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第四讲 和差问题

发布时间:2014-01-10 10:44:24  

第四讲 和差问题

? 和差问题顾名思义就是知道两个数的和 与两个数的差,求这两个数的问题。这 样的例子在生活中有很多。比如,哥哥 和妹妹的年龄之和为20岁,年龄差为4 岁,那哥哥和妹妹各是多少岁?

? “如果知道有两桶油共重145千克,乙桶 比甲桶少15千克。请你在不用称量工具 的情况下,准确的算出每桶油的重量。” 观察下图,甲乙两桶油各重多少千克? 两桶油共重145千克比甲桶少15千克甲 桶有多少千克?乙桶有多少千克?
甲桶 桶 乙
比甲桶少15千克

两桶油共重145千克

? 分析:从图中我们可以看出,如果把乙 桶补上它比甲桶少的15千克油,就和甲 桶油一样多了。这样总重量就增加了15 千克,变为145+15=160(千克),相当 于两个甲桶油的重量,由此可以求出甲 桶油的重量。如图所示。
甲桶 乙桶
比甲桶少15千 克 15千克

两桶油共重(145+15)千克

? 同样的道理,如果我们从甲桶中取出15 千克油,甲桶油的重量就和乙桶油一样 多,两桶油的总重量就减少了15千克, 变为145-15=130(千克),相当于两个 乙桶油的重量,由此可以求出乙桶油的 重量。如图所示。这样我们就有两种方 法来解答这道题
甲桶 乙桶
比甲桶少15千 克 15千克

两桶油共重145+15千克

? ? ? ? ? ? ?

解答:方法一: 甲桶油的重量为:(145+15)÷2=80(千克) 乙桶油的重量为:80-15=65(千克) 方法二: 乙桶油的重量为:(145-15)÷2=65(千克) 甲桶油的重量为:65+15=80(千克) 答:甲桶油重80千克,乙桶油重65千克。

? 说明:在本题中,“145千克”是两桶油重量 的和,“15千克”是两桶油重量之间的差,在 方法一的分析和计算中,我们用了“和加差再 除以2”,想一想“和加差”求得的是什么?为 什么要除以2? ? 这个问题就是本讲要研究的“和差问题”。即, 如果知道较大数和较小数的和与这两个数的差, 可以采用以下公式计算: ? (和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数(或 和-较大数=较小数) ? 或 (和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数

? 【例题1】两筐水果共重150千克,第一筐比第二筐多 8千克,两筐水果各多少千克? ? 分析 这样想:假设第二筐和第一筐重量相等时, 两筐共重150+8=158(千克);假设第一筐重量和 第二筐相等时,两筐共重150-8=142(千克). ? 解法1:①第一筐重多少千克?
(150+8)÷2=79(千克) ②第二筐重多少千克? 79-8=71(千克) 或150-79=71(千克) 答:第一筐重79千克,第二筐重 71千克。

解法2:①第二筐重多少千克? (150-8)÷2=71(千克) ②第一筐重多少千克? 71+8=79(千克) 或 150-71=79(千克)

? 【例题

2】 今年小强7岁,爸爸35岁,当两人 年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁? ? 分析 题中没有给出小强和爸爸年龄之差,但 是已知两人今年的年龄,那么今年两人的年龄 差是35-7=28(岁).不论过多少年,两人的 年龄差是保持不变的.所以,当两人年龄和为 58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的 解题思路就能解此题。
解:①爸爸的年龄: [58+(35-7)]÷2 =[58+28]÷2 =86÷2 =43(岁) ②小强的年龄: 58-43=15(岁) 答:当父子两人的年龄和是58岁时, 小强15岁,他爸爸43岁。

? 【例题3】 在一个减法算是里,被减数、减数与差这 三个数之和是996,减数比差大38,求减数是多少? ? 分析: ? 本题属于隐藏条件的较复杂类型,根据已知可知, 减 数与差之差是38,减数与差之和可这样分析:被减数 =减数+差。因为被减数、减数与差三个数之和是996, 所以:减数与差之和为996÷2=498,498也是被减 数。

