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初中数学竞赛辅导资料

发布时间:2014-01-15 15:03:48  

初中数学竞赛辅导资料(64)

最大 最小值

甲内容提要

1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),的最大、最小值常用两种方法:

b24ac?b2

①配方法:原函数可化为y=a(x+)+. 4a2a

∵在实数范围内(x+b2)≥0, 2a

4ac?b2b∴若a>0时,当x=- 时, y 最小值=; 4a2a

4ac?b2b若a<0时,当x=- 时, y 最大值=. 4a2a

②判别式法:原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c-y=0. ∵x 在全体实数取值时,

∴ ?≥0

即b2-4a(c-y)≥0, 4ay ≥4ac-b2.

4ac?b24ac?b2

若a>0,y≥,这时取等号,则y 为最小值; 4a4a

4ac?b24ac?b2

若a<0,y≤,这时取等号,则y 为最大值. 4a4a

有时自变量x定在某个区间内取值,求最大、最小值时,要用到临界点,一般用配方法方便.

2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理:

定理一:两个正数的和为定值时,当两数相等时,其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.

例如:两正数x和y, 如果x+y=10, 那么xy的积有最大值,最大值是25. 定理二:两个正数的积为定值时,当两数相等时,其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.

例如:两正数x和y,如果xy=16, 那么 x+y 有最小值,最小值是8. 证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.

设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值).

那么ab=a(k-a)

12k2

=-a+ka=-(a-k)+. 422

k2k当a=时,ab有最大值. 42

证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.

设a>0, b>0, ab=k (k为定值),再设 y=a+b.

那么y=a+k, a2-ya+k=0.(这是关于a的二次议程方程) a

∵ a 为正实数,

∴?≥0. 即(-y)2-4k ≥0, y2-4k≥0.

∴y≤-2k(不合题意舍去); y ≥2k.

∴ y最小值=2k. ?a?b?2k,解方程组? 得a=b=k.

?ab?k.

∴当a=b=k时,a+b 有最小值 2 k.

3. 在几何中,求最大、最小值还有下列定理:

定理三:一条边和它的对角都有定值的三角形,其他两边的和有最大值. 当这两边相

等时,其和的值最大.

定理四:一条边和这边上的高都有定值的三角形,其他两边的和有最小值. 当这两边相等时,其和的值最小.

定理五:周长相等的正多边形,边数较多的面积较大;任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.

乙例题

例1. 已知:3x2+2y2=6x, x和y 都是实数,

求:x2+y2 的最大、最小值.

6x?3x2

解:由已知y=, ∵y是实数, ∴y2≥0. 226x?3x2

即≥0, 6x-3x2 ≥0, x2-2x ≤0. 2

解得 0≤x≤2.

这是在区间内求最大、最小值,一般用配方法,

6x?3x219x+y=x+=-( x-3)2+ 222222 在区间0≤x≤2中,当x=2 时,x2+y2有最大值 4.

∴当x=0时,x2+y2=0是最小值 .

例2. 已知:一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.

求:这个矩形周长、面积的最小值.

解:用构造方程法.

设矩形的长,宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k.

那么2(a+b)=ab=k.

1?a?b?k,? 即 ?2

??ab?k.

∴a和b是方程 x2-1kx+k=0 的两个实数根. 2

∵a, b都是正实数,∴?≥0.

即(-k2)-4k≥0. 2

解得k≥16;或k≤0 . k≤0不合题意舍去.

∴当k≥16取等号时,a+b, ab 的值最小,最小值是16.

即这个矩形周长、面积的最小值是16.

例3. 如图?ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH,问EH取多少长时,

矩形的面积最大? 最大面积是多少?

解:用构造函数法 设EH=x, S矩形=y, 则GH=

∵?AHG∽?ABC, y. xEa

yh?x∴? . ah

ax(h?x)ahah∴ y=. ??(x?)2?hh24

hah ∴当x=时,y 最大值 =. 24

hah即当EH=时,矩形面积的最大值是. 24FC

例4. 如图已知:直线m ∥n,A,B,C都是定点,AB=a, AC=b, 点P在AC上,BP的延长线交直线m于D. n

问:点P在什么位置时,S?PAB+S?PCD最小?

解:设∠BAC=α,PA=x, 则PC=b-x. ∵m∥n,∴CDPC. =ABPA

a(b?x)∴CD= mx

11a(b?x)S?PAB+S?PCD=axSinα+(b-x) Sinα 22x

b2?2bx?x21) =aSinα(x?x2Db21?2b). =aSinα(2x+x2

b2b2

2 ∵2x 3=2b (定值), 根据定理二,2x +有最小值. xx

b21∴ 当2x =, x=2b时, x2

S?PAB+S?PCD的最小值是 (2-1)abSinα.

例5.已知:Rt?ABC中, 内切圆O的半径 r=1.

求:S?ABC的最小值.

解:∵S?ABC=

1ab ∴ab =2S?. 2

22a

∵2r=a+b-c, ∴c=a+b-2r. ∴a+b-2r=a?b . 两边平方,得 a2+b2+4r2+2ab-4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab-4(a+b)r=0.

用r=1, ab=2S? 代入, 得 4+4S?-4(a+b) =0. a+b=S?+1.

∵ab=2S? 且a+b=S?+1.

∴a, b是方程x2-(S?+1)x+2S?=0 的两个根.

∵a,b是正实数,

∴?≥0,

即 [-(S?+1)]2-432S? ≥0, S?2-6S?+1≥0 .

解得 S?≥3+22或S?≤3-22. S?≤3-22不合题意舍去. ∴S?ABC的最小值是3+22.

例6.已知:.如图?ABC中,AB=6?

解:设 a+b=y , 则b=y-a.

根据余弦定理,得 (?2,∠C=30?. 求:a+b 的最大值. 2)2=a2+(y-a)2-2a(y-a)Cos30?

写成关于a 的二次方程: (2+3)a2-(2+3)ya+y2-(8+43)=0.

∵a 是实数,

∴?≥0.

即(2+)2y2-4(2+3)[y2-(8+4)]≥0,

y2-(8+43)2 ≤0 .

∴ -(8+4)≤y ≤(8+4).

∴a+b 的最大值是8+4.

又解:根据定理三 ∵AB和∠C都有定值.

∴当a=b 时,a+b 的值最大.

由余弦定理,(?2)=a+b-2abCos30

222?可求出 a=b=4+2. ??? 丙练习64

1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5,那么. x5的最大值是______.

(1988年全国初中数学联赛题)

2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____,____时,其面积最大,最大面积是______.

3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是________.

4. a, b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是________.

5. 若x>0, 则x+9的最小值是________. x

6.

如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A,B,C,D距离之和为最小值的点,位于

_________,其和的最小值等于定线段___________..

(1987年全国初中数学联赛题)

7. 如右图?ABC中,AB=2,AC=3,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ是

以AB,BC,CA为边的正方形,则阴影部份的面积 的和的最大值是____________.

(1988年全国初中数学联赛题)

8. 下列四个数中最大的是 ( )

(A) tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48. (C) tan48

(1988年全国初中数学联赛题)

9.已知抛物线y=

-x2+2x+8与横轴交于B,C两点,点D平分BC,若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是__________

(1986年全国初中数学联赛题)

10. 如图?ABC中,∠C=Rt∠,CA=CB=1,点P在ABPQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时,S?APQ最大?

11. ?ABC中,AB=AC=a,以BC为边向外作等边

AB三角形BDC,问当∠BAC取什么度数时AD最长?

12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数,求2x+5y2的最大值、最小值.

13. ?ABC中∠B=60,AC=1,求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.

14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.

15. D,E,F分别在?ABC的边BC、AC、AB上,若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA

=k∶(1-k) (0<k<1). 问k取何值时,S?DEF的值最小?

16.?ABC中,BC=2,高AD=1,点P,E,F分别在边BC,AC,AB上,且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时,SPEAF的值最大?

练习64 ??????

1. 5. 2. 5,5 25. 3. 40cm 4. 4 5. 6 6.BC上,BC+AD.

7. 最大值是9,∵S?=133323SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 2

x2?x1, S?=? 2288. (A). 9. 3<AD≤9 10. P在AB中点时,S?最大值=

x与2-x的和有定值, 当x=2-x时,S?值最大.

11. 当∠BAC=120度时,AD最大,在?ABD中,设∠BAD=α由正弦定理

ADa??2a,当150?-α=90?时, AD最大. ?Sin(180?30??)Sin30

12. 当x=229时,有最大值;当x=-1时,有最小值-2 (仿例3). 510

13. 当a=c时,a+c有最大值2,这时是等边三角形.

14. 内切圆半径的最大值r=(2-1)? (仿例6).

111时,S?DEF=S?ABC,16.当PB=1时,S有最大值. 242

116. 当点P是BC中点时,面积最大值是. 215. 当 k=

初中数学竞赛辅导资料(61)

函数的图象

甲内容提要

1. 函数的图象定义:在直角坐标系中,以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵

坐标的点的集合,叫做函数y=f(x)的图象.

例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数,k ≠0)的图象是一条直线l. ① l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标,适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b; ② 若y1=kx1+b,则点p1(x1,y1) 在直线l 上.

2. 方程的图象:我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx-y+b=0, 那么直线l就是以这个方程的解为坐标 的点的集合,我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.

二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数,a≠0,b≠0) 叫做 直线方程

点的集合,那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如:

二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线;

二元分式方程y=k(k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. x

3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如:

① 由图象的最高,最低点可看函数的最大,最小值;

② 由图象的上升,下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小);

③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方,下方或轴上,分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应

的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.

④ 两个函数图象的交点坐标,就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公

共解.等等

4. 画函数图象一般是:

①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义,并使代数式所表示的实际问题有意义,还要注意是否连续,是否有界.

②一般用描点法,但对一次函数(二元一次方程)的图象,因它是直线(包括射线、线段),所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).

③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ,应按定义对自变量分区讨论,写成几个解析式.

乙例题

例1. 右图是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0),

试决定a, b, c 及b2-4ac的符号.

解:∵抛物线开口向下, ∴a<0.

∵对称轴在原点右边,∴x=-b>0且a<0, ∴b>0. 2a

∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上, ∴截距c>0.

∵抛物线与横轴有两个交点, ∴b2-4ac>0.

例2. 已知:抛物线f:y=-(x-2)2+5.

试写出把f向左平行移动2个单位后,所得的曲线f1的方程;以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程. 画出f1和f2的略图,并求:

(1) x的值什么范围,曲线f1和f2都是下降的;

(2) x的值在什么范围,曲线f1和f2围成一个封闭图形;

(3) 求在f1和f2围成封闭图形上,平行于y轴的线段的长度的最大值.

(1980年福建省中招试题)

解:f1 :y=-x2+5 (由顶点横坐标变化确定的),

f2 :y=(x-2)2-5 (由开口方向相反确定的).

(1)当x≥0时,f1下降,

当x≤2时,f2下降,

∴当0≤x≤2时,曲线f1和f2都是下降的.

(2)求两曲线的交点横坐标,

2??y??x?5,即解方程组? 2?y?(x?2)?5.?

x2-2x-3=0 .

∴x=-1;或x=3.

∴当-1≤x ≤3时,曲线f1和f2围成一个封闭图形.

(3)封闭图形上,平行于y轴的线段的长度,

就是对应于同一个横坐标,两曲线上的点

的纵坐标的差.

在区间 –1≤x ≤3内,

设f1 上的点P1(x,y1), f2 上的点P2(x,y2),

求y1-y2的最大值,可用配方法:

y1-y2 = (-x2+5)-[ (x-2)2-5]

=-2x2+4x+6

=-2(x-1)2+8.

∵-2<0, ∴y1-y2有最大值.

当x=1 时,y1-y2的值最大是8.

即线段长度的最大值是8.

例3. 画函数y=x?1?x?2的图象.

解: 自变量x的取值范围是全体实数,下面分区讨论: 当x<-1 时, y=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;

当-1 ≤x<2时, y=x+1-(x-2)=3 ;

当x ≥2时, y=x+1+x-2=2x-1.

??2x?1(x??1);? 即y=x??x?2=?3(?1?x?2);

?2x?1(x?2).?

∴ 画函数y=x?1?x?2的图象如下图:

例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象, [m] 表示不超过m 的最大整数.

(1985年徐州市初中数学竞赛题).

解:∵[x]2≥0, 且 [y]2=1-[x]2≥0,

∴[x]2≤1 .

∴ 0≤[x]2≤1.

∵[m] 表示不超过m 的最大整数,

∴当[x]2=0?[x]=0?0≤x≤1 .

当[x]2=1?[x]=???1(?1?x?0), ?1(1?x?2).

自变量x的取值范围是:-1≤x<2.

如图阴影部分的四个正方形,

就是所求方程的图象.

只包括各正方形左、下边界,

不包括各正方形右、上边界.

例5. 直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限相交点A,SRt?AOB=3. x

① 求m的值 ;

②设直线与x 轴交于点C,求点C的坐标;

③求S?ABC.

解: ①设A坐标为 (x, x+m).

∵ S?AOB=1OB3BA. 2

1?3?x(x?m)??2 ∴? m?x?m??x?

2??x?mx?6?0整理得 ?2 ??x?mx?m

∴m=6

② ∵直线与x 轴交于点C.

把y=0 代入y=x+6 得x=-6,

∴点C的坐标是(-6,0)

③∵直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限相交点A,

x

?y?x?6???x??3?解方程组? 得 6?y????y?3?x?

即点A的坐标是 (-3+,3+).

∴BC=?6??3?=3+

∴S?ABC=

例6. 1(3+)(3+)=12+3. 2选择题(只有一个正大确的答案).

①函数y=kx+k与y=k 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( ) x

② 函数 y=1-x?x 的图象是( )

解:①常数k是同一个值,.双曲线y=2k 在一、三象限,k>0, 那么y=kx+k中, x

当k>0时,直线上升且在y轴上的截距为正. 所以应选 (D);

②注意到y=1-x?x中, 当x=0和x=1时 y有最大值1,故选 (A). 丙练习61

1. 填空:

2

① 横坐标为-2的点的集合,记作直线_____,纵轴记作直线______, 横轴记作直线_____,横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线______, 经过一、三象限,平分两坐标轴夹角的直线记作方程_______.

② 点P(x, y)关于横轴的对称点P1的坐标是( ),点P关于原点的对称 点P2的坐标是( ).

③ f:y=3(x-2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作_______

f关于原点对称的抛物线f2记作_______.

,④ A(1,3)关于直线y=x的对称点A的坐标是( ).

,点B(-2,3)关于直线y=-x的对称点B的坐标是( ).

2. 根据图象位置判断指定的常数的符号

① 直线y=kx+b经过二、一、四象限,则k,b的符号是______

② 抛物线y=ax2+bx+c的位置,如图所示,试确定下列代数式的符号

a__, -b______,b______,c_______, 2a

b2-4ac______,

4ac?b2

______ 4a

?b?b2?4ac_____ 2a

3. 选择题(只有一个正确的答案)

(1)下图(1)是一次函数px+qy+r=0的图象,下列条件正确的是( ).

(A)p=q, r=0 . (B) p=-q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=-q, r=1.

(2)下图(2)是二次函数y=ax2+bx+c的图象,如下答案哪个正确?( )

(A)a+b+c=0. (B)a+b+c<0. (C)a+b+c>0. (D)a+b+c值不定.

(3)二次函数y=a(x+m)2+n中,a>0 , m>0, n>0 它的图象( )

(1)

(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为( )

(D)

(5)在同一坐标系内,y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是( )

(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是( )

(1983年福建省初中数学竞赛题)

4. 画下列函数的图象

x22①y=; ②y=x; ③y=(x)2; ④ y=-x. x

5. 有m部同样的机器,同时开始工作,需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一

任务,求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系,并画出当m=5时函数的图象.

6. 画如下方程、函数的图象. ①x?y?2;②y=x2-2|x|-3.

7. 这是一张追及图看图回答: ① 谁追及谁?

② 谁早出发,早几小时?

③ 甲、乙在这段路程速度各多少?

