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2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷

发布时间:2014-01-13 09:54:49  

2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷

一、填空(本题共有10小题,每小题4分,共40分) 1.函数y

?

4?x

2

?

1x?1

中,自变量x的取值范围是 .

2

2.若一个半径为2 3.分式方程

1x?1

3

㎝的扇形面积等于一个半径为

1

㎝的圆的面积,则扇形的圆心角为

xx?1=2的解是 .

4.代数式x2-2xy+3y2―2x―2y+3的值的取值范围是 .

5.⊙O1、⊙O2的半径分别为2和3,O1O2=9,则平面上半径为4且与⊙O1、⊙O都相切的圆有 个. 6、若关于未知数x的方程+++++=x2??m?2?x?m?5?0的两根都是正数,则m的取值范围是

7.在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,如果BC=aBC?a,=?B?β,则AD= .

8.平面内一个圆把平面分成两部分,现有5个圆,其中每两个圆都相交,每三个圆都不共点,那么这5个圆则把平面分成分.

9.在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球.若已知甲球与乙球相距5米,乙球与丙球相距3米,问甲球与丙球距离的取值范围?答: . 10.计算

2000?2001?2002?2003?1

所得的结果是.

A

二、(本题满分12分)

11.如图,已知A是直线l外的一点,B是l上的一点. 求作:(1)⊙O,使它经过A,B两点,且与l有交点C; (2)锐角△BCD,使它内接于⊙O. 三、(本题满分12分)

12.如图,己知正三棱锥S—ABC的高SO=h,斜高SM=l. 求经过SO的中点平行于底面的截面△A′B′C′的面积. 四、(本题满分13分)

13.证明:与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点. 五、(本题满分13分)

AM

BA·

B

l

(说明:只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形,要求写出作法,不要求证明)

S

?

?

O

C

14.甲、乙两船从河中A地同时出发,匀速顺水下行至某一时刻,两船分别到达B地和C地.已知河中各处水流速度相同,且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下,分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2.试比较t1和t2的大小关系.

六、(本题满分14分)

15.如图,在锐角?内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与?角的边相切, 且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5.若最

小的半径r1=1,最大的半径r5=81。求θ. 七、(本题满分16分)

?

16.过半径为r的圆O的直径AB上一点P,作PC⊥AB交圆周于C.若要以PA、PB、PC为边作三角形,求OP长的范围. 八、(本题满分16分)

17.设关于未知数x的方程x2―5x―m2+1=0的实根为α、β,试确定实数m的取值范围,使|α|+|β|≤6成立. 九、(本题满分16分)

18.在重心为G的钝角△ABC中,若边BC=1,∠A=300,,且D点平分BC.当A点变动,B、C不动时,求DG长度的取值范围.

2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷

参考答案

一、填空(本题共有10小题,每小题4分,共40分) 1.?2?x?2且x??1 2.60° 3.x?

12

4.?0,??? 5.3 6.?5?m??4

7.asin?cos? 8.22 9.相距大于等于2米而小于等于8米 10.4006001

二、(本题满分12分)

1

(1)作法:

① 在l上取点C,(使∠CAB≠90°) ② 经过A、B、C作⊙O,则⊙O就是 所求. O

BlD (2)作法:

① 过O作BC的垂线交优弧BC于D, ② 连结DC、DB、AB,则△BCD就是 所求. S

三、(本题满分12分)

解:连结OM、OA,在Rt△SOM中,

l?h. 22AB?OM?A

M

BOC 因为棱锥S—ABC正棱锥,所以O是等边

△ABC的中心.

22AB?2AM?2?OM?tg60??23?l?h, S?ABC?34AB2?3

4?4?3l?h?22??33?l2?h2? ?S?A?B?C?

S?ABC?14

1

4 ?S?A?B?C??S?ABC?334?l2?h2?

四、(本题满分13分) 证明:设抛物线方程为y2?2px,平行于抛物线的轴的直线方程为y?b?b?0?.

2?b,?y?2px,?x?解方程组? 得?2p

?y?b,?y?b,?2

故抛物线方程为y2?2px与平行于其轴的直线y?b?b?0?只有一个交点.

五、(本题满分13分)

解:若以S1、S2、t、x、y、a分别表示A~B航程、A~C航程、下行时间、在静水中甲船航速、乙船航速和水

流速度,则有: t1?S1x?a

S2

y?a??x?a?tx?a2a???1?x?a???t, ????t,

?

t2???y?a?ty?a?2a??1??y?a??S1?S2,t?0,a?0,x?a,y?a 1x?a1y?a. 2 ?x?y,从而x?a?y?a,?

?t1?t2 六、(本题满分14分)

r5?r4

r5?r4 解:??sin?2?r4r51?sin?1?sin??2?r?4

21?sin1?sin

2??2?r 52

???1?sin?1?sin?22??r5 ?r4?r3??同理,r3?????1?sin?1?sin?22??

????1?sin?2??r5 同理可得,r1??????1?sin?2??4? ??1?sin?1?sin?2??1?2?1?sin??1?????81322?1?sin1?sin??2?2?

???4 ?

2?30?,??60?

七、(本题满分16分) 解:不失一般性,令P在OB上,且x?OP?0,

则有AP>BP,AP>PC.

若以AP、BP、PC为边作三角形,结合上面条件, 只须BP+PC>AP,即PC?r?x?r?x?2x, 又PC?0,x?0,?PC2AOxPB?4x,?1? 2又PC2?AP?BP??r?x??r?x??r2?x2.代入(1)得r2?x2?4x2, 解得:?5

555r?x?r.

∴OP的取值范围是0?x?

八、(本题满分16分) 55r.

解:∵△?52?4?m2?1??4m2?21 ∴不论m取何值,所给的方程都有两个不相等的实根. ∵????5,???1?m2,???6, ∴?2??2?2?36,即??????2???2?36. 2∴25?2?1?m2??2?m2?36 当1?m2?0时,25?36成立, ∴?1?m?1. (1) 当1?m2?0时,得25?4?1?m2??36, 3

∴?2?m?2. (2)

由(1)、(2)得?2?m?2. 九、(本题满分16分) 解:在图中30°的弓形弧BC,令MB⊥BC,NC⊥BC,

由题意知,A点在不含端点的BM、CN上.

且BD<AD<DM,

故BD

3?DG?DM

3,

但BD?1?2,DM2, ?1

6?DG?6. MNABDC

4

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