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第十四讲 数学竞赛试题选讲(一)

发布时间:2014-01-10 10:44:34  

第十四讲 数学竞赛试题选讲(一)

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参加数学竞赛培训和学校普通数学课学 习的不同点: ? 1、思维方法上的不同 ? 2、计分评价的不同(主要是由题的难易程 度决定) ? 3、学习内容上的不同(平时数学课的学习 具有连贯性,竞赛的培训具有专题性、方 法性。)

? 对于参加数学竞赛的几点建议: ? 1、时间效率(在规定的时间内完成自己能 力范围内的题) ? 2、放平心态,不要紧张。 ? 3、考试成绩的评定(按参加竞赛的百分比)

? 【竞赛题1】19+28+37+46+55+64 +73+82+91+( )=550 ? 分析:本题可以采取凑整的方法进行分析, 19+91=110,550一共有这样的5组。括 号里的数和55加起来也是110,所以括号 内写55

? 【竞赛题2】用杯子往一个空瓶里倒水,如 果倒进6杯水,连瓶共重680克,如果倒进 9杯水,连瓶共重920克,求空瓶的重量? ? 分析:这道题要借助等量代换的思路进行 解决。答案:(920-680)÷(96) =240÷3 =80(克) ? 680-6×80 =680-480 =200(克) ? 答:空瓶的重量是200克!

? 【竞赛题3】3件运动衣上的号码分别是1,2,3, 甲、乙、丙3人各穿一件。现有25个小球,首先 发给甲1个球,乙2个球,丙3个球。规定3人从余 下的球中各取球一次,其中穿1号衣的人取他手中 球数的1倍,穿2号衣的人取他手中球数的3倍, 穿3号衣的人取他手中球数的4倍,取走之后还剩 下两个球,那么,甲穿的运动衣的号码是多少? ? 解:25-6-2=17 17=3×4+2×1+1×3
答:甲穿的球衣号码是2!

? 【竞赛题4】从1——9九个数中选取,将11写成 两个不同的自然数之和,有多少种不同的写法? 思路导航:将1——9的九个自然数从小到大排成 一列: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合 要求,但用第二小的2和最大的9相加,和为11符 合要求,得11=2+9。依次做下去,可得11=3 +8,11=4+7,11=5+6。 共有4种不同的写法。

? 【竞赛题5】2000年2月的一天,有三批同学去 植树,每批的人数不相等,没有一个人单独去的, 三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想, 这三批学生各有几人? 思路导航:2000年2月有29天,三批同学人数的 乘积不能大于29,我们可以先用最小的几个数试 乘(1除外):2×3×4=24,24<29; 2×3×5=30,30>29,不合题意。所以,这三 批学生的人数是2,3,4人。

? 【竞赛题6】一本连环画共100页,排页码时一个 铅字只能排一位数字。请你算一下,排这本书的 页码共要用多少个铅字? 思路导航:这道题可以分类计算: 从第1页到第9页,共9页,每页用1个铅字,共用 1×9=9个; 从第10页到第99页,共90页,

每页用2个铅字, 共用2×90=180个; 第100页,只有1页共用3个铅字。 所以这本书的页码共用9+180+3=192个铅字。

? 【竞赛题7】把0~9这10个数字填入下图中,(已填入两 个数字),要使等式成立,减数是多少?

? 解答:在考虑的时候,我们还是要把减法转化成加法再分 析。通过分析我们不难确定第二个加数的首位为8,某位 为0,也就把原题转化成下面的样子。

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我们可以从现在的个位入手进行分析。现在还能用的 是1、2、3、4、6、7这六个数字。个位填3的话,百位 就不存在填法。所以判断个位填2,就可以很快填出来了。 ? 通过刚才的分析,我们找到了这个减数是81420。

? 【竞赛题8】有16个点排成4×4的方阵, 如下图,请不间断地一笔画成6条线段经过 每一个点,且最后回到起点。

? 【竞赛题9】东东和军军各有一盒玻璃球,共108 粒,东东给了军军10粒,东东剩下的玻璃球比军 军的还多8粒,原来军军有多少粒玻璃球?40 ? 分析:因为“东东给了军军10粒,东东剩下的玻 璃球比军军的还多8粒”,所以东东没有给军军玻 璃球之前就比军军多(10+10+8=)28粒玻璃 球。下面根据我们学的有关和差问题的内容就可 以解决了。(108-28)÷2=40(粒)

? 【竞赛题10】某人去一座商务楼的15层,他从1 楼步行到2楼用30秒,电梯速度是步行速度的10 倍,请问,他到达15楼共需多少秒? ? 分析:本题借助的是研究“点与段”的关系问题 进行解决,每一楼层可以看做是一个点,层与层 之间的间隔可以看成是一段。由于“电梯速度是 步行速度的10倍”,根据总路程不变可以看出, 乘电梯的时间是步行时间的十分之一。所以每上 一层楼用30秒可以推断出每坐电梯上升一层就用 3秒。要上到15层,可以直接坐电梯上去,一共 要走14段,所以3×14=42(秒)。

枚举法
? 枚举是一种常见的分析问题、解决问 题的方法。一般地,要根据问题要求,一 一列举问题解答。运用枚举法解应用题时, 必须注意无重复、无遗漏,因此必须有顺 序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类,要 注意以下两点:一是分类要全,不能造成 遗漏;二是枚举要清,要将每一个符合条 件的对象都列举出来。