④ 追的人从出发到追上,用了几小时?走多少路程? ⑤ 分别列出甲、乙两人的路程y甲,y乙和时间x的函数

关系的解析式.

8. 如图,抛物线L1:y=ax2+2bx+c和抛物线L2:y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点,说明理由;

②.求出点B和点C的横坐标;

③.若AB=BC,OC=OD,求a, b, c的值 .

x2x9?? 9. 坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点), 试在二次函数 y=10105

的图象上找出满足y?x的所有整点(x,y), 并说明理由.

(1995年全国初中数学联赛题)

初三下61参考答案

练习61

1. ①x=-2, x=0, y=0, y=-x, y=x; ②(x,y),(-x,-y); ③y=-3(x-2)2-5, y=-3(x+2)2-5 ④(3,1),(-3,2)

2. ①k<0, b>0. ②正,负,正,负,负,正,负.

3. ①(A), ②(B), ③(B), ④(C), ⑤(D), ⑥(C)

4. ①∵x≠0,∴图象不以过原点;② y≥0;③x≥0;④ y≤0.

m2

5. y=(x 是正整数x≤m=5). x

6. (如图)

7. ①乙追及甲; ②甲先1小时; ③时速甲4、乙5千米; ④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y甲=4x, y乙=5x

8. ①∵由图象a,a+1异号,∴L2过A,B,C三点. ②-3,-1. ③-

9. (2,2),(4,3),(7,6),(9,9),(-3,3),(-6,6).

由x2-x+18≤10x.

当x≥0时,x2-x+18≤10x, x2-11x+18≤0, (x-2)(x-9)≤0,

11,0,. 33

2≤x≤9, 这时,有4个整数点:(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x<0时,x2-x+18≤-10x, x2+9x+18≤0, (x+6)(x+3)≤0,

-6≤x≤-3, 这时有两个整数点:(-3,3),(-6,6).

全国初中数学竞赛模拟试题(一)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

1.设a、b、c为实数,abc≠0,且a+b=c,则b+c-a+c+a-b+a+b-c

2bc

2ca

2ab

2

2

2

2

2

2

2

2

2

的值为 (A)-1

( )

(B)1

(C)2

(D)3

( )

z

2.设x,y,z为实数,且有x>y>z,那么下列式子中正确的是 (A)x+y>y+z (B)x-y>y-z (C)xy>yz 3.在?ABC中,BC=3,内切圆半径r=(A)

3

2

32

(D)x>y

z2

,则cotB+cotC的值为 ( )

2

2

-12+12

(B)

2

(C)3

(D)2

3

( )

4.已知a=

,则1+a的值为

1-a

(A)3- (B)+2 (C)2-3 (D)-2-

5.已知M、N为平面上相异的两点,有m条直线过M而不过N(称为M类直线),有n条直线过N而不过M(称为N类直线).若每条M类直线与每条N类直线均相交,又每条直线被其上的交点连同M点或N点分成若干段,则这m+n条直线被分成的总段数是 (A)2mn

(B)(m+1)(n+1) (D)2(m+1)(n+1)

a

b

( )

(C)2(mn+m+n)

6.若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则 (A)9

5

的值是

( )

(B)5

9

(C)-2001

5

(D)-2001

9

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.化简

a+1a+1-a2

a-1-a2+a-1

(0<|a|<1)的结果是____________.

2.梯形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),AD=a,BC=b,E,F分别是AD,BC的中点,且AF交BE于P,CE交DF于Q,则PQ的长为____________. 3.如图,梯形ABCD的对角线交于O,过O作两底的平行线分别交两腰于M、N.若AB=18,CD=6,则MN的长为____________.

4.设m2+m-1=0,则m3+2m2+1999=__________.

C

N

5.已知整数x、y满足15xy=21x+20y-13,则xy=__________.

6.已知x=3?2

3?2,y=?2?2,那么yx+22xy=__________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油,为安全并减少损失,需将油抽干后进行维修.现有同样功率的小型抽油泵若干台,若5台一起抽需10小时抽干,7台一起抽需8小时抽干.需在3小时内将油罐抽干,至少需要多少台抽油泵一起抽?

22.求二次函数y=x+mx+n在-3≤x≤-1的最大值和最小值.

3.从1到n的n个连续自然数之积称为n的阶乘,记为n!(如5!=534333231).问:1999!的尾部有多少个连续的零?说明你的理由.

全国初中数学竞赛模拟试题(二)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.方程x+19+x+95=12的实数解个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.设a=5

1

3

,b=3

14

,c=4

15

,则a,b,c的大小关系是 ( )

(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<b<a (D)b<c<a

2

3.二次函数y=ax+bx+c的图象的一部分如

图.则a的取值范围是 ( ) (A)-1≤a<0 (B)a>-1

(C)-1<a<0 (D)a≤-1

4.在等腰?ABC中,AB=AC,∠A=120o,D点在BC边上,且BD=1,DC=2,则AD的值为 ( ) (A)0.5 (B)1 (C)1.5 (D)2 5.已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,则2+3β2的值为

?

(A)1(403-85

8

( )

)

(B)1(403-85

4

)

( )

(C)95 (D)

6.如果a,b,c是三个任意整数,那么

a+b

,b+c,c+a 222

(A)都不是整数 (B)至少有两个整数

(C)至少有一个整数 (D)都是整数 二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

1.若a、b为整数,且x2-x-1是ax17+bx16+1的因式,则a=__________. 2.我国古算经《九章算术》上有一题:有一座方形的城(见右图),城的各边的正中央有城门,出南门正好20步的地方有一棵树.如果出北门走14步,然后折向东走17753.设?ABC的内切圆⊙O切BC于点D,过D作直径DE,连AE,并延长交BC于点F.若BF+CD=1998,则BF+2CD=__________.

4.如右图,设?ABC为正三角形,边长为1,P,Q,R分别在

步,刚好能望见这棵树,则城的每边的长为____________.

N

Q

AB,BC,AC边上,且AR=BP=CQ=1.连AQ,BR,CP

3

两两相交得到?MNS,则?MNS的面积是____________. 5.如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为

半径的圆弧.则无阴影的两部分面积之差为____________.

6.若x2+xy+y=14,y2+xy+x=28,则x+y

的值为

D

__________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.如图,矩形ABCD中,DE=BG,且∠BEC=90o,SABCD=n(SABCD表示四边形ABCDSEFGH

的面积,下同),BC=λ,已知n为自然数,λ为有理数.求证:λ也为自AB

F G

2.A、B、C三人各有苹果若干,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的苹果数等于B、C原来各有的苹果数;依同法再由B给A,C现有个数,后由C给A、B现有个数.互送后每人恰好各有64个,问原来A、B、C三人各有多少个苹果?

3.设S是由1,2,3,?,50中的若干个数组成的一个数集(数的集合),S中任两数之和不能被7整除.试问S中最多能由1,2,3,?,50中的几个数组成(S中含数的个数的最大值)?证明你的结论.

A E D

全国初中数学竞赛模拟试题(三)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.若

xyyzzx

++=1,则

(z+x)(y+z)(x+y)(z+x)(y+z)(x+y)

x、y、z的取值情况是 ( )

(C)只有一个为零

(A)全为零

2.若x,y,

x(B)只有两个为零 (D)全不为零

-y都是有理数,则x,

y

的值是 ( )

(B)二者均为无理数

( )

(B)能被2整除,但

(A)二者均为有理数 (C)仅有一个为有理数

(D)以上均有可能

3.设n为自然数,则n2+n+2的整除情况是 (A)既不能被2整除,也不能被5整除 不能被5整除

(C)不能被2整除,但能被5整除 (D)既能被2整除,又能被5整除 4.某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用一个半小时;若往返都坐车,全部行程则只需半个小时.如果往返都步行,那么需用的时间是 (A)1小时

(B)2小时

(C)2.5小时

(D)3小时

D

C

( )

5.如图,正方形ABCD及正方形AEFG,连接BE、

CF、DG.则BE∶CF∶DG等于 (A)1∶1∶1 (C)1∶

3∶1

(B)1∶

2

∶1

B

( )

(D)1∶2∶1

6.如果a,b是质数,且a2-13a+m=0,b2-13b+m=0,那么b+a的值为

a

b

(A)123

22

( )

(B)125或2

22

(C)125

22

(D)123或2

22

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.已知实数x满足

x2-x3=x?-x

,则x的取值范围是____________.

2.如果对于一切实数x,有f(x+1)=x2+3x+5,则f(x-1)的解析式是

________________.

3.已知实数x、y满足条件2x2-6x+y2=0,则x2+y2+2x的最大值是

____________. 4.方程

23?3=x-

y的有理数解x=__________,y=__________.

C

5.如图,从直角?ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF.已知CE=sinα,CF=cosα(α为锐角),则AB=__________.

F A

6.用长为1,4,4,5的线段为边作梯形,那么这个梯形的面积等于______________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.如图,D为等边?ABC的BC边上一点,已知BD=1,CD=2,CH⊥AD于点H,连结BH.试证:∠BHD=60o.

2.已知函数y=-1x2+13的自变量在a≤x≤b时,2a≤y≤2b,试求a、b之值. 22

3.一个自然数若能表示成两个自然数的平方差,则称这个自然数为“聪明数”.例如,16=52-32就是一个“聪明数”.试问:

(1)1998是不是“聪明数”?说明理由.

(2)从小到大排列,第1998个“聪明数”是哪一个自然数?

全国初中数学竞赛模拟试题(四)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

1.99个连续自然数之和等于abcd.若a、b、c、d皆为质数,则a+b+c+d的最小值等于 (A)63 三角形的边长为 (A)

2

( )

(B)70

(C)86

(D)97

( )

(B)

62

3

2.设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点,且?APQ是正三角形,那么正

23

(C)

(D)

3.实数a、b、c两两不等,且三点的坐标分别为:A(a+b,c),B(b+c,a),

C(c+a,b),则这三点的位置关系是 (A)组成钝角三角形 (C)组成等边三角形 则

(A)l>R+r

(B)l≤R+r

6

( )

(B)组成直角三角形 (D)三点共线

( )

4.对任意给定的?ABC,设它的周长为l,外接圆半径为R,内切圆的半径为r,

(C)l<R+r<6l (D)以上均不对

( )

5.平面上有P、Q两点,以P为外心、Q为内心的三角形的数量为 (A)只能画出一个

(D)能画无数个

1

2 ? ? 3

4 (B)可以画出2个 (C)最多画出3个

6.如图,若将正方形分成k个全等的矩形,其中上、下各横排两个,中间竖排若干个,则k的值为 (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

1.如图,梯形ABCD中,DC∥AB,DC∶AB=1∶2,MN∥BD且平分AC.若梯形ABCD的面积等于ab,S?AMN=ba,则ab+ba=__________. 2.不等式|x+7|-|x-2|<3的解是____________. 3.若自然数n能使[

( )

A

B

]整除n,则n的所有表达式为_____________.

4.小李用5000元买了一年期的某种债券,到期后从本利和中支取2000元用于购物,把剩下的钱又买了这种一年期债券,若这种债券的利率不变,到期后得本利和为3498元,那么这种债券的年利率是__________.

5.圆内接凸四边形ABCD的边AB∶BC∶CD∶DA=1∶9∶9∶8,AC交BD于P,则

S?PAB∶S?PBC∶S?PCD∶S?PDA=____________.

6.销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就将减少

m

.为了使该商150

品的销售总金额最大,那么m的值应该确定为____________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.如图,∠CAB=∠ABD=90o,AB=AC+BD,AD交BC于P,作⊙P使其与AB相切.试问:以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交?是内切?还是内含?请作出判断并加以证明.

D

2.设α、β是整系数方程x2+ax+b=0的两个实数根,且α2+β2<4,试求整数对(a,b)的所有可能值.

3.a、b、c为互不相等的数,若以下三个等式中有任意两个等式成立,求证:第三个等式也成立.

(b2+bc+c2)x2-bc(b+c)x+b2c2=0;

(c2+ca+a2)x2-ca(c+a)x+c2a2=0;

(a2+ab+b2)x2-ab(a+b)x+a2b2=0.

全国初中数学竞赛模拟试题(五)

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

1.边长都是质数的凸四边形ABCD,且AB∥CD,AB+BC=AD+CD=20,AB>BC,则BC+AD= ( )

(A)6或14 (B)6 (C)14 (D)10

2.直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形,其中一个是等边三角形,如果它的中位线的长为12,那么它的下底的长为 ( )

(A)163 (B)18 (C)203 (D)223

3.在等腰Rt?ABC的斜边AB所在的直线上有点P满足S=AP2+BP2,则 ( )

2(A)对P有无限多个位置,使得S<2CP (B)对P有有限个位

置,使得S<2CP2

(C)当且仅当P为AB的中点,若P与顶点A,B之一重合时,才有S=2CP2

(D)对直线AB上的所有点P,总有S=2CP2

4.若x+4<x+1<x+3,则正整数xx的值是 ( )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

5.若方程3x+by+c=0与cx-2y+12=0的图形重合,设n为满足上述条件的(b,c)的组数,则n等于

(A)0

2

6.如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交

于点D,且PB=4,PD=3,则AD2DC等于

(A)6 (B)7 (C)12 (D)16

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) C ( ) (C)2 (D)有限多个但多于(B)1 ( )

1.若自然数a,x,y满足a-2=x-y,则a的最大值是____________.

2.如右图,已知ABCDEF是正六边形,M,N分别是边CD和DE

的中点,线段AM与BN相交于P,则

2BPPN=____________. 23.关于自变量x的二次函数y=x-4ax+5a-3a的最小值m

是a的函数,且a满足不等式0≤a2-4a-2≤10,则m的

最大值等于________.

4.方程xy+3x+2y=10的正整数解为__________. N

5.甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A同时出发,并按相反方向跑步,甲的速度为每秒5m,乙的速度为每秒7m,到他们第一次在A点处再度相遇时跑步就结束,则从他们开始相遇到结束共相遇了n次,这里n=__________.

6.在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5),Q(2,1)

的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标x=__________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.在锐角三角形ABC中,∠BAC,∠ABC,<ACB的平分线分别与?ABC的外接圆交于D,E,F.连EF,FD,DE分别交AD,BE,CF于A1,B1,C1.求证:?ABC的内心I也是?A1B1C1的内心. E

D

2.设有三个相似三角形,且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部.试证明,两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的2倍.

1

?x2-x-2>0,3.若不等式组?2的整数解只有2x+(5+2k)x+5k<0?x=-2,求实数k的取值范围.

全国初中数学竞赛模拟试题(六)

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

1.某校初三(1)班的同学打算在星期天去登山,他们计划上午8∶30出发,尽可能去登图中最远处的山,到达山顶后开展1个半小

9

千时的文娱活动,于下午3点以前必须回到驻

地.如果去时的平均速度是3.2千米/时,

驻地M 返回时的平均速度是4.5千米/时,则能登

上的最远的那个山顶是 ( )

(A)A (B)B (C)C (D)D

2.方程2x2+7x+21=52x2+7x+15的有所实根之和为 ( )

(A)-11 (B)-7 (C)-11 2(D)-7 2

3.设a>0,则方程a-x2=2-|x|有不等实根,那么a的取值范围是 ( )

(A)a>0 (B)0<a<1 (C)a=1 (D)a≥1

4.三角形ABC的三条边长为连续的自然数,且它的最大角是最小角的两倍,那么它的最大边与最小边的比值是 ( )

(A)2 (B)5 3(C)3 2(D)7 5

5.某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次.如果每小时付给工人计时工资4元,超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元,工人按此钟做完规定的8小时工作,应付工资 ( )

(A)34.4元 (B)34.6元 (C)34.8元 (D)35元

6.若a,b是正数,且满足12345=(111+a)(111-b),则a与b之间的大小关系是 ( )

(A)a>b (B)a=b (C)a<b (D)不能确定

二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

1.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,且x=

bcca+b+c,y=|a||b||c|a(1+1)+b(1+1)+c(1+1),则代数式x19-96xy+y3=__________. aab

2.如图,在长为9,宽为8的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个

圆,在剩下的纸片上如果再剪两个小圆O1,O2,那么这两个

小圆的最大直径d=__________.