? 具体步骤: ? 996÷2=498 ? 差:(498-38)÷2=230 ? 减数:230+38=268

? 【例题4】甲、乙两桶水共重60千克,从甲桶倒出8千 克水给乙桶,那么两桶水重量正好相等。求原来甲、 乙两桶水各重多少千克 ? 分析: ? 此题中已知甲乙两桶水共重60千克,而甲乙两桶水相 差的重量似乎没有给出,仔细读题分析就会发现,相 差量被隐藏起来了,“从甲桶倒出8千克水给乙桶, 那么两桶水重量正好相等”, 说明甲桶水比乙桶水多 8×2=16千克 。 ? 画图分析:


具体步骤: 甲:(60+8×2)÷2=38(千克) 乙:60-38=22(千克)

倒出8千克 倒入8千克

答:甲桶水重38千克,乙桶水重22 千克。



? 【例题5】 甲乙两校共有学生864人,为了照 顾学生就近入学,从甲校调入乙校32名同学, 这样甲校学生还比乙校多48人,问甲、乙两 校原来各有学生多少人? ? 分析 这样想:甲、乙两校学生人数的和 是864人,根据由甲校调入乙校32人,这样甲 校比乙校还多48人可以知道,甲校比乙校多 32×2+48=112(人). 112是两校人数差。
解:①乙校原有的学生: (864-32×2-48)÷2= 376(人) ②甲校原有学生: 864-376=488(人) 答:甲校原有学生488人,乙 校原有学生376人。

? 【例题6】甲、乙两筐共装苹果75千克, 从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲筐 苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各 有苹果多少千克? ? 解:画一张简单的示意图,

就可以看出,原来甲筐苹果比乙筐多 5+7+ 5= 17(千克) 因此,甲、乙两数之和是 75,差为17. 甲筐苹果数=(75+17)÷2= 46(千克). 乙筐苹果数=75-46=29(千克). 答:原来甲筐有苹果46千克,乙筐有苹果 29千克.

? 【例题7】甲乙共有铅

笔54枝,甲用去13枝,乙用去6 枝,乙比甲还少3枝,原来甲乙各有铅笔多少枝? ? 分析:在本例中,我们已知甲乙两人铅笔数的和,但 不知道原来甲乙两人铅笔数的差,需要我们通过分析 找出甲乙两人铅笔数的差是多少。通过线段图不难看 出:由于乙用了6枝,乙比甲还少3枝,可以看出若乙 只用去6-3=3(枝),就和甲现在一样多了,而此时 甲用去了13枝,所以原来甲比乙多13-3=10(枝), 按和差问题计算即可。
解答:方法一: 甲与乙相差的铅笔数:13-(6-3) =10(枝) 甲: 甲原有的铅笔数:(54+10) ÷2=32(枝) 乙原有的铅笔数:54-32=22 (枝) 乙: 答:甲有32枝铅笔,乙有 22枝铅笔。
用去13枝

甲原有?枝

用去6枝 乙比甲少3枝 乙原有?枝

原 来 共 有 54 枝

? 上面思考问题以“原来”为出发点,也 可以以“现在”为出发点。此时我们知 道:现在乙比甲还少3枝,只需要求出现 在甲与乙的和是多少即可,这很容易求 出。原来有共54枝,现在甲用了13枝, 乙用去了6枝,还剩下54-13-6=35枝。 按照和差问题计算即可。

? 【例题8】幼儿园买来甜橙、苹果、蜜桃,其中甜橙和苹果共63 个,苹果和蜜桃共94个,甜橙和蜜桃共81个。那么三种水果各 有多少个? ? 分析:由于甜橙+苹果=63个, ? 而蜜桃+苹果=94个, ? 说明甜橙比蜜桃少94-63=31个, ? 即蜜桃-甜橙=31个 ? 又知甜橙+蜜桃=81个 ? 知道了甜橙与蜜桃数的和与差,可以用和差问题的方法来解决。 ? 解答: ? 甜橙与蜜桃数的差为:94-63=31(个) ? 蜜桃的个数为:(81+31)÷2=56(个) ? 甜橙的个数为:(81-31)÷2=25(个) ? 苹果的个数为:63-25=38(个) ? 答:蜜桃有56个,甜橙有25个,苹果有38个。

