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初一下全等三角形培优竞赛训练题

发布时间:2013-09-22 21:07:07  

初一下全等三角形培优竞赛训练题

1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;

(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.

你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?

D D D 图3 图1

2

2、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?AEF?90,且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.

经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?EF.

在此基础上,同学们作了进一步的研究:

?

1

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;

(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

A

图1 D F C G A 图2 D F C G A D C G 图3 2

3、已知Rt△ABC中,AC?BC,∠C?90?,D为AB边的中点,?EDF?90° ,

?EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.

当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时(如图1),易证S△DEF?S△CEF?1 S△ABC.2

当?EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

4、在△ABC中,AB?BC?2,?ABC?120°将△ABC绕点B顺时针旋转角?(0°?,A D E C E C 图2 F B E 图3 D C B F F 图1 ??90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交

AC、BC于D、F两点.

(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论; 3

1 A11 A1(2)如图2,当??30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;

(3)在(2)的情况下,求ED的长.

4

5、如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等

边三角形.

(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(4分)

(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.(6分)

6、点C为线段AB上一点,△ACM, △CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E,BM,CN交于点F。求证:

A

A

B

图9 图10 图11

B

(1)AN=MB.

(2)△CEF为等边三角形。

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立?(

只回

5

答不证明),

(4)AN与BM相交所夹锐角是否发生变化,(只回答不证明)。 6

7、问题:已知△ABC中,?BAC?2?ACB,点D是△ABC内的一点,且AD?CD,BD?BA.探究?DBC与?ABC度数的比值.

请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.

(1)当?BAC?90?时,依问题中的条件补全右图.

观察图形,AB与AC得数量关系为________;

当退出?DAC?15?时,可进一步推出?DBC的度数为_______;

可得到CA?DBC与?ABC度数的比值为_________.

(2)当?BAC?90?时,请你画出图形,研究?DBC与?ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,

写出你的猜想并加以证明.

B

CA 图1

8、直线CD经过?BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且?BEC??CFA???.

(1)若直线CD经过?BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:

??①如图1,若?BCA?90,???90,则EF?AF(填“?”,“?”或“?”号);

②如图2,若0??BCA?180,若使①中的结论仍然成立,则 ??与?BCA 应满足的关系是 ; ??

7

(2)如图3,若直线CD经过?BCA的外部,????BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明.

B B

图1 F D A 图2 A D A 图3 8

9、(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.

求证:BE=CF.

(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB, 第23题图1

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF

=4.求GH的长.

第23题图2

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,

∠FOH=90°,EF=4. 直接写出下列两题的答案:

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

10、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,?BCD?90°,且CD?2AD,tan?ABC?2,过点D作DE∥AB,交?BCD的平分线于点E,连接BE.

(1)求证:BC?CD;

(2)将△BCE绕点C,顺时针旋转90°得到△DCG,连接EG..求证:CD垂直平分EG.

(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点. E G

B

9 第23题图3

11、已知:如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于P,M.

C(1)求证:AB=CD;

(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD P

的数量关系,并说明理由.

DA

B

12、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,

将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.

⑴ 求证:△AMB≌△ENB;

⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;

②当M点在何处时,AM+BM+CM

B C A D

10

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