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第五讲 和倍问题

发布时间:2014-01-10 10:44:28  

第五讲 和倍问题

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有一天,芳芳爸爸的同事李叔叔来到家里做 客。看到芳芳问:“你今年几岁了?”芳芳说: “我和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄 是我的4倍,您能猜到我今年几岁了吗?” ? 同学们,像这样已知大小两个数的和(已知芳 芳和他妈妈年龄的和),又知道大数是小数的若干 倍(已知妈妈的年龄是芳芳年龄的几倍),求大小 两个数各是多少(求妈妈和芳芳各是多少岁)的应 用题,我们通常把它叫做和倍应用题,和倍问题 是已知大小两个数的和与它们的倍数关系,求大 小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意,弄清 两种量彼此间的关系,常采用画线段图的方法来 表示两种量间的这种关系,以便于找到解题的途 径。

? 【例题1】 芳芳和妈妈的年龄加在一起是40岁, 妈妈的年龄是芳芳年龄的4倍,问芳芳和妈妈各是 多少岁? ? 分析与解 画线段图如下:

由上图可以看出,如果把芳芳的年龄作为1倍,“妈妈的年龄是芳芳年龄 的4倍”,那么芳芳和妈妈年龄的和就相当于芳芳年龄的5倍,即(4+1)倍。 可理解为5份是40岁,那么就可以求出1份(即求1倍的数量)是多少,接着再求 4份(即4倍)是多少。 (1)芳芳和妈妈年龄的倍数和是: 4+1=5(倍) (2)芳芳的年龄是: 40÷5=8(岁) (3)妈妈的年龄是: 8×4=32(岁)答:芳芳的年龄是8岁,妈妈的年龄是32岁。 验算:为了保证解题的正确,可如下验算: (1)8+32=40(岁) (2)32÷8=4(倍) 计算结果符合已知条件,所以解题正确。

? 【例题2】甲班有图书120本,乙班有图书30本, 甲班给乙班多少本,甲班的图书是乙班图书的2倍?

分析 解这题的关键是找出哪个量是变量,哪个量是不变量.从已知条件中得出,不管甲 班给乙班多少本书,还是乙班从甲班得到多少本书,甲、乙两班图书总和是不变的量.最 后要求甲班图书是乙班图书的2倍,那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍. 依据解和倍问题的方法,先求出乙班现有图书多少本,再与原有图书本数相比较,可以 求出甲班给乙班多少本书(见上图)。 解:①甲、乙两班共有图书的本数是: 30+120=150(本) ②甲班给乙班若干本图书后,甲、乙两班共有的倍数是: 2+1=3(倍) ③乙班现有的图书本数是:150÷3=50(本) ④甲班给乙班图书本数是:50-30=20(本) 答:甲班给乙班20本图书后,甲班图书是乙班图书的2倍。 验算:(120-20)÷(30+20)=2(倍) (120-20)+(30+20)=150 (本)。

? 【例题3】甲、乙两架飞机同时从机场向相反的方向飞行,3小时共飞 行3600千米,甲的速度是乙的2倍,(图2),求它们的速度各是多少? ? 分析与解 画线

段图如下:

已知两架飞机3小时共飞行3600千米,就可以求出两架飞机每小时飞行 的航程,也就是两架飞机速度的和。由图2可以看出,这个速度和相当于乙飞 机速度的3倍,这样就可以求出乙飞机的速度;再根据乙飞机的速度求出甲飞 机的速度。 (1)甲、乙两架飞机每小时的航程(速度和)是: 3600÷3=1200(千米) (2)乙飞机的速度是: 1200÷(2+1)=400(千米) (3)甲飞机的速度是: 400×2=800(千米) 答:甲乙飞机的速度分别是每小时800千米、400千米。

? 【例题4】弟弟有课外书20本,哥哥有课外书25本。哥哥 给弟弟多少本后,弟弟的课外书是哥哥的2倍? ? 分析与解 画线段图如下:
在观察图3的基础上,可先思考以下几个问题: (1)哥哥在给弟弟课外书前后,题目里不变的数量是 什么? (2)要想求哥哥给弟弟多少本课外书,需要知道什么 条件? (3)如果把哥哥剩下的课外书看作1倍,那么这时 (哥哥给弟弟课外书后)弟弟的课外书可看作是哥哥剩下 的课外书的几倍? 在思考以上几个问题的基础上,再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需 要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍,那么这时 弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍,也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥 哥剩下的课外书的3倍,而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。 (1)兄弟俩共有课外书的数量是: 20+25=45(本) (2)哥哥给弟弟若干本课外书后,兄弟俩共有的倍数是:2+1=3 (倍) (3)哥哥剩下的课外书的本数是:45÷3=15 (本) (4)哥哥给弟弟课外书的本数是:25-15=10 (本) 答:哥哥需给弟弟10本课外书。

