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小学数学竞赛解题策略的研究

发布时间:2013-09-23 07:38:25  

湖南第一师范学院

毕业论文(设计)

题目 小学数学竞赛解题策略的研究

潘 陈 林

09402030243

数 学 系

09数学与应用数学2班

2013年5月 学生姓名 学号 指导教师 系部名称 专业班级 完成时间

湖南第一师范学院教务处制

本科毕业论文(设计)

小学数学竞赛解题策略的研究

学生姓名:

系部名称:

专业名称:

指导教师: 潘 陈 林 数 学 系 数学与应用数学

毕业论文(设计)作者声明

1.本人提交的毕业论文(设计)是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除文中特别加以标注的地方外,

2.本人完全了解湖南第一师范学院有关保留、使用学位论文的规定,同意学院保留并向国家有关部门或机构送交

3.湖南第一师范学院在组织专家对毕业论文(设计)进行复审时,如发现

作者签名: 日期:二O一 年 月 日

摘 要

数学竞赛是发现人才的有效手段之一,世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。解数学问题需要一定的方法、策略。不同的人解同一题可能采用不同的方法.这些解法都是解题者灵活运用数学基本思想和原理的结果,只有及时总结各种解题方法并尽可能寻求最佳的方法,才可能不断提高解决问题的水平和能力.

关键词:小学数学;竞赛解题;策略;方法

I

ABSTRACT

Mathematics competition is one of the effective means to find talent, and the developed countries in the world have attached great importance to mathematics competitions. Solutions of mathematics problems needs certain methods, strategies. Different people solving the same problem may adopt different methods. These solutions solving problem are the results of solvers’ flexible use of mathematical basic idea and principle. Only to summarize various problem solving method in time and as far as possible to seek the best way can we improve the level and ability to solve the problem constantly. In this paper, so far as elementary school mathematics contest’s solving methods is concerned ,l give the enumeration and the detailed discussion . However hard the problem is, as long as we analysis carefully,think carefully, we can find that it will not leave the learned knowledge and basic methods.

Keywords: the elementary school mathematics; the problem solving contest; strategy; method

II

目 录

摘 要 .................................................................................................................................. Ⅰ Abstract .............................................................................................................................. Ⅱ

1 小学数学竞赛解题现状 ................................................ 1

1.1 研究背景和研究意义 ............................................... 1

1.2 小学数学竞赛现状的调查分析 ....................................... 1

2 对小学数学竞赛解题案例的分析 .................................................................................. 3

2.1小学数学竞赛中一些常见的解题方法 .................................. 3

2.1.1逻辑的方法(主要研究演绎法) .................................. 4

2.1.2学科的方法 (主要研究概率论方法) ............................... 5

2.1.3构造的方法(主要研究染色法) .................................. 5

2.2对小学数学竞赛中第一抽屉原理的研究 ................................ 6

3 对小学数学竞赛解题策略研究的启示 .......................................................................... 7

参考文献 ................................................................................................................................ 9

附录 .................................................................. 10

致谢 ...................................................................................................................................... 11

毕业论文(设计) 小学数学竞赛解题策略的研究

1 小学数学竞赛解题现状

1.1研究背景和研究意义

研究背景:

数学竞赛是一种数学教育活动,它的出现虽然只有一百多年的历史,但在国内外掀起的热潮却风起云涌,方兴未艾。我国的数学竞赛活动开始于1956年,当时,在华罗庚等最有威望的数学家的倡导下,部分城市开始举办数学竞赛。1978年开始举办全国性高中数学竞赛,1983年开始举办全国性初中数学竞赛,1986年举办了首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛,全国有150万小学生参加了预赛,两万多名学生参加了复赛,与由此拉开了我国全国性小学竞赛的序幕。

数学竞赛对于推进教育改革和提高教学质量有着多方面的重要意义和其他学科难以替代的作用,主要有:有助于提升学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题能力;提早发现有培养潜力的学生,来实行智力的早期开发;激发学生兴趣,强化数学教学功能。

研究意义:

数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者,大多在他们后来的事业中卓有建树。因此,世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。为了使数学竞赛活动健康地发展和进一步的规范化,中国在1990年召开的“中国数学会第六次普及工作会议”上提出“继往开来,长盛不衰”的奋斗目标,制定了“数学竞赛大纲(草案)”

