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2008年全国初中数学竞赛及答案

发布时间:2014-01-14 09:49:19  

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5 小题,每小题6 分,满分30 分以下每道小题均给出了代号为A 、

B、 C、 D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题

后的括号里,不填、多填或错填都得0 分)

1.已知实数x,y 满足424424??3,y?y?3?y,则的值为( ) 424xxx

(A)7 (B)1?7? (C) (D )5 22

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷2 次,

若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数 y?x2?mx?n的图象与x 轴有两个不

同交点的概率是( ).

(A)54171 (B) (C) (D ) 129236

3.有两个同心圆, 圆周上有4 个不同的点,小圆周上有2 个不同的点,

则这6 个点可确定的不同直线最少有( ) .

(A)6 条 (B) 8 条 (C)10 条 (D )12 条

4.已知AB 是半径为1的圆O的一条弦,且AB = a < 1.以AB 为一边在圆 O内作正△ABC ,点D 为圆O上不同于点A 的一点,且DB = AB = a,DC的延长线交圆

O 于点E ,则AE 的长为( ).

(A)53 (D )a a (B)1 (C)22

5.将1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其任意连续三个数

之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).

(A)2 种 (B)3 种 (C)4 种 (D )5 种

二、填空题(共5 小题,每小题6 分,满分30 分)

6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u *v = uv + v .若关于x 的方程

1x*(a*x)??有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是 4

7.小王沿街匀速行走,发现每隔6 分钟从背后驶过一辆18 路公交车,每隔 3 分钟从迎面

驶来一辆18 路公交车.假设每辆18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔

固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.

1

8.如图,在△ABC 中,AB=7,AC=11,点M 是 BC 的中点,AD是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则 FC 的长为

(第8 题)

9.△ABC中,AB =7,BC =8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I 作DE ∥BC,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE的长为 .

10.关于x ,y 的方程x2?y2?208(x?y)的所有正整数解为

三、解答题(共4 题,每题15 分,满分60 分)

11 (A).在直角坐标系xOy 中,一次函数y = kx + b (k?0)的图象与x 轴、 y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB的面积值等于?OB?3

(1)用b 表示k;

(2)求△OAB 面积的最小值.

11 (B).已知一次函数y1?2x,二次函数y2?x?1,是否存在二次函数

,且对于任意实数x的同一个值,这三个函数 y3?ax2?bx?c,其图象经过点(-5,2)

对应的函数值y1,y2,y3,都有y1?y3?y2成立?若存在,求出函数y3的解析式;若不存在,请说明理由.

12 (A).是否存在质数p ,q,使得关于x 的一元二次方程 px?qx?p?0 有有理数根?

12 (B).已知a,b 为正整数,关于x 的方程x?2ax?b?0 的两个实数根为 x1,x2, 关于 y的方程y?2ay?b?0 两个实数根为y1,y2,且满足x1y1?x2y2?2008。 求b 的最小值.

2

2222

13 (A ).是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于,另一个内角2 倍的△ABC ?证明你的结论.

13 (B).如图,△ABC 的三边长BC = a,CA = b,AB = c ,a,b,c 都是整数,且a,b的最大公约数为2 .点G 和点I 分别为△ABC的重心和内心,且∠GIC = 90° .求△ABC 的周长.

(第13 (B)题)

14 (A).从1,2,?,9任取n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10 整除,求n 的最小值.

14 (B).已知有6 个互不相同的正整数a1,a2,?a6 ,且a1?a2?L?a6.从 这6个数 任意取出 3个数,分别设为ai,aj,ak,其i?j?k,记f(i,j,k)?123,??aiajak证明:一定存在3 个不同的数组(i,,j , k),其中 1?i?j?k?6,使得对应着的3 个f(i,j,k) 两两之差的绝对值都小于0.5 .

“《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题参考答案

1、【答】(A)

解:因为x?0,y?0,由已知条件得 : 22

12?4?4?4?31?2?1??4?3??,y? 2842x?42242?y??3?3?y??y2?6?7 422xxx

2、【答】(C)

解:基本事件总数有6?6?36,即可以得到36 个二次函数. 由题意知

??m2?4n?0,即m2?4n

通过枚举知,满足条件的m,n 有17 对. 故p?