3.已知α,β是方程x2+x-1=0的两个实根,则α

-3β=________.

4.如图,四边形ABCD中,E为BC的中点,AE与BD相交

于F,若DF=BF,AF=2EF,则S?ACD∶S?ABC∶S?ABD=

__________.

=__________.

A 4C E B 5.已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A,B,与y轴交于点C,则S?ABC

6.已知实数a,b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是____________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.四边形ABCD中,O是AB的中点,以O为圆心的半圆(其直径小于AB)与边AD,DC,CB分别相切于E,F,G.求证:AB2=4AD2BC.

A

2.设直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边为c,且a,b,c均为自然数,a为质数.证明:2(a+b+1)必是一个完全平方数.

3.19支足球队举行单循环赛,已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛,求证:必可找到四个球队,它们之间任何两队都已赛过.

全国初中数学竞赛模拟试题(七)

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

1.已知a-1=1-b=3,且a+b≠0,则abab3ba3-的值是 ( )

(A)21 (B) (C)33 (D)33

2.在?ABC中,F分AC为1∶2,G是BF的中点,E是AG与BC的交点,那么E分BC所成的比为 ( )

(A)3 (B)2 (C)1 (D)1 85433.如图,?ABC为锐角三角形,BE⊥AC,CF⊥AB,则S?AEF∶S?ABC的值为 ( )

C (A)sinA (B)cosA (C)sin2A (D)cosB A

4.⊙O1和⊙O2的半径分别是R和r,O1O2=d,若关于

x的方程x2-2Rx+r2-2rd

+d2=0有两个相等的实根,那么此两圆 ( )

(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)内切或外切

5.P为?ABC内一点,连结PA,PB,PC,把三角形的面积三等分,则P点是?ABC的 ( )

(A)内心 (B)外心 (C)垂心 (D)重心

6.某商场对顾客实行优惠,规定:

①如一次购物不超过200元,则不予折扣;

②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;

③如一次购物超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元部分则给予八折优惠.

某人两次去购物,分别付款168元与423元.如果他只去一次购买同样的商品,则应付款是 ( )

(A)522.8元 (B)510.4元 (C)560.4元 (D)472.8元

二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

1.已知四个实数的乘积为1,其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000.则此四数的和是__________.

2.某学校新造5个教室后,每个班级的平均人数减少6人,再造5个教室后,每个班级的平均人数又减少4人.在这个变化过程中,学校人数保持不变,这个学校有__________名学生.

3.如果xy=a,xz=b,yz=c,而且它们都不等于0,那么x2+y2+z2=__________.

4.已知二次函数y=2x2-4mx+m2的图像与x轴有两个交点A,

B,顶点为C.若?ABC的面积为42,那么m=__________.

5.如图,圆与正三角形ABC的三边交于六个点,如果AG=2,C GF=13,FC=1,HI=7,则DE=__________. 6.一个正整数,若分别加上100与168,则可得到两个完全平方数.这个正整数为__________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.如图,已知AB,CD是半径为5的⊙O中互相垂直的弦,垂足为P,E为AB的

中点,PD=AB,且OE=3,试求CP+CE的值.

2.试问周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?请说出你的理由.

3.证明:在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除,但任意10个整数未必有此性质.

全国初中数学竞赛模拟试题(八)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.若x=234695

,则25x4-1996x2+144= ( )

(A)0 (B)1 (C)469 (D)1996

2.作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 ( ) (A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)无穷多种 3.已知

a3+b3+c3-3abc

=3,则(a-b)2+(b-c)2+(a-b)(b-c)的值为

a+b+c

( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4.凸五边形ABCDE中,有∠A=∠B=120o,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,则五边形的面积为 ( ) (A)10

(B)7

(C)15

5

.梯形ABCD的对角线相交于O,OA>OC,OB>OD.在AO上取点E,使AE=OC,又在BO上取点F,使BF=OD,则?AFC的面积S1与

A

?BED的面积S2的关系为 (A)S1>S2 (B)S1=S2 (C)S1<S2

2

(D)C 93 D

B

( )

(D)不能确定

-b?2-4acx=

2a

6.①在实数范围内,一元二次方程ax+bx+c=0的根为;

②在?ABC中,若AC2+BC2>AB2,则?ABC是锐角三角形;

③在?ABC和?A1B1C1中,a、b、c分别为?ABC的三边,a1、b1、c1分别为?A1B1C1的三边.若a>a1、b>b1、c>c1,则?ABC的面积S大于?A1B1C1的面积S1.

以上三个命题中,假命题的个数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(本题满分30分,每小题5分)

1.n(n≥3)边形的内角中,锐角最多有__________个.

2.在凸四边形ABCD中,BC=8,CD=1,∠ABC=30o,∠BCD=60o.如果四边形

ABCD的面积是13

2

,那么AB=________.

10?a+b+c=

,则222

a+b=c?

3.正数a,b,c满足?

ab的最大值为__________.

4.正三角形ABC内接于圆O,M,N分别是AB,AC的中点,延长MN交圆O于点

D,连结BD交AC于点P,则PC=__________.

PA

5.有两条公路OM,ON相交成30o角,沿公路OM方向80米

A处有一所小学,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁50

米以内会受到噪音的影响.已知拖拉机的速度为18千米A

/小时,那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响时间为__________秒. 6.已知x,y是正整数,并且xy+x+y=23,x2y+xy2=120,则x2+y2=__________. 三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.梯形ABCD中,AB∥CD,AB=125,CD=DA=80.问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形?若不能,给出证明;若能,求出BC,BD的长. D 80 C

125 A

2.已知关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,证明:当k≠0时,方程x2+px+q+k(2x+p)=0也有两个不等实根,且有一根在x2+px+q=0的两根之间.

3.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,而顶点均为整点的多边形称为整点多边形.求证:整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖5个整点.

全国初中数学竞赛模拟试题(九)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.19961996的十位上的数字是 ( ) (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 2.如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么 ( ) (A)F是四边形 (B)F是五边形 (C)F是四边形或五边形 (D)F是边相等或内角相等的多边形

3.已知a,b,c为不全相等的实数,那么关于x的方程x2+(a+b+c)x+(a2

+b2+c2)=0 ( ) (A)有两个负根 (B)有两个正根 (C)有两个同号实根 (D)无实根 4.使得正n边形的每个内角都是整数度数的n的个数是 ( ) (A)16 (B)18 (C)20 (D)22

5.在{1,2,?,100}这100个整数中,任取k个数,使得在这k个数中,总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和.那么,满足条件的最小的k的取值是 ( ) (A)21 (B)24 (C)27 (D)30

6.如图,在?ABC中,D是边AC上一点.下面四种

情况中,?ABD∽?ACB不一定成立的情况是 ( )

(A)AD2BC=AB2BD (B)AB2=AD2AC (C)∠ABD=∠ACB BC=AC2BD

B

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.若360=3,

360=5,则723(1-y)=__________. 2.如图所示,□ABCD,A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥BC,C1D1

∥C

2D2∥AB,把□ABCD共划分成15个小平行四边形,若四边形C2A4D1B1面积为S1,S□MNPQ=S0,则S□ABCD=__________. 3.若x=1-

2

x

y

1-2x-y

C

A A1 A2 A3 A4

14x

,1-2x+22x2-23x3+24x4-?-21995x1995的值为____________.

4.在Rt?ABC中,∠B=90o,AB=4,BC=2,D为Rt?ABC内任意一点,过D分别作三角形三边的平行线EF、MN、PT,设S为?DEP、?DMF和?DNT的面积之和,则S的最小值是__________.

5.如图,B是半径为3的⊙O的直径AC上的一点,BC=2,以AB,BC为直径作⊙O1,⊙O2,⊙P分别与⊙O1,⊙O2,⊙O相切,则⊙P的半径r的长为__________. 6.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P.则点P

A

1 2 到两圆外公切线的距离为__________. 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1.如图,O是?ABC内任意一点,直线AO,BO,CO分别与三边相交于P,Q,R.若a>b>c,求证:OP+OQ+OR<a.

Q

2.设方程x2+ax+1=b的两个根均是自然数,证明:a2+b2是合数.

3.在一个838

即棋子AB,跳入3B.所有棋子只有这一种走法,但可以向上,向左,向右跳动棋子.按以下要求设计一种初始状态:

(1)走棋之前,前4行无棋子;

(2)经过一系列走步后,只有第一行剩一枚棋子;

(3)初始状态所用的棋子数最少.

请画出初始状态所用的棋子分布图,并做简要的走步说明.

全国初中数学竞赛模拟试题(十)

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(本题满分30分,每小题5分)

1.在?ABC中,∠C=90o,∠A的平分线交BC于D,则AB-AC等于

CD

( )

(A)sinA 的关系是 (A)?<Q (A)4

(B)cosA (C)tanA (D)cotA

( )

2.若x0是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则?=b2-4ac与Q=(2ax0+b)2

(B)?=Q (B)2000

2

(C)?>Q (C)2

2000

(D)不确定

( )

(D)4

2000

3.若x-y=2,x2+y2=4,则x2000+y2000的值是

4.若⊙O内切于?ABC的三边,切点为X,Y,Z,则?XYZ满足 (A)每个角都等于60o (C)与?ABC相似 中另两个角和的一半

(B)有一个角是钝角

( )

(D)每个角等于?ABC

5.将从19到96的两位数依次写下组成一个自然数N,N=19202122?949596.如果N的质因数分解式中3的最高次幂是3k,那么k= (A)0

(B)1

(C)2

(D)3

( )

6.已知在?ABC中,∠ACB=90o,∠ABC=15o,BC=1,则AC的长为 ( ) (A)2+

3

(B)- (C)0.3 (D)3-2

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1.

?1997?1999?2001+16

=__________.

2.正?ABC的边长为1,P是AB边上的一点,PQ⊥BC,QR⊥AC,RS⊥AB(Q、R、

S为垂足),若SP=1,则AP=__________.

4

3.如图,四边形ABCD中,AB=BC=1,∠ABC=∠ADC=120o,则BD=__________. 4.设t是与

1

3

D

C

2-1

+2

最接近的整数,则

3-2t

等于

__________.

5.在?ABC中,AB=BC,∠ABC=20o,在AB边上取一点M,使得BM=AC,则∠

AMC的度数等于__________.

6.已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=150o,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为__________. 三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

1.已知正整数p,q都是质数,并且7p+q与pq+11也都是质数,计算(p2+qp)(q2+pq)之值.

2.如图,设H是等腰?ABC之垂心,在底边BC保持不变的情况下让点A到底边BC的距离变小,这里乘积S?ABC2S?BHC的值怎样变化(变大?变小?不变?),试说明理由.

H

B C

3.将平面上每一点都以红蓝两色之一着色.证明:存在着斜边长为2000、一个锐角为30o的直角三角形,三个顶点同色.

2007年浙江省初中数学竞赛初赛试题

(2007年3月11日9:00-11:00)

一、 选择题(共8小题,每小题5分,满分40分。以下每小题均给出了代号为A、B、C、 C的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里,不

填、多填或错填均得零分)

1.函数y=?

A B C D

2.老王家到单位的路程是3500米,老王每天早上7:30离家步行去上班,在8:10(含8:

10)到8:20(含8:20)之间到达单位。如果设老王步行的速度为x米/分,则老王步行的速度范围是( )

A.70≤x≤87.5 B.70≤x或x≥87.5 C.x≤70 D.x≥87.5

3.如图,AB是半圆的直径,弦AD,BC相交于P,已知∠DPB=60°,D是弧BC的中点,则tan∠ADC等于( ) 1图象的大致形状是( ) xyyyy_

O1A. B.2 C

D

. 32

2_ B4.抛物线y?x?x?p?p?0?的图象与x轴一个交点的横坐标是P,那么该抛物线的顶

点坐标是( )

A.(0,-2) B.??19??19??19?,?? C.??,? D.??,?? ?24??24??24?

5.如图,?ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD是角平分线,则?DBC的面积与?ABC的面积的比值是( )

A

A B

C

D

D

BC6.直线l:y?pxp是不等于0的整数与直线y=x+10的交点

恰好是(横坐标和纵坐标都是整数),那么满足条件的直线l有( )

A.6条 B.7条 C.8条 D.无数条

7.把三个连续的正整数a,b,c按任意次序(次序不同视为不同组)填入?x??x???0 的2??

3

3

2

151

三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至少有一个整数根的a,b,c( )

A.不存在 B.有一组 C.有两组 D.多于两组

8.六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数主该点的纵坐标。按照这样的规定,每掷一次该小立方体,就得到平面内的一个点的坐标。已知小明前再次搠得的两个点能确定一条直线l,且这条直线l经过点P(4,7),那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是( ) A.

2111

B. C. D. 3236

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分) 9.若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是 。

10.按如图所示,把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分,则中间小正方形(阴影部分)的周长为 。 11.在锐角三角形ABC中,∠A=50°,AB>BC,则∠B的取值范围是 。

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12.设正?ABC的边长为a,将?ABC绕它的中心(正三三角形外接圆的圆心)旋转60°得到对应的?A′B′C′,则A,B′两点间的距离等于 。 13.如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD,已知AD=3,AO=8,OC=5,若点P在梯形内且S?PAD?S?POC,S?PAO?S?PCD,那么点P的坐标是 。

14.已知A、B、C、D四人的体重均为整数千克,其中A最轻,其次是B,C,D,以他们中的每两人为一组称得的体重如下(单位:千克): 45, 49, 54, 60, 64 则D的体重为 千克。

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分) 15.已知b?a?

yA8

5

O

C

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3

D

11b

,2a2?a?,求?a的值。 84a

16.现在a根长度相同的火柴棒,按如图1摆放时可摆成m个正方形,按如图2摆放时可摆成2n个正方形。

......

图 1............

......

图 3......图 2

?用含n的代数式表示m;

?当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时,求a的最小值。

17.如图,已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E,与AC边相交于点F和G,求∠DEF的度数。

18.已知抛物线l1:y?ax?2amx?am?2m?1?a?0,m?0?的顶点为A,抛物线l2的22顶点B在y轴上,且抛物线l1和l2关于P(1,3)成中心对称。 ?当a=1时,求l2的解析式和m的值; ?设l2与x轴正半轴的交点是C,当?ABC为等腰三角形时,求a的值。

1999年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 47

2000年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 50

2001年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 53

2002年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 55

2003年山东数学竞赛试题 ................................................................................................. 58

2004年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 61

1999年山东省初中数学竞赛试题

一、选择题(每小题6分,共48分.下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内.)

1.已知命题“有一组对边平行,而另一组对边相等的四边形是平行四边形”,则( ).

(A)这个命题和它的否命题都是真命题

(B)这个命题和它的否命题都是假命题

(C)这个命题是真命题,而它的否命题是假命题

(D)这个命题是假命题,而它的否命题是真命题

2.一项工程,甲建筑队单独承包需要a天完成,乙建筑队单独承包需要b天完成.现两队联合承包,那么完成这项工程需要( ). (A)111ab1 天 (B) (?)天 (c) 天 (D) 天 a?baba?bab

3.如图,∠CGE=α,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=( ).

(A)360°-α (B)270°-α (C)180°+α (D)2α

4.如果|x|+||x|-1|=l,那么( ).

(A)(x+1)(x-1)>0 (B)(x+1)(x-1)<0

(C)(x+1)(x-1)≥0 (D)(x+1)(x-1)≤0

5.与1

-122最接近的整数是( ).

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

6.已知a、b、c、d都是正实数,且acbd与0的大小关系是( ). ? ,且A=-bda?bc?d

(A)A>0 (B)A≥0 (C)A<O (D)A≤0

7.若方程x-p=x有两个不相等的实数根,则实数P的取值范围是( ).