? 【例题9】 甲乙丙三人共有图书203本, 已知甲比乙多9本,乙比丙少5本,求甲 丙二人共有图书多少本? ? 分析:此题为三个量,仍然可以用和差 问题来解决,如图所示:
从图中可知,从三个人图书的总 和中减去乙与甲的差,再减去乙 甲: 与丙的差后就相当于三个乙。 解答: 乙有图书:(203-9-5)÷3=63 乙: (本) 甲和丙共有的图书:203-63=140 丙: (本) 答:甲和丙共有图书140本。

甲比乙多9本

三 人 共 有 203 本

乙比丙少5本

小结

? 本讲中学生最不易理解的地方是:“和”为什么要加 “差”,即和加上差后是什么?“和”为什么要减 “差”,即和减去差后是什么?教师应设法使学生充 分理解这两点。 ? 事实上,无论是“和加差”还是“和减差”,都是在 求“2倍”这个倍数所对应的数量,因此和差问题实 际上是和倍问题的一个特例。因此它也是后面要讲到 的和倍问题与差

倍问题在思想方面的基础。 ? 在教学中,强烈建议用画线段图来说明,这样容易使 学生理解“和加差”或“和减差”与“是某数的2倍” 之间的对应关系。 ? 从以上6个例题可以看出题目给的条件虽然不同,但 是解题思路和解题方法是一致的,和差问题的一般解 题规律是: ? (和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 ? 或 (和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 ? 应使学生理解其含义并记住它。

? 【练习1】哥哥今年14岁,妹妹今年8岁,当兄 妹俩岁数的和是42岁时,俩人各应该是多少 岁? ? 分析: ? 本题中关键要理解今年兄妹年龄之差为6岁, 当他们年龄和为42岁时,他们的年龄差还是6 岁,因为两人的年龄都是在同样增长,所以不 管多少年前后,两人的年龄差是始终不变的。 ? 具体步骤: ? 年龄差: 14-8=6(岁) ? 哥哥:(42+6)÷2=24(岁) ? 妹妹:42-24=18(岁)
答:哥哥的年龄是24岁,妹妹的年 龄是18岁。

? 【练习2】两堆石子相差16粒,如果混在一起, 可以重新分成数量都是28粒的三堆。原来两 堆石子各有多少粒? ? 分析: ? 重新分成3堆后,石子的总数量与两堆的总数 量相同,并没有发生变化。 ? 具体步骤: ? 28×3=86(粒) ? 大堆:(84+16)÷2=50(粒) ? 小堆:50-16=34(粒) ? 答:原来大堆有50粒,小堆有34粒。

? 【练习3】两筐苹果共重86千克,如果从第一筐中取 出5千克放入第二筐后,两筐的重量相等,这两筐苹 果原来各重多少千克? ? 分析:从第一筐中取出5千克放入第二筐后,两筐的 重量相等,说明第一筐比第二筐重10千克。
? ? ? ? 具体步骤: 第一筐:(86+10)÷2=48(千克) 第二筐:86-48=38(千克) 答:原来第一筐重48千克,第二筐重38千克。

? 【练习4】两袋大米共重160千克,第二袋比第一袋多 20千克,两袋大米各重多少千克? ? 分析:假设第一袋和第二袋重量相等时,两袋大米共 160+20=180(千克);假设第二袋和第一袋大米重量相 等时,两袋共重160-20=140(千克)。 ? 解答:方法一: ? 第二袋重:(160+20)÷2=90(千克) ? 第一袋重:90-20=70(千克) ? 或160-90=70(千克) ? 方法二: ? 第一袋重:(160-20)÷2=70(千克) ? 第二袋重:160-70=90(千克) ? 或70+20=90(千克) ? 答:第一袋重70千克;第二袋重90千克。

