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华杯赛.第16届.总决赛.一试&二试.教师版

发布时间:2014-01-10 13:47:44  

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛

总决赛 小学组一试

一、填空题(共3题, 每题10分)

1. 计算 3579111315??????=_________. 43614440090017643136

【答案】63. 64

【解答】

3579111315?????? 43614440090017643136

=(1??(??(?

= 1?163=. 64641414191111111111?(??(??(?)?(? 9161625253636494964

2. 如图A-58所示, 正方形ABCD的面积为12, AE?ED, 且EF?2FC, 则三角形ABF的面积等于_________.

【答案】5.

【解答】连接DF, 容易得到

1[ABF]?[CDF]?[ABCD]?6. 2

(其中[ABF]表示三角形ABF的面积). 因为AE?ED, 所以 图 A-58

1[ECD]?[ABCD]?3. 4

又因为EF?2FC, 所以 图 A-59

1[CDF]?[ECD]?1. 3

所以

- 1 -

[ABF]?6?[CDF]?5.

3. 某地区的气象记录表明, 在一段时间内, 全天下雨共1天; 白天雨夜间晴或白天晴

夜间雨共9天; 6个夜间和7个白天晴朗. 则这段时间有_________天, 其中全天天晴有_________天.

【答案】12, 2.

【解答】全天晴被包含在6个夜间和7个白天晴朗之中, 并且一天记数2次. 而白晴夜雨和白雨夜晴的日子也被包含在这13天中, 全天下雨的日子不被包含在这13天之中. 所以,

全天天晴的天数?13?9?2.2

所以, 这一段时间共有9+2+1=12天. 晴天有2天.

二、解答题(共3题, 每题10分, 写出解答过程)

4. 已知a是各位数字相同的两位数, b是各位数字相同的两位数, c是各位数字相同的

四位数, 且 a2?b?c. 求所有满足条件的(a,b,c).

【答案】(33, 22, 1111), (66, 88, 444), (88, 33, 7777).

【解答】设

a?10x?x,b?10y?y,c?1000z?100z?10z?z,

其中x, y, z 都是数码. 则

112x2?11y?1111z,11x2?y?101z,y?2z?99z?11x2.

若 y?2z, 则 2z?y?11x2?99z?0, 2z?y 是11的倍数. 由于y, z是数码, 所以2z?y?11. 从而

11?11x2?99z, 1?x2?9z, x2?9z?1,

x, z 是数码, 必有

z?7,x?8,y?3.

若 y?2z, 则 y?2z?99z?11x2?0.由于y是数码, 9?y?2z, z?4. 因为

- 2 -

9?y?2z?0, y?2z是11的倍数, 所以 y?2z?0. 注意

99z?11x2?0, 9z?x2,

对于z?4, 只能有 z?1 或4, 相应地 x?3或6, y?2 或8.

综上所述, 所有满足条件的 (a, b, c)为

(33, 22, 1111), (66, 88, 444), (88, 33, 7777).

5. 纸板上写着100、200、400三个自然数, 再写上两个自然数, 然后从这五个数中

选出若干个(至少两个)做只有加、减法的四则运算, 在一个四则运算式子中, 选出的数只能出现一次, 经过所有这样的运算, 可以得到k个不同的非零自然数. 那么k最大是多少?

【答案】64.

【解答】设再写上的两个自然数是a和b, 可设b?a.

1)从400、200和100选出2个或3个做加、减法, 可得100、200、300、500、600和700, 共6个不同正整数.

2)从400、200、100和a选出若干个数(至少两个)做加、减法, 由1)并且考虑可选400和a, 可得 a?m?m?100,200,300,400,500,600,700?, 共最多有14个不同正整数.

3) 类似2), 用b替换a, 共最多可得14个不同正整数.

4)类似2), 用b?a替换a, 共最多可得28个不同正整数.

5)仅取a和b, 分别做加减运算, 可得2个不同正整数.