(A)p≤0 (B)p<111 (C)O≤P< (D)P≥ 444

8.如图,S?AFG=5a,S?ACG=4a,S?BFG=7a,则S?AEG=( ). (A)27282930a (B) a (c) a (D) a 11111111

二、填空题(每小题8分,共32分)

1.已知,|x+y-5|+2x?y-4=0,则yx=

2.已知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,则a(111111?)+ b(?)+c(?)bccaab的值为 2

3.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,AB=AD,若这个四边形的面积

为12,则BC+CD=

4.如图,在矩形ABCD的边AB上有一点E,且AE3?,DA边上有一EB2

点F,且EF=18,将矩形沿EF对折,A落在边BC上的点G,则AB=

三、(本题满分20分)

如图,AD是Rt? ABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延

长交AC于E.已知AC:AB=k,求AE:EC.

四、(本题满分20分)

22 已知方程x+a1x+a2a3=0与方程x+a2x+ala3=0有且只有一个

公共根.求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程

2x+a3x+a1a2=0的根.

五、(本题满分30分)

现有质量分别为9克和13克的砝码若干只,在天平上要称出质量为3克的物体,问至少要用多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论.

1 999年山东省初中数学竞赛试题参考答案、

一、1.D.2.C. 3.D.4.D.5.B.6.A.7 .C 8.D.

二、1.x=-1y=6.yx=1/6

2.a+b+c=0, b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c.

原式=-3

3.解法l:延长CB到E,使BE=DC,连结AE,

AC

2000年山东省初中数学竞赛试题

1 |-1=0,则m的值是 ( ) 2

2222A.10或 B.10或- c.-10或 D.-10或? 5555 1.已知关于x的方程mx+2=2(m—x)的解满足|x-

2.设直角三角形的三边长分别为a、b、c,若c-b=b-a>O,则 ( )

A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5

3.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )

A.2x% B. 1+2x% C(1+x%)x% D.(2+x%)x%

4.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另—个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是 ( )

A .a>b b.a<b C. a=b D.与a和b的大小无关

5.若D是?ABC的边AB上的一点,么ADC=么BCA,AC=6,DB=5,?ABC的面积是S,则?BCD的面积是 ( ) A.3546S B. S C.S D.S 59711

6.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注

的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是( )

A.50 B.62 C.65 D.68

7.如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋

转停止时,每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字,若左

图轮子上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数

字为b,数对(a,b)所有可能的个数为n,其中a+b恰为偶数的不同

数对的参数为m,则m/n等于 ( )

A.1153 B. C. D. 26124

8.如图,甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点,A、C同时沿正方形

的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙的

速度是甲的速度的4倍,则它们第2000次相遇在边 ( )

A.AB上 B.BC上 C.CD上D.DA上

a4xb与和等于2,则a= ,b= x?2x?2x?4

110.如图,AD是?ABC的中线,E是AD上的一点,且AE=AD,CE交AB39.已知

于点F.若AF=1.2cm,则AB= cm

11.在梯形ABCD中,AB∥CD,AC.BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为13,?AOB的面积为S1,?COD的面积为S2,则S1?S22

12.已知矩形A的边长分别为a和b,如果总有另一矩形B,使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k,则k的最小值为 .

13.如图,AB∥EF∥CD,已知 AC+BD=240,BC=100,EC+ED=192,求CF.

14.已知x、y均为实数,且满足xy+x+y=17,xy+xy=66,求x+xy+xy+xy+y的值.

15.将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上,并且以S1,S2,?,S8分别表示(A,B,C),(B,C,D),?,(H,A,B)8组相邻的三个顶点上的数字之和.

(1)试给出一个填法,使得S1,S2,?,S8都大于或等于12;

(2)请证明任何填法均不可能使得S1,S2,?,S8都大于或等于13.

22432234

2000年山东省初中数学竞赛答案

1.A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A 7.C 8.A9.2;2 10.6 11.30 12.4ab

(a?

b)2

15.(1)不难验证,如图所示填法满足.s1,s2,?s8都大于或等于12.

(2)显然,每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中,所以有s1+S2+?+S8= (1+2+3+?+8)23=108.如果每组三数之和都大于或等于13,因1328=104,所以至多有108-104=4个组的三数之和大于13.由此我们可得如下结论:

(1)相邻两组三数之和一定不相等.设前一组为(i,j,k),后

一组为(j,k,l).若有i+j+k=j+k+l,则l=i,这不符合填写

要求;(2)每组三数之和都小于或等于14.因若有一组三数之

和大于或等于15,则至多还有另外两个组,其三数之和大于13,

余下5个组三数之和等于13,必有相邻的两组相等,这和上述

结论(1)不符.因此,相邻两组三数之和必然为13或14.不妨假定1填在B点上,A

点所填

为i,C点所填为j.(1)若S1=i+1+J=13,则.s2=1+j+l=14,S3=j+l+k=13,因J>1,这是不可能的.(2)若sl=i+1+j=14,则S2=1+j+(i-1)=13,S=j+(i-1)+2:14,s4=(i-1)+2+(j-1)=13,这时S5=14,只能是S=2+(j-1)+i,i重复出现:所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法.

2001年山东省初中数学竞赛试题

一、选择题(每小题6分,共48分)

下面各题给出的选项中,只有一项是正确的

1.某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么,调价后每件衬衣的零售价是 ( )

A.m(1+a%)(1—b%)元 B.m2a%(1—b%)元

C.m(1+a%)b%元 D.m(1+a%2b%)元

2.如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以

AP和PB为边作等边?APC和等边?BPD.则CD长度的最小值是 ( )

A.4 B.5 C 6 D.5(5 —1)

3.在凸n边形中,小于108°的角最多可以有( )

A.3个 B 4个 C.5个D.6个

2x+34.方程(x+x-1)=1的所有整数解的个数是 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

5.如图,在?ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB为边,在?ABC外作正

方形ACEF和正方形AGHB.作CK⊥AB,分别交AB和GH于D和K.则正方形

ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是 ( )

A S1=S2 B S1>S2 C. Sl<S2 D.不能确定,与AC/AB的大小有关

6.甲、乙两人同时从同一地点出发,相背而行,1小时后他们分别到达各

自的终点A与B.若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B.那么,甲的速度与乙的速度之比为 ( )

A 3:5 B. 4:3 C. 4:5 D.3:4

7.在全体实数中引进一种新的运算*,其规定如下:

(1)对任意实数a、b,有a*b=(a+1)2(b-1);

*2 (2)对任意实数a,有a==a*a

*2 当x=2时,[3*(x)]-2*x+1的值为( )

A 34 B. 16 C. 12 D.6

8.若不等式|x+l|+|x-3|≤a有解,则n的取值范围是 ( )

A 0<a≤4 B a≥4 C O<a≤2 D.a≥2

二、填空题(每小题8分,共32分)

9.如图,□ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E,连结

OE交BC于点F.若AB=a,AD=c,BE=b,则BF= .

10.若S=,则S的整数部分是

11.若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a、b,则d与a?b

2

的大小关系是 .

12.如图,O为某公园大门,园内共有9处景点A1、A2、??An.景

点间的道路如图所示,游客只能按图上所示的箭头方向从一个景点

到达另一个景点.游客进入公园大门之后,可按上述行进要求游览

其中部分或全部景点.一旦返回大门O处,游览即告结束(每个景点

只能游览一次).那么,游客所能选择的不同的游览路线共有 条.

三、解答题(每小题20分,共60分)

213.关于x的方程kx-(k-1)x+l=0有有理根,求整数k的值.

14.如图,在□ABCD中,P1、P2、?、Pn-1是BD的n等分点,连结AP2并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交.CD于点F.

(1)求证:EF∥BD;

(2)设□ABCD的面积是S.若S?AEF=3s/8,求n的值.

15.有12位同学围成一圈,其中有些同学手中持有鲜花,鲜花总数为13束,他们进行分花游戏,每次分花按如下规则进行:其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学,每人一束.试证:在持续进行这种分花游戏的过程中,一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况.

2001年山东省初中数学竞赛

一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 8.

B

15.不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位.我们以A、A2、A、?、A2按逆时针方向依次分别标记这12位同学.

(1)在分花游戏过程中,任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花,那么,在此后的每次分花之后,他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花.事实上,每次分花,如果分花的同学不是这两位同学中的一位,那么,他们俩手中的鲜花只会增加,不会减少.如果他们俩中的一位是分花者,那么,分花后另一位同学一定持有鲜花. (2)任何一位同学不可能手中始终无花,可用反证法证明这一点.不妨假设A1手中始终无花,这意味着A2始终没作为分花者,A2手中鲜花只能增加,不会减少.因总共只有13束鲜花,所以经过有限次分花之后, A2不再接受鲜花.这又意味着经过有限次分花之后,A3不再为分花者.同理可知,再经过有限次分花后,A4不再为分花者.依此类推,经有限次分花之后,全部12位同学无一人为分花者,活动终止.这就与13束鲜花分置于12位同学手中,无论何种情况总能找到与可能分花的同学的事实相矛盾. 由(1)、(2)可知,经若干次分花之后,可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花,因此至少有6位同学手中有花.若仅有6位同学手中有花,则手中有花的同学不可能相邻,否则就会有两位手中无花的同学相邻.因此,只要再进行一次分花,至少增加一位手中持花的同学,即至少有7位同学手中持有鲜花.

2002年山东省初中数学竞赛试题

一、选择题

1.磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具.它有速度快、爬坡能力强、能耗

低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) 371021 (B) (C) (D) 732110

acac 2.已知a,b,c,d都是正实数,且?2给出下列四个不等式:①②?bda?bc?d

acbdbd ;③④其怔确的是( ) ???a?bc?da?bc?da?bc?d (A)

(A)①③(B)①④(C)②④(D)②③

3.如图,在等腰Rt?ABC中,∠C=90°,∠CBD=30°, 则AD:

DC=( ) (A)2 (B) (C)2 -l (D) -l 32

4.世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分, 败队得0分,平局时两队各得1分.小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.一个队要保证出线,这个队至少要积( )

(A)5分 (B)6分 (C)7分 (D)8分

5.如图,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB

=7,则BC+CD等于( ) (A)6 (B)5 (C)43 (D)33

6.如图,在梯形ABCD中,AD∠∠BC,AD=3,BC=9,AB=6,

CD=4.若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的

长为( ) (A)45153339 (B) (C) (D) 7255

7.如图,在Rt?ABC中,∠ACB=90°,AC=b,AB=c,

若D、E分别是AB和AB延长线上的两点,BD=BC,CE⊥CD,

则以AD和AE的长为根的一元二次方程是( )

22222 (A)x-2cx+b=0 (B)x-cx+b=0 (C)x-2cx+b

2=0 (D)x一cx+b=0

8.已知实数a,b,c满足a<a<c,ab+bc+ca=0,abc=1,则( )

(A)|a+b|>|c|, (B)|a+b|<|c|, (C)|a+b|=|c| (D)|a+b|与|c|的大小关系不能确定

二、填空题

9.M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数N.若M-N恰是某正整数的立方,则这样的M共有 个.

2 10.设x1,x2是方程x-2(k+1)x+k2+2=0的两个实数根,且(x1+1)(x2+1)=8,则k的

值是 .

2 11.已知实数x,y,z满足x+y=5及z=xy+y一9,则x+2y+3z=

12.如图5,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,

则PD=

三、解答题

13.如图,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求: (1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?

14.如图,?ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,O是?ABC内一点,点O到?ABC各边的距离都等于l,将?ABC绕点O顺时针旋转45°得?A1B1C1,两三角形公共部分为多边形KLMNPQ. (1)证明:?AKL,?BMN,?CPQ都是等腰直角三角形;

(2)求?ABC与?A1B1C1公共部分的面积.

15.某乡镇小学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7

时到达学校,接参观的师生立即出发去县城.由于汽车在赴校的途中发生了故障,不得不停车修理.学校师生等到7时10分,仍未见汽车来接,就步行走向县城.在行进途中遇到了已经修理好的汽车,立即上车赶赴县城,结果比原定到达县城的时间晚了半小时.如果汽车的速度是步行速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间.

参考答案

题号 答案

1 C

2 D

3 D

4 B

5 B

6 C

7 A

8 A

9 6

10 l

11 8

12 3

2

13.(1)设冬天太阳最低时,甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度.

设CE⊥AB于点E,那么在?AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20米, 所以 AE=ECtan∠ACE=20tan30°≈11.6(米). CD=EB=AB-AE=4.4(米).

(2)设点A的影子落到地面上某一点C,则在?ABC中,∠ACB=30°,AB=16米,所以 BC=ABcot∠ACB=16cot30°≈27.7(米),

所以,要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米.

14.(1)连结OC,DC1,分别交PQ,NP于点D,E,根据题意得∠COC1=45°. 因为点O到AC和BC的距离都等于1-,所以OC是∠ACB的平分线. 因为 ∠ACB=90°,所以 ∠OCE=∠OCQ=45°.

同理 ∠OClD=∠OC1N=45°,所以 ∠OEC=∠ODCl=90°, ∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°,所以 ?CPQ和?C1NP都是等腰直角三角形,所以∠BNM=∠C1NP=∠A1QK=∠CQP=45°.

因为 ∠B=∠A1=45°,所以 ?BMN和?A1KQ都是等腰直角三角形,

∠BlML=∠BMN=∠AKL=∠A1KQ=90°,所以 ∠B1=∠A=45°, 所以 ?B1Aml和?AKL也都是等腰直角三角形. (2)在Rt?ODCl和Rt?OEC中,

因为OD=OE=1,∠COC1=45°,所以 OC=CC1=2 ,CD=C1E=2-1, 所以 PQ=NP=2(2-1)=22-2, CQ=CP-C1P=C1N=2(2-1)=2一2,

所以 S?CPQ=12 3(2-2)=3-22延长CO交AB于H. 2

因为①平分∠ACB,且AC=BC,所以CH⊥AB,所以 CH=CO+OH=2+1,

所以AC=BC=AlCl=B1C1=2(2+1)=2+2,所以 S=13(2+2)2=3+22 2

22=2, 因为AlQ=BN=(2+2)-(22-2)-(2一2)=2,所以KQ=MN=

12 3(2)=1.因为 AK=(2+)-(2-2)-=2. 2

12所以 S?AKL= 32)=1, 2所以 S?BMN=

所以S多边形KLMNPO-S?ABC+S?CPQ-S?BMN-S?AKL=(3+22)-(3-22)-1-1=42-2.

15.假定排除故障花时x分钟.如图9,设点A为县城所在地,点C为学校所在地,点B为师生途中与汽车相遇之处.在师生们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从C到B由步行代替乘车而耽误的.

汽车所晚的30分钟,一方面是由于排除故障耽误了x分钟,但另一方面由于少跑了B到C之间的一个来回而省下了一些时间.已知汽车速度是步行速度的6倍,而步行比汽车从C到B这段距离要多花20分钟.由此知汽车由C到B应花20=4(分钟) 5-1

一个来回省下8分钟,所以有x一8=30,x=38,即 汽车在途中排除故障花了38分钟.

2003年山东数学竞赛试题

一、选择题(本题共8小题.每小题6分,满分48分):下面各题给出的选项中,只有一项是正确的.请将正确选项的代号填在题后的括号内.

1.如果a,b,c是非零实数,且a+b+c=O,那么abcabc的所有可能的值为???|a||b||c||abc|

( ).

A.0 B.1或-1 C.2或-2 D.0或-2

2.如果自然数a是一个完全平方数,那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是

( ).

A.a+l B.a+l C.a+2 a+1 D.a+22+l 22

3.甲、乙、丙三人比赛象棋,每局比赛后,若是和棋,则这两人继续比赛,直到分出胜负,负者退下,由另一人与胜者比赛.比赛若干局后,甲胜4局、负2局;乙胜3局、负3局.如果丙负3局,那么丙胜( ).

A.O局 B.1局 C.2局 D.3局

?2x?3?x?5??34.关于x的不等式组?只有5个整数解.则a的取值范围是( ).

?x?3?x?a??2

A.-6<a<-11111111 B.-6≤a<- c.-6<a≤- D.-6≤a≤- 2222

5.如图,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=l,则这个正方形的面积 为

( ).

A.7?33?5?12 B. C. D.(1+2 ) 222

6.某种产品按质量分为l 0个档次.生产最低档次产品,每件获利润8元.每提高一个档次,每件产品利润增加2元.用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果获利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随 质量增加),那么k等于( ).