1992年召开的“中国数学会第七次普及工作会议”通过了制定的“数学竞赛大纲”。大纲认为:在我国已经成为世界数学奥林匹克强国的形式下,要着眼于普及,着眼于提高大多数学生学习数学的兴趣,使学有余力的学生能更好得发展他们的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、独立思考和自学的能力,逐步学会分析、综合、归纳、演绎、抽象、概括、类比等数学思想方法,成为一代有探索和创新精神的科学人才。

1.2 小学数学竞赛现状的调查分析

(一)、调查对象及问卷发放

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调查对象

在小学数学竞赛教育中,培训机构所占比例比较大,在大部分培训机构都可以看到小学生来学习数学竞赛,但是这不具有普遍性,所以选取学校中班级为单位发放问卷。在发放问卷前对A、B两所小学情况进行了解,其中A小学为城市小学,A小学开设“思维拓展班” ;B小学为农村小学,B小学学校里几乎没有与此相关的兴趣班。

问卷发放

问卷的试测阶段,在A、B两所小学三、四、五年级分别各选取一个班为试测对象,发放了学生问卷。共印制并发放问卷350份,回收问卷330份,其中学生有效问卷数为325份,并对数据进行录入、分析、处理,并得到下文。

其中《小学数学竞赛状况调查问卷》见附录。

(二)、数据统计与分析

学生问卷分析,学生问卷由6道客观题构成,2道是调查对象的基本信息,4道学习小学数学竞赛的相关情况。

1、调查对象的基本信息

分别对调查对象的年级和性别调查

(1)性别

就调查对象的性别来说,在325份有效问卷中,其中A小学占165份,B小学占160份。根据A、B两所小学问卷调查统计分析,有169名男生(占总数的52%)和156名女生(占总数的48%)。

(2)年级

就调查对象年级来说,在325份有效问卷中,A小学三年级58人,四年级52人,五年级55人;B小学三年级52人,四年级55人,五年级53人。

2、调查对象学习小学数学竞赛的情况

调查分别为调查对象是否学习过小学数学竞赛、调查对象是否参加小学数学竞赛培训班、调查对象是否主动要求学习小学数学竞赛、调查对象是否参加过相关比赛,发现与各年级的情况差距不大,所以这四项不分年级来统计。

(1)调查对象是否听说过奥数或者小学数学竞赛

就调查对象是否听说过奥数或者小学数学竞赛来说,在325份有效问卷中,其中A小学有162人听说过,占该校被调查人数的98.18%;B小学有148人听说过,占该 - 2 -

毕业论文(设计) 小学数学竞赛解题策略的研究 校被调查人数的92.5%。

(2)调查对象是否学习过小学数学竞赛

就调查对象是否学习过小学数学竞赛来说,在325份有效问卷中,其中A小学有160人学习过,占该校被调查人数的96.97%; B小学有130人学习过,占该校被调查人数81.25%。男生159人学习过,占被调查男生人数的94.08%;女生131人学习过,占被调查女生人数的83.97%。

(3)调查对象是否参加过小学数学竞赛培训班

就调查对象是否参加过小学数学竞赛培训班来说,在325份有效问卷中,其中A小学有150人参加过,占该校被调查人数的90.91%;B小学有81人参加过,占该校被调查人数的50.63%。男生130人参加过,占被调查男生人数的76.92%;女生101人参加过,占 被调查女生人数的64.74%。

(4)调查对象是否参加过市级以上比赛

就调查对象是否参加过小学数学竞赛培训班来说,在325份有效问卷中,其中A小学有76人参加过参加过,占被调查人数的46.06%;B小学有31人参加过,占被调查人数的19.38%。

(5)调查对象认为学习小学奥数对自己的解题能力帮助大不大

这项调查中,在325份有效问卷中,有290人学习过小学数学竞赛,其中280人认为学习小学数学竞赛对自己的解题能力帮助大,占学习小学数学竞赛人数的96.55%。

数据表明小学数学竞赛在小学中的重要性,无论是在农村小学还是在城市小学,城市小学小学数学竞赛普及率更高,性别和年级差异不是很大,另外学习小学奥数对解题能力有很大帮助。因此本研究的意义很大。

