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试卷4,04

发布时间:2014-01-11 16:58:18  

高等数学期末试题(2004年1月8日)
一、填空(20分)

高等数学

1. lim x sin x ? ________. ?
x ?0

?z ? x 2 ? y 2 2. 曲? 关于xOy面的投影柱面方程为 __________. 2 ? z ? 2? x

3. 设 f ( x )满足 f ( x ) ? x ? 2? t f ( x )dx,则 f ( x ) ? ____ .
0

1

4. ?

1

?1

1 ? x 2 (sin x ? 1) dx ? _______.

? e 3 x ? b, x ? 0 5. 设f ( x ) ? ? 在 x ? 0 处可导,则 a ? b ? __ . ?sin(ax ), x ? 0 π 2 2 一、1; 2 x ? y ? 2; x ? 1; ; 2. 2

二.单项选择 (每小题4分,共20分)
3

高等数学

3 2 7 1. 方程x ? x ? 6 x ? ? 0的不相同的实根个数是 2 2 A. 0; B. 1; C. 2 ; D. 3

2. 设a ?

?

π 2 0

sin(cosx )dx,b ?

?

π 2 0

cos(cosx )dx , 则 _____ . D.不能确定.

A. a ? b;

B .a ? b; C .a ? b;

3. 下列广义积分中, 发散的是___. 1 A. ? 3 dx ; ?1 x ?? 1 C. ? dx ; 2 2 x ln x
1

B. ?

??

0 1 0

D.?

1 dx ; 2 x x dx . 1? x

二、C ; A; B; B; C .

4. 设 f ?( 1) ? f ??( 1) ? 0, f ???( 1) ? 1, 则____. A. f ( 1)是极值, (1, f (1))是拐点; B. f ( 1)不是极值, (1, f (1))是拐点; C. f ( 1)是极值, (1, f (1))不是拐点; D. f ( 1)不是极值, (1, f (1))不是拐点.

高等数学

x y ?1 z ?1 5. 直线 ? ? 与平面 3 x ? 2 y ? z ? 1 1 2 1 的位置关系为 ____ . A. 斜交;B. 垂直相交; C. 平行但与平面相离; D.平面过直线

二、C ; A; B; B; C .

2 x 2 ln(1 ? t ) 2 x ln(1 ? x 4 ) ln(1 ? t 2 ) dt dt 2 ?0 ? 1 0 t t x 1. lim 2 ? lim ? lim ? 2 4 3 x ? 0 x ln(1 ? x ) x ?0 x ?0 2 x 4x 1 1 1 sin t t ? sin t 1 2 3 2. lim ( x ? x sin ) t ? x lim( 2 ? 3 ) ? lim ? 3 x ?? t ?0 t t ?0 x 6 t t x2

三.求极限 (10分)

高等数学

四.求导数 (10分)
1.设y ? f ( x ) ? x 3 sin 2 x , 求y (10) (0). 解 y (10) ? ( x 3 sin 2 x )(10)
1 ? x 3 (sin 2 x )(10) ? C 10 ( x 3 )?(sin 2 x )( 9 ) 2 3 ? C 10 ( x 3 )??(sin 2 x )( 8 ) ? C 10 ( x 3 )???(sin 2 x )( 7 )

?

y

( 10 )

7? 3 (0) ? 3!2 C sin ? ?3!2 7 C 10 2
7 3 10

四.求导数 (10分)

高等数学

1.设y ? f ( x ) ? x 3 sin 2 x , 求y (10) (0). 解 y (10) ? ( x 3 sin 2 x )(10)
1 ? x 3 (sin 2 x )(10) ? C 10 ( x 3 )?(sin 2 x )( 9 ) 2 3 ? C 10 ( x 3 )??(sin 2 x )( 8 ) ? C 10 ( x 3 )???(sin 2 x )( 7 )

7? 3 ? y (0) ? 3!2 C sin ? ?3!2 7 C 10 2 ? x ? t ? t2 dy 2.设? y , 求 |t ? 0 . dx ? te ? y ? 1 ? 0
( 10 ) 7 3 10
y dx dy dy dy e 解 ? 1 ? 2t , e y ? te y ? ? 0? ?? y , dt dt dt dt te ? 1 dy ? |t ? 0 ? ?e ?1 . dx