A.5 B.7 C.9 D.10

7.如图,在Rt ?ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠C的平分线与∠B的

外角的平分线交于E点,连结AE,则∠AEB是( ).

A.50° B.45° C.40° D.35°

8.已知四边形ABCD,从下列条件中:

(1)AB∥CD; (2)BC∥AD; (3)AB=CD; (4)BC=AD;(5)∠A=∠C;

(6)∠B=∠D.

任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有( ).

A.4种 B.9种 C.1 3种 D.1 5种

二、填空题(本题共4小题,每小题8分,满分32分):将答案直接填写在对应题目的横线上.

9.已知-l<a<0,化简

11(a?)2?4?(a?)2?4得 aa

10.如图,已知AD=DB=BC.如果∠C=α,那么∠ABC=

11.甲、乙两厂生产同一种产品,都计划把全年的产品销往济南,这样两厂的产品就能占 有311.然而实际情况并不理想.甲厂仅有的产品、乙厂仅有 的产品423

1销到了济南,两厂的产品仅占了济南市场同类产品的 .则甲厂该产品的年产量与乙厂该3济南市场同类产品的

产品的年产量的比为

12.假期学校组织360名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择:甲种客车每辆车有40个座位,租金400元;乙种客车每辆有50个座位,租金480元.则租用该公司客车最少需要租金 .

三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分):

13.如图,在Rt?ABC中,∠ACB=90°CD是角平分线,DE∥BC交A C于点E,DF∥AC交BC于点F.

求证:(1)四边形CEDF是正方形;

2(2)CD=2AE2BF.

22214.设方程2002x-200322001 x-l=0的较大根是r,方程2001 x-2002 x+1=0的较小根是

s,求r-s的值.

15.在1 8318的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数.求证:无论哪种填法,至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格),每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于1 0.

2003年山东省‘KLT快灵通杯’初中数学竞赛

一、选择题

1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B

二、填空题

9.一

23 10.180°一a 11.2:l 12.3520

a2

(1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时,从 a所在的方格出发,可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格.如图(1)所示.由于a和b既不同行又不同列,总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同),由a所在的方格到达b所在的方

格.显然,无论是线路甲,还是线路乙,其相邻移动的次数均不超过17+17=34次.若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9,则323≤b-a≤3439=306.这与事实不符.路线乙的情况完全相同,所以,在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格,其中所填之数的差均不小于10.(2)当a和b所在的方格同行或同列时.与情况1类似,如图(2)所示,同样可以找到两条完全不同的,移动次数不大于34次的路线甲和路线乙,其中各存在一对相邻小方格,其中所填之数的差均不小于10.

2004年山东省初中数学竞赛试题

一、选择题(836=48分)

?2004?y?n1.已知n是奇数,m是偶数,方程组?有整数解xo,yo,则( ) 11x?28y?m?

A、xo,yo均为偶数 B、xo,yo均为奇数 C、xo,是偶数,xo,是奇数 D、xo,是奇数,xo,是偶数

a51?a3?2.若ab≠0,则??成立的条件是( ) bab

A、a>0,b>0 B、a<0,b>0 C、a>0,b<0 D、a<0,b<0

3.设a,b,c,d都是非零实数,则四个数:-ab,ac,bd,cd( )

A、都是正数 B、都是负数 C、是两正两负 D、是一正三负或一负三正

4.如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,A DE⊥AM,E为垂足,则DE=( )

A、D 2ab

4a?b

2ab

a?4b2222 B、ab4a?baba?4b2222 C C、 D、

5.某商店出售某种商品每件可获利m元,利润率为20%。若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元,则提价后的利润为( )

A、25% B、20% C、16% D、12.5%

6.在?ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°。如图,将1A ?ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到?A′B′CB的位置,其中A′,B′分别是A,B的对应点,B在A′B′上,CA′交AB于D,则∠BDC的度数为

( ) A A、40° B、45° C、50°、60°

227.若x0 是一元二次方程 ax≠0)的两个根,则判别式?=b-4ac与平方式

2M=(2ax0+b)的大小关系是( )

A、?>M B、?=M C、?<M D

B C

8.在?ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若∠B=60°,则ca的值为( ) ?c?bc?b

A、21 B、 C、1 D、2 22

二、填空题(4*8=32分)

9.若x1,x2都满足条件|2x-1|+|2x+3|=4,且 x1<x2,则x1-x2的取值范围为__________

2210.已知a,b是方程x-4x+m=0的两个根,b,c是方程x-8x+5m=0的两个根,则m=___________

11.在?ABC中,D,E分别在边AB和AC上,A

N 且DE∥BC。过点A作平行于BC直线分别交

CD和BE的延长线于点M,N。若DE=2,BC=6,

E 则MN=__________

B C 12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,将

D 矩形ABCD沿对角线AC对折,然后放在桌面上,折叠所

成的图形覆盖桌面的面积是___________________

三、解答题(3*20=60分) C E 13.甲,乙两汽车零售商(以下分别简称甲,乙)向某品牌汽车

生产厂订购一批汽车,甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍。后来由于某种原因,甲从其所订的汽车中转让给

乙6辆。在提车时,生产厂所提供的汽车比甲,乙所订购的总数少了6辆,最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍。试问,甲,乙最后所购得的汽车总数至多是多少辆?又至少是多少辆

14.如图,已知三个边长相等的正方形相邻并排,求∠EBF+∠EBG。

A F

B C D E

15.从1,2,3,2222222004中任选K个数,使所选的K个数中,一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的K的最小值是多少?

答案

一、选择题

1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. D 7. B 8. C

二、9. _-2≦x-x<0___

10. __0或3__________

11. 6_____ 2006年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初 赛 试 卷

(本试卷共6页,满分120分,考试时间:3月19日8:30——10:30)

一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)

在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内

2005

+(-2)

2006

1. 计算(-2)所得结果是

2005

A. 2 B. –2 C. 1 D. 2

2.已知a、b为实数,且ab?1,设M?a?b,N?1?1,则M、N的大小

a?1b?1a?1b?1关系是

A.M>N B.M=N C.

M<N D. 不确定

3. 设“●,?,■”分别表示三种不同的物体,如下图所示,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也平衡,那么“?”处应放“■”的个数为

?

(3)

(1) (2)

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降低10%,乙超市一次性降低20%,在哪家超市购买此种商品更合算

A.甲 B.乙 C.同样 D.与商品价格相关

5.根据下列表格的对应值,判断方程ax2?bx?c?0(a≠0, a,b,c为常数)一个解x的范围是

A. 3<x<3.23 B. 3.23<x<3.24 C. 3.24<x<3.25 D. 3.25<x<3.26

6.在平面直角坐标系中,已知A(2,-2), 点P是y轴上一点,则使AOP为等腰三角形的点P有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7. 如图1,把?ABC纸片沿着DE折叠,当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律,你发现的规律是

A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)

8. 如图2,点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形. 设BC=a, EF=b, NH=c, 则下列各式中正确的是

A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a=b=c 9.如图3所示,用长8米的铝合金条制成的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么窗户的最大透光面积是

2222

A.64米 B.4米 C.8米 D.4米

2533

B

图1

/

E G D

A 图3

图2

10. 如图4,正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点, 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是

A

B

C

D

4

二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,满分35分)

11.某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表:

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x名

同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组 .

12.已知a、b是一元二次方程x2?x?1?0的两个根,则代数式3a2?2b2?3a?2b的值等于 .

13.如图5,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠A=30°,∠O=48°,则∠E= °.

C 图5

O

E

图6

14.如图6,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中,B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为__________.

15.正比例函数y??

x与反比例函数y??1的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B,

xCD⊥x轴于D(如图7),则四边形ABCD的面积为 .

16. 如图8,一个啤酒瓶的高度为30cm,瓶中装有高度12cm的水,将瓶盖盖好后倒置,这时瓶中水面高度20cm, 则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 . (瓶底的厚度不计)

30cm

20cm

12cm

1层 2层 3层 4层 … 第n层

图9

图8

17. 如图9是由棱长为a的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放,第

n层需要 块小正方体(用含n的代数式表示).

三、解答题(本大题共3小题,满分35分,其中第18题10分,第19题12分,20题13分) 18. 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套,该公司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表:

(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?

(2)该公司选用哪种方案建房获得利润最大?

(3)根据市场调查,每套B型住房的售价不会改变,每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0),且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大?

注:利润?售价?成本

19. 操作: 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.(如图10-1、10-2) 探究: 设A、P两点间的距离为x.

(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论;

(2)当点P在线段AC上滑动时, ?PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使?PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.

图10-1

20. 已知A1、A2、A3是抛物线y?1x2上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足2

为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.

(1)如图11-1,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长;

(2)如图11-2,若将抛物线y?1x2改为抛物线y?1x2?x?1,A1、A2、A3三点的横22坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长;

(3)若将抛物线y?1x2改为抛物线y?ax2?bx?c,A1、A2、A3三点的横坐标为连续2

整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案).

2006年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初赛试卷参考答案

一、

解答提示:

1.原式=(-2). 故选D.

2.∵ab?1, ?b?a?M. 故选B.

b?1a?1

3.

●+■=?

●+●=?+■●+?=■+■+■+■+■

2

4. =0.81a,乙超市降价后的价格为a(1-20%)=0.8a. 故在乙超市买更合算. 故选B.

5. 利用方程的解就是它对应的函数图象与x轴的交点,藉此估计一元二次方程的一个解的大致范围为:3.24<x<3.25 . 故选C.

6. 分三种情况来讨论,即:如图所示, ①以O为顶点的等腰三角形有:?OP1A,?OP2A;②以A为顶点的等腰三角形是?OP3A;③以P为顶点的等腰三角形是?OP4A. 因此,满足条件的点P有4个. 7. 解法一:∵?ADE与?ADE关于直线DE轴对称,

//

∴∠AED=∠AED,∠ADE=∠ADE, ∴∠1+∠2=23180°-(∠AEA+∠ADA)

=360°-2(∠AED+∠ADE) =360°-2(180°-∠A) =2∠A.

B

/

/

/

/

E

解法二:如图,连结AA,

/

∵?ADE与?ADE关于直线DE轴对称,

//

∴AE=AE,AD=AD,

////

∴∠EAA=∠EAA,∠DAA=∠DAA,

////

∴∠1+∠2=2∠EAA+2∠DAA=2(∠EAA+∠DAA)=2∠A.

8. 在矩形中把a、b、c分别转化为相应矩形的另外一条对角线,就会发现a、b、c均等于圆的半径. 故选D.

/

N

D A O

9. 设窗户横档的长度为x米. 则竖的边长为8?3x米,透光面积是

2

S?x?8?3x??3x2?4x??3(x?4)2?8 . 当x??b?4时,S最大=8. 选C.

222332a33

10. S=1-431x(1-x)=2x-2x+1(0<x<1). 故选B. 2

2

x?y?27,6 17. 1二、11. ? 12. 5 13. 54 14.(2,0) 15. 2 16. n(n?1) ?

211?2x?3y?66

解答提示:

2

12. ∵a、b是方程x-x-1=0的两个根,

222222

∴a-a=1, b-b=1. ∴3a+2b-3a-2b=3(a-a)+2(a-a)=3+2=5. 13. 连结BO,则∠BOC=2∠A=60°,

∴∠E=1∠BOD=1(∠BOC+∠COD)= 13(60°+48°)=54°.

222

O C

E

D

14.利用网格线之间的垂直关系,找到弦AB的中垂线,利用正方形的对角线互相垂直平分可以找到BC的中垂线,于是得圆心坐标(2,0).

15. 函数y=x与y?1的图象交点A、C的坐标分别为(1,1)、(-1,-1),所以?AOB的

x面积等于1,根据反比例函的图象是中心对称图形,得平行四边形ABCD的面积为2.

216. 虽然啤酒瓶的形状不规则,但是瓶子的下部可视圆柱体,由于瓶子的容积V瓶不变,瓶中水的体积V水也不变,故可将左图上部分不规则的空气体积V空,用右图上部分规则的空

33

气体积V空来代替. 设瓶的底面积为Scm, 则左图V水=12Scm, 左图V空=10Scm,

3

∵ V瓶=V水+V空=22Scm, ∴ V水:V瓶=6:11 所以应选C.

17. 第一层:1个;第二层:1+2个;第三层:1+2+3个;? ?; 第n层:1+2+3+?+n=1n(n?1)个,

2

三、 18.(1)设A种户型的住房建x套,则B种户型的住房建(80-x)套.

由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50 ∵ x取非负整数,∴ x为48,49,50 ∴有三种建房方案:

A型48套,B型32套;A型49套,B型31套;A型50套,B型30套.

(2)该公司建房获得利润W(万元)由题意知 W=5x+6(80-x)=480-x.

∴当x=48时,W最大=432(万元). 即A型住房48套,B型住房32套获得利润最大.

(3)由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x.

∴当0<a<1时,x=48, W最大,即A型住房48套,B型住房32套.

当a=1时,a-1=0,三种建房方案获得利润相等.

当a>1时,x=50,W最大,即A型住房50套,B型住房30套.

19.(1)PB=PQ.

证明:过P作MN∥BC,分别交AB、DC于点M、N,则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,

?AMP和?CNP都是等腰直角三角形(如图1). ∴NP=NC=MB.

∵∠BPQ=90°, ∴∠QPN+∠BPM=90°. 而∠PBM+∠BPM=90°, ∴∠QPN=∠PBM.

又∵∠QNP=∠PMB=90°,

∴?QNP≌?PMB. ∴PB=PQ. (2)?PCQ可能成为等腰三角形.

①当点P与点A重合时,点Q与点D重合,这时PQ=QC,?PCQ是等腰三角形. 此时x=0. ②解法一:当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,?PCQ是等腰三角形(如图2). 此时,QN=PM=2x,CP=2?x,CN=2CP=1-2x. 222

??∴CQ=QN-CN=2x??1?2x??2x?1. 此时,得x=1. ?22???

②解法二:当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,?PCQ是等腰三角形(如图2). 由于此时,∠CPQ=1∠PCN=22.5°, 2

∴∠APB=90°-22.5°=67.5°, ∠ABP=180°-(45°+67.5°)= 67.5°.

∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB=1. ∴x=1.

故当点P在线段AC上滑动时, ?PCQ可能成为等腰三角形.

20.(1)方法一:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,

∴A1B1=1?12?1,A2B2=1?22?2,A3B3=1?32?9. 22222

?1?k?2?k?b??2设直线A1A3的解析式为y=kx+b. ∴ 解得??3 ?b????9?3k?b2???2

∴直线A1A3的解析式为 y?2x?3. 2

∴CB2=232?3?5 . ∴CA2=CB2-A2B2=5?2?1. 2222

方法二:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,

∴A1B1=1?12?1,A2B2=1?22?2,A3B3=1?32?9 .

22222

由已知可得A1B1∥A3B3,∴CB2=1(A1B1+A3B3)= 1(1?9)?5 .

22222 ∴CA2=CB2-A2B2=5?2?1 .

22

(2)方法一:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 .

则A1B1=1(n?1)2?(n?1)?1,A2B2=1n2?n?1,A3B3=1(n?1)2?(n?1)?1. 222

设直线A1A3的解析式为y=kx+b.

1?2

?k?n?1(n?1)k?b?(n?1)?(n?1)?1?2∴? 解得??123 ?

b??n???(n?1)k?b?1(n?1)2?(n?1)?122??2?

∴直线A1A3的解析式为 y?(n?1)x?1n2?3.

22∴CB2=n(n?1)?1n2?3?1n2?n?3 .

2222∴CA2=CB2-A2B2=1n2?n?3?1n2?n?1?1. 2222

方法二:设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1 .

则A1B1=1(n?1)2?(n?1)?1,A2B2=1n2?n?1,A3B3=1(n?1)2?(n?1)?1

222由已知可得A1B1∥A3B3,∴CB2=1(A1B1+A3B3)

2= 1[1(n?1)2?(n?1)?1?1(n?1)2?(n?1)?1] 222=1n2?n?3 . 22

∴CA2=CB2-A2B2=1n2?n?3?(1n2?n?1)?1.

2222(3)当a>0时,CA2=a;当a<0时,CA2=-a.

