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2011初中数学竞赛试题

发布时间:2014-01-10 09:04:41  

2011年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初 赛 试 卷

一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)

在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母

1.设xy<0,x>|y|,则x+y的值是

A. 负数 B. 0 C. 正数 D. 非负数 2.若(x+3)(x+n)=x2+mx-15,则m等于 A. -2

B. 2

C. -5

D. 5

3.若a?|a|?0,则化简(a?1)2?a2的结果为

A.1 B.-1 C.2a?1 D.1?2a 4.已知m为任意实数,则直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.从1~9这九个自然数中随机取出一个数,取出的数是2的倍数的概率是 A.

2

9

B.

4 9

C.

59

D.

2 3

6.A地在河的上游,B地在河的下游,若船从A地开往B地速度为v1,从B地返回A地的速度为v2,则A、B两地间往返一次的平均速度为

2vvv

?vv?v

A

.12 B.12 C.2

D.1

2

22v1v2v1?

v2v1?v2

7. 图1是韩老师早晨出门散步时,离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象.若用黑点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是

图1

A.

B.

C. D.

8.如图2,AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆,当阳光与水平线成60°角时,电线杆的影子BC的长度为4米,则电线杆AB的高度为

A.4米 B.6米 C.8米 D.10米

9.如图3,菱形ABCD中,点O是对角线AC上一点,OA=AD,且OB=OC=OD=1,则该菱形的边长为

数学试卷 第1页 (共4页)

A.

1?1? B. C.1 D.2 22

C

图2 图3 图4

10.根据天气预报,某台风中心位于A市正东方向300 km的点O处(如图4),正以20 km/h的

速度向北偏西60°方向移动,距离台风中心250 km范围内都会受到影响,若台风移动的速度和方向不变,则A市受台风影响持续的时间是

A.10 h B.20 h C.30 h D.40 h 二、填空题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分)

11.若n(n?0)是关于x的方程x2?mx?2n?0的根,则m?n的值为B

ba2?2ab?b212.若a?3b?0(b≠0),则(1?)?? .

a?2ba2?4b2

13.图5是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图(每组次数只含最小值而

不含最大值),则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________.

12

9

5 3 1

A

B

C 图6

图7

图5

14.如图6,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为________.

11?且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,15.已知二次函数的图象经过原点及点?则??,??,

?2

4?

该二次函数的解析式为 .

16.图7中的两个滑块A、B由一个连杆连接,分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动.开始时,滑块

A距O点20 cm,滑块B距O点15 cm.则当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了_________. 17.如图8,△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形,点C恰好在AB上,∠AOD

的度数是90°,则∠B的度数是_________. 18.如图9,将长为4 cm宽为2 cm的矩形纸片

ABCD折叠,使点B落在CD边上的中点E处, 压平后得到折痕MN,则线段AM的长度

图数学试卷 第2页 (共4页) 8

D

B

N

图9

C

A

C

B

E

为__________.

三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)

19.如图10,正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点P是AB边上的一个

动点(点P不与点A、B重合),CP与BD相交于点Q.

(1)若CP平分∠ACB,求证:AP =2QO.

(2)先按下列要求画出相应图形,然后求解问题.

① 把线段PC绕点P旋转90°,使点C落在点E处,并连接AE.设线段BP的长度为x,△APE的面积为S. 试求S与x的函数关系式;

② 求出S的最大值,判断此时点P所在的位置.

A P 图10 C B C Q P B A 备用图

20.文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐

在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,文昌到三亚的

.....

数学试卷 第3页 (共4页)

(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?

(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的

须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票

方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.

(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?

最多要花多少钱?

2011年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初赛试卷参考答案

2. ∵3n=-15,∴n=-5,m=3+(-5)=-2. 故选A. 3. ∵a+|a|=0, ∴|a|=-a, ∴a≤0,进而a-1≤0

∴(a?1)2?a2=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a. 故选D.

4. ∵直线y=-x-4不经过第一象限,∴无论m为何实数,直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在第一象限,故选A.

8. 如图2,由题意可知,∠ACB=90°,∠ABC=60°,则AB=2BC=8米,所以选择C.

9. 如图3,由已知可知△ABC与△BOC相似,可得AC?BC,即BC2=AC·OC.设OA=BC=x,

BCOC可得方程x2=x+1,解这个方程得x1?

