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2012年全国中考数学专题1:代数问题

发布时间:2014-01-15 10:46:41  

2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类

专题1:代数问题

一、选择题

1. (2012宁夏区3分)运动会上,初二 (3)班啦啦队,买了两种价格的雪糕,其中甲种雪糕共花费40元,乙种雪糕共花费30元,甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍,若设甲种雪糕的价格为x元,根据题意可列方程为【 】. A.

3

.若设甲班人数4

7. (2012新疆区5分)甲乙两班进行植树活动,根据提供信息可知:①甲班共植树90棵,乙班共植树129棵;②乙班的人数比甲班的人数多3人;③甲班每人植树数是乙班每人植树数的为x人,求两班人数分别是多少,正确的方程是【 】 A.

4030403030403040

??20 B.??20 C. ??20 D.??20 1.5xxx1.5xx1.5x1.5xx

903129903129390129390129

B. C.? D.?= =?==?

x?34x4x?3xx4x+34xx+3

8. (2012吉林省2分) 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划每天生产x台机器,则可列方程为【 】 A.

2. (2012浙江杭州3分)已知关于x,y的方程组?

?x+3y=4?a

,其中﹣3≤a≤1,给出下列结论:

?x?y=3a

①?

?x=5

是方程组的解; ②当a=﹣2时,x,y的值互为相反数; y=?1?

600450600450600450600450

B. C. D. ????

xx?50x?50xx?50xxx?50

9. (2012内蒙古包头3分)关于x的一元二次方程x2?mx+5?m?5?=0的两个正实数根分别为x1,x2,且2x1+x2=7,则m的值是【 】

A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7 二、填空题

1. (2012江苏盐城3分)一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金. 第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n(n≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月 增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为 . (参考数据:1.2?2.5,1.2?3.0,1.27?3.6)

5

6

③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解; ④若x≤1,则1≤y≤4. 其中正确的是【 】

A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④

ac

<,给出下列四个不等式: bd

accadbbd

①;②;③;④。 <<<<

a+bc+dc+da+bc+da+ba+bc+d

3. (2012江苏常州2分)已知a、b、c、d都是正实数,且 其中不等式正确的是【 】

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③

4. (2012湖北襄阳3分)如果关于x

的一元二次方程kx?1?0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【 】 A.k<

2

2. (2012福建南平3分)设[x)表示大于x的最小整数,如[3)=4,[-1.2)=-1, 则下列结论中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)

①[0)=0;②[x)-x的最小值是0;③[x)-x的最大值是0;④存在实数x,使[x)-x=0.5成立.

111111

B.k<且k≠0 C.﹣≤k< D.﹣≤k<且k≠0

2 22222

5. (2012四川成都3分)一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是【 】

A.100(1+x)=121 B. 100(1-x)=121 C. 100(1+x)2=121 D. 100(1-x)2=121

?ab2+b2?3a+1?2242

3. (2012湖北随州4分)设a?2a?1?0,b?2b?1?0,且1-ab≠0,则????= a??

.

4. (2012湖南常德3分)规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如: [规定 [?1]的值为 。

5

2

]=0,[3.14]=3。按此3

1

?3x-a?0

5. (2012四川绵阳4分)如果关于x的不等式组:?,的整数解仅有1,2,那么适合这个不等

2x-b?0?

式组的整数a,b组成的有序数对(a,b)共有 个。

2

2

2x?m

6. (2012四川巴中3分)若关于x的方程??2有增根,则m的值是

x?22?x

7. (2012山东淄博4分)一个三位数,其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍,请写出符合上述条件的一个三位数 . 三、解答题

1. (2012广东梅州10分)(1)已知一元二次方程x+px+q=0(p﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1?x2=q. (2)已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d取得最小值,并求出最小值.

2. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm,那么剪掉的正方形的边长为多少?

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由。

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。

2

2

2

2

3. (2012广东湛江12分)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题: 例题:解一元二次不等式x﹣4>0 解:∵x﹣4=(x+2)(x﹣2) ∴x﹣4>0可化为 (x+2)(x﹣2)>0

由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得

解不等式组①,得x>2, 解不等式组②,得x<﹣2,

∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2, 即一元二次不等式x﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2. (1)一元二次不等式x﹣16>0的解集为 ; (2)分式不等式

的解集为 ;

222

2

2

2

(3)解一元二次不等式2x﹣3x<0.

