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10.初中数学竞赛专题讲座——因式分解高端方法进阶

发布时间:2014-01-08 11:02:12  

新初一数学联赛班 7 年级

第10讲 因式分解综合运用

知识总结归纳

每道复杂问题的解法都可以分成若干步,每一步都是一个简单的问题。因此,要解决复杂问题,首先要解决简单的问题。彻底、纯熟地掌握前面所说的基本方法,即提取公因式、运用公式、分组分解、拆项添项、十字相乘法,“难题”也就不难了。

典型例题

一. 换元法

例题1 分解因式:x6?28x3?27

例题2 分解因式:(a?b)4?(a?b)4?(a2?b2)2

1

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例题3 分解因式:a4?44?(a?4)4

例题4 分解因式:(y?1)4?(y?3)4?272

例题5 分解因式:(y?1)3?(y?3)3?4(3y?5)

2

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例题6 分解因式:(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2

例题7 证明:四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.

例题8 分解因式:(x?1)(x?1)(x?3)(x?5)?9

3

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例题9 分解因式:(x2?7x?6)(x2?x?6)?56.

二. 展开处理

例题10 分解因式:(ax?by)2?(ay?bx)2

例题11 分解因式:xyz(x3?y3?z3)?y3z3?z3x3?x3y3

4

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三. 试根法与十字相乘法进阶 例题12 分解因式:a4?a3?a2b?ab2?b3?b4.

例题13 分解因式:a2b?ab2?a2c?ac2?3abc?b2c?bc2

例题14 分解因式:bc(b?c)?ca(c?a)?ab(a?b).

5

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例题15 分解因式:y(y?1)(x2?1)?x(2y2?2y?1)

例题16 分解因式:ab(x2?y2)?(a2?b2)(xy?1)?(a2?b2)(x?y)

例题17 分解因式:x2?2(a?b)x?3a2?10ab?3b2

6

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例题18 分解因式:x3?3x2?(a?2)x?2a.

例题19 分解因式:(1?a2)(1?b2)?4ab.

例题20 分解因式:x4?2ax2?x?a2?a.

7

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四. 因式分解的应用

例题21 已知a是自然数,问a4?3a2?9是质数还是合数?

例题22 已知248?1可以被60与70之间的两个整数整除,求这两个整数。

例题23 求证:817?279?913能被45整除。

例题24 若x满足x5?x4?x??1,计算x1998?x1999???x2004.

8

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例题25 求方程6xy?4x?9y?7?0的整数解.

思维飞跃

例题26 分解因式:a3?b3?12ab?64.

例题27 分解因式:x4?1998x2?1999x?1998

9

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例题28 分解因式:4(x?5)(x?6)(x?10)(x?12)?3x2

例题29 分解因式:a3b?ab3?a2?b2?1.

例题30 分解因式:(a?b)2(ab?1)?1

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作业

1. 分解因式:x?19xy?216y

6336

2. 分解因式:x?2(a?b)x?(a?b)

4222222

3. 分解因式:abcx?(ab?c)x?abc

2222

4. 分解因式:(ay?bx)?(ax?by)?(a?b)(x?y)

333333

11

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5. 分解因式: (a?1)(a?2)(a?3)(a?4)?24

6. 分解因式:(x?6x?8)(x?14x?48)?12

22

7. 分解因式:(x?x?4)?8x(x?x?4)?15x

2222

12

22新初一数学联赛班 22227 年级 8. 分解因式:2(x?6x?1)?5(x?6x?1)(x?1)?2(x?1)

9. 分解因式:(2x2?3x?1)2?22x2?33x?1.

10. 分解因式:x4?1996x2?1995x?1996

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