所以最多可得到(6+14×4+2)=64个不同的正整数.

6. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9填入图A-60的圆圈中, 每个圆圈恰填一

个数, 满足下列条件:

1) 正三角形各边上的数之和相等;

2) 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等.

问: 有多少种不同的填入方法?

(注意, 经过旋转和轴对称反射, 排列一致的, 视为同一种填法) 图 A-60

- 3 -

【答案】48.

【解答】记a1,a2,a3,?,a9的位置如图A-61所示

,

图 A-61

a1?a2?a3?a4?a4?a5?a6?a7?a7?a8?a9?a1?p, a2?a2222?a22222

12?a3?a4?a45?a6?a7?a7?a22

8?a9?a1?q(mod3),

3p?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8?a9?a1?a4?a7?45?a1?a4?a7. 得

a1?a4?a7?0(mod3).

3q?a2?a2222?a22222222

12?a3?a4?a56?a7?a8?a9?a2

1?a4?a7?285??a2

1?a4?a7,

a2a22

1?4?a7?0(mod3).

由 (3) 和 (4) 得到

a1?a4?a7?0(mod3).

按模3分余类:

R0??3,6,9?;R1??1,4,7?;R2??2,5,8?.

首先设a1?1,a4?4,a7?7, 则

- 4 - (1) (2) (3) (4)

a2?a3?a5?a6?a8?a9?45?12?33.

由 (1) 得

a2?a3?a5?a6?a8?a9?3(a2?a3)?6?3, a2?a3?14.

a) a2?a3?9?5, a5?a6?2?6, a8?a9?8?3. 由于每边的中间两个数可以互换, 所以这种情况有23?8种填法.

b) a2?a3?8?6, a5?a6?3?5, a8?a9?9?2. 又8种填法. 对于a1?2,a4?5,a7?8和a1?3,a4?6,a7?9, 也各有16种. 因此, 一共有 48 种填法.

- 5 -

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛

总决赛 小学组二试

一、填空题(共3题, 每题10分)

1. 某班共36人都买了铅笔, 共买了50支, 有人买了1支, 有人买了2支, 有人买了3支. 如果买1支的人数是其余人数的2倍, 则买2支铅笔的人数是_________.

【答案】10.

【解答】设买1支铅笔的人数为x, 则有

x?36?2?24, 3

买2支和3支铅笔的人数为36?24?12, 他们共买铅笔数为50?24?26.

为求买2支铅笔的学生数, 假设买2支, 3支的学生每人都买3支, 求出买2支的学生数:

(12?3?26)?(3?2)?10.

也可以设买2支和3支铅笔的人数分别为y和z, 则可列出方程:

?y?z?12, ?2y?3z?26?

即可得出

y?12?3?26?10(人).

2. 图A-62中, 四边形ABCD的对角线AC与BD相

交于O, E为BC 的中点, 三角形ABO的面积为

45, 三角形ADO的面积为18, 三角形CDO的面

积为69. 则三角形AED的面积等于_________.

【答案】75.

【解答】设三角形BCO的面积为x, 则

所以

- 6 - 图 A-62 45x1?. 解得 x?172. 18692

11四边形ABCD的面积?18?45?69?172?304. 22

由于

11三角形ABC的面积=45?172?217, 22

所以

217

三角形ABE的面积=

由于 1?1083. 24

11三角形BCD的面积=69?172?241, 22

所以

241

三角形CDE的面积=

因此, 1?1203. 24

133三角形AED的面积?304?108?120?75. 244

3. 一列数的前三个依次是1, 7, 8, 以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的

余数, 则这列数中的前2011个数的和是_________.

【答案】3028.

【解答】这列数是:

1, 7, 8, 0, 3, 3, 2, 0, 1, 3, 0,

0, 3, 3, 2, 0, 1, 3, 0,

除了前三个数, 其后每8个数为一周期. 而

2011?3?2008?8?251.