? 【竞赛题11】 一条铁路,共有10个车站,如果每个起点 站到终点站只用一种车票(中间至少相隔5个车站),那 么这样的车票共有多少种? 我们可以利用列举的方法: 如果起点站是1,那么终点站只能是7、8、9或10; 如果起站站是2,那么终点站只能是8、9或10; 如果起点站是3,那么终点站只能是9或10; 如果起点站是4,终点站只能是10; 如果起点站是5

、6时,就找不到与它至少相隔5站的终点 站了; 如果起点站是7,终点站只能是1; 如果起点站是8,那么终点站是2或1; 如果起点站是9,那么终点站是3、2或1; 如果起点站是10,那么终点站是4、3、2或1。所以,起 点到终点至少相隔5个车站的车票有: 4+3+2+1+0+0+1+2+3+4=20种。

? 【竞赛题12】14141991414199……共2008 个数字,其中1有 个,9有 个,4有 个.这些数字的和是 . ? 分析:本题是借助“周期问题”的方法进行解决。 2008÷7=286……6,每一组都是由1、4、1、 4、1、9、9这七个数字组成,所以1的个数为 3×286+3=861;9的个数为2×286+1=573; 4的个数为2×286+2=574;这些数字之和为 (1+4+1+4+1+9+9)×286+(1+4+1 +4+1+9)=8314

? 【竞赛题13】几个小朋友在一起游戏,选 一个人作队长.男孩作队长时,队员中男 孩、女孩一样多;女孩作队长时,队员中 男孩比女孩多一倍.男孩有多少人,女孩 有多少人? ? 分析:男孩作队长时,队员中男孩、女孩 一样多,这说明男孩比女孩多一人。女孩 作队长时,队员中男孩比女孩多一倍.说 明减少一个女孩后,男孩是女孩的2倍。通 过分析只能是男孩4人,女孩3人。

? 【竞赛题14】小宁、小红、小佳一起去买铅笔, 小宁买了7支,小红买了5支,小佳没有买。回家 后,三人平均分了所有的铅笔,小佳拿出8角钱, 她应该给小宁多少钱?应该给小红多少钱? ? 分析:有关平均分的问题。 小宁和小红一共买了 7+5=12(支),这些铅笔要平均分给三个人, 每个人都得到12÷3=4(支),所以小佳拿出的 8角钱应该是自己得到的4支铅笔的钱。所以每支 铅笔的钱是8÷4=2(角)。所以小佳应该给小 宁2×(7-4)=6(角)。应该给小红8-6=2 (角)。

? 【竞赛题15】在6个筐里放着同样多的鸡蛋,如 果从每个筐里拿出50个鸡蛋,则6个筐里剩下的 鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总 和。原来每个筐里的鸡蛋有多少个? ? 解题分析:根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和 等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和”,说明6个筐 里取出的鸡蛋的个数总和等于原来(6-2)=4个 筐里鸡蛋的总和,用取出的50×6=300个鸡蛋处 以4就可以求出原来每个筐里的鸡蛋个数: 300÷4=75(个)。

小结
? 通过前面对竞赛试题的讲解,我们给 大家介绍了如何做竞赛的试题。在解一些 试题的时候,有一些题可以和我们学过的 知识建立联系,就可以借助我们学过的专 题知识进行解决。但是会有一些我们没有 接触过的题目,对于这种问题,大家要从 数学方法的角度进行思考,然后借助分析 问题的方法,比如画图、举例子

、找规律 等方法来研究这些问题。

? 习题1:下图是一个商场的平面图,顾客可 以从六个门进出商场(阴影部分为各商品 部,空白处为通道),请你设计一种能够 一次走遍各通道而又不走重复路线的进出 方法.

可选C、D分别作为入口和出口.事实上,本题是把每条通道看作是边,通道 的交点看作是结点(每个门也作为结点),于是问题就转化为右图能否一笔 画出的问题.显然以D、C分别作为起点和终点可一笔画完此图.如右图,顾客 的行进路线可以是:D→C→O→E→F→A→B→E→D→O→B→C.

习题2:学生问数学老师的年龄.老师说:“由三 个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和, 所得结果就是我的年龄.”老师今年多少岁? ? 分析: 由三个相同数字组成的三位数除以这三 个数字的和,我们可能不容易想,原因就是这 样的三位数是谁我们不知道。但是我们可以换 一种思考问题的方法,如果用“由三个相同数 字组成的三位数除以这个数字”我们能看出, 不管这个数字是几(0除外),除得的结果都是 111,除以三个数字的和就是除以这个数字的三 倍,所以商就会缩小三倍,用111÷3=37

? 习题3:将长48厘米宽2厘米的纸带沿着长对折两 次,然后从一端开始,每隔2厘米剪一刀,最后可 得到多少个正方形?

? 分析:相类似这样的问题,可能同学们一时想不 出到底是多少个,但是我们能否利用手里现有的 一些素材,自己想办法照着题目中说的要求自己 动手操作一下,你会很快得到结果,其实按照题 目要求剪开就是下图的样子,可以数出可以得到 18个正方形。


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