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

(考试时间:120分钟)

答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分.以下每小

题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个

选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分)

1. 已知x?y?x?1?y?1?0,则xy的值为( )

(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

2. 如图,直线l1与直线l2相交,∠α=60°,点P在∠α内(不在l1,l2上).小明用下面的方法作P的对称点:先以l1为对称轴作点P

关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2,

然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3,以l2为对称轴作

P3关于l2的对称点P4,??,如此继续,得到一系列点P1,P2,

P3,?,Pn.若Pn与P重合,则n的最小值是( )

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

3. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛,如果任意安排四位同

学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是( )

11 (D) 128

kk4. 如图,两个反比例函数y?1和y?2(其中k1>k2>0)在 xx

第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴1 41 6(第2题) (A) (B) (C) (第4题) 于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四 边形PAOB的面积为( ) (A) k1?k2 (B) k1?k2 (C) k1?k2 k (D) 1

k2

5. 在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数

y??x2?6x?27的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其4

边界上的整点的个数是( )

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

6. 小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体,则其中棱长为1的小

正方体有( )

(A) 22个 (B) 23个 (C) 24个 (D) 25个

7. 如图,⊙O与Rt?ABC的斜边AB相切于点D,与直角边

AC相交于点E,且DE∥BC.已知AE=22,AC=2,BC=6,则⊙O的半径是( ) B (A) 3 (B) 4 (C) 4 (D) 2 (第7题)

8. 7条长度均为整数厘米的线段:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,

满足a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若a1=1厘米,a7=21厘米,则a6=( )

(A) 18厘米 (B) 13厘米 (C) 8厘米 (D) 5厘米

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9. 若干名同学制作迎奥运卡通图片,他们制作的卡通图

片张数的条形统计图如图所示,设他们制作的卡通

图片张数的平均数为a,中位数为b,众数为c,则

a,b,c的大小关系为.

10. ?ABC中,∠A和∠B均为锐角,AC=6,BC=33,3,则cosB的值为. 3

11. 如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,(第9题)

B

(第11题

) E

且sinA?E是AD延长线上一点,若DE=AB=3cm ,CE=42cm,则AD的长是 cm. 12. 已知?ABC为钝角三角形,其最大边AC上有一点P(点P与点A,C不重合),过点P作直线l,使直线l截?ABC所得的三角形与原三角形相似,这样的直线l可作的条

数是 . D

13. 小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面

驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是

分钟.

14. 如图,矩形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,

CD,DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,

AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形AEPH的面积为5cm2,

(第14题) D G

则四边形PFCG的面积为 cm2.

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.(本题满分12分)

小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏.游戏

规则为:胜一次得3分,平一次得1分,负一次得0分,一

共进行7次游戏,游戏结束时,得分高者为胜.

(1) 若游戏结束后,小王得分为10分,则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负?

(2) 若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负,则他在后面4次比赛中,要取得怎

样的比赛结果,才能保证胜小李?

16.(本题满分12分)

在直角坐标系xOy中,一次函数y?kx?b?2的图(k?0)象与x轴、B两点,且使得?OAB的面积值等于OA?OB?3. y轴的正半轴分别交于A,

(1) 用b表示k;

(2) 求?OAB面积的最小值.

17.(本题满分12分)

如图,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:

(1) ∠CAD=2∠DBE;

(2) AD2?AB2?BD?DC.

B C (第17题)

18.(本题满分14分)

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10厘米,OC=6厘米,现有两动点P,Q分别从O,A同时出发,点P在线段OA上沿OA方向作匀速

1

厘米/秒,运动时间为t秒, 2

① 当?CPQ的面积最小时,求点Q的坐标;

② 当?COP和?PAQ相似时,求点Q的坐标.

运动,点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动,已知点P的运动速度为1厘米/秒. (1) 设点Q的运动速度为

(2) 设点Q的运动速度为a厘米/秒,问是否存在a

的值,使得 ?OCP与?PAQ和?CBQ这两个三角形都相似?若存在,请求出a的值,并写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

2009年来凤县初中数学竞赛(24届)试卷

考试时间:2009.4.151上午:9:00---11:00

(全卷满分:120分,允许使用科学计算器)

一、选择题(每小题6分,共30分)

1、已知a、则化简a?b+c?a-b的结果是( ) b、c在数轴上的位置如图所示,

A.c B.a

C.c-2a D.2b-c 2、若x

4?3m

?y

n?2

?2009是关于x,y

的二元一次方程,且

mn?0,0?m?n≤3,

则m?n的值是 ( )

A.-4 B.2 C.4 D.-2 3、在一不透明的盒子中放有三个分别写有数字1,2,3的红色小球和五个分别写有1 ,2,3,4,5的白色小球,小球除颜色和数字外,其余完全相同.从中任意摸出一个小球,则摸出小球上的数字小于3的概率是 ( )

A.3 B.5 C.2

D.4

4、如图,已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形做无滑动旋转,直至回到出发位置时,该圆自转了( )圈。

A.2 B.3 C.4

D.5

(第4题图) (第5题图)

5、如图所示,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为 ( )

A.80° B.100° C.60° D.45°.

二、填空题(每小题6分,共30分)

6、设x,y为实数,规定x☆y=2,计算(1☆9)☆(7☆3)的值为 .

7、某城市按以下规定收取每月天然气费,天然气用量如果不超过60m,按每立方米0.8元收费,如果超过60m,超过部分按每立方米1.2元收费。若某用户在某个月每立方米0.88元,那么这个用户在这个月内应交天然气费为元. 8、如图,在菱形公路L同侧有两村庄A、B,AAC=4㎞,B村到公路L的距离BD=2㎞,且C、D两点间的距离为8㎞,要在公路L上建一车站P,使AP+BP最小,则这个最小值为 .

9.如图,MN是半圆的直径,若∠K =20°,∠PMG =40°,则∠MGP= .

10、如图,点A、C

在反比例函数y?33x?yx?0?的图象上,B、D在x轴上,?OAB,?BCD均为正三角形,则点C的坐标是 .

(第8题图) (第9题图) (第10题图)

三、解答题(每小题15分,共60分)

11、某中学一幢教学楼,有大小相同的两道正门,大小相同的两道侧门.经安全检测得:开启两道正门和一道侧门,每分钟可以通过260名学生;开启一道正门和两道侧门,每分钟可以通过220名学生.

(1)平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过多少名学生?

(2)紧急情况下,通过正、侧门的效率均降低为原来的80%.该校进行抗震演练,要求大楼内的全体学生必须在4分钟内通过这4道门紧急撤离.这幢楼共有20间教室,每间教室最多有50名学生.问:全体学生能否及时安全撤离?请说明理由.

12、在矩形ABCD中,AD=4,点P在AD上,且AP∶PD=a∶b.

S(1) 求?PCD的面积S1与梯形ABCP的面积S2的比值1(用含a,b的代数式表示); S2

(2) 将线段PC绕点P逆时针旋转90o至PE,求?APE的面积S(用含a,b的代数式表示).

E A

13、如图,在直角坐标系中,已知A(12,0),B(0,9),C(3,0),D(0,4),Q为线段AB上一动点,OQ与过O、C、D三点的圆交于点P,问OP2OQ的值是否变化?证明你的结论。

14、如图,抛物线y?ax?bx?c的顶点P

的坐标为?1,??2?

?,交x轴于A、B两?

. 点,交y

轴于点C(0,

(1)求抛物线的表达式.

(2)把?ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.判断四边形ADBC的形状,并说明理由.

(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得?FBD的周长最小,若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

来凤县初中数学竞赛(24届)参考答案与提示 一、1、C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、A.

二、6、5. 7、66. 8、10. 9、35°10

、?1?.

11. 解:(1)设平均每分钟一道正门通过x名学生,一道侧门通过y名学生,得

?2x?y?260,?x?100,???5分 解得??????8分 ?x?2y?220.y?60.???答:平均每分钟一道正门通过100名学生,一道侧门通过60名学生???9分

(2)(方法一)(100+60)3234380%=1024,20350=1000????13分 ∵1024>1000 ∴全体学生能及时撤离???15分

(方法二) 20?5029?3???13分 (100?60)?2?80%32

29∴3<4 ∴全体学生能及时撤离????15分 32

(方法三)设全体学生撤离的时间为t分钟,则

(100+60)32380%2t=20350,解得t=3

∵329???????13分 3229<4 ∴全体学生能及时撤离?????15分 32

12. 解:(1) AP?4a4b,PD?, ????????4分 a?ba?b

S(4a?2b)hb2bh设AB=h,则S1=,S2=. ∴ 1?. ?????8分 S22a?ba?ba?b

B B (2) 过E作AD的垂线交AD(或AD的延长线)于点F,过P作BC的垂线交BC于点G. 在Rt?PFE 和Rt?PGC中, PE=PC,∠EPF=∠CPG,∴?PFE ≌?PGC. 4b. ????12分 a?b114a4b8ab??∴S??AP?EF???15分 22a?ba?b(a?b)2∴EF=GC=PD=

13、点Q在线段AB上运动的过程中,OP2OQ的值是不变的。??????2分

证明:连结DC、PC, ∵OB?OA?3 ??????4分

∠COD=∠BOA=90°

∴?COD~?BOA ∴∠ODC=∠OAB ??7分

又∵O、C、P、D四点共圆,

∴∠ODC=∠OPC,∴∠OPC=∠OAB 又∵∠POC=∠AOQ

∴?POC~?AOQ ??????13分

OC

∵OQ?OPOA ∴OP2OQ=OC2OA=36 ??????15分

14. (1)由题意知

解得a?

b? ?????? 4分(列出方程组给2分)

2xx??????5分 2x?x??0, 33∴抛物线的解析式为y?(2)设点A(x1,0),B(x2,0)

,则

,x2?3 ?????? 1分 解得x1??1

∴∣OA∣=1,∣OB∣=3.又∵tan∠OCB

=|OB|?|OC|

∴∠OCB=60°,同理可求∠OCA=30°.∴∠ACB=90°??????8 分

由旋转性质可知AC=BD,BC=AD ∴四边形ADBC是平行四边形 又∵∠ACB=90°.∴四边形ADBC是矩形 ?????? 10分

(3)延长BC至N,使CN?CB.假设存在一点F,使?FBD的周长最小.

即FD?FB?DB最小.∵DB固定长.∴只要FD+FB最小.

又∵CA⊥BN ∴FD+FB=FD+FN.∴当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小 .??12 分 又∵C为BN的中点,∴FC?1. AC(即F为AC的中点)2

1,?)

22又∵A(-1,0),C(03)∴点F的坐标为F(?

答:存在这样的点F(?

1,?),使得?FBD的周长最小??????15分

22

2006年“信利杯”全国初中数学竞赛(广西赛区)

初赛试题

(全卷满分120分,考试时间120分钟)

一、填空题(本大题共12题,每小题3分,满分36分。请将正确答案填在题中的的横线上)

1、计算:(1-2)(2-3)(3-4)??(2005-2006)。 2、方程

1

?2006的解为。 x

3、居里夫人发现了镭这种放射性元素。1千克镭完全衰变后,放出的热量相当于375000千克煤燃烧所放出的热量。估计地壳内含有100亿千克镭,这些镭完全衰变后所放出的热量相当 千克煤燃烧所出的热量(用科学记数法表示)。

4、甲、乙两班各有45人,某次数学考试成绩的中位数分别是是88分和90分,若90分以上为优秀,那么甲、乙两班优秀人数较多的班级是 。

5。

6、如图,D、E、F分别是?ABC的边AB、AC、BC的中点,连结FE并延长到点G,使GE=FE。如果?ABC

D

A

G

的面积为20cm,那么四边形ADEG的面积为 cm.

7、在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形,这样的等腰三角形一共可以围攻成 种。

B

F第6题图

22

C

8、在一次朋友家聚会上,每两个人都互相握了一次手,总共握了55次手,,

则参加聚会的人数是 。

9、在?ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边长。如果∠A=1050,∠B=450

,b?,那么c=

10、已知直线l经过(2,0)和(0,4),把直线l沿x轴的反方向向左平移2个单位,得到直线l',则直线l'的解析式为。

11、边数均为偶数的两正多边形的内角和为了18000。两个正多边形的边数分别为 。

12、如果对任意实数x,等式:

(1?2x)10?a0?a1x?a2x2?a3x3?LL?a10x10

都成立,那么,

(a0?a1)?(a0?a2)?(a0?a3)?LL?(a0?a10)= 。(用数字作答) 二、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分,在每小题给出的四个选项中只有一项是正确答案,请将正确答案的字母代号填入题的括号内,选对每题得3分,选错、不选或多选均得0分)

13、如果“*”是对于1和0的新运算符号,且规定:

1*1=0,0*1=0,1*0=1,0*0=0。

那么下列运算中正确的是( )

(A)(1*1)*0=1 (B)(1*1)*1=0

(C)(1*0)*1=0 (D)(0*1)*1=1

14、如图是一个正方体盒的平面展开图,如果在其中的在三个

正方形A、B、C中分别填入适当的数,使得它们折成正方体后,

相对的面上的两个数互为相反数,那么填入A、B、C的三个数

依次是( )

(A)1,-2,0 (B)-1,2,0

(C)-2,0,1 (D)-2,1,0

15、在平面直角坐标系内,点P(x?2,2x?1)在第二象限,则x的取值范围是( )

(A)x?2 (B)x?1

2第14题CAB-120

(C)

11

?x?2 (D)?x?2 22

16、下列命题:

①任意两个等腰三角形一定相似;②任意两个等边三角形一定相似; ③任意两个矩形一定相似; ④任意两个菱形一定相似;

⑤任意两个正方形一定相似; ⑥任意两个边数相等的正多边形一定相似, 其中真命题的个数是( )

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

17、某市这了鼓励节约用水,按以下规定收取水费:①每户每月用水量不超过20m3,则每立方米水费1。2元;②每户一个月用水量超过20m3,则超过部分每立方米水费2元。设每户一个月所交水费为y(元),用水量为x(m3),则表示y与x的函数关系的图象大致是( )

y362412

102030(A)

x

362412

102030(B)

x

y

362412

102030(C)

x

y

362412

102030(D)

x

y

18、如图,已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形做无滑动旋转,直至回到出发位置时,该圆自转了( )圈。

第18题

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

19、设b>0,二次函数y?ax2?bx?a2?1的图象为下列图象之一:

y

y

y

y

x-1

x

-1

1x

则a的值是( )

(A)1

(B)-1 (C

)?1 2(D

)?1? 2

20、如图,正方形ABCD的边长为8,点E、F分别在AB、BC上,AC=3,CF=1,P是对角线AC上的个动点,则PE+PF的最小值是( )

(A

(B

(C

) (D

)A第20题CF三、解答题(本大题共6小题,满分60分,要求写出解题的主要过程)

21、(本题共2小题,每小题4分,共8分)

22?1????0(1

)计算:?0.25???????(tan60)?; ?2??2?

11?(x?)。 (2

x2

22、(本题6分) 如图A、B、P、C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60,判断?ABC

的形状,并证明你的结论。

23、(本题6分) 如图放置着两个矩形,请你作一条直线,将此图形分成面积相等的

两部分。(不写作法,保留作图痕迹)

0A

24、(本题12分) 众所周知,自行车的后轮胎磨损比前前轮胎的磨损来得快一些。测试

表明,在正常情况下自行车每行驶1km,前轮胎被磨损

磨损1,后轮胎被110001。如果适时地将前后轮胎做一次互换,可以走更多的路,延长自行车的使用寿命。9000

(1) 一对新轮胎在正常情况下最多可以行驶多少千米?

(2) 在自行车行驶多少千米时,应互换前后轮胎?

请问:

25、(本题12分) 下列图①、②、③中的阴影部分分别是以直角三角形的三边为边长所

作的正多边形;图④中的阴影部分分别是以直角三角形的三边为直径所作

的半圆。根据勾股定理可知:分别以直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积(如图②)

(1)类似的结论,对于图②的结论,对于图①、③、④是否成立?如果成立,请选择其中一个图形进行证明。

(2)根据(1)的结论,你能提出一般性的结论吗?写出你的结论并给予证明。 B

?1?BA?2?AB?3??4?