? 【例题5】饭店新买来盘子和碗共657个,已知碗 比盘子个数的4倍多7个,碗和盘子各有多少个? ? 分析:根据题意,画出线段图:

从图中我们可以看出,如果把盘子作为1倍的量,那么碗的个数就是4倍多7个, 也就是说(4+1)倍的量加上7个一共是657个,即:5倍的量等于(657-7)个。 解答: 盘子与碗的和是盘子的几倍:4+1=5(倍) 盘子的个数是:(657-7)÷5=130(个) 碗的个数是:657-130=527(个) 列综合算式为:(657-7)÷(4+1) =650÷5 =130(个)…………盘子的个数 657-130=527(个)…………碗的个数 答:新买来的碗有527个,盘子有130个。

? 【例题6】光明小学有学生760人,其中男生比女 生的3倍少40人,男、女生各有多少人? ? 分析 把女生人数看作一份,由于男生人数比 女生人数的3倍还少40人,如果用男、女生人数 总和760人再加上40人,就等于女生人数的4倍 (见下图)。

解:①女生人数:(760+40)÷(3+1)=200(人) ②男生人

数:200×3-40=560(人) 或 760-200=560(人) 答:男生有560人,女生有200人。 验算:560+200=760(人) (560+40)÷200=3(倍)。

? 【例题7】甲、乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲 库运出30吨,给乙库运进10吨,这时甲库存粮是乙库存 粮的2倍(图4),两个粮库原来各存粮多少吨? ? 分析与解 画线段图。
根据“甲、乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从 甲库运出30吨,给乙库运进10吨”,可求出这时甲、乙 两个粮库共存粮多少吨。 根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”,如果这时 把乙库存粮作为1倍,那么甲、乙库所存的粮就相当于乙 库存粮的3倍,于是可求出这时乙库存粮多少吨。进而可 求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮 多少吨。 (1)甲库运出30吨,这时甲、乙两个粮库共存粮食 吨数是:170-30=140(吨) (2)给乙库运进10吨,这时甲、乙两个粮库共存粮 食吨数是:140+10=150 (吨) (3)这时甲、乙两个粮库共存粮相当乙库存粮的倍数 是:2+1=3 (倍) (4)这时乙粮库存粮吨数是:150÷3=50 (吨) (5)乙粮库原存粮吨数是:50-10=40 (吨) (6)甲粮库原存粮吨数是: 170-40=130 (吨)

? 【例题8】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比 梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,求桃树、梨树 和苹果树各有多少棵? ? 分析 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树 比梨树少20棵,都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、 作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹 果树增加20棵,那么就和梨树同样多了;再从桃树里减少 12棵,那么就相当于梨树的2倍了,而总棵树则变为 552+20-12=560(棵),相当于梨树棵数的4倍。

解:①梨树的棵数: (552+20-12)÷(1+1+2) =560÷4=140(棵) ②桃树的棵数:140×2+12=292(棵) ③苹果树的棵数: 140-20=120(棵) 答:桃树、梨树、苹果树分别是292棵、 140棵和120棵。

? 【例题9】 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如 果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除 以2以后,则4个数相等.求4个数各是多少?
分析 上图可以看出,丙数最小.由于 丙数乘以2和丁数除以2相等,也就 是丙数的2倍和丁数的一半相等,即 丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是 丙的2倍,甲加上2之后也是丙的2 倍.根据这些倍数关系,可以先求出 丙数,再分别求出其他各数。 解:①丙数是:(549+2-2)÷(2+2+1+4) =549÷9 =61 ②甲数是:61×2-2=120 ③乙数是:61×2+2=124 ④丁数是:61×4=244 验算:120+124+61+244=549 120+2=122 124-2=122 61×2=122 244÷2=122 答:甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

? 小结 ? “和倍”问

题的解题要点: 和÷(倍数+1)=小数(较小的数,即一倍数) 小数×倍数=大数(较大的数,即几倍数) 或和-小数=大数。
?注意的问题

1、解题时可以画线段图分析。
2、数量之间的对应关系很重要。

练习
? 1.明明家里养了公鸡和母鸡,一共35只, 母鸡的只数是公鸡只数的4倍,明明家养的 公鸡和母鸡各有多少只? ? 分析与解答: ? 公鸡的只数为:35÷(4+1)=7(只) ? 母鸡的只数为:7×4=28(只) ? 答:明明家有公鸡7只,母鸡28只。

