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初中数学竞赛专题培训(27):列方程解应用题问题中的量和等量

发布时间:2014-01-09 17:01:06  

初中数学竞赛专题培训

列方程解应用问题时,比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系.又由于应用问题类型繁多,等量关系千变万化,什么工程问题,行程问题,浓度问题,等等,如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律,这不仅太繁杂,而且罗列也不是真正的概括.那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢?

一般说来,常用的量基本上可以分为两大类.例如,一群羊、一堆蛋等,因为它们具有天然的个别单位,所以处理这种量只要数一数它们的个数1,2,3,?就可以了.这种量我们称它为分离量,分离量的特点是可数的.另一种量,例如一根绳子的长度,一桶水的重量等,长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数,但这种量的基本特点是它们可以无限细分,因此我们可以选取人为的单位去度量它们.比如,度量长度,我们可以选用米或厘米作为长度单位;度量重量,我们可以选用千克或克等作为重量单位.取定了度量单位之后,就可以度量这种量的多少了.我们称这种量为连续量,它的一个基本特点是可以度量.

在连续量之中,例如长度、面积、体积、重量、时间等等,这些量既可以细分又可以广延,我们称这种量为外延量.连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的,用以表示“强度”,这种量称为内涵量.例如表示单位面积上承受多

少压力的“压强”就是一个内涵量.这是因为

它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的.

如果把内涵量再分类,又可以分为两种,其中一种是由不同种外延量之比产生的量,我们称它为度.例如

另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的,我们称它为率.例如

等等都是率.

这样,可以把常见的量的分类归纳如下:

我们对量有了一定的了解之后,从量的种类入手,找等量关系,就有了可以遵循的基本原则和方法了.

第一,因为分离量不能和连续量相等,外延量不能和内涵量相等,度不能和率相等,因此,等量关系只能在同种量中寻找,即

分离量=分离量,外延量=外延量,

度=度,率=率.

第二,因为分离量和外延量是可加的,所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系,便可以利用“全量=部分量之和”(它的推理是“部分量=全量的一部分量”,“部分量之和=部分量之和”,特例是“全量=全量”)的原则. 第三,因为度和率是两种外延量之比,如果要确定的是度或率的某种相等关系,只须找到同一个度或率的两种不同表达式,然后用等号连接起来就可以列出方程了.我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法.

下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用.

例1 设A,B两地相距82千米(km),甲骑自行车由A向B驶去,9分钟(min)后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去,两人在距B地40千米处相遇,问甲乙的速度各是多少?

等等都是度.

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分析与解 首先我们列出题中的各种已知量和待求的量:

(1)A,B两地的距离是82千米;

就是寻找甲的速度和乙的速度之间的关系问题.由已知条件可知,乙每小时比甲多走2千米,即

甲的速度=乙的速度-2,③

(2)甲乙两人相向而行,甲比乙先行9分钟; (3)每小时乙比甲多走2千米; (4)两人相遇地点距B地40千米; (5)求甲乙的速度.

其次,就要设一个适当的未知量,并把它看作“已知量”,根据题中所给的条件,把已知量和未知量联系起来,找等量关系列方程.为此,我们可有不同的思考方法.

第一,可以从外延量考虑等量关系.本题中,时间、距离都是外延量.比如,我们考虑时间这个外延量,那么如何找出本题中有关时间的一个等量关系呢?因为甲乙中途相遇,那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间?乙由B出发到与甲相遇走了多少时间?这两者又有什么关系?联系已知条件,利用全量=部分量之和可知 甲由A出发到遇到乙的时间

=乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟,① 又考虑到

如果设甲的速度为x千米/小时(km/h),那么乙的速度为(x+2)

②的解是x=30千米(方程②的解法留给读

者),所以甲的速度是每小时行30千米,乙的速度是每小时32千米.

第二,也可以从内涵量找等量关系.在本题中,速度就是个内涵量,以速度来找等量关系,

因此,如果设甲与乙相遇时正好走了x小时,那么乙遇甲时走了

时.由③式,可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2,即

(3)按(2)的打法所需时间比同时用两台机器打完全部麦子多11天的时间;

(4)求分别用一台机器打完全部麦子所需的天数.