26、(本题16分) 一张矩形纸片OABC放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴

的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4。

(1)如图,将纸片沿CE对折,使点B落在x轴上的点D处,求D点的坐标;

(2)在(1)中,设BD与CE的交点为P,如果点B、P在抛物线y?x?bx?c上,求b、c的值;

(3)如果将矩形纸片沿某直线l对折,使点B落在坐标轴上的点F处,且BF与l的交点Q恰好落在(2)的抛物线上。除了上述的点D外,这样的点F是否存在?如果存在,求出点F的坐标,如果不存在,请说明理由。

2yCEDAB

2006年“信利杯”全国初中数学竞赛(广西赛区)

初赛试题参考答案和评分标准

一、填空题:1233=36分

1、-1 2、x?1 3、3.75?1015 4、乙班 5

2006

6、10 7、4 8、11 9、2 10、y??2x

11、四和十,或六和八 12、10.

二、选择题(833=24分)

13.C 14.A 15.D 16.B 17.A 18.C 19.B 20.D

三 、解答题(共60分)

21、(每小题目4分,共8分)

(1)解:原式

=?1?4?11 ??????????????2分 4

=?13分

=-2????????????????????4分

x??????????????2分 (2)解:原式

=2x?1?x??????????????3分 x(2x?1)

=1 ??????????????4分

22、(本题6分)

解:?ABC是等腰三角形。??????????????1分

证明:在⊙O中

?所对的圆周角,AC所对的圆周角,∵∠BAC与∠CPB是BC∠ABC与∠APC是?

∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC, ??????????????3分

又∵∠APC=∠CPB=60, 0

∴∠ABC=∠BAC=60, ??????????????5分

∴?ABC中等腰三角形。 ?????????6分

23、(本题6分)解:本题目有多种作图方法,只需用一种正确方法作图均得6分。

24、(本题12分)

解:(1)设一对新轮胎在正常情况下最多可以行驶xkm,??????1分 依题目意有 ?01??1??x?2 ??????????????4分 ?110009000?

解方程得 x?9900 ??????????????6分 答非所问:一对新轮胎最多可以行驶9900km。???????????7分

(2)解法1:根据生活经验,应在自行车行驶了最大路程的一半时,互换前后轮胎。

答:当自行车行驶了4950km时,互换前后轮胎。?????????12分 解法2:设自行车行驶ykm时,互换前后轮胎,???????????8分 依题意有:

y9900?y??1 ??????????????10分 110009000

解方程得: y?4950 ??????????????11分 答:当自行车行驶了4950km时,互换前后轮胎。????????????12分

25.(本题12分)

(1)解:在图①、③、④中,类似图②的的仍成立;?????????1分

证明:在图①中,设两条直角边a、b为一边的正三角形的面积分别为S1、S2,以斜边c为一边的正三角形的面积为S3,则

S1?1?21?21?2ag

?S?bg

?S?cg

? ,,???21???2??2??2??

所以S1?S2?22a?b2)??S3 ????????????4分 44

说明:证明图③或图④只要正确均给3分。

(2)结论:如果分别以直角三角形的三边为对应边所作的三个畋形相似,那么其两条直角边上的图形面积之和等于斜边上图形的面积。???????????8分 证明:设以两直角边a、b为一边的图形的面积分别为S1、S2,以斜边c为一边的

图形的面积为S3,

因为,分别以a、b、c为对就边的三个图形是相似图形,

S1a2S2b2

?,?(相似图形面积之比比相似比的平方)????10分 所以,S3c2S3c2

S1S2a2b2

???, ∴S3S3c2c2

S1?S2a2?b2c2

??2?1 2S3cc

∴S1?S2?S3。 ??????????????12分

26.(本题16分)

解:(1)

??3,

所以点D的的坐标为(3,

C

HE

DyB0); ??????????????3分 (2)由折叠知,CE垂直平分BD,P是BD的中点,A

过点P作OA的平行线,交OC于点H,则PH是梯形ODBC的中位线,

∴P(OD?BCOC,), 22

即P(4,2)。 ????????????6分

又∵点B(5,4)和点P(4,2)在抛物线y?x?bx?c上, 2

2??4?5?5b?c∴?, 2??2?4?4b?c

解得b??7,c?14; ??????????????8分

(3)由(2)知,抛物线的解析式为y?x?7x?14。?????9分 2

假设点F存在,

当点F在x轴上时,设F(m,0)

则BF与直线l的交点Q的的为(m?5,2),??????????11分 2

代入抛物线的解析式,解得:m?1或m?3,

即所求坐标为F(1,0)或F(3,0)(怒为点D);

当点F在y轴上时,设F(0,n), 则Q(,5n?4), ?????14分 22

代入抛物线解析式,解得n?3 2

即所求坐标为F(0,) ??????????????16分 3

2

第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试

一、选择题(每小题7分,共56分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)

1.在-|-3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中,最大的是( ).

(A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33

2. ―a的2倍与b的一半之和的平方,减去a、b两数平方和的4倍‖用代数式表示应为( )

11 (A)2a+(b2)-4(a+b)2 (B)(2a+b)2-a+4b2 22

11 (c)(2a+b)2-4(a2+b2) (D)(2a+b)2-4(a2+b2)2 22

3.若a是负数,则a+|-a|( ),

(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数,也可能是负数

4.如果n是正整数,那么表示―任意负奇数‖的代数式是( ).

(A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l

5.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、1、-l,那么|a+1|表示( ).

(A)A、B两点的距离 (B)A、C两点的距离

(C)A、B两点到原点的距离之和

(D)A、C两点到原点的距离之和

6.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是( ).

(A)A点 (B)B点 (C)C点 (D)D点

ba7.已知a+b=0,a≠b,则化简(a+1)+ (b+1)得( ). ab

(A)2a (B)2b (C)+2 (D)-2

8.已知m<0,-l<n<0,则m,mn,mn2由小到大排列的顺序是 ( ).

(A)m,mn,mn2 (B)mn,mn2,m (C)mn2,mn,m (D)m,mn2,mn

二、填空题(每小题?分,共84分)

119.计算:a-(a-4b-6c)+3(-32

435110.计算:0.7×1+2×(-15)+0.7×+×9494

ll.某班有男生a(a>20)人,女生20人,a-20表示的实际意义是12.在数-5,-3,-1,2,4,6中任取三个相乘,所得的积中最大的是

13.下表中每种水果的重量是不变的,表的左边或下面的数是所在行或所在列水

0.25,则正确结果应是 .

1115.在数轴上,点A、B分别表示-和,则线段AB的中点所表示的数35

是 .

16.已知2axbn-1与-3a2b2m(m是正整数)是同类项,那么(2m-n)x17.王恒同学出生于20世纪,他把他出生的月份乘以2后加上5,把所得的结

果乘以50后加上出生年份,再减去250,最后得到2 088,则王恒出生在 年 月.

18.银行整存整取一年期的定期存款年利率是2.25%,某人1999年12月3日存入1 000元,2000年12月3日支取时本息和是 元,国家利息税税率是20%,交纳利息税后还有 元.

19.有一列数a1,a2,a3,a4,…,an,其中

a1=6×2+l;

a2=6×3+2;

a3=6×4+3;

a4=6×5+4;

则第n个数an= ;当an=2001时,n= .

20.已知三角形的三个内角的和是180°,如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数,则这个三角形三个内角的度数分别是

第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第一试

一、1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.D

a二、9.一+1 06. 10.一43.6. 6

111.男生比女生多的人数.1 2.90. 1 3.1 6. 1 4.0.1 2 5. 1 5.- 15

1 6.1. 1 7.1988;1.

18.1022.5;101 8.

1 9.7n+6;2 8 5.

2 O.2,8 9,8 9或2,7 1,1 07(每填错一组另扣2分).

第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试

一、选择题

1.已知x=2是关于x的方程3x-2m=4的根,则m的值是( )

(A)5 (B)-5 (C)1 (D)-1

c2.已知a+2=b-2==2001,且a+b+c=2001k,那么k的值为( )。 2

11 (A) (B)4 (C)? (D)-4 44

3.某服装厂生产某种定型冬装,9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%(每件冬装的利润=出厂价-成本),10月份将每件冬装的出厂价调低10%(每件冬装的成本不变),销售件数比9月份增长80%,那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长( )。

(A)2% (B)8% (C)40.5% (D)62%

14.已知0<x<1,则x2,x,的大小关系是( )。 x

11 (A)?x?x2 (B)?x2?x xx

11 (C)x2?x? (D)x?x2? xx

5.已知a?0,下面给出4个结论:

11 (1)a2?1?0; (2)1-a2?0; (3)1+2?1; (4)1-2?1. aa

其中,一定正确的有( )。

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

6.能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )。

(A)1 (B)2 (C)3 (D)6

7.a、b是有理数,如果a?b?a?b,那么对于结论:(1)a一定不是负数;(2)b可能是负数,其中( )。

(A)只有(1)正确 (B)只有(2)正确

(C)(1),(2)都正确 (D)(1),(2)都不正确

8.在甲组图形的四个图中,每个图是由四种图形A,B,C,D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的,例如由A,B组成的图形记为A*B,在乙组图形的(a),(b),(c),(d)四个图形中,表示―A*D‖和―A*C‖的是( )。

(A)(a),(b) (B)(b),(c)

(C)(c),(d) (D)(b),(d)

二、填空题

9.若(m+n)人完成一项工程需要m天,则n个人完成这项工程需要_______天。(假定每个人的工作效率相同)

10.如果代数式ax5+bx3+cx-5当x=-2时的值是7,那么当x=2时该式的值是_________.

9911.如果把分数的分子,分母分别加上正整数a,b,结果等于,那么a+b的最713

小值是_____.

12.已知数轴上表示负有理数m的点是点M,那么在数轴上与点M相距m个单位的点中,与原点距离较远的点所对应的数是___________.

13.a,b,c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,并且a?b?c,则

a?b?b?c?c?a可能取得的最大值是_______.

14.三个不同的质数a,b,c满足abbc+a=2000,则a+b+c=_________.

15.汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员揿一声喇叭,4秒后听到回声,已知声音的速度是每秒340米,听到回响时汽车离山谷的距离是_____米

16.今天是星期日,从今天算起第111?1天是星期________. ???

2000个1

三、解答题

17.依法纳税是每个公民的义务,中华人民共和国个人所得税法规定,有收入的

800元后的余额,例如某人月收入1020元,减除800元,应纳税所的额是220

元,应交个人所得税是11元,张老师每月收入是相同的,且1999年第四季交纳个人所得税99元,问张老师每月收入是多少?

18.如图,在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6,能否使任意三个相邻顶点处的三个数之和

(1)大于9?

(2)小于10?如能,请在图中标出来;若不能,请说明理由

19.如图,正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边上的点,AE,DE,BF,AF把正方形分成8小块,各小块的面积分别为试比较与的大小,并说明理由。

20.(1)图(1)是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图(2),(3),(4)(5)的木

块。

我们知道,图(1)的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图(2),(3),

这种数量关系是:_______________.

(3)图(6)是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图(2)~(5)不同的切法,把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为_____,棱数为____,面数为_______。

这与你(2)题中所归纳的关系是否相符?

第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第二试

一、1.C. 2.B 3.B. 4.c. 5.c. 6.C. 7.A.

8.D.

二、9. 1 O.-1 7.

1 1.28. 1 2.2m.

1 3.1 6. a≤b≤c,∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=2c-2a.要使2c-2a取得最大值,就应使c尽可能大且a尽可能小. a是三位数的百位数字,故a是1~9中的整数,又a≤c,故个位数字c最大可取9,a最小可取1·此时2c一2a得到最大值l 6.

1 4.4 2.a(bbc+1)=24×5 3.(1)当a=5时,此时b、c无解.(2)当a=2时,b=3,c=37.故a+b+c=2+3+37=4 2.

1 5

640.设鸣笛时汽车离山谷x米,听到回响时汽车又开8 0(米).此间声音共行(2x一8 O)米,于是有2z一80=34O×4,解得x=72O,

7 2 O-8 O=6 4 O. 1 6.三. 11 1 ll=1 5 8 7 3×7,2000=333×6+2, 11 1…1被7除的余数与1 1被7除的余数相同.

11=7×1+4 从今天算起的第11 1…1天是星期三.

三、1 7.如果某人月收入不超过1 3 00元,那么每月交纳个人所得税不超过2 5元;如果月收入超过1 3 oo元但不超过2 8 OO元,那么每月交纳个人所得税在2 5~1 7 5元之间;如果月收入超过2 8 OO元,那么每月交纳个人所得税在1 7 5元以上.

张老师每月交个人所得税为9 9÷3=33(元),他的月收入在1 3 00~2 800元之间.设他的月收人为x元,得(x一1 300)×1 O%+5 OO×

5%=3 3,解得x=1 3 8 O(元).

1 8.(1)能,如图.

(2)不能.…

如图,设按要求所填的六个数顺次为a、b、c、d、e、 f.它们任意相邻三

数和大于1 O,即大于或等于11.所以a+b+f≥11,b+c+d≥11,c+d+e≥11,d+e+f≥11,e+f+a≥11,f+a+b≥11.

则每个不等式左边相加一定大于或等于6 6,即

3(a+b+c+d+e+f)≥6 6.

故(a+b+c+d+e+f)≥22.

而1+2+3+4+5+6=21,所以不能使每三个相邻的数之和都大于1O.

(2)顶点数+面数=棱数+2.

(3)按要求画出图,验证(2)的结论.

江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题

一、选择题(每小题7分共56分)

1、某商店售出两只不同的计算器,每只均以90元成交,其中一只盈利20%,另一只亏本20%,则在这次买卖中,该店的盈亏情况是( )

A、不盈不亏 B、盈利2.5元 C、亏本7.5元 D、亏本15元

1998199920002、设a?,则下列不等关系中正确的是( ) ,b?,c?199920002001

A、a?b?c B、a?c?b C、b?c?a D、c?b?a

115ba3、已知??,则?的值是( ) aba?bab

1A、5 B、7 C、3 D、 3

2x?3AB4、已知2??,其中A、B为常数,那么A+B的值为( ) x?xx?1x

A、-2 B、2 C、-4 D、4

5、已知?ABC的三个内角为A、B、C,令??B?C,??C?A??A?B,则?,?,?中锐角的个数至多为( )

A、1 B、2 C、3 D、0

6、下列说法:(1)奇正整数总可表示成为4n?1或4n?3的形式,其中n是正

整数;(2)任意一个正整数总可表示为3n或3n?1或3n?2的形式,其中;(3)一个奇正整数的平方总可以表示为8n?1的形式,其中n是正整数;(4)任意一个完全平方数总可以表示为3n或3n?1的形式

A、0 B、2 C、3 D、4

7、本题中有两小题,请你选一题作答:

(1)在,,?这1000个二次根式中,与2000是同类二次根式的个数共有……………………( )

A、3 B、4 C、5 D、6

(2)已知三角形的每条边长是整数,且小于等于4,这样的互不全等的三角形有( )

A、10个 B、12个 C、13个 D、14个

8、钟面上有十二个数1,2,3,…,12。将其中某些数的前面添上一个负号,使钟面上所有数之代数和等于零,则至少要添n个负号,这个数n是( )

A、4 B、5 C、6 D、7

二、填空题(每小题7分共84分)

9、如图,XK,ZF是?XYZ的高且交于一点H,∠XHF=40°,那么∠XYZ= °。

10、已知凸四边形ABCD的面积是a,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,那么图中阴影部分的总面积是

11、图中共有

12、已知一条直线上有A、B、C、三点,线段AB的中点为P,AB=10;线段BC的中点为Q,BC=6,则线段PQ的长为 。

13、三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a?b,a的形式,又可分

a别表示为0,,b的形式,则a2000?b2001=。 b

200120002

14、计算:的结果为 。 200119992?200120012?2

15、三位数除以它的各位数字和所得的商中,值最大的是

16、某校初二(1)班有40名学生,其中参加数学竞赛的有31人,参加物理竞赛的有20人,有8人没有参加任何一项竞赛,则同时参加这两项竞赛的学生共有 人。

17、本题中有两小题,请你任选一题作答。

(1)如图,AB∥DC,M和N分别是AD和BC的中点,如果四边形ABCD的面积为24cm2,那么S?QPO?S?CDO=

(2)若a>3,则a2?4a?4?9?6a?a2=

18、跳格游戏:如图:人从格外只能进入第1格,在格中,每次可向前跳1格或2格,那么人从格外跳到第6格可以有 种方法。

19、已知两个连续奇数的平方差是2000,则这两个连续奇数可以是

20.一个等边三角形的周长比一个正方形的周长长2 00 1个单位,这个三角形的边长比这个正方形的边长长d个单位,则d不可能取得的正整数个数至少有 个.