3、【答】(B)

3 17。 36

解:如图, 圆周上有4 个不同的点A ,B ,C, D ,两两连线可以确定6 条不同的直线;小圆周上 的两个点E ,F中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD的交点,则它与A ,B ,C,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C,D 的两两 连线.从而这6 个点可以确定的直线不少于8 条.当这6 个点如图所示放置时,恰好可以确定8 条直线. 所以,满足条件的6 个点可以确定的直线最少有8 条.

(第3 题)

4、【答】(B)

解:如图,连接OE,OA,OB.设∠D =? ,

则 ∠ECA = 120°?? = ∠EAC .

又因为

?ABO?11?ABD?(60??180??2?)?120??? 22

所以△ACE ≌△ABO ,于是AE = OA = 1.

(第4 题)

5、【答】(D )

解:设a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5 的一个满足要求的排列.

首先,对于a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.

又如果ai(1≤i≤3)是偶数,ai?1 是奇数,则ai?2是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.

所以a1,a2,a3,a4,a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5 种情形满足条件:

2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3; 4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.

6、【答】a > 0 ,或a??1.

解:由x?(a*x)??112,得 (a?1)x?(a?1)x??0 44

依题意有 ?

?a

?1?0???(a?1)?(a?1)?024

解得,a > 0 ,或a < -1 .

7、【答】4.

解:设18 路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.

每隔6 分钟从背后开过一辆18 路公交车,则 6x?6y?s ①

每隔3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车,则 3x + 3y = s . ②

由①,②可得 s = 4x , 所以s?4 x

即18 路公交车总站发车间隔的时间是4 分钟.

8、【答】9.

解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,

则MN ∥ AB . 又MF // AD ,

所以∠FMN = ∠BAD = ∠DAC = ∠MFN ,

1 AB . 2

11因此 FC = FN + NC = AB + AC = 9. (第8 题答案) 22

169、 【答】 . 3所以 FN = MN =

解:如图,设△ABC的三边长为a,b,c,内切圆I

的半径为r,BC 边上的高为ha,则

11aha?S?ABC?(a?b?c)r 22

所以ra ?haa?b?c

因为△ADE∽△ABC , 以它们对应线段成比例,因此

(第9 题答案) 所以DE?ha?rDE ?haBChA?rraa(b?c) ?a?(1?)a?(1?)a?hahaa?b?ca?b?c

故DE?

8(7?9)16? 8?7?93

10、 【答】??x?48?x?160 ,??y?32?y?32

解:因为208 是4 的倍数,偶数的平方数除以4得的余数为0,奇数的平方数除以4

5

得的余数为1, 以x ,y 都是偶数.

设x = 2a, y = 2b ,则 a2?b2?104(a?b)

同上可知,a,b 都是偶数.设a = 2c, b = 2d ,则 c2?d2?52(c?d)

所以c,d 都是偶数.设c = 2s, d = 2t ,则 s2?t2?26(s?t)

于是(s?13)2?(t?13)2?2?132 其 s,t 都是偶数. 所以 (s?13)2?2?132?(t?13)2?2?132?152?112 所以s?可能为1,3,5,7,9,进而(t?13)2 为337,329,313,289,257,故只能是(t?13)2?289,从而s??7.于是 ?

11、(A)

解:(1)令x = 0 ,得y = b ,b > 0 ;令y = 0 ,得x??

以A ,B 两点的坐标分别为A (??s?6?s?20?x?48?x?160,因此。 ,?,???t?4?t?4?y?32?y?32b> 0,k < 0 . kb,0), B(0,b) ,于是,△OAB的面积为k

S?1bb?(?) 2k

1bb2b?b2

由题意,有 b?(?)???b?3,解得 k? ? 5 分 2kk2(b?3)

(2)由(1)知

1bb(b?3)(b?2)2?7(b?2)?1010S?b(?)???b?2??72kb?2b?2b?2 102?(b?2?)?7?2?7?2b?2

当且仅当b?2?