2

4. (2012贵州黔西南14分)问题:已知方程x2+x?1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。

解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=

(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程: 变化一下会怎样……

y 2

(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.

把x=

y代入已知方程,得?y?+y?1=0

???2?22

2

化简,得:y2+2y?4=0 故所求方程为y2+2y?4=0

这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化成一般形式)

(1)已知方程x2

+x?2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为:

6.

(2)已知关于x的一元二次方程ax2

+bx+c=0?a?0?有两个不等于零的实数根,求一个一元二方程,使

它的根分别是已知方程的倒数。

5. (2012江苏南京9分)“?”的思考

下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。

我的结果也正确

小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并打开了一个“?” 结果为何正确呢?

3

A

d

cA'

D'

D

B'C'

B

a

C

2012江苏盐城12分)

知识迁移: 当a?0且x?0时,因为2≥0,所以x?ax≥0,从而x?a

x≥当

x?时取等号).记函数y?x?a

x

(a?0,x?0),由上述结论可知:当x?,该函数有最小值

为直接应用:已知函数y1

1?x(x?0)与函数y2?

x

(x?0), 则当x?_________时,y1?y2取得最小值为_________.

变形应用:已知函数y1(x??1)与函数y2?4(x??1),求y21?x?2?(x?1)y的最小值,并指出取得1该最小值时相应的x的值. 实际应用:已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共360元;二是燃油费,

每千米为1.6元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为

x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本..........

最低?最低是多少元?

7. (2012四川内江12分)如果方程x?px?q?0的两个根是x1,x2,那么x1?x2??p,x1.x2?q,请根据以上结论,解决下列问题:

(1)已知关于x的方程x?mx?n?0,(n?0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;

(2)已知a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0,求

2

2

2

2

9. (2012浙江湖州10分)为进一步建设秀美、宜居的生态环境,某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄,已知甲、乙丙三种树的价格之比为2:2:3,甲种树每棵200元,现计划用210000元资金,购买这三种树共1000棵.

(1)求乙、丙两种树每棵各多少元?

(2)若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍,恰好用完计划资金,求这三种树各能购买多少棵? (3)若又增加了10120元的购树款,在购买总棵树不变的前提下,求丙种树最多可以购买多少棵?

10. (2012内蒙古赤峰14分)阅读材料:

(1)对于任意两个数a、b的大小比较,有下面的方法: 当a?b?0时,一定有a?b; 当a?b?0时,一定有a?b; 当a?b?0时,一定有a?b.

反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”. (2)对于比较两个正数a、b的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较: ∵a?b?(a?b)(a?b),a?b?0 ∴(a?b)与(a?b)的符号相同 当a?b>0时,a?b>0,得a?b 当a?b=0时,a?b=0,得a?b 当a?b<0时,a?b<0,得a?b 解决下列实际问题:

2

2

2

2

2

22

2

2

2

ab

?的值; ba

(3)已知a、b、c满足a?b?c?0,abc?16求正数c的最小值。

8. (2012贵州铜仁12分)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.

(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?

4

(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x>y,张丽同学的用纸总面积为W1,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题: ①W1x、y的式子表示) W2(用x、y的式子表示) ②请你分析谁用的纸面积最大.

(2)如图1所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A.B两镇供气,已知A.B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案:

(1)求这两种货车各用多少辆?

(2)如果安排9辆货车前往甲地,其余货车前往乙地,设前往甲地的大货车为a辆,前往甲、乙两地

的总运费为w元,求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围);

(3)在(2)的条件下,若运往甲地的物资不少于120吨,请你设计出使总运费最少的货车调配方案,

并求出最少总运费。

12. (2012黑龙江绥化10分)在实施“中小学校舍安全工程”之际,某市计划对A、B两类学校的校舍进

方案一:如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.

方案二:如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.

①在方案一中,a1(用含x的式子表示); ②在方案二中,a2(用含x的式子表示);

③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.

11. (2012黑龙江龙东地区10分)国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议,会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地,用大、小两种货车共18辆,恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆,运往甲、乙两地的运费如下表:

行改造,根据预算,改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元,改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元.

(1)改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元?

