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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训6

发布时间:2014-01-12 11:56:45  

2012年浙江初中数学竞赛初赛试题

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

b?

c?1.

已知a?

1,2,那么a,b,c的大小关系是 ( )

A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D.b?c?a

2.方程x?2xy?3y?34的整数解(x,y)的组数为 ( ) 22

A.3. B.4. C.5. D.6.

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于

点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为 ( )

A

. B

. C

. D

. 3333

22444.已知实数a,b满足a?b?1,则a?ab?b的最小值为 ( )

A.?19. B.0. C.1. D.. 88

223235.若方程x?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1?x1?4?(x2?x2),

则实数p的所有可能的值之和为 ( )

A.0. B.?35. C.?1. D.?. 44

6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd(数字可重复使用),要求满足a?c?b?d.

这样的四位数共有

A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知互不相等的实数a,b,c满足a?

m111?b??c??t,则t? bca2.使得5?2?1是完全平方数的整数m的个数为.

3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则

4.已知实数BC= . AP,a,b,c满足abc??1,a?b?c?4

abc4222,则=. a?b?c???222a?3a?1b?3b?1c?3c?19

答案:选择题:1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C

填空题:1.?12. 1

3. 4.33

2

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a?b?c),则a?b?c?30. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?3c,所以c?10.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?2c,所以c?15.

又因为c为整数,所以11?c?14.

根据勾股定理可得a?b?c222,把c?30?a?b代入,化简得ab?30(a?b)?450?0,所以

(30?a)(30?b)?450?2?32?52,

?30?a?52,?a?5,?因为a,b均为整数且a?b,所以只可能是?解得 ?2b?12.???30?b?2?3,

所以,直角三角形的斜边长c?13,三角形的外接圆的面积为169?. 4

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:AD?BD?CD.

2

证明:连接OA,OB,OC. ∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得PA?PD?PO,AD?PD?OD.

又由切割线定理可得PA?PB?PC,∴PB?PC?PD?PO,∴D、B、C、O四点共圆,

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,

222

∴PDBD2,∴AD?PD?OD?BD?CD. ?CDOD

1三.(本题满分25分)已知抛物线y??x2?bx?c的顶点为P,与x轴的正半轴交6

于A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,?),若AM//BC,求抛物线的解析式.

解 易求得点P(3b,b2?c),点C(0,c).

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m).

显然,x1,x2是一元二次方程?323212x?bx?c?

0的两根,所以x1?3b

,6

x2?3b,又AB的中点E的坐标为(3b,0),所以AE

.

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得AE?PE?DE,

即?(b?c)?|m|,又易知m?0,所以可得m??6.

22又由DA=DC得DA?DC,

即?m?(3b?0)?(m?c),把m??6222222322

代入后可解得c??6(另一解c?0舍去).

3|?|OAOM又因为AM//BC,所以?. ?

OBOC|?6|55(另一解b??舍去). 22

125因此,抛物线的解析式为y??x?x?6. 62把c??6代入解得b?

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