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高等数学竞赛试题(含答案):7-3

发布时间:2014-01-09 14:52:43  

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高等数学竞赛试题3答案

一、选择题

1. 设xn?zn?yn,且lim(yn?xn)?0,则limzn( C ) n??n??

(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零;

(C) 不一定存在; (D) 一定不存在.

2. 设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( A )

(A) 当f(x)为奇函数时,F(x)必为偶函数;

(B) 当f(x)为偶函数时,F(x)必为奇函数;

(C) 当f(x)为周期函数时,F(x)必为周期函数;

(D) 当f(x)为单调增函数时,F(x)必为单调增函数.

3. 设a?0,f(x)在(?a,a)内恒有f"(x)?0且|f(x)|?x,记I?

(A) I?0; (B) I?0; (C) I?0; 2?a?af(x)dx,则有( B ) (D) 不确定.

4. 设f(x)有连续导数,且f(0)?0,f'(0)?0,F(x)?

同阶无穷小,则k?( B )

(A) 4; (B) 3;

5. ?x0当x?0时,F'(x)与xk是(x2?t2)f(t)dt, (C) 2; (D) 1. ?x2y22,x?y?0?2设f(x,y)??x?y2,则f(x,y)在点(0,0)( D )

?,x2?y2?0?0

(A) 不连续;

(C) 可微; (B) 连续但偏导数不存在; (D) 连续且偏导数存在但不可微.

????????6. 设a?i?j,b??2j?k,则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为( A ) (A) ,; (B) 3, 11; (C) 3,; (D) 2,.

7. 设L1与L2是包含原点在内的两条同向闭曲线,L2在L1的内部,若已知??

为常数),则有??2xdx?ydy( D ) L1x2?y22xdx?ydy?k(kL2x2?y2

(A) 等于k; (B) 等于?k; (C) 大于k; (D) 不一定等于k,与L2的形状有关.

8. 设

二、设f(x)?limx2n?1?ax2?bx

x2n?1n???an?0?nxn在x?1处收敛,则?n?1(x?1)n?0?ann在x?0处( D ) (n?N),试确定a、b的值,使limf(x)与limf(x)都存在. x?1x??1

x2n?limx2n?1?0,故f(x)?ax2?bx; 解:当|x|?1时,limn??n??

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当|x|?1时,f(x)?

1 x

x??1?

?1

x??1,?x,

??

f(x)??ax2?bx,?1?x?1,

?1?,x?1,x??

limf(x)??1,

x??1?

limf(x)?a?b,a?b?1

x?1?

limf(x)?a?b,

x?1?

limf(x)?1,a?b?1

a?0,b?1。

三、设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)?1,F(x)f(x)?cos2x,求

?

?

|f(x)|dx.

解:F?(x)?f(x),F(x)F?(x)?cos2x,?F(x)F?(x)dx??cos2xdx

F2(x)?sin2x?C,由F(0)?1知C?

1,F(x)|cosx?sinx|,

|cos2x||cos2x?sin2x|

|f(x)|???|cosx?sinx|

|F(x)||cosx?

sinx|

?

?

?0

|f(x)|dx??4(cosx?sinx)dx??(sinx?cosx)dx?1)?(1?

4

?

四、设??{(x,y,z)?R3|?a2?x2?y2?z?0,a?0},S为?的边界曲面外侧,计算

I?

S

axdydz?2(x?a)ydzdx

x?y?z?1

2

2

2

?x2?y2?a2

解:S1:z?,S2:?(上侧),????0,

z?0?S2

?

???

S

??????????

S1

S

2

S

axdydz?2(x?a)dzdx?

S

1

1

?

????

??S?S12S?

? ??2

?

?

??axdydz?2(x?a)ydzdx?

1?S2

?a?2(x?a)?dV ?

1434

?(3a?2x)dV?3adV???a?23??

五、已知x0?1,x1?

111

,,…,,…. x?x?2n?1333x0?4x1?4xn?4

求证:(1)数列{xn}收敛;(2){xn}的极限值a是方程x4?4x?1?0的唯一正根.

33

xn?xn11?1

?3?3解一:(1)?0?xn?1,xn?1?xn?3 3

xn?4xn?1?4(xn?4)(xn?4)?1

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?

22

xn?xn?1xn?xnxn?1?xn?1

42

n

n

?

3xn?xn?1

16?3??3?

???xn?1?xn?2?????x1?x0 ?16??16?

n

2n

??