? 【练习5】甲、乙两桶油共重60千克,若从甲桶抽6千 克油倒入乙桶,那么两桶油重量相等,问甲、乙两桶 原有多少油? ? 分析:从“若从甲桶抽6千克油倒入乙桶,那么两桶 油重量相等”可以看出,甲桶油原来比乙桶油多 6×2=12(千克)。还可以从现在两桶油重量相等入 手,再把乙从甲倒入的油还回去

。 ? 解答:方法一: ? 6×2=12(千克) ? 甲桶油的重量为:(60+12)÷2=36(千克) ? 乙桶油的重量为:(60-12)÷2=24(千克) ? 方法二: ? 现在两桶油分别重:60÷2=30(千克) ? 原来甲桶油的重量:30+6=36(千克) ? 原来乙桶油的重量:30-6=24(千克) ? 答:甲桶原有36千克油,乙桶原有24千克油。

? 【练习6】今年小玲4岁,她父亲32岁,当两人年龄和是66岁时, 两人年龄各多少岁? ? 分析:题中没有给出小玲和父亲的年龄之差,但是已知两人今 ? 年的年龄,那么两人的年龄差是32-4=28(岁),不论再过多少年, 两人的年龄差是保持不变的,所以当两人年龄和为66岁时,他们 的年龄差仍是28岁,根据和差问题即可解答。 ? 解答: ? 父亲的年龄为:〔66+(34-6)〕÷2 ? =〔66+28〕÷2 ? =94÷2 ? =47(岁) ? 小玲的年龄为:66-47=19(岁) ? 答:当两人年龄和为66岁时,父亲的年龄是47岁,小玲的年龄 是19岁。 ? 说明:“年龄差不变”是一个很重要的特点,除了人的年龄以外, 还有哪些差是不变的? ? 若想差不变,被减数和减数应具备什么样的特点?

? 【练习7】甲、乙两个笼子里共有小鸡30只,甲笼里新放进6只, 乙笼里取出3只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各 有鸡多少只? ? 分析:已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是30只,根据甲笼里放 入6只,乙笼里取出3只,还多1只可知,甲、乙两个笼里小鸡只 数相差:6+3+1=10(只)。也可以从现在入手,求出现在两笼小 鸡的只数和,再借助“乙笼比甲笼多1只”求出现在两笼分别有 多少只,再求原来的只数。 ? 解答:方法一: ? 乙笼比甲笼多多少只? ? 6+3+1=10(只) ? 甲笼原来有小鸡多少只? ? (30-10)÷2=20÷2=10(只) ? 乙笼里原来有小鸡多少只? ? 30-10=20(只) ? 或(30+10)÷2=20(只) ? 方法二: ? 现在两共有的只数:30+6-3=33(只) ? 现在甲笼的只数:(33-1)÷2=16(只) ? 原来甲笼的只数:16-6=10(只) ? 原来乙笼的只数:30-10=20(只) ? 答:甲笼里原有小鸡10只;乙笼里原有小鸡20只。

? 【练习8】三个物体之平均重量是32千克,甲物体比 乙、丙两个物体重量之和轻2千克,乙物体比丙物体 还重5千克,三个物体各重多少千克? ? 分析:已知三个物体的平均重量是32千克,可知三物 体的重量和是32×3=96,画线段图可知三个物体之 间的多与少的关系,如再减去5+5-2=8(千克)就相 当于4个丙物体的重量。 ? 解答: ? 相当于4个丙的重量是: ? 32×3-(5+5-2) ? =96-8 ? =88(千克) ? 丙的重量为:88÷4=22(千克) ? 乙的重量为:22+5=27(千克) ? 甲的重量为:22+27-2=4

7(千克) ? 答:甲的重量为47千克,乙的重量为27千克,丙的重 量为22千克。


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