2 对小学数学竞赛解题案例的分析

2.1小学数学竞赛中一些常见的解题方法

20世纪80年代以来,数学方法论的研究和普及风行一时。数学教学的重点从结论转向过程,数学问题的解决从解答本身转向解答的探索。事实上,数学方法论包括了科学方法论的所有重要内容,并且体现了数学学科的严密性、符号化以及抽象与直观的结合。由于数学方法论还没有学术界公认的体系,因此,如何将数学竞赛解题的解答中运用的方法条理化和系统化尚无定论,

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2.1.1逻辑的方法(主要研究演绎法)

逻辑的方法有演绎法、归纳法、类比法、逆推法、分析法与综合法等

归纳法:归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例或分论点,然后归纳出它们所共有的特性,从而得出一个一般性的结论。归纳法可以先举事例再归纳结论,也可以先提出结论再举例加以证明。

类比法:根据两类事物的某些属性相同,推测它们在其他属性上,也可能相同的推理,叫做类比推理。主要运用类比推理去研究问题的方法,叫做类比法。 逆推法:采用与事情发展过程相反的顺序思考的解题方法叫做逆推法。能用这种方法求解的问题一般有以下特征:(1)最后的结果是已知的;(2)得出最后结果的过程是清晰的;(3)最初的事物情况是需要求的。

分析法:指从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件为止,从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。

综合法:从已知数量与未知数量的关系入手,逐步分析已知数量与未知数量的关系,一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。

演绎法:从一般到特殊的推理叫做演绎推理,在逻辑学中,研究的比较充分的是演绎推理。在小学数学竞赛中我们运用这方法解题很常见。

例题1:A、B、C、D四人参加象棋比赛,每两人都要比一场,如若出现平局则加赛一局直到分出胜负为止。结果A胜了B,而且A、C、D三人胜场次数相同,求B胜了几场?

<解法1>四人参加比赛,没两人都要比一场,所以一共要比赛6场。先根据胜场相同,他们可能是都胜3场,或者都胜2场,或者都胜1场,或者全输。

排除都胜3场,那么的话要9场,总共才比赛6场,再排除全输的情况,题目中有A胜了B。

假如A、C、D都只胜1场,那么B就胜3场,这与A胜了B矛盾。

所以只能是A、C、D都胜2场,那么B胜0场,检验这样的情况符合。

<解法2>直接分析B,B共比赛3场,那么B只可能是3胜,或2胜,或1胜,或全输,再根据A胜了B,那么排除B是3胜。

假如B胜2场,那么A、C、D共胜4场,与已知他们胜场相同矛盾;

假如B胜1场,那么A、C、D共胜5场,与已知他们胜场相同矛盾;

假如B全输,那么A、C、D共胜6场,每人胜2场,符合已知。

再检验,这样的情况符合。

通过本例题我们知道解决这样的问题的时候,可能刚拿到手的时候,看到这些条件不知道从哪里入手,通过演绎推理解决这样的问题就方便多了。

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2.1.2学科的方法 (主要研究概率论方法)

学科的方法有代数法、几何法、集合论方法、组合论方法、概率论方法等 代数法:解题时,用字母代表题中的未知数,使它和其他已知数同样参加列式、计算,从而求得未知数的解题方法,叫做代数法。

几何法:几何法就是用几何学的理论和方法去解决问题的方法,通过将其他问题中的数量关系赋予几何化,就是借助几何直观分析和解决这些问题。

集合论方法:集合论是研究集合(由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言。在现代数学中,自然数的概念和加法的定义都是建立在集合论的基础上。

组合论方法:组合论是研究“安排”的一门学科,当我们要把一些事物按一定的要求安排时,就会产生以下四个问题:(1)符合要求的安排是否存在?(2)这样的安排有多少?(3)怎样作出这样安排?(4)怎样最优安排?

概率论方法 :概率论早期主要用于赌博和人口统计模型.随着人类的社会实践,人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性,并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小,从而产生了概率论,并使之逐步发展成一门严谨的学科.

帕斯卡分配赌金的故事,可以在小学高年级出现,这是经典。

例题2:2002年,中央电视台10频道和观众互动节目中有这样的题目:“甲乙两人出赌资5个金币,形成10个金币的赌资。规定最先赢得5局的人获胜。现在进行了7局,甲赢4局,乙赢3局,因故不得不终止。问这些赌资该如何分配。”问电视台演播厅的听众,三位都说按照七分之四和七分之三分配。你认为这合理吗?

