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第8届国际物理奥林匹克竞赛试题及解答

发布时间:2014-01-10 10:42:27  

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第8届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

(1975年于德意志民主共和国的居斯特罗)

0【题1】一根杆以恒定的角速度ω绕竖直轴旋转,杆与轴的夹角为(90-α)。质量为

m的质点可以沿杆滑动,摩擦系数为μ 。求转动过程中,质点保

持在同一高度的条件(如图8.1)。

解:我们发现,采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如

果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值,就称这个角ε为“滑动

摩擦角”(如解图8.1所示),即tan ε=μ

我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线

之间的夹角在滑动摩擦角之内,则摩擦力大到足以阻止运动。极

限情形是合力与摩擦角的一臂重合。 对于本题,当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况

时,合力应位于(α+ε)角的双臂内(如解图8.2所示)。 图8.1

解图8.1 解图8.2

22把质点压在杆上的力是重力mg与mωr=mωLcosα的合力。故质点在向上滑动的极限

情形下,角(α+ε)的正切为

m?2Lcos??2Lcos?tan(???)?? mgg

同理,质点向下滑动的极限情形可用角(α+ε)的正切得到。

于是,如果tan(?-?)?600450300

150?2Lcos?g?tan(???)

则质点在旋转杆上处于平衡。

从边界条件可以看出,存在着一个较高位置(Lf)和一个0.3m0.10.2

较低位置(La),质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇

解图8.3

平衡状态。在这两边界之外,质点无法平衡,质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置Lf-La可由边界条件导出:

Lf?La?2gtan? 2322?cos?(1?tan??tan?)

解图8.3对不同的α角,画出质点在杆上哪些部分处于随遇

-10平衡,(取ω=10 s,μ=0.268,ε=15)。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。

【题2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件,并就不同类型的透镜讨论可行性。

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解答:我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜

由下述数据表征:球形表面的半径r1和r2,厚

度d和折射率n(如解图8.4所示)。焦距f=B F

由下式给出 ?111n?11??(n?1)???d()? frrnrr212??1焦距是从主点B算起的。B点离表面的距离为 解图8.4

BA?h?r2d n(r1?r2)?d(n?1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立,但只对近轴光线才给出满意的结果,因为是在一定的近似下得到的。

光被透镜色散。透镜对波长λ a的折射率是n a,对波长λ b的折射率是n b。按折射率的幂次整理焦距公式,得

f(r1+r2-d)n2+[2fd-f(r1 +r2)-r1r 2]n-f d=0

这是一个二次方程。给定一个f值,应有两个n值,因此,我们的问题可望解决。 先后以n a和n b代入方程,并令其相等:

(na?1)(n?1n?11111??d?a)?(nb?1)(??db) r1r2nar1r2r1r2nbr1r2

结果得出r1?r2?d(1?1) nanb

如果半径r1、r2与厚度d满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两个不同的折射率来说,焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积n a·n b在起作用,而不是色散(n b-n a)。因为折射率大于1,于是括号内的数值小于1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相当厚的。

结果讨论:首先透镜不能是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次,r1和r2之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。

如果要求的不是f而是(f-h)对两个折射率有相同的值(注:即要求消除焦点色差),实现这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。

【题3】质量为m的一簇离子在P点以同一速度v向不同方向散开(如图8.2)。垂直纸面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点,距离PR=2a,离子的轨道应是对称的。试确定磁场区的边界。 解:在磁场B中,作用于电量为Q、速度为v的质点

上的洛仑兹力为Q v B。结果使粒子在半径为r的圆轨道上运动,即:

2

QvB?

质量为

图8.2 mv rPm的所有粒子都在半径为 京翰教育中心

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r?mv的相同的圆轨道上运动。离开磁场后,它们将沿最后的切线方向直线飞行。磁QB

场边界应按所有离子都打在同一点R的要求去寻找。要解决的数学问题是,粒子应从这些半

径为r的圆的何处离开,才能使它们的切线在R点相交。这些半径为r的圆的圆心都位于y

轴上(如解图8.5所示)

在半径为r的圆轨道上运动的粒子,在坐标为(x,y)的A点离开磁场,沿切线飞向R。

由相似三角形得到:

图8.5

y?ba?x ?xy

222圆的方程为x?(y?b)?r

消去(y-b),得到满足条件的A点的集合,因此,表示磁场

边界的函数为:

y?(a)x(a?x)

r?x22

这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线,(b)

把它对y轴反演即可。

表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离a和半径r的

相对大小(见解图8.6(a),(b),(c))。

(c) 如果半径r小于a(小速度强磁场),则磁场边界无限延伸,

①向任何方向出发的离子也都能聚焦。

② 如果半径r等于a,所有的离子也都能聚焦。磁场边界在P和R点处垂直出发,处在

有限的范围内。

如果半径r大于a,边界更为平坦。那些出发方向比P点切线更陡的离子不能达到R点。 解图8.6

① (注:原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在r<a时,v与x轴夹角

0②大于90的离子无法聚焦。在r=a时,“所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。v与x

0轴夹角大于90的离子也无法聚焦。)

【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为0.25W,

可供使用的是:对所有量程内阻均已知的两个电表,一个9V的电池,一个可调电阻器及一

个固定电阻器。

解答:通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线,表明该半导体器件是

齐纳( Z e n e r )二极管。

(注:原文无详细解答,没有给出测量伏安特性的具体线路)

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