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2.初中数学竞赛专题讲座——有理数综合

发布时间:2014-01-08 11:02:13  

新初一数学联赛班 7 年级

第2讲 有理数综合

知识总结归纳

一. 已知线段长度和其中一个点的坐标,求另外一个点的坐标 已知点A的坐标是x1,线段AB的长度是l:

(1) 当点B在A点的右侧时,B的坐标:x2?x1?l

(2) 当点B在A点的左侧时,B的坐标:x2?x1?l

二. 数轴上线段长度公式 已知点A的坐标是x1,点B的坐标是x2,则线段AB的长度:

?x1?x2.

三. 数轴上中点坐标公式

已知点A的坐标是x1,点B的坐标是x2,则线段AB的中点C点的坐标

x0?x1?x2 2

四. 对称点坐标公式

已知点A的坐标是x1,点B的坐标是x2,则点A关于点B的对称点C的坐标

x0?2x2?x1

典型例题

一. 数轴和相反数

例题1 a、b、c、m都是有理数,并且a + 2b + 3c = m,a + b + 2c = m,那么b与c( ).

(A)互为相反数 (B)互为倒数 (C)互为负倒数 (D)相等

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新初一数学联赛班 7 年级 例题2 若a?b?0,b?0,把a、?a、b、?b按照从小到大的顺序排列起来为

例题3 已知b比a的相反数大1,c比b的相反数的小2,试求a?2b?c的相反数.

例题4 a的相反数是2b?1,b的相反数是3a?1,求a2?b2的值.

例题5 若a是不小于?3且不大于1的数,那么它与它的相反数的大小关系如何?

2

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例题6 三个有理数a、b、c两两不等,那么在

a?bb?cc?a、、中有几个数是负数? b?cc?aa?b

例题7 数轴上表示2a?1与1?3a的两个点到原点的距离均为b?2,求5a?2b的绝对值.

例题8 数轴上表示a?1与3a?5的点关于表示1的点对称,a、b绝对值相等,求a?2b的值.

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例题9 如图所示,在数轴上有六个点,且满足AB?BC?CD

?DE?EF,则与点C所表示的数最

接近的整数是( ).

A.?1 B.0 C.1 D.2

例题10 已知数轴上有A、B两点,A、B两点之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,求所有满

足条件的点B与原点O的距离的和.

例题11 在数抽上,N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍,那么N点表示的数

是多少?

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二. 绝对值

例题12 (1)绝对值小于2013的所有数之和为_______.

(2)已知a?4,b?3,且a?b,则a?b的值为_______.

(3)若a?4,b?9,且a?b的相反数为正数,则a?b的值为_______.

例题13 已知a?a?20,a?b?c???d?d,求a、b、c的值.

例题14 (1)已知abc?1,求a

a?b

b?c

c的值.

(2)已知a、b、c都是非零有理数,且a?b?c?0,abc?0求

(3)已知a、b、c都是非零有理数,求

abab?bcbc?caca的值. abcabc所有可能的值 ???abc

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例题15 不相等的有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C,若a?b?b?c?a?c,那么

点B( )

A. 在A,C点右边 B. 在A,C点左边

C. 在A,C点之间 D. 都有可能

例题16 互不相等的有理数a,b,c在数轴上对应点分别为A,B,C,若a?b?a?c?b?c,那么点

A,B,C中,居中的点是

例题17 若|x-y+2|与|x+y-2012|互为相反数,求

x?2y的值. x?2y

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例题18 若a,b,c为整数,且|a-b|2001+|c-a|2001=1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.

例题19 若x?2?y?3?z2?1?2z,求16x?2y?9z?17x?5z?(y?x)2013的值.

例题20 有理数x、y适合关系式:x?x?y?10,y?x?y?12,求x?y的值.

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新初一数学联赛班 7 年级 思维飞跃 例题21 已知:a、b、c、d都是整数,且a?b?b?c?c?d?d?a?2,则a?d的值为多少?

例题22 已知数轴上A、B、C三点所对应的数a、b、c都不为0,且C是AB的中点。如果

a?b?a?2c?b?2c?a?b?2c?0,试确定原点O的大致位置.

例题23 已知有理数a、b、c均不为0,且a?b?c?0,设x?

x19?99x?2000的值.

ab?c?bc?a?ca?b,试求代数式

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例题24 如图,数轴上线段MO(O为原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中,只有两点对应的数

是整数,点M对应的数a??10,求a所有可能的取值。

例题25 已知 a?1,b?1,c?1,求证:ab?bc?ca??1.

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作业

1. 表示a、b、c的点在数轴上位置如图所示,化简 |

b-c|+|b-a|-| a |.

2. 如下图,A点表示的数是a,

B点表示的数是b,比较:a,b,

11,的大小. ab

?a、?b按照从小到大排列. 3. 已知a、b为有理数,且a?0,b?0,a?b?0,试将a、b、

4. 已知数轴上表示负有理数m的点是点M,那么在数轴上与点M相距m个单位的点中,与原点距

离较远的点对应的数是多少?

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5. 在数轴上任取一个长度为1999

新初一数学联赛班 7 年级 1的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住多少个整数点? 9

6. 若a、b、c均为整数,且(a?b)10?(a?c)10?1,试求a?b?b?c?c?a的值.

7. 有理数a、b、c、d满足

8. 已知a、b、c、d都是有理数,a?b?9,c?d?16,且a?b?c?d?25,求b?a?d?c

的值.

abcdabcd??1,则aa?bb?cc?dd的最大值是多少?

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9. 电子跳蚤落在数轴上的某点Ko,第一步从K.向左跳1个单位到Kl,第二步由Kl向右跳2个单位到

K2,第三步由K2向左跳3个单位到,第四步由K3向右跳4个单位到K4,…,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是2012,试求电子跳蚤的初始位置Ko点所表示的数.

10. 如图,点A从原点出发沿数轴向左运动,同时,点B也从原点出发沿数轴向右运动,3秒后,两点

相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位:单位长度/秒).

(1)求出点A、点B运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置;

(2)若A、B两点从(1)中的结果位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,再过几秒时,原点恰好处在点A、点B的正中间?

(3)若A、B两点从(1)中的结果位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时,另一点C同时从B点位置出发向A点运动,当遇到A点后,立即返回向B点运动,遇到B点后又立即返回向A点运动,如此往返,直到

B点追上A点时,C点立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动,那么点C从开始运动到停止运动,经过路程是多少个单位长度?

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