1?1?,x2?(不合题意,舍去).故选A. 22

C

4 (共4B

10.如图4以点A为圆心,250km为半径画圆,交OM于点B、C,作AN⊥BC于点N,则可求出AN=150km,又AC=250km,利用勾股定理可求出CN=200km,则BC=400km,当台风中心在线段BC上时,A市都会受到台风的影响,所以A市受台风影响持续的时间为400÷20=20小时,所以选择B.

二、填空题(本大题满分40分,每小题5分)

11. 因为n是关于x的方程x2?mx?2n?0的根,所以n2?mn?2n?0,所以n(n?m?2)?0,又n?0

则m?n?2?0,所以则m?n的值为-2. A B

图6 ba2?2ab?b2a?b(a?2b)(a?2b)a?2b12. (1?, )????a?2ba2?4b2a?2b(a?b)2a?b又a?3b?0 所以a??3b 所以原式=?3b?2b?5. ?3b?b2

13. 由频率分布直方图可知,“25~45”的学生人数有21人,所以仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7.

14. 如图6,连接AC可知△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.

15. 与原点的距离为1的交点有(1,0)或(-1,0),由此可求得该二次函数的

解析式有两个,分别为:y?x?x或y??2121x?x. 33

16. 如图7,由AB2?AO2?OB2?202?152?252,可知连杆AB的长度等于25cm,当滑块A向下滑到O点时,滑块B距O点的距离是25 cm,故滑块B滑动了25-15 =10 cm.

17. △COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形,点C恰好在AB上,所以可知OA=OC,∠AOC=∠BOD=40°, ∴∠ACO=70°,又∠AOD= 90°,∴∠BOC= 10°, ∴∠B= 60°.

18. 如图9,连接BM,EM,BE.

由题意得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.

∴MN垂直平分BE.∴BM?EM ∵点E是CD的中点,DE=1∴

在Rt△ABM和在Rt△DEM中,

AM?AB?BM,DM?DE?EM,

∴AM2?AB2?DM2?DE2.

设AM?x,则DM?4?x,

∴x?2?(4?x)?1. 数学试卷 第5页 (共4页) 2222222222F A D E N 图9 C

解得x?13,即AM?13. 88

三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)

19.(1)证明:过点O作OM//AB交PC于点M, C 则∠COM=∠CAB.

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴ OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, M

∴ AP=2OM. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD, F A 即 ∠OMQ=∠OQM.

图10 ∴ OM=OQ ∴ AP=2OQ.

(本小题也可以过点A作直线平行于OQ证明)

(2)根据题意作出图形,如图10所示

①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时,作EF⊥AB交BA延长线于点F,

则∠EFP=∠PBC=90°,∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2.

又PE由PC绕点P旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF≌△CPB. E

11AP?EF?(1?x)x. 22

11∴△APE的面积S与x的函数关系式为S??x2?x (0<x<1). 22∴EF=BP=x, ∴AP=1-x ∴S?APE?

ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时,作EG⊥AB交AB延长线于点G,

则同理可得△EPG≌△CPB,EG=BP=x.

121x?x 22

11由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为S??x2?x,(0<x<1) 22

11②由①知S与x的函数关系式为S??x2?x,(0<x<1) 22

111即S??(x?)2?,(0<x<1) 228

11∴当x?时S的值最大,最大值为.此时点P所在的位置是边AB的中点处. 28

20.(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程∴△APE的面积S与x的函数关系式为S??火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座学生票,依题意得: .....

数学试卷 第6页 (共4页)

?81(3m?n)?17010m?10解得? 则2m?20 ???68?3m?51n?11220?n?180

答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人.

(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,

①当180?x<210时,最经济的购票方案为:

学生都买学生票共180张,(x?180)名成年人买二等座火车票,(210?x)名成年人买一等座火车票.

∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:

y?51?180?68(x?180)?81(210?x)

即y??13x?13950 (180?x<210)

②当0<x<180时,最经济的购票方案为:

一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(210?x)张.

∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:

y?51x?81(210?x)

即y??30x?17010 (0<x<180)

(3)由(2)小题知,

当180?x<210时,y??13x?13950,由此可见,当x?209时,y的值最小,最小值为11233元,当x?180时,y的值最大,最大值为11610元.

当0由此可见,当x?179时,y的值最小,最小值为11640<x<180时,y??30x?17010,

元,当x?1 时,y的值最大,最大值为16980元.

所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.

数学试卷 第7页 (共4页)

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