其次,为了找出等量关系列出方程,我们仍像例1那样,从外延量和内涵量这两种不同的量入手来分析思考.

第一,从外延量考虑等量关系.本题中的时间就是个外延量,因为外延量是可加的,那么利用前面提到的找等量关系的第二条原则,注意到“全量=部分量之和”或其推论,只要找到同一个时间的两种不同表示法,等量关系也就找出来了.为此,如果我们设x为甲机打完全部麦子所需要的时间(天数),那么2x就是乙机打完全部麦

子所需要的时间(

所以甲乙两机每天共同的工作效率又可写成

比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11

天”可知,这一关键语给

这两个表达式,表示的是同一时间,因此它们相等,这就得到如下方程

解这个方程,就得到

把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来,就得到方程

x=15(天)??甲打完全部麦子的时间, 2x=30(天)??乙打完全部麦子的时间. 例2的分析和例1类似,从外延量考虑等量关系时,注意到时间这个外延量的可加性,并利用了“全量=部分量之和”的原则.从内涵量考虑等量关系时,是利用了工作效率这个内涵量的等比表示法.

例3 要在含50%酒精的800克(g)酒中,倒入含酒精85%的酒多少克,才能配成含酒精75%的酒?

分析与解 本题涉及的量有溶液、溶质和浓度,其中溶液、溶质是外延量,浓度是内涵量,这三者之间的关系是

解这个方程,得到

x=15(天)??甲机打完全部麦子的天数, 那么

2x=30(天)??乙机打完全部麦子的天数. 第二,从内涵量考虑等量关系.本题中甲乙两机的工作效率就是个内涵量,如果设x为甲机打完全部麦子所需时间(天数),则2x为乙机打完全部麦子所需时间(天数),那么

就是甲乙两机每天共同的工作效率.如果再找出甲乙两机每天工作效率的另一种表示法,那么方程也就列出来了.

由于全部的工作量设为1,而甲乙两机同时工作打完全部麦子的时间为

因此,在找等量关系时,既可以从外延量(溶液、溶质)来考虑,也可以从内涵量(浓度)来考虑. 第一,从外延量来考虑等量关系.由题意可知

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(1)要求的混合溶液的重量=已知两种溶液重量的和;

(2)要求的混合溶液中,溶质的重量=已知的两种溶液中溶质重量的和.

解上述方程,就得到x=2000(克). 第二,从内涵量考虑等量关系.由于本题中浓度是内涵量,因此只须找出混合溶液浓度的两种不同表示式,即可列出方程.现在已知混合溶液的浓度是75%,所以再找出混合溶液浓度的另一种表达式就行了.因为

所以,只须找到混合溶液中的溶质和溶液的重量即可.为此,若设x为倒入的含酒精85%的酒的重量,则混合溶液重量=800+x.因为,甲种酒中含酒精的重量为50%×800,乙种酒中含酒精的重量为85%x,所以由(2)可知:混合溶液中含酒精的重量为50%×800+85%x.所以,混合溶液浓度的另一种表达式为

上式表示式等于75%,于是得到方程

解这个方程,得到x=2000(克).

综上,例1、例2、例3表面上看是三类问题,其实是完全类似的.在这三例中所涉及的量有如下对应关系:

外延量=外延量÷内涵量),那么,在表示某种强度的意义下,都可看成同类问题.当然各自的物理意义不同,因此,结合各个具体问题,作出具体分析,但是找等量关系列方程的基本思考方法却是共同的.

练习二十七

1.解下列方程:

(4)75%(800+x)=50%×800+85%x;

,乙组单独做1天后,由甲乙两组合作了2天就完成了全部工作.问甲乙两组单独完成此项工作,各需多少天?

4.已知甲种盐水含盐40%,乙种盐水含盐15%,现在要制成5千克(kg)含盐25%的盐水,试问需要甲乙两种盐水各多少千克?

5.植树节这一天,某校学生去植树,如果每人植树6

株,只能完成

树40株,求参加植树的人数及原计划植树的株

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