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同余与剩余

发布时间:2014-01-12 15:55:26  

同余与剩余

1. 余数

在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能被整除时,便产生余数。 被除数(a)÷除数(b)=商(c)…余数(d),其中a、c均为整数,b、d为自然数。 其中,余数总是小于除数,即0?d?b.

2. 同余

同余:两个整数a、b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a、b对于m同余。 例:23除以5的余数是3,18除以5余数也是3,则称23与18对于5同余。

同余的性质:对于同一个除数m,两个数和的余数与余数的和同余,两个数差的余数与余数的差同余,两个数积的余数与余数的积同余。

例:15除以7余数是1,18除以7余数是4

15+18=33,则33除以7的余数与1+4-5除以7的余数相同

18-15=3,则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同

15×18=270,则270除以7的余数与1×4=4除以7的余数相同。

3. 剩余问题

剩余问题主要有以下三种情况:

① 一个数除以4余2,除以5余2,除以6余2,这个数可表示为?

② 一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1,这个数可表示为?

③ 一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3,这个数可表示为?

对于上述三种问题,解题思路是先找出一个满足条件的数,再加上几个除数的最小公倍数的n倍,即为所求。

?中,余数相同,2满足条件,加上4、5、6的最小公倍数,也满足条件,所以该数表示为60n+2

?中,4+3=5+2=6+1=7,余数与除数之和相同,即和同。7满足条件,加上4、5、6的最小公倍数,也满足条件,所以该数表示为60n+7

?中,1-4=2-5=3-6=-3,余数与除数之差相同,即差同。-3满足条件,在此基础上加上4、5、6的最小公倍数,也满足条件,所以该数表示为60n-3。

所以有:余同加余,和同加和,差同加差,最小公倍数做周期。

例:16×41×164除以7的余数为( )

解析:此题答案为1。因为16÷7=2.......2,41÷7=5......6,164÷7=23.......3,所以16×41×164除以7的余数与2×6×3除以7的余数相同。

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