每个周期中8个数的和为12, 所有251个周期2008个数的和为3012.

- 7 -

所以, 前2011个数的和是3028.

二、解答题(共3题, 每题10分, 写出解答过程)

4. 用57个边长等于1的小等边三角形拼接成一个内角都不大于180度的六边形, 小等

边三角形之间既无缝隙, 也没有重叠部分. 则这个六边形的周长至少是多少?

【答案】19.

【解答】(1)因为等边三角形的内角相等, 都是60度, 且所拼接成的六边形内角都不大于180度, 小等边三角形之间既无缝隙, 也没有重叠部份, 内角只能是120度. 否则, 如果出现内角等于60度, 由六边形内角和等于720度,

?720?60??5?132,

则必有一个内角大于120度, 且由三个60?构成, 即等于180?, 不可能.

(2)选出六边形互不相邻的三条边, 其他三条边长

分别记为a,b和c, 均为整数. 如图A-63, 延长这三条边,

可以交出一个大三角形. 因为六边形的内角都是120度,

因此所交出的这个三角形内角都是60度, 是一个等边三

角形, 设其边长为m. 或者说, 用边长分别为a,b和c的

三个等边三角形和原有的六边形拼接出一个大的等边三

角形, 因此六边形的周长等于3m??a?b?c?.

(3)边长分别为a,b和c的三个等边三角形相当于分别用a2,b2和c2个小等边三角形拼接, 因此有 图 A-63

m2??a2?b2?c2??57.

(4)显然, 六边形的周长

3m??a?b?c???a?b?c??3,

由此可得

a?b?c?33?m?1?, 或 3m??a?b?c???m?1?. 22

当m?12时, 3m?(a?b?c)?20.

- 8 -

(5)若m?11., 由m2?a2?b2?c2?57, 易知m?8. 将m?8,9,10,11,代入??

m2??a2?b2?c2??57, 仅有2个解:

① m?9,a?2,b?2,c?4, 六边形的周长是19;

② m?10,a?3,b?3,c?5, 六边形的周长是19.

5. 黑板上写有1, 2, 3, …, 2011一串数. 如果每次都擦去最前面的16个数, 并在这串数

的最后再写上擦去的16个数的和, 直至只剩下1个数, 则

1) 最后剩下的这个数是多少?

2) 所有在黑板上出现过的数的总和是多少?

【答案】2023066, 7822326.

【解答】还没有操作时的2011个数: 1, 2, 3, …, 2011,

它们的和为a?2023066. (*1)

擦去的数的和又写在黑板上, 所以黑板上的数的和恒为a.

经过

的和

b?1?2???1872?1753128. 1755?117 次操作, 擦去117?16?1872个数, 写下117个数, 擦去1872个数15

新写下的117个数的和等于b. (*2)

此时黑板上还有2011?1872?117?256个数, 这256个数的和是a. 在经过16次操作, 这256个数全部擦去, 新写下16个数,

新写下的数的和 = 擦去的256个数的和 = a. (*3) 此时黑板上就只有写下的16个数, 它们的和为a. 在经过1次操作, 黑板上的16个数全部擦去,

新写下1个数a. (*4)

综上讨论, 最后余下的一个数是a?2023066; 由(*1), (*2), (*3)和(*4), 所有在黑板上出现过的数的总和为3a?b?7822326.

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6. 试确定积(21?1)(22?1)(23?1)...(22011?1)的末两位的数字.

【答案】75.

【解答】设

n?(21?1)?(22?1)?(23?1)???(22011?1).

题目要求的是n??(mod100).

由于各因数2k?1均为奇数.其中22?1?5,26?1?65?5?13,所以n?0(mod25).此时知n的末两位数字要么为25, 要么为75.

又21?1?3(mod4),对k?2,都有2k?1?1(mod4),所以n?3(mod4), 即n的末两位数字被4除余3.而25?1(mod4),75?3(mod4),所以n的末两位数字为75.

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