+4ab-4a2,

∴4a2+b2+c2-4ac-4ab+2bc=0,

∴(b+c)2-4a(b+c)+4a2=0,

∴[2a2-(b+c)]2=0,

2.∵∠B=36°,

∠ACB=128°,AM为∠CAB的平分线,

∴∠CAM=∠MAB

∴∠AMC=44°

又AN为切线,

∴∠NAC=∠B=36°,∠NAM=44°,

∴∠N=180°-44°-44°=92°,

∴△ANM的最小角为44°

∴(3b-2)(3a-2)=4,而a、b为整数且不相等,故3b-2,3a-2只可能取值1,4或-1,-4.

∵②无整数解,

由①,得b=1,a=2,∴a+b=3.

4.解 延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB.

令DN=1,CT=MD=k,则AM=2-k,

MB2=2AM·BT ①

三、解答题

3.解 设方程的两个质数根为p、q,由一元二次方程根与系数的关系,有

p+q=-k2-ak ①

pq=1999+k2+ak ②

①+②,得 p+q+pq=1999

∴(p+1)(q+1)=24×53 ③

由③知,p、q显然均不能为2,故必为奇数,

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