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高等数学竞赛模拟试题(四)参考答案

发布时间:2014-01-09 09:47:44  

高等数学竞赛模拟试题(四)参考答案

一. 填空题(每小题4分,共40分)

1.若f(x)?x(2x?1)(3x?2)?(100x?99),则f?(0)??99!。

?2z1x2.设z?f(xy)?y?(xy,),f,?分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数,则? ?x?yxy

yf???2y?1?xy2?11?x?22。 y2

2y2z2

3.函数u?xyz在点(1,2,?1)处沿曲面x???2的外法线方向的方向导数为

8223

。 1的和等于2ln2?1。 ?n(n?1)2n?1

222?4.级数5.设函数??0且可微,计算由曲面(z?a)?(x)?(z?b)?(y)?0与柱面x?y?c及

平面z?0(a?0,b?0,c?0)所围的空间区域的体积V?1(a?b)?c2。 2

。 66.椭球面x?2y?4z?1与平面x?y?z??0之间的最短距离

=222

7. 设f(x,y)可微,f(1,2)?2,fx(1,2)?3,fy(1,2)?4,?(x)?f(x,f(x,2x)),则 d?3(x)

dx

8.

9.x?1?564。 2?? ?? 0 1x7e?xdx?3。 y2

0dy? 0ycos(1?x)2dx =sin1。 4

?3x2?2y2?1210.由曲线?绕y轴旋转一周所得旋转曲面在点(0,,2)处的指向外侧z?0?

的单位法向量为

??

?。

二、(每小题7分,共21分)

?22?1

.计算??min2(x?y)?dxdy

?3?x2?y2?

16

解:

?22?22

min2(x?y)dxdy?2(x?y)dxdy ?????

?31?x2?y2?x2?y2?

16

8

2?2?3xdy?2?d?d???d?d?

000?

1223

?x?y?816

??

?

?

?

64

?

96

?

5

? 192

2.设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和

F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求

解:

dydz

,。 dxdx

dzdydz?dy?

?f?x?1??f?,F1?F2?F3?0,解得 dxdxdxdx??

dzfF2?xf?F2?xf?F1

? dxF2?xf?F3

F?fF3?xf?F3dy

??1,dxF2?xf?F3

3.证明:

ln(1??

?

1

??

0?1。

1

1

证:

?

1

0??dx?1,

1

?

1

1

0??

?lnx三、(7分)求极限lim

?

?ln(1

1

t???t5

x?y2?z2?t2

2

???

(x2?2y2?3z2)dxdydz

1t???t5

解:lim

1t???t5

x2?y2?z2?t2

???

(x2?2y2?3z2)dxdydz?2lim

?

t

x2?y2?z2?t2

???

(x2?y2?z2)dxdydz

1

?2lim5

t???t

?

2?0

8

d??sin?d???4d???

005

?z?ky

?

四、(7分)当k(?0)取何值时,曲线?x2是圆?并求此圆的圆心坐标以及该圆2

??z?2y?2

在zox平面,yoz平面上的投影。

2?1???2?y?2??x2k?22?x????ky?2y?0?1解:曲线在xOy平面上的投影曲线为?2,即?, ?k2?z?0k4???z?0

为一椭圆,中心为?0,?

?1??11?,此为圆心的投影,因此圆心为,0C??0,2,?,而该椭圆的两

2k??kk?

1?11?轴端点(0,0,0),k2,0??,对应圆上的点为A(0,0,0),Bk2,k??,则半径应为

??

??

r?AC?BC,?,k?1,圆心为C?0,1,1?,圆在zOx平面上的投影为 k

?x2

2?y?z,0?z?2??(z?1)?1,圆在平面上的投影为一线段:。 yOz??2x?0??y?0?

五.(9分)(1)。判别级数?n?1?(?1)nn的敛散性;

(2)。若当n??时,an与1

n为等价无穷小,试问交错级数?(?1)

n?1?nan是否一定收敛?

若收敛,证明之;若未必收敛,举一发散的例子。

解:(1)由Leibniz判别法得知级数?n?1?(?1)nn收敛。

a1(2)

不一定。如an?(?

1)n,则limn?

1,n??nn1?(?1)an????, ?n?n?1n?1?n?

?n?1?(?1)n??n1?1n?发散。 收敛,?

发散,所以?(?1)an??n?nn?1n?1n?1n?

六.(8分)讨论级数1?11111??????的敛散性(其中p为常数)。 pp2p4635

解:当p?1?收敛。 时,由Leibniz

判别法得知级数12

当p?0时,级数的一般项不趋于零,级数发散。当0?p?

1

时,考虑级数

2

1??0,

p

(2n)?1?1?1

1??p?????????(*),?pp

?4?2?(2n)

?

11

?p,?p发散,因此级数(*)发散,故原级数发散。 n??2n?1n

np

当p?

11?

时,考虑级数?1?p2?21????p?41??????p?(2n)?

???(**),

?

1?0,?1,pn??(2n)

散,故原级数发散。原级数当且仅当p?七.(8分)计算积分

I?

n?1

?

发散,因此级数(**)发1

时收敛,其余皆发散。 2

?

1?1

dx0

y?。

解:I??dx?1

1

y?

1

sin?0

10

??d??4sin?d??

?

?

2cos?0

?d?

??d???sin?d??

2

4

?

?

2???12

?d????1?2??sin?d?3?4??

?2?1

????ln1???32?

??

?或:I?

?

1

1?1

dx?

y?

10

1??d??dz?

?110

r

??d??dz?

?2

r??????0

zdz??

?

2

1

zdz?

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?1

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10

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?2?1?????3?6?2ln1???3???

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