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整数根问题

发布时间:2014-01-13 09:54:37  

整数根问题

阅读与思考
? 解一元二次方程问题时,我们不但需熟练 地解方程,准确判断根的个数、符号特征、 存在范围,而且能作深入的探讨根的其他 性质,这便是大量出现与各级数学竞赛中 的一元二次方程的整数根问题,由于这类 问题涵盖了整数性质,一元二次方程的相 关理论,融合了丰富的数学思想方法而倍 受命题者青睐,解整系数一元二次方程的 整数根问题的基本方法有:

? 1.直接求解 ? (若根可用有理判别式表示,则求出根,结合整除性求 解.) ? 2.利用判别式 ? (在二次方程有根的前提下,通过判别式确定字母或根的 取值范围,运用枚举讨论,不等分析求解.) ? 3.运用根系关系 ? (由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式, 从中消去待定字母,在通过因式分解和整数性质求解.) ? 4.巧选主元 ? (若运用相关方法直接求解困难时,可选取字母为主元, 结合整除知识求解)
对于二次方程ax ? ? bx ? c ? ?而言,方程的根为整数 必为有理数, 而? ? b ? ? ?ac为完全平方数式方程的 根为有理数的重要条件

例题与求解
例 ?? 已知关于x的方程(a ? ? )x ? ? ? x ? a ? ? ? ?

的跟都是整数,那么符 合条件的整数a有几个?

解题思路:方程的根的表达式简单,从直接求解入手,解题的关键是确定整数a的 个数要全面.

? 5个(注意讨论) ? 只要让x的表达式中分子是分母的整倍数

? 含字母系数的方程问题,在没有指明是二 次方程时,要考虑是一次方程的可能,是 否要分类讨论,要看清题目的条件,一般 设问方式有两种: ? (1)前置式,即“二次方程” ? (2)后置式,即“两实数根”. ? 这都表明是二次方程,不需讨论,但切不 可忽视二次项系数不为零的要求.

q p 例??p、q为质数且是方程 x ? ??x ? m的根,那么 ? 的值是() p q ??? ??? ??? ??? ( A ) ( B ) ( C) ( D) ?? ?? ?? ??
?

解题思路:设法求出p,q的值,由题设条件自然想到根与系数的关系.

? (C)提示:2x-13=±根△≤13用枚举法求 出答案

例??关于x,y的方程x ? ? xy ? ?y ? ? ??的整数根(x,y)的组数为?

解题思路:把x ? ? xy ? ?y ? ? ??看做是关于x的二次方程?由x为整数解得出关于 x的 二次方程的根的判别式 是完全平方数,从而确 定y的取值范围,进而求 x的值?

? 4个,提示:方程变形为关于x的二次方程, 求出△,再求出y的取值范围因为△为完全 平方数得y=±4分别代入二次方程求解。

例??试确定一切有理数 r,使得关于x的方程 rx ? ? (r

? ? )x ? r ? ? ? ?有且只有整数根

解题思路:因方程的类型未确定,故应分类讨论.当r≠0时,由根与系数的关系得 到关于r的两个等式,消去r,先求出两整数根.

1 ???若r ? ?,则x ? 不是整数 2 ( ? )若r ? ?,设方程两根为 x ?,x( x ? ? x ?),则x ? ? x ?, ?? ? r?? r?? ,x ? x ? ? r r

r?? r?? 于是? x ? x ? ? (x ? ? x ?) ?? ( ) ? ? ?,有( ?x? ? ? )( ?x ? ? ? ) ? ?,解得 r r ? x ? ? ?,x ? ? ?或x ? ? ??,x ? ? ?则r ? ? 或r ? ? ?

? 若a+b=M,ab=N,则ab+a+b+1=M+N+1即 (a+1)(b+1)=N+M+1;或ab-ab+1=M-N+1即(a+1)(b+1)=N-M+1; ? 这是运用根与系数的关系求整数根的基本 思路.

例??试求出所有这样的正整 数a,使得二次方程 ax ? ? ? ( ?a ? ? )x ? ? (a ? ? ) ? ?至少有一个整数根?

解题思路:根的表达式复杂、从关于a的两个等式中消去a也较困难,由于a的次 数较低,不妨先将原方程变形于关于a的一元二次方程.

? 提示:(x_1-4)(x_2-4)=16=(-16)*(-1)= ? (-8)*(-2)=(-4)*(-4)=4*4=2*8=1*16,由此得 a=16或18或25

例6.试求出这样的四位数,它的前两位数字于后两位数字分别组成的二位数之和的平方, 恰好等于这个四位数.

解题题思路:设前后两 二位数分别位x, y, x ≥ 10 , y ≤ 99 ,则
2 ( x ? y) ? ??? x ? y,即x 2 ? ? (y ? ?? )x ? ( y 2 ? y) ? ?,于是将问

题转为求一元二次方程 有理跟、整数根的问题

? 解△得y≤25由于2500-99y为完全平方数, 而完全平方数的末位数字仅可能为 0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时x=30或 x=20,故所求的四位数为2025或3025


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