(2)该市某县A、B两类学校共有8所需要改造.改造资金由国家财政和地方财政共同承担,若国家财政拨付的改造资金不超过770万元,地方财政投入的资金不少于210万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元,请你通过计算求出有几种改造方案,每个方案中A、B两类学校各有几所?

5

13. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分)为了迎接“五·一”小长假的购物高峰,某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装,甲种服装每件进价l80元,售价320元;乙种服装每件进价l50元,售价280元.

(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件,恰好用去32400元,求购进甲、乙两种服装各多少件? (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元, 且不超过26800元,则该专卖店有几种进货方案?

(3)在(2)的条件下,专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动,决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售,乙种服装价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?

14. (2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400 元,销售单价 定为3000 元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这 种新型产品不超过10 件时,每件按3000 元销售;若一次购买该种产品超过10 件时,每多购买一件, 所购买的全部产品的销售单价均降低10 元,但销售单价均不低于2600 元. (1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600 元?

(2)设商家一次购买这种产品x 件,开发公司所获的利润为y 元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并 写出自变量x 的取值范围.

(3)该公司的销售人员发现:当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)

6

15. (2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.

(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;

(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=

,求m的值和此时方程的两根.

16. (2012湖北鄂州10分)某私营服装厂根据2011年市场分析,决定2012年调整服装制作方案,准 备每周(按120工时计算)制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣至少60件。已知每件服装的收 入和所需工时如下表:

设每周制作西服x件,休闲服y件,衬衣z件。

(1) 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。 (2) 求y与x之间的函数关系式。

(3) 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?最高总收入是多少?

17. (2012广东河源9分)(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:x1+x2=-p,x1·x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、B,且过点(―1,―1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值并求出该最小值.

18. (2012黑龙江牡丹江10分)某校为了更好地开展球类运动,体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个,并且篮球的单价比足球的单价多20元,请解答下列问题: (1)求出足球和篮球的单价;

(2)若学校欲用不超过3240元,且不少于3200元再次购进两种球50个,求出有哪几种购买方案? (3)在(2)的条件下,若已知足球的进价为50元,篮球的进价为65元,则在第二次购买方案中,哪种方案商家获利最多?

7

19. (2012辽宁朝阳12分)某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元,在第一个月的试销时间内发现。销量w(kg)随销售单价x(元/ kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示

设该绿茶的月销售利润为y(元)(销售利润=单价×销售量-成本-投资)。 (1)请根据上表,写出w与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);

(2)求y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围),并求出x为何值时,y的值最大? (3)若在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于90元,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700,那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元?

20. (2012广西河池10分)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据 统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆. (1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2012年 底电动自行车将达到多少辆?

(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车 位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.

21. (2012新疆区12分)库尔勒某乡A,B两村盛产香梨,A村有香梨200吨,B村有香梨300吨,现将这些香梨运到C,D两个冷藏仓库.已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨,从A村运往C,D两处的费用分别为每吨40元和45元;从B村运往C,D两处的费用分别为每吨25元和32元.设从A村运往C仓库的香梨为x吨,A,B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元,yB元. (1)请填写下表,并求出yA,yB与x之间的函数关系式;

根据以上提供的信息解答下列问题:

(1)如果月用电量用x(度)来表示,实付金额用y(元)来表示,请你写出这两种情况实付金额y与月用电量x之间的函数关系式;

(2)请你根据表中本月实付金额计算这个家庭本月的实际用电量;

(3)若小芳和小华家一个月的实际用电量分别为80度和150度,则实付金额分别为多少元?

23.(2012贵州铜仁12分)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.

(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?

(2)当x为何值时,A村的运费较少?

(3)请问怎样调运,才能使两村的运费之和最小?求出最小值.

22. (2012青海西宁10分)2012年6月9日召开的青海省居民阶梯电价听证会,征求了消费者、经营 者和有关方面的意见,对青海省居民阶梯电价发、方案的必要性、可行性进行了论证.阶梯电价方案规 定:若每月用电量为130度以下,收费标准为0.38元/度;若每月用电量为131度~230度,收费标准 由两部分组成:①其中130度,按0.38元/度收费,②超出130度的部分按0.42元/度收费.现提供一居 民某月电费发票的部分信息如下表所示:

8

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?

9

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