<分析>按照概率论的思考是,两人在每一局的获胜机会都一样,即二分之一。现在规定再赛一局——第8局。甲的形势是:若甲赢第8局,则得到全部10个金币,但赢的概率是二分之一,所以,期望值是5个金币。若甲输,那么甲乙打平,甲得一半5个金币。但输掉的概率也是二分之一。所以得到2.5个金币。合起来,甲总得7.5个金币。同理可分析乙的形势,则只有在自己赢得第8局的情况下,才能获得一半的赌资,这样的概率只有二分之一,所以乙的期望值是2.5个金币。

这是1654年法国数学家帕斯卡和费马通信中的思考。把赌金和输赢概率结合起来以得到期望值,解决了这一赌金分配问题。这里用了“期望”的字眼,正是这一使用“期望值”的案例,标致这概率论的诞生。

2.1.3构造的方法(主要研究染色法)

构造的方法有平移法、旋转法、染色法等

平移法:对于某些几何计算题,在不改变面积的前提下,采用平移的方法适当改变图形的形状或位置,可以给解决问题带来明显的效果.

旋转法:求解线、面综合作图问题时,一般采用换面法,但问题的求解比较复杂,这时候可以巧妙使用旋转法,这样就会简化问题。

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染色法:有很多数学问题,可以用不同的颜色来区分事物的不同类别。通过着色把各种条件和问题,形象、直观地显示出来,使分析和处理问题,变得具体和明朗起来,从而使我们能找到解决问题的捷径。

例题3: 17人中每两人都讨论问题,他们仅讨论三个问题,任何两人之间只讨论一个问题,那么至少有三个人讨论同一个问题。你能说明这个理由吗?

<分析>:将三个不同问题,用红、黄、蓝三种颜色表示,17人看作17个点,两点之间用或红、或黄或蓝的线段相连接表示讨论某个不同的问题。每一点都要发出16条线段。由抽屉原理,至少有6条线段同色,不妨设这6条线段是红色。从点A发出的6条同色线段AB、AC、AD、AE、AF、AG ,下面考虑 B、C、D、E、F、G之间连线的着色情况

(1)若这6点所连线段至少有一条红色,例如,那么三角形ABC三边是红色,表示这三人互相讨论同一个问题。

(2)若这6点间所连线段没有一条红色。那么只能是黄色和蓝色。这6点每一点可发出5条线段。由抽屉原理,至少有三条同色,不妨设为黄色。假设BC,BE,BD为黄色。再考虑C、D、E间所连线段的着色情况。(也就是我们熟悉的四面体形状,四个点,六条边,B、C、D、E四个点)

①若C、D、E间的连线至少有一条黄色,不妨设CD为黄色,那么得三角形BCD是三边黄色的三角形,表示这三人讨论同一问题。

②若B、C、D间的连线没有一条黄色,那么就得一个三边为蓝色的三角形CDE,表示这三个科学家讨论同一问题。

由以上讨论可知,无论怎样,至少有三人互相通信讨论同一个问题。

2.2 对小学数学竞赛中第一抽屉原理的研究

第一抽屉原理

原理1:把多于n个的物体放到n个抽屉里则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明:反证法如果每个抽屉至多只能放进一个物体那么物体的总数至多是n而不是题设的n+k(k≥1)故不可能。

原理2:把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

证明:反证法若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符故不可能。

原理:3 把无穷多件物体放入n个抽屉则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。 - 6 -

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例题4:从2、4、6、?、26这13个偶数中,任取8个数,证明其中一定有两个数之和是30。

<分析>: 我们用题目中的13个偶数制造7个抽屉:此抽屉特点是只要抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是30。(7个抽屉可以这样排<4,26>,<6,24>,<8,22>,<10,20>,<12,18>,<14,16>,<2>)现从题目中的13个偶数中任取8个数,由抽屉原理,因为抽屉只有7个,必有两个数可以在同一个抽屉中,符合上述特点.由制造的抽屉的特点,这两个数的和是30。

3 对小学数学竞赛解题策略研究的启示

传统的教学只注重教给学生记类型、套公式,不利于提高学生解题的能力。在教学中,要重视解决问题策略的培养,从抽象的问题中找到关键词建立模型依此来简化问题,通过变形得到我们熟知的一些数学模型。针对一道道的数学难题的解决使得学生很有成就感,进而也激发了学生学习数学的兴趣。教师可以创设现实情景,引导学生从中发现问题、提出问题、解决问题,数学不是从天上掉下来的,也不是数学家和教材编者头脑里特有的,数学是从现实世界中抽象出来的。让学生自主探究、合作交流,引导学生善于解决问题,提出问题。最重要的是让学生能创造性地解决问题。让学生初步形成评价与反思的意识,解题策略对于学生来说是非常重要的,而对结果的反思也是非常重要的。

