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高等数学竞赛模拟试题(四)

发布时间:2014-01-09 09:47:41  

高等数学竞赛模拟试题(四)

一、 填空题(每小题5分,共50分)

1.若f(x)?x(2x?1)(3x?2)?(100x?99),则f?(0)? 2.已知当x大于

111

趋向于时,则a?,??3arccosx与a(x?)b为等价无穷小,222

b?。

y2z2

3.函数u?xyz在点(1,2,?1)处沿曲面x???2的外法向的方向导数

82

2

3

2

为 。 4.级数

1

的和等于 。 ?n

(n?1)2n?1

2

2

2

?

5.设函数??0且可微,计算由曲面(z?a)?(x)?(z?b)?(y)?0与柱面x?y?c及平面z?0(a?0,b?0,c?0)所围的空间区域的体积V? 。

6.椭球面x?2y?4z?1与平面x?y?z??0之间的最短距离。

2

2

2

x2n?1??x2?x

7.设f(x)?lim 是连续函数,则??。 2nn??x?1

8.9.

?

??

0 1

xe

7?x2

dx?

?dy?

y2

ycos(1?x)2dx

?x??2?t

2x?z?1??

10.直线l过点M(1,?2,0)且与两条直线l1:? ,?y?1?4t垂直,则l的参

?x?y?3z?5?z?3

?

数方程为 。 二、(每小题6分,共18分) 1.计算

2

??

x?y2?

3

16

?3?min??x2?y2,2(x2?y2)?dxdy

?16?

2.设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求

3.证明: dydz,。 dxdx

ln(1?2)??

1dx?x4 0?1。

三、(7分)求极限lim

1t???t5x2?y2?z2?t2222(x?2y?3z)dxdydz ???

?x?ky?四、(7分)当k(?0)取何值时,曲线?x2是圆?并求此圆的圆心坐标以及该圆2?z?2y??2

在zox平面,yoz平面上的投影。

五、(9分)

(1) 判别级数?n?1?(?1)nn的敛散性;

(2) 若当n??时,an与1

n为等价无穷小,试问交错级数?(?1)

n?1?nan是否一定收敛?

若收敛,证明之;若未必收敛,举一发散的例子。

六、(9分)设函数f(x)在闭区间[0,1]上有连续的导数,|f?(x)|?M, 证明:|

? 1 01nkMf(x)dx??f()|?。 nk?1n2n

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