等号成立.

所以,△OAB 面积的最小值为 7?2 ?????? 15 分

11(B)

解:存在满足条件的二次函数.

因为 y1?y2?2x?(x?1)??x?2x?1??(x?1)?0,所以,当自变量x 取任意实数时,y1?y2 均成立.

6 22210时,有S?7?2,即当b?2?,k??1时,不等式中的b?2

由已知,二次函数y3?ax2?bx?c 的图象经过点(-5,2),得

25a?5b?c?2 . ① 当x = 1时,有y1?y2?2,y3?a?b?c

由于对于自变量x 取任意实数时,y1?y3?y2均成立,所以有

2 ≤a + b + c ≤2,

故 a + b + c = 2 . ② 由①,②,得 b = 4a ,c?2?5a,所以

y3?ax2?4ax?(2?5a) ?????? 5 分

当y1?y3时,有2x?ax?4ax?(2?5a) ,即

ax2?(4a?2)x?(2?5a)?0

所以,二次函数y?ax2?(4a?2)x?(2?5a) 对于一切实数x ,函数值大于或等于零,2

?a?0故 ? 即 2?(4a?2)?4a(2?5a)?0

2?a?01a?解得. ????? 10 分 ?23?(3a?1)?022当y3?y2 时,有ax?4ax?(2?5a)?x?1,即 (1?a)x?4ax?(5a?1)?0

所以,二次函数y?(1?a)x?4ax?(5a?1) 对于一切实数x ,函数值大于或等于零,2

?1?a?0?a?11a?故 ? 即所以 ?223(?4a)?4(1?a)(5a?1)?0(3a?1)?0??

1 4 1

141,b?4a?,c?2?5a? 333

1241 所以,存在二次函数y3?x?x?,在实数范围内,对于x 的同一个值, 333 综上,a?

都有y1?y3?y2 成立.?????? 15 分

12 (A).

解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令

??q2?4p2?n2,其中n 是一个非负整数.则 (q?n)(q?n)?4p2 ?? 5 分 由于1?q?n?q?n,且q?n 与q?n同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情

?q?n?2?q?n?4?q?n?p?q?n?2p?q?n?p2

形: ?,?,?,?,?。 22?q?n?2p?q?n?p?q?n?4p?q?n?2p?q?n?4 7

5pp2p2

消去n,解得q?p?1,q?2?,q?,q?2p,q?2???? 10 分 2222

对于第1,3 种情形,p = 2 ,从而q=5;对于第2,5 种情形,p = 2 ,从 而q=4 (不合题意,舍去);对于第4 种情形,q 是合数(不合题意,舍去).

2又当p = 2 ,q=5 时,方程为2x?5x?2?0,它的根为x1?1,x2?2它们都是有理数. 2

综上 述,存在满足题设的质数. ?????? 15 分

12 (B).

解:关于x的方程x?2ax?b?0的根为a?a2?b,关于y的方程y2?2ay?b?0的根为?a?a2?b.

设 2a2?b?t,则

当x1?a?t,x2?a?t,y1??a?t,y2?a?t时,有x1y1?x2y2?0,不满足条件; 当x1?a?t,x2?a?t,y1??a?t,y2?a?t时,有x1y1?x2y2?0,不满足条件; 当x1?a?t,x2?a?t,y1??a?t,y2?a?t时,得x1y1?x2y2?4at; 当x1?a?t,x2?a?t,y1??a?t,y2?a?t时,得x1y1?x2y2??4at; 由于a2?b?t?0 ,于是有 at?502 ?????? 10 分 又由于a为正整数,得知t 是有理数,从而t 是整数.

由at = 502 ,得a = 251,t = 2 ,即b 取最小值为 b?a?t?251?2?62997 所以,b 的最小值为62997. ?????? 15 分

13 (A ).

解:存在满足条件的三角形.

当△ABC的三边长分别为a?6,b?4,c?5时,?A?2?B ?????? 5 分 如图,当?A?2?B时,延长BA 至点D ,使

AD = AC = b .连接CD,则△ACD 为等腰三角形.