高等数学

五.求积分 (10分)
1. ? x (1 ? x ) dx t ? 1 ? x ? (1 ? t ) 2 t 10d(1 ? t )
2 10 0 1 1 0

1 2 1 1 ? ? (1 ? 2t ? t )t dt ? ? ? ? . 0 11 12 13 858
1 2 10

2. ? x tan 2 xdx ? ? x (sec2 x ? 1)dx 1 2 1 2 ? ? xd tan x ? x ? x tan x ? x

? ? tan xd x 2 2 1 2 ? x tan x ? x ? ln | cos x | ? C . 2

六. (8分)

高等数学

?x ? 1 ? t2 求曲线? (1 ? t ? 2)与直线y ? 0, x ? 5所围成的 ? y ? ln t 平面图形的面积以及该 图形绕直线x ? 6旋转一周所得 y 旋转体的体积. (5,ln2)

解 V ?

?0 ?(6 ? x ) dy 2 ? ? ? ( 6 ? 1 ? t 2 ) 2 d ln t 1
2 2

ln 2

r

o

2

x 5

6

x

2 25 1 2 2 ? ? ? ( 5 ? t ) dt ? ? ? ( ? 10t ? t 3 ) dt 1 t 1 t 45 ? ( 25 ln 2 ? )? 4

高等数学 七. (10分) 已知导函数 y ? f ?( x )的图形如下;

y?

o

x1 x2

x3

x4

x5

x6

x

填写以下关于函数f ( x )的表格:f ( 0) ? 0; 画出函数y ? f ( x )的大概图形.
单增区间 凸区间

单减区间
极大值点

凹区间
极小值点

七. (8分)

高等数学 x ?1 y ?8 z ?1 求过点 A(1,2,3)且与直线 l1 : ? ? 和 2 3 1 x ? 20 y ? 1 z ? 2 直线 l 2 : ? ? 都相交的直线方程. 5 4 1 x ?1 y ? 2 z ? 3 解 设所求直线方程为 l : ? ? , m n p m n p l与 l1相交 ? 2 3 1 ? 0 ? 6m ? n ? 9 p ? 0 2 ?6 2 m n p l与 l 2 相交 ? 5 4 1 ? 0 ? m ? 8n ? 27 p ? 0 19 ? 1 ? 1 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? 所求直线方程为 ? ? . 99 171 47

x 八. (8分) 设函数 y ? f ( x ) ? x ?1
单增区间 ( ??,? 2 ), ( 2,?? )
单减区间

2

高等数学 ,填下表并作图 .
y r

( ? 2,0), (0, 2 )

凸区间
凹区间 极小值点 极小值

( ?? ,0) (0,?? )

o

2

x 5

6

x

x?? 2 x? 2
x ? 0, y ? x

2 x2 f ?( x ) ? (1 ? 2 )e x

1

渐近线

x 八. (8分) 设函数 y ? f ( x ) ? x ?1
单增区间
单减区间

2

高等数学 ,填下表并作图 .

( ??,0), ( 2,?? ) (0,1), (1,2) ( ?? ,1) (1,?? )
y

凸区间
凹区间 极值点 拐点

x ? 0, 2


o

x

斜渐近线

y ? x?1

1 f ( x) ? x ? 1 ? x ?1

高等数学 九. (6分) 1 设 f ( x )在[0,1]上连续可导, 且 ? f ( x )dx ? 0,
记 F ( x) ?

?0

x

f ( t )dt , 证明: 若 ? F ( x )dx ? 0 ,
0

0 1

则存在 ? ? ( 0,1),使 f ?( ? ) ? 0.

证 记 G ( x ) ? ? F ( t )dt , 则 G (1) ? G (0) ? 0,
0

x

? ?? 1 ? (0,1)使 G ?( ? 1 ) ? 0,即F (? 1 ) ? 0. 由F ( 0) ? F (? 1 ) ? F (1) ? 0知 ?? 2 ? (0, ? 1 ),? 3 ? (? 1 ,1)使 F ? ( ? 2 ) ? f ( ? 2 ) ? 0 , F ? ( ? 3 ) ? f ( ? 3 ) ? 0. ? 存在? ? ( 0,1),使 f ?(? ) ? 0.

高等数学
2 ? ? x sin 1 f ( x) ? ? x ? 0 ?



x?0 x?0

有 lim f ?( x ) 和 lim f ?( x )都不存在, ? ? x? x0 x? x0 而 f ?( x0 ) ? 0.


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