4?3??3?1?3?

????1???; 又????收敛,??xn?1?xn收敛, 1655?16???n?0?16?n?0

??(xn?1?xn)收敛,又因Sn?xn?1?x0,故?xn?收敛。

n?0

?

ilxn?a,(2)令m且a??0?xn?1,?a?0,

n??

1

,a4?4a?1?0,即a是x4?4x?1?03

a?4

x???

的根,令f(x)?x4?4x?1,x?(0,??),f?(x)?4x3?4?0,f(0)??1,limf(x)???,故f(x)0?根唯一。

解二:由已知x0?1,x1?

111

,…,x?0.2490…,由此x??0.2495?0.22333

x2?4x13?4x0?4

可见,x0?x2,x1?x3 (用归纳法证明偶数项单调减少,奇数项单调增加)。

设x2n?2?x2n,x2n?1?x2n?1。 x2n?

1x

3

2n?1

?4

?

1x

32n?1

?4

?x2n?2, x2n?1?

11

?3?x2n?3 x?4x2n?2?4

32n

n??

由0?xn?1知?x2n?、?x2n?1?收敛,令limx2n?a,limx2n?1?b;

n??

由0?x2n?1,0?x2n?1?1,知0?a?1,0?b?1。 对x2n?

1

3x2n?1?4

两边取极限得a?

13

,ab?4a?1 ① b3?4

对x2n?1?

11

两边取极限得,a3b?4b?1 ② b?33

x2n?4a?4

由①—②得ab(b2?a2)?4(a?b)?0,解得a?b?0

由a?b知?xn?收敛,且为方程x4?4x?1?0的根(再证唯一性)。 六、设f(x,y)在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证:

?f?f?y?x?y

lim ?? dxdy??2?f(0,0) , 其中D为圆环域:?2?x2?y2?1 22??0x?yD

x

解一:令x?rcos?,y?rcos?,

?f?f?x?f?y?f?f?f?f?f

。???cos??sin?,r?x?y

?r?x?r?y?r?x?y?r?x?y

由已知当r?1时,f(cos?,sin?)?0,

I???

D

xfx?yfyx2?y2

r

dxdy???

D

?f

rdrd??2?d?1?fdr?2?f(rcos?,rsin?)|1d?

??0???r?0

r2

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2?2???0f(cos?,sin?)d???0f(?cos?,?sin?)d?

?0?2?f(?cos?*,?sin?*),?*?[0,2?],故limI??2?f(0,0) ??0

?f?f?yyf(x,y)xf(x,y)?Q?P?x?y解二:令P??22,Q?22,? ??22x?yx?y?x?yx?yx

x

???D?f?f?y?x?y,L2为x2?y2??2(顺时针) dxdy,令L1为x2?y2?1(逆时针)22x?y

L2?? ns,y??si??Pdx?Qdy???Pdx?Qdy L2:x??co?L1

????yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy ???L2L1x2?y2x2?y2

????yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?L11?2??L2?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy

?0?

???1?2???(??sin?)(??sin?)??cos???cos??f(?cos?,?sin?)d? 202?

0f(?cos?,?sin?)d???2?limf(?cos?*,?sin?*),?*?[0,2?] ??0

x

lim????0D?f?f?y?x?ydxdy??2?limf(?cos?*,?sin?*)??2?f(0,0)。 22??0x?y

七、有一圆锥形的塔,底半径为R,高为h(h?R),现沿塔身建一登上塔顶的楼梯,要求楼梯曲

线在每一点的切线与过该点垂直于xoy平面的直线的夹角为楼梯曲线的方程. ?,楼梯入口在点( R,0,0 ), 试求4

解:设曲线上任一点为(x,y,z),?h?zr?, hR

??x?r(?)cos??(0???2?), ?曲线参数方程为(*)?y?r(?)sin?

?h?z?h?r(?)?R??在点(x,y,z)的切向量为v??x?(?),y?(?),z?(?)?,垂线方向向量为k?(0,0,1)。

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??x?(?)?r?(?)cos??r(?)sin?????v?k?y?(?)?r?(?)sin??r(?)cos?,cos??4|v|?|k|?h?z?(?)??r?(?)?

R

??

hr?(?)

,化简得drdr?0,

d?d?解得r?C1e,由??0,r?R得C1?

R,故r?Re,将此式代入参数方程(*)

即得楼梯曲线。

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