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初中数学竞赛辅导资料(58)

发布时间:2014-01-15 09:06:42  

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初中数学竞赛专题选讲(初三.14)

观察法

一、内容提要

数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法),但都要经过严谨的论证,才能确定是否正确.

观察是思维的起点,直觉是正确思维的基础.

观察法解题就是用清晰的概念,直觉的思维,根据题型的特点,得出题解或猜测其结论,再加以论证.

敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.

例如:用观察法写出方程的解,必须明确方程的解的定义,掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时,必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时,则有一个根是-1;n次方程有n个根,这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时,可判定它是恒等式.

对题型的特点的观察一般是注意已知数据,式子或图形的特征,分析题设与结论,已知与未知这间的联系,再联想学过的定理,公式,类比所做过的题型,试验以简单的特例推导一般的结论,并探求特殊的解法.

选择题和填空题可不写解题步骤,用观察法解答更能显出优势.

二、例题

例1. 解方程:x+11=a+. xa

1. a解:方程去分母后,是二次的整式方程,所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义,易知 x=a;或x=

观察本题的特点是:左边x?

可推广到:若方程f(x)+11?1, 右边a??1. (常数1相同). xamm, ?a?(am≠0)f(x)a

则f(x)=a; f(x)=

如:方程x2+m. a55202022, x+3x- (∵8=10-). ?a??822210xax?3x

都可以用上述方法解.

例2. 分解因式 a3+b3+c3-3abc.

分析:观察题目的特点,它是a, b, c的齐三次对称式.

若有一次因式,最可能的是a+b+c;若有因式a+b-c,必有b+c-a, c+a-b;

若有因式a+b, 必有b+c, c+a; 若有因式b-c,必有c-a, a-b.

解:∵用a=-b-c 代入原式的值为零, ∴有因式a+b+c.

故可设 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].

比较左右两边a3的系数,得m=1,

比较abc的系数, 得 n=-1.

∴a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)

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例3. 解方程3?3?3??x?x. 分析:观察题目的特点猜想3?x?x用自身迭代验证: x=?x?3?3?x?3?3?3?x?3?3?3?3?x.

-解:∵x=?x, 可化为x2-x-3=0,

∴ x=1?1?. 经检验是增根. 22

1?. 2∴原方程只有一个实数根x=

例4. 求证:(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)(x?a)(x?b)???1. (a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)

证明:把等式看作是关于x的二次方程,最多只有两个实数根;

但x=a, x=b, x=c,都能使等式成立,且知a≠b≠c,这样,方程 就有三个解;

∵方程的解的个数,超过了方程的次数.

∴原等式是恒等式. 证毕.

例5. 选择题 (只有一个正确的答案)

1. 四边形ABCD内接于圆,边长依次为25,39,52,60,那么这个圆的直径长等于( )

(A)66. (B)65. (C)63. (D)62.

2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果边AB上的一点P,使得以

P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似. 这样的点P有几个?答:( )

(A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个.

解:1. 选 (B); 2. 选 ( C).

1. 观察数字的特征:

∵25∶60∶65=5∶12∶13 ; 39∶52∶65=3∶4∶5 都是勾股数.

∴直径等于65,故选( B )

2. 观察 相似比可以是ADAD2x2x或. 设AP为x, 则?;或?. BCPB37?x7?x3

解得:x=2.8 , x=1, 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).

(1)

209 (2)

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三、练习

一. 填空题

1. 三角形的三边长分别为192,256,320.则最大角等于____度.

2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)……(72n+1)+1=______.

3. 方程x2-(4+3)x+3+=0 的两个解是______.

4. 方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是__________.

5. 方程x?2?2?x?21??0的实数解是_______. x?22

6. 若x,y为实数且x+y=a, xy=b,则x2+y2=_________.

?1?1?1?12??7. 方程???x?2??2??2??2的解是__________. 2?2?2?2???

8. 写出因式分解的结果:

①x3-7x2+36=______________.

②(a+b-c)3-(a3+b3+c3)=_______________.

9. 方程(a-x)3+(b-x)3=(a+b-2x)3的三个解是_____,_____,______..

17?2y?x??x??x??2z?y?17?y??y??10. 方程组? 的实数解是:?

?z??2x?w?17

??w?w???2w?z?17

?z?

11. 有一个五位正奇数x,将x的所有2都换成5,所有5都换成2,其他的数字不变,

得到一个新五位数记作y,若x,y满足等式y=2(x+1),那么x是___________

(1987年全国初中数学联赛题 )

如左图试问至少要用几种颜色,才能给图中的各边正常着色.

(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上 不同的颜色) (1983

年福建省初中数学竞赛题)

二. 选择题(只有一个正确的答案)

1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( )

(A) 矩形. (B) 菱形. (C)

等腰梯形. (D)不等边的四边形.

2. 当k>0时,函数y=kx+k与y=

k图象在同一直角坐标系内是( ) 210

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(A)

(D) (C)

4. a=1+3.实数a和b,ab<0, a+b<0, a-b<0,则a, b的大体位置是( ) (B)11, b=1+, a, b都不等于0,那么 b= ( ). ba

(A) a. (B) –a. (C) a-1. (D) 1-a.

5. a,b,c中至少有一个是零,可表示为( )

(A) a+b+c≠0 (B) abc≠0. (C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+ca+bc≠0.

三. 解方程:

1.x2+2x+22; ?323x?2x

x2?2x?31?1?; 2x?2x?42x2?2x?41?2.x2?2x?32

3.2?2?2?2?x?x.

a2(x?b)(x?c)b2(x?c)(x?a)c2(x?a)(x?b)???x2. 四. 求证:(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)

五. 已知:x4+x3+x2+x+1=0. 求:x1989+x1988+x1987+x1986的值.

练习题参考答案

一.1. 90 2. ?72 n?1 3. 1,3+3 4. -1 5. -2

6. a2-2b,当a2-2b<0时无解 7. 2,-2 8.②3(a+b)(b+c)(c+a)

9. a,b, a?b 10. x=y=z=w=± 2

-3?1 ②-,-1,-5 ③2(增根-1) 24二.①B ②C ③C ④A ⑤C 三.① -3,1,

四.(仿例4)

五.已知两边乘以x-1得x5=1, 原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1×(-1)=-1

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