? 2.小芳有100本课外书,小丽有88本课外书, 小芳把书借给小丽一些后,小丽的书是小芳的3倍, 小芳借给小丽多少本书? ? 分析:当小芳把书借给小丽后,小丽的书是小芳 的3倍,此时,书的总数没有变,可以先求出此时 小芳有多少本书,即可知道小芳给了小丽多少本 书。 ? 解答: ? 小芳现在有书:(100+88)÷(3+1)=47 (本) ? 小芳给小丽的本数:100-47=53(本) ? 答:小芳借给了小丽53本书。

? 3.某粮店存有大米与小米共350千克,卖出小米 25千克,又运进大米70千克后,大米的重量是小 米的4倍,求原来两种米各有多少千克? ? 分析:现在小米和大米的总倍数为(4+1)倍, 只需要求出总倍数所对应的总千克数即可。 ? 解答: ? 现在粮店里共有米:350-25+70=395(千克) ? 现在小米有:395÷(4+1)=79(千克) ? 原来小米有:79+25=104(千克) ? 原来大米有:350-104=246(千克) ? 答:粮店里原有大米246千克,小米104千克。

? 4.一张桌子的价格是一把椅子价格的8倍,如用 买90张桌子的钱来买桌子和椅子,使桌子和椅子 配套,那么可买多少套桌椅? ? 分析:由于桌子的价格是椅子的8倍,要使桌子和 椅子配套,即一样多,买桌子的钱就应该是买椅 子钱的8倍,所以应将现有的钱分为(1+8)份。 ? 解答: ? 买椅子用的钱应为:90÷(1+8)=10张桌子的 钱 ? 买桌子用的钱应为:90-10=80张桌子的钱。 ? 即可以买80套桌椅。 ? 说明:本题中难于理解的地方是:没有给出具体 的钱数。实际上可以将“90张桌子的钱”看作具 体的钱。

? 5.军军家有一个两层的书架共有图书97本,如 果从第一层拿12本放入第二层后,第一层的本数 还比第二层的2倍多1本,原来第一层有多少本书? ? 分析:调整图书前后,书的总数没有变。可先求 出两层书架现在有书多少本,再求出原来有书多 少本。 ? 解答: ? 调整后第二层有书:(97-1)÷(2+1)=32 (本) ? 调整前第二层有书:32-12=20(本) ? 原来第一层有书:97-20=77(本) ? 答:原来第一层有77本书。

? 6.学校买来红蓝黄三种颜色的玻璃球共183个,红玻璃

球比蓝玻璃球多12 个,红玻璃球比黄玻璃球的3倍多3个,学校买来的这批玻璃球中,蓝玻璃球 有多少个? ? 分析:根据题意,画出线段图:

从图中我们可以看出,蓝玻璃 球若再加上12个,就与红玻璃球一 样多了,然后再从红玻璃球与蓝玻 璃球的总数中减去2个3,这两 种玻璃球就相当于黄玻璃球的3×2 倍。可以用和倍问题的解答方法。

解答: 一共包含的总倍数:1+3×2=7(倍) 总倍数所对应的玻璃球数:183+12-3×2=189(个) 黄玻璃球的个数为:189÷7=27(个) 红玻璃球的个数为:27×3+3=84(个) 蓝玻璃球的个数为:84-12=72(个) 答:蓝玻璃球有72个。

? 7.林场绿化站卖出一批树苗,共237棵,其中松树苗比柏树苗的2倍 少17棵,银杏树苗比松树苗与柏树苗的总和还多13棵,求三种树苗 的棵数。 ? 分析:根据题意,画出线段图:
从图中可以看出, 如果松树苗再加上17 棵,就相当于柏树苗的 2倍;若银杏先减去13 棵后,再加17棵,就 相当于柏树苗的3倍。 此时总棵树就变为: 237+1713+17=258(棵)。 可以参照和倍问题的方 解答: 三种树一共占的总倍数为:1+2+3=6(倍) 法来解答。 总倍数对应的三种树的总棵数应为:237+17-13+17=258 (棵) 柏树苗的棵数为:258÷6=43(棵) 松树苗的棵数为:43×2-17=69(棵) 银杏的棵数为:43+69+13=125(棵) 答:林林绿化站卖出柏树苗43棵,松树苗69棵,银杏125棵。

? 8.已知A、B、C、D四数之和为800,且4个数 有如下关系: ? A-B=B-C=C-D=D A、B、C、D四个数各是 多少? ? 分析与解答:算式是连等的关系,因为C-D=D, 所以C=2×D;因为B-C=D,而C=2×D,所以 B=3×D;因为A-B=D,而B=3×D,所以 A=4×D,所以: ? A+B+C+D=4×D+3×D+2×D+D=10×D。 ? 所以:D=800÷10=80 ? C=80×2=160 ? B=80×3=240 ? A=80×4=320 ? 答:A=320,B=240,C=160,D=80。


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