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高数竞赛题

发布时间:2014-01-09 17:02:25  

第一讲 多元函数微分法

1.(1)z?xy|在点(0,0)处:

(A)可微 (B)偏导存在但不可微

(C)连续但偏导不存在 (D)不连续但偏导存在

?x2y?(2)设f(x,y)??x2?y2

?0?x2?y2?0x2?y2?0,求fx(x,y)及fy(x,y).

?xy(x2?y2)22x?y?0?f?f?2,,(3)设f(x,y)??x?y2,求并证明:fxy(0,0)?fyx(0,0). ?x?y?0x2?y2?0?

?x2y222x?y?0?(4)设f(x,y)??(x2?y2),证明:f(x,y)在点(0,0)处连续且偏导?x2?y2?0?0

数存在,但不可微分.

?2z2.(1)z?f[?(x)?y,?(y)?x],f二阶连续可偏导,?.?可导,求. ?x?y

(2)设f(x,y)可微,且f(x,2x)?x,fx(x,2x)?x2,求fy(x,2x).

?2z(3)设z?f(u,x,y),u?xe,其中f具有连续的二阶偏导数,求. ?x?yy

(4)设x?eucosv,y?eusinv,z?uv,试求?z?z和. ?x?y

?z?z和. ?x?y(5)设z?x2yf(x2?y2,xy),其中f有连续偏导数,求

?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?0,(6)设变换?可将方程62?求常数a. ?2?0简化成?u?v?x?y?y?x?v?x?ay

(7)设?(ax?cz,by?cz)?0,求?z?z,. ?x?y

x?2z?2z(8)z?f(2x,),求2,2. y?x?y

(9)设f(x,y)?xy?t2?0edtx?2f?2fy?2f,求. ?2?y?x2?x?yx?y2

(10)z?u(x,y)e?x?y?2u?2z?z?z,?0.试确定常数?,使???z?0. ?x?y?x?y?x?y

第二讲 多元函数微分法的应用

?z?z和. ?x?y1.(1)设z?z(x,y)为由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的隐函数,求

(2)设u?f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y?y(x)及z?z(x)分别由下列式 确定exy?xy?2和e??0xx?zdusintdt,求. dxt

(3)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?具有一阶连续偏导数,且 ??du?0,求. ?zdx

?u?f(ux,v?y)?u?v,. u?u(x,y),v?v(x,y)(4)?,确定了两个二元函数,求2?x?yv?g(u?x,vy)?

2.(1)求曲面x2?2y2?3z2?12的平行于平面x?4y?3z?0的切平面方程.

(2) 求球面x?y?z?

的切线方程与法平面方程.

(3)在曲面z?xy上求一点,使这点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0,写出这法 线的方程.

3.(1)求函数z?x4?y4?x2?2xy?y2的极值.

(2)证明函数z?(1?e)cosx?ye有无穷多个极大值但无极小值.

22(3)求函数z?x?y?xy?x?y在闭域:x?0,y?0及x?y??3上的最大值与yy222917222与椭球面3x?(y?1)?z?交线上对应于x?1处 44

最小值.

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