因为∠BAC为△ACD的一个外角,所以∠BAC = 2

∠D .由已知,∠BAC = 2∠B ,所以∠B =∠D.

所以△CBD为等腰三角形.

又∠D 为△ACD 与△CBD 的一个公共角,

有△ACD∽△CBD ,于是 2222

ADCDba2?,即? 即a?b(b?c) , (第13 (A)题答案)

CDBDab?c

8

而62?4?(4?5), 以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形.? 15 分 说明:满足条件的三角形是唯一的.

若?A?2?B ,可得a2?b(b?c) .有如下三种情形:

(1)当a > c > b时,设a?n?1,c?n,b?n?1(n 为大于1 的正整数),

代入a2?b(b?c),得 (n?1)2?(n?1)(2n?1),解得n = 5 ,有a = 6 ,b = 4 ,c = 5 ;

(2)当c > a > b 时,设c?n?1,a?n,b?n?1(n 为大于1 的正整数),

代入a2?b(b?c) ,得n2?(n?1)(2n),解得 n = 2 ,有a = 2 ,b = 1,c = 3 ,此时不能构成三角形;

(3)当a > b > c 时,设a?n?1,b?n,c?n?1(n 为大于1 的正整数),

代入a2?b(b?c),得(n?1)2?(n)(2n?1),即n?3n?1?0,此方程无整数解. 所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2 倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6 构成的三角形满足条件.

13 (B ).

解:如图,延长GI ,与边BC,

CA 分

别交于点P,Q .设重心G在边BC,

CA 上的投影(垂直)分别为E,F ,

△ABC的内切圆的半径为r ,BC,

CA 边上的高的长分别为 ha,hb,

易知CP=CQ,由

S?PQC?S?GPC?S?GQC

可得 2r?GE?GF?

从而可得a?b?c?22S?ABC2S112S(ha?hb) 即 2??(?ABC??ABC) 3a?b?c3ab6ab ?????? 10 分 a?b

因为△ABC 的重心G和内心I不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且 b?a ,否则,a = b = 2 ,可得c = 2 ,矛盾.

不妨假设a > b ,由于 (a,b)?2 ,设a?2a1,b?2b1,(a1,b1)?1 , 于是有6ab12a1b1 为整数, 以有(a1?b1),即(a?b)24

?a?ba1?b1

9

于是只有a = 14,b = 10 时,可得c = 11,满足条件.

因此有a + b + c = 35 . 所以,△ABC 的周长为35. ?????? 15 分

14 (A).

解:当n=4 时,数1,3,5,8 没有若干个数的和能被10 整除.?????? 5分 当n=5 时,设a1,a2,L,a5是1,2,?,9 中的5 个不同的数.若其任意若干个数,它们的和都不能被 10 整除,则a1,a2,L,a5中不可能同时出现 1 和9;2 和8;3 和7;4 和6.于是a1,a2,L,a5必定有一个数是5.

若a1,a2,L,a5含1,则不含9.于是不含4(4+1+5=10),故含6;于是不含3(3+6+1=10),故含7;于是不含2(2+1+7=10),故含8.但5+7+8=20是10的倍数,矛盾.

若a1,a2,L,a5含9,则不含1.于是不含6(6+9+5=20),故含4;于是不含7(7+4+9=20),故含3;于是不含8(8+9+3=10),故含2.但是5 +3+2=10 是10 的倍数,矛盾.

综上所述,n 的最小值为5. ?????? 15 分 14 (B).

证明:在6 个正整数 任意取出3 个数共有20 种取法,从而确定了20 个数组(i,j,k). 由于

0?f(i,j,k)?12312313?????? ?????? 5 分 aiajak3213

13

把数轴上的点0 到点13 分成如下9 个部分: 3

11335570?x?,?x?1,1?x?,?x?2,2?x?,?x?3,3?x?, 2222222

713?x?4,4?x? 23

由于20=9 ×2+2,由抽屉原则知,在上述9个部分 ,一定有一个至少含有3个f(i,j,k).从而,这3 个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5 ???? 15 分

10

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