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物理奥林匹亚竞赛试题与解答

发布时间:2014-01-10 09:04:36  

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物理奥林匹亚竞赛试题与解答

文/林明瑞

一、在吹肥皂泡的过程中,一方面肥皂泡的表面积经历从无(近乎为零)到有,从小到大的变化;

另一方面在肥皂泡的膨胀过程中,由于泡内的气体压力较外界大,相当于将一定质量,在一大气压下的空气压缩入肥皂泡中,其过程可视作是等温压缩过程。现在把肥皂泡吹成一个表面积为0.025m2的球形,肥皂泡外的大气压力为1大气压(=1.01?105N/m2),假设肥皂液的表面张力??40?10?3N/m(不随肥皂泡的大小而变化),回答下列问题:

(a) 因肥皂泡的内外表面积增大,外力为克服皂液表面张力所作的功为何?

(b) 在最后平衡状态时,肥皂泡内部和外部的空气压力差为何?

(c) 将一定质量的空气压缩入肥皂泡内,在等温压缩过程中,外力所需作的功为何?

(d) 若不考虑其它能量的损失,在本题中的外力吹肥皂泡所需作的总功为何?(a)小题中所作

的功占总功的百分比为何?

【注】你也许需要用到下列数学公式:

ln?1?x??x?121313x?x?x?? 234

(适用于x?1)

解:

(a) 取肥皂泡膜上一任意形状的面积,如右图所示,液体表面张力作用于边

长为d?的力为?d?。若施加外力,使该液体面积增大至虚线所示的位置,

则图中的力F所须作的功为 dW1?Fds?2?d?ds?2?dA (1)

式中dA为图中斜线所标示的极小面积,由于肥皂泡有内外两层,故所需的力F?2?d?。就整个液体面积而言,为克服表面张力所作的总功为

W1??dW1??2?dA?2??dA?2?A (2)

当肥皂泡的表面积由零增加至0.025m2时,外力为克服液体表面张力所作的总功为

W1???2A?40?10?3N/m?2?0.025m2

?2.0?10J?3 (3)

(b) 由(2)式可知表面张力的物理意义,乃系使液体表面每增加一个单位面积,外力所需作的

功;或液体表面每单位面积所所储存的位能。若球形肥皂泡的半径为r,则其表面积为4?r2。当半径增加?r时,液面所增加的表面积为8?r?r,故外力为克服液体表面张力所作的总功为??2(8?r?r),式中的因子2是考虑皂膜有内外两层。此功正好等于皂膜膨胀时,其内部和外部的气体压力差所作的功,即

?Pi?P0??4?r2?r???2?8?r?r? (4)

式中Pi为肥皂泡内的气体压力,Po则为肥皂泡外的大气压力。由上式可得

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4?

(5) r

当肥皂泡的表面积为0.025m2时,其半径r为 Pi?Po?

4?r2?0.025?r?

0.025

?0.045m (6) 4?

由(5)式可得肥皂泡内外的气体压力差为

4?40?10?3

Pi?P0??3.6N/m2

0.045

【注】:有关肥皂泡内外的空气压力差,在下一题中有另解。

(c) 由于题设在吹肥皂泡的过程中,为等温压缩过程,所以个别气体分子的动能没有变化。

设N为流入肥皂泡内的总分子数,这些分子在一大气压P0下所占的总体积为V0。将肥皂泡吹胀,泡内的气体压力必须较外界的大气压力大,因此吹肥皂泡的过程,相当于将这些空气分子(压力为P0,体积为V0)压缩入肥皂泡的内部,最后泡内的空气压力和体积分别Pi和V。这一段等温压缩过程所需作的功为

V

W2???pdV???V

V0

V

V

o

NkBT

dVV

????

??NkBT?

V0

?VdV

??NkBTln??VV?0

(7)

由于PiV?P0V0?NkBT,利用(5)式,上式可改写为

??

??P0?P0???W2??PiVln??P????PiVln?4???i??P0??

r?(8) ??4??43?4??

????P0?1???rln1???3??PrPr0?0???

利用(6)式,可计算得

4?4?40?10?3

?

P0r1.01?105?0.045 (9)

?3.5?10?5??1

由于 1?

?4??4?4?

?1??,(8)式可近似为 ?1,又ln???P0r?P0r?P0r

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44?W2?P0??r3?3P0r

2???2?4?r2? (10) 3

2?W1?1.3?10?3J3?

在上式中,已利用了(3)式的结果,A?4?r2。

(d) 吹肥皂泡所作的总功W,可分成两部分:一为克服皂膜表面张力所作的功W1;另一为

吹入空气,相当于(c)小题中的等温压缩过程,所需作的功W2,故

W?W1?W2?3.3?10?3J W1所占总功的百分比为

W1?W1?W2W13??60%。 25W1?W23

二、将一根内半径为1.0mm的均匀毛细管,插入一半径为5.0cm的球形肥皂泡内,使球泡内的空

气缓缓地经由毛细管流出到大气中。问:

(a)证明肥皂泡内外的压力差为P?P0?

为肥皂泡的半径。

(b)若流经毛细管的空气可适用白努利定律,则从插入毛细管算起,经多少秒后,肥皂泡将消失?(皂液的表面张力??0.040N/m,空气的密度??1.3kg/m3。)

解:

(a) 考虑肥皂泡上半球的受力情形,如右图所示。图中F0为大气压

力作用于肥皂泡外表面的合力,F为肥皂泡内部空气作用于内

表面的合力,F?为皂液(有两层)表面张力作用内外表面的合

力。设肥皂泡的半径为r,其内的空气压力为P,大气压力为

P0,由静力平衡可得 4?,式中P0为大气压力,?为皂液的表面张力,rrF0?

P0??r2 F?F0?F?

P??r2?P0??r2?2????2?r? P?P0?4? (1) r

(b) 当球泡内的空气经由毛细管流出时,由白努利定律可得

1P?P0??v2 (2) 2

由毛细管流出的空气体积等于肥皂泡所缩小的体积,即

vAdt??4?r2dr (3)

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式中A为毛细管的截面积。将(1)和(2)两式代入(3)式,得

A????r5/2dr??????2???

将上式积分得 1/2dt

A???5/2?rdr????2????R??

01/2Tdt ?0

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