小学生解决数学问题的策略具有多样性。无论是解题方法、解题策略还是表现形式都有很大的差异。小学生解题时呈现出他们的认知规律是以具体形象为主的,借助具体形象的事物,作为自己的解题思路. 我们倡导算法多样化,鼓励学生用不同方法解决问题,可能这种方法对成人来说有优劣之分,但是对小学生来说则不宜过早断定这种方法一定比那种方法好,所以这里我们不强调一定要用小学数学竞赛的方法。

数学竞赛活动不是一个独立的活动,不能脱离教学的实际,数学竞赛应该以普通教学为基础,以数学活动课为阵地,以数学兴趣课为助推器,它不能脱离课堂教学,也不能自成体系,否则就成了空中楼阁。这样,既能保证全体学生掌握数学基础知识,又能让有余力,天赋较好的学生能够拔尖,提高他们的数学素质。 由此可见,小学数学竞赛活动能够极大地调动学生的学习兴趣,锻炼学生克服困难的意志,培养学生的创新精神。我们应该明确,小学数学竞赛的目的是为了育人,是为 - 7 -

毕业论文(设计) 小学数学竞赛解题策略的研究 了培养具有创新能力的的人才,必须采用正确有效的方式,通过正规的渠道,沿着素质教育的主航道前进,只有这样,才能真正体现竞赛的优势。从实践看,我校学生在全国性和地区性的小数活动中都是按照这些作法去做的,并取得较好的成绩。通过那些数学竞赛活动,一部分优秀的学生的数学天赋和潜力不仅得到了发挥,而且也使得他们的综合素质和能力得到了发展,尤其是思想品质也得到全面提高,并且由此激发起全校学生学习数学、钻研数学的热情,为我校素质教育向纵深发展注入了活力。

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参考文献

[1] 孟凯韬.思维数学引论[M].北京:科学出版社,1991

[2] 黄启林.浅谈奥林匹克数学教育的原则[J].数学通报,1996.7

[3] 张 雄,李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京:高等教育出版社,2003

[4] 蒋顺,李济元.奥林匹克小学数学举一反三[M].西安:陕西人民教育出版社,2003

[5] 罗增儒.数学竞赛导论[M].陕西:陕西师范大学出版社.2003.1

[6] 马云鹏.小学数学教学论[M].北京:人民教育出版社,2003 年

[7] 张景斌.中学数学教学教程[M].北京:科学出版社,2004.5

[8] 王玉兰.小学数学探究性学习的有效策略[M].长春出版社,2008 年

[9] 郝杰.小学数学学困生解决应用题的障碍及对策探究[J].中小学数学(小学版),2009 (7)

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附 录

小学数学竞赛状况调查问卷

你好,我是湖南第一师范学院数学专业的学生.。为了了解小学数学竞赛的现状,便于以后更好地教学,特进行了此次问卷调查. 根据自身情况如实填写勾选符合的选项即可,这个过程只需要1-3分钟,资料的内容我们将完全保密,非常感谢你参与我们的调查,谢谢你的支持和合作!

基本情况:

1.性别:A.男 B.女

2.年级:A.三年级 B.四年级 C.五年级

3.家庭户址所在地: A.城市 B.农村

单选题:

4.你听说过奥数或者小学数学竞赛吗?

A.听说过 B.没听说

5.你学习过小学数学竞赛吗?

A.学习过 B.没学习过

6.你参加过小学奥数方面的培训班吗?

A.参加过 B.没参加过

7.你参加过市级以上比赛吗?

A.参加过 B.没参加过

8.你认为学习小学数学竞赛对自己的解题能力帮助大吗?

A.帮助大 B.没什么帮助

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致 谢

本论文是在我的指导老师XXX老师的亲切关怀与细心指导下完成的。从课题的选择到论文的最终完成,赵老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持。此外,

最后要感谢的是我的父母,他们不仅培养了我对数学的浓厚的兴趣,让我在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依,而且也为我能够顺利的完成毕业论文提供了巨大的支持与帮助。在未来的日子里,我会更加努力的学习和工作,不辜负父母对我的殷殷期望!

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