第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初二年级第一试

一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.(1)C;(2)C 8.A

a1 二、9.4 0 l 0. 11.1 6 1 2.8或2 1 3.2 1 4. 2221 5.1 00 1 6.1 9. 1 7.(1)24cm;(2)2a-5. 1 8.8.1 9.(4 9 9.5 0

1),(-5 01,-4 9 9). 2 0.6 6 7.

江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级 第二试

一、选择题(每题7分,共56分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.)

1.已知式子(x-8)(x?1)的值为零,则x的值为( ). |x|-1

(A)±1 (B)-1 (C)8 (D)-1或8

2.一个立方体的六个面上标着连续的整数,若相对的两个面上所标之数的和相等,则这六个数的和为( ).

(A)75 (B)76 (C)78 (D)81

3.买20支铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元,买39支铅笔、5块橡皮擦、3本日记本需58元,则买5支铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需( ).

(A)20元 (B)25元 (C)30元 (D)35元

4.仪表板上有四个开关,如果相邻的两个开关不能同时是关的,那么所有不同的状态有( ).

(A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种

5.如图,AD是? ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,则( ).

(A)BE+CF>EF (B)BE+CF=EF (C)BE+CF<EF (D)BE+CF与EF的大小关系不确定

6.如果a、b是整数,且x2-x-l是ax2+bx2+l的因式,那么b的值为( ).

(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2

7.如果:|x|+x+y=10,|y|+x-y=12,那么x+y=( ).

1822 (A)-2 (B)2 (C) (D) 53

8.把16个互不相等的实数排列成如图。先取出每一行中最大的数,共得到4个数,设其中最小的为x;再取出每一列中最小的数,也得到4个数,设其中最大的数为y,那么x,y的大小关系是( ).

(C)x≥y (D)x≤y 56分)

9.已知2 001是两个质数的和,那么这两个质数的乘积是112a-ab-2b10.已知-=2,则 的值为 aba-3ab-b

11.已知实数a、b、c满足a+b=5,c2=ab+b-9,则c= ·

12.已知|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|,则x+y的最小值为,最大值为 .

13.如图,?ABC中,点D、E、F分别在三边上,AD、BE、CF交于一点G,BD=2CD,面积S1=3,面积S2=4,则S?ABC=

14.本题中有两小题,请你任选一题作答.

(1)如图,设L1 和L2是镜面平行且镜面相对的两面镜子.把一个小球放在L 1和L2之间,小球在镜L1 中的像为A',A'在镜L2中的像为A‖.若L1、L2的距离为7,则AA"=

(2)已知a-b2+b-a2=l,则a2+b2= .

15.有一等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的顶角为 度.

16.锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大24°,则∠4的取值范围是 ,

三、解答题(每题1.2分,共48分、)

17. 已知:如图,? ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,

AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=1BD.求证:BD是∠ABC的角平分线. 2

18.把一根1米长的金属线材,截成长为23厘米和13厘米两种规格,用怎样的方案截取材料利用率最高?求出最高利用率.(利用率=实际利用材料长度×100%,截口损耗不计) 原材料长度

19.将1~8这八个数放在正方体的八个顶点上,使任一面上四个数中任意三数之和不小于10.求各面上四数之和中的最小值.

20 .7位数1287xy6是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.

第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初二年级第二试

一、1.C. 2.D.

3.C.设铅笔每支为x元,橡皮擦每块为y元,日记本每本为z元,则 20z+3y+2z=3 2, ①

39x+5y+3z=5 8.②

①×2-②得 x+y+z=6.

5(x+y+z)=3 O.应选(C).

4.C.我们用O表示开的状态,F表示关的状态,则各种不同的状态有000O,000F,00FO,0F0O,FDD0,FOF0,0FOF,F00F共8种状态,应选(C).

8.C.选取1 6个互不相等的实数,有无穷多种不同的情况,不可能一一列举检验.由于选择题的选项中有且只有一个是正确的.所以,可以从特殊情形进行剖析.如取前1 6个自然数,把它们按自然顺序排成

(3).

易得图(2)中x=4,y=4,显然x=y;图(3)中,x=8,y=5,显然x>y.因此一般情况下有x≥y.应选(C).

事实上当x≠y时,x=aij,y=amk,如果它们在同一行或同一列,显然x>y.否则它们所在的行、列的交点是aik,由x、y的意义得到:y<aik<x.从而能够证明x≥y.

二、9.3 9 9 8.因为两个质数的和为奇数,故必有一个质数是奇数,另一个质数是偶数.而2是唯一的偶质数,所以另一个质数是1 9 9 9,它们的乘积为2×1

9 9 9=3 9 9 8

1O.1.由已知得b一a=2ab,代入求值式得

11.O. a+b=5,a=5-b

c2=(5-b)·b+b-9=-(b-3)2, c=O.

1 2.6;-3.原式可化为|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9,

|x+2|+|1-x|≥3,当-2≤x≤1时等号成立,

|y-5 |+|y+1|≥6,当-1≤y≤5时等号成立.

x+y的最大值=1+5=6,x+y的最小值=-3.

1 3.30.如图, BD=2CD, S3=8, BG:GE=4:1.

0≤x≤4,0≤y≤7,x、y都是整数且 3x+1 3y尽可能接近l00

当x=4时,y=0,材料利用率9 2%,

当x=3时,y=2,材料利用率9 5%,

当x=2时,y=4,材料利用率9 8%,

当x=1时,y=5,材料利用率8 8%,

当x=0时,y=7,材料利用率9 1%.

可见将1米长的金属线材,截成长为23厘米的线材2根,截成长1 3厘米的线材4根,这时材料的利用率最高,最高利用率为98%.

1 9.情形1 这个面上出现数1.

设其余三个数为a,b,c,因为a+b,b+c,c+a互不相同,且依题设加1之和不小于1 O,这样a+b,b+ c,c+a这三个数至少要不小于9,1 O,11.故 (a+b)+(b+c)+(c+a)≥9+1O+11,即 a+b+c≥1 5,

加上1之后,四个数之和≥1 6.

情形2 这个面上不出现数1.

显然依题意不能同时出现2,3,4,因为2+3+4=9<10.

于是,这些数至少有2,3,5,6,2+3+5+6=1 6.

故4数之和的最小值为1 6.具体分布如图.

2 O.因为所求数是7 2的倍数,所以所求数一定既是9的倍数,又是8的倍数.

是9的倍数,. 1+2+8+7+x+y+6=2 4+x+y是9的倍数,且O≤x+y≤1 8, x+y等于3或1 2

又 所求数是8的倍数,xy6必须是8的倍数.

y6必须是4的倍数. y只能是1,3,5,7,或9.

当y=1时,x=2,2 1 6是8的倍数.

当y=3时,x=O或9,3 6不是8的倍数,9 36是8的倍数,

当y=5时,x=7,但7 5 6不是8的倍数,

当y=7时,x=5,5 7 6是8的倍数,

当y=9时,x=3,但3 9 6不是8的倍数.

. 符合条件的7位数是1 2 8 7 2 1 6,1 2 8 7 93 6,1 2 87 5 7 6.……

江苏省第十五届初中数学竞赛初三年级

一、选择题(每小题6分,共36分-以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内,)

1.多项式x2-x+l的最小值是( ).

513 (A)1 (B) (C) (D) 424

2. 式子10-10|2x-3|(1≤x≤2)的不同整数值的个数是 ( ).

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

3.自然数n满足(n2?2n?2)n2?47?(n2?2n?2)16n?16,这样的n的个数是( ).

(A)2 (B)1 (C)3 (D)4

4,? ABC中,∠ABC=30°,边AB=10,边AC可以取值5、7、9、11之一,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( ),

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

5.A、B、C、D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动.现已知:

如果A中奖,那么B也中奖;

如果B中奖,那么C中奖或A不中奖;

如果D不中奖,那么A中奖,C不中奖;

如果D中奖,那么A也中奖.

则这四人中,中奖的人数是( ).

(A)l (B)2 (C)3 (D)4

6.已知? ABC的三边分别为x、y、z.

(1)以x、y、z为三边的三角形一定存在;

(2)以x2、y2、z2为三边的三角形一定存在;

111 (3)以(x+y)、(y+z)、(z+x)为三边的三角形一定存在; 222

(4)以|x-y|+l、|y-z|+l、|z-x|+l为三边的三角形一定存在以上四个结论中,正确结论的个数为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题(每题5分,共40分)―

7.已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式,则a

= ,b= :

BCAC8.如图,直角梯形ABCD中,∠A=90°,AC⊥BD,已知=k,则 ADBD

9.函数y=3-|x-2|的图象如图所示;则点A与B的坐标分别是A( , )、

B( , ).

110.已知3m2-2m-5=0,5n2+2n-3=0,其中m、n为实数,则|m-|= n

11.初三(1)班语文、英语、数学三门课测试,成绩优秀的分别有15、12、

9名,并且这三门课中,至少有一门优秀的共有22,名,那么三门课全是

优秀的最多有 名,最少1有名.

12.如图,正方形ABCD的边长为l点P为边BC上任意一点(可与点B或

C重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B'、C'、D',

则.BB'+CC'+DD'的最大值为 ;最小值为

13.新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目.现

有6个项目可供选择(每个项目或者被全部投资,或者不被投资),各项目所

是 时,投资的收益总额最大.

14.已知由小到大的10个正整数a1,a2,a3,……,a10的和是2 000,那么a5的

最大值是 ,这时a10的值应是 .

三、解答题(每题16分,共48分)

2kxkx?115.若关于x的方程只有一个解,试求k的值与方程的解. ?2?x-1x-xx

16.已知一平面内的任意四点,其中任何三点都不在一条直线上.试问:是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论.

17.依法纳税是每个公民应尽的义务,《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民每月工资、薪金收入不超过800元,不需交税;超过800元的部分为全月应纳税所得额,都应交税,且根据超过部分的多少按不同的税率交税,详细的

?

(2)设x表示每月收入(单位:元),y表示应交税款(单位:元),当l300<x≤2 800时,请写出y关于x的函数关系式;

(3)某企业高级职员2000年11月应交税款55元,问该月他的总收入是多少元?

18.(1)已知四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,如图,证明:BC+DC=AC;

(2)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°,证明:PA+PD+PC≥BD

初三年级答案

2001年第十六届江苏省初中数学竞赛A卷

一、选择题(每题8分,共48分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。)

1.如果|x-2 |+x-2=O,那么x的取值范围是( ).

A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2

2.已知n是整数,现有两个代数式:(1)2n+3,(2)4n-l其中,能表示―任意奇数‖的( ).

A.只有(1) B.只有(2) C.有(1)和(2) D.一个也没有

3.―*‖表示一种运算符号,其意义是a*b=2a-b.如果x*(1*3)=2,那么x等于

( ).

31 A.1 B. C. D.2 22

4.把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放,它的外表含有若干个小正方形.如果将图l中标有字母A的一个小正方体搬去.这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比( ).

A.不增不减 B.减少1个 C.减少2个 D.减少3个

bc?ac的值( ). ab2c3

A.必为正数 B.必为负数 C.可正可负 D.可能为O

6.已知a、b、c三个数中有两个奇数、一个偶数,n是整数.如果S=(a+n+

1)(b+2n+2)(c+3n+3),那么( ).

A.S是偶数 B.S是奇数

C.S的奇偶性与n的奇偶性相同 D.S的奇偶性不能确定

二、填空题(每题8分.共48分)

7.如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为 .

8.已知a是质数,b是奇数,且a2+b=2001,则 .

9.如果某个月里,星期一多于星期二,星期六少于星期日.那么,这个月的第五天是星期 ,这个月共有 天.

111 10.2001减去它的,再减去剩余数的,再减去剩余数的……依此类推,234

1一直到减去剩余数的,那么最后剩余的数是 . 2001

11.你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形.如果你所

拼得的图形中正方形的面积为l,且正方形⑥与正方形③的面积相

等,那么正方形⑤的面积为 .

12.如果依次用a1,a2,a3,a4分别表示图3中(1)、(2)、(3)、(4)内

三角形的个数,那么a1=3.a2=8,a3=15.a1.

5.如果有理数a、b、c满足关系a<b<0<c,那么代数式

三、解答题(每题l6分,共64分)

l3.某风景区的旅游线路如图所示,其中A为入口处.B、C、D为风景点,E为三叉路的交汇点,图中所给的数据为相应两点间的路程(单位:km).

某游客从A处出发,以每小时2 km的速度步行游览,每到一个景点逗留的时间均为半小时.

(1)若该游客沿路线―A→D→C→E→A‖游览回到A处时,共用去3 h.求C、E两点间的路程;

(2)若该游客从A处出发.打算在最短时间内游览完三个景点并返回A处(仍按上述步行速度和在景点的逗留时间,不考虑其他因素),请你为他设计一条步行路线,并对路线设计的合理性予以说明.

14

.根据有关规定,企业单位职工,今年按如下办法缴纳养老保险费:如果个人

月工资在当地职工去年人均月工资的60 %到300 %范围内,那么需按个人月工资的7%缴纳;如果个人月工资超过当地职工去年人均月工资的300%,那么超过的部分不再缴纳;如果个人月工资低于当地职工去年人均月工资的60%,那么仍需按去年人均月工资的60%来计算缴纳.

(1)该市企业单位职工,今年个人月缴纳的养老保险费最多为多少元?

(1)如图(1)所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形通孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2;

(2)如果在第(1)题打孔后,再在正面中心位置处(按图(2)中的虚线)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2;

(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长x cm、宽1 cm的长方形通孔,能不能使所得橡皮泥块的表面积为130 cm2?如果能,请求出x;如果不能,请说明理由.

16.如图所示,有一张长为3、宽为1的长方形纸片,现要在这张纸片上画两个小长方形,使小长方形的每条边都与大长方形的一边平行,并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1,然后把它们剪下,这时,所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值.求这个最大值.

2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B卷

一、选择题(每题8分,共48分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.)

1.已知b>a>0,a2+b2=4ab,则

A.-

2.已知12a?b等于( ). a?b B. C.2 D.-3 2x?3AB,其中A、B为常数,则A-B的值为( ). ??x2?xx?1x

A.-8 B8 C.-1 D.4

3.1 O个棱长为l的小正方体木块,堆成如图所示的形状,则它的表面积为

( ).

A.30 B.34 C.36 D.48

4.如图所示.?ABC中,∠B=∠C,D在BC上,∠BAD=50°,AE=AD,则∠EDC的度数为( ).

A.15° B.25° C.30°D.50°

5.将一个正方形分割成n个小正方形(n>1),则n不可能取( ).

A.4 B.5 C.8 D.9

6.如图所示,在一条笔直的公路上有7个村庄,其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4,10,15,17,l9,20 km,而村庄G正好是AF的中点.现要在某个村庄建一个活动中心,使各村到活动中心的路程之和最短,则活动中心应建在( ).

A.A处 B.C处 C.G处 D.E处

二、填空题(每题8分,共48分)

7.一列数71,72,73,…,72001,其中末位数是3的有 个.

8.已知对任意有理数a、b,关于x、y的二元一次方程(a-b)x-(a+b)y=a+b有一组公共解,则公共解为 .

9.数a比数b与c的和大于16,a的平方比b与c的和的平方大1664.那么,a、b、c的和等于

10.数的集合X由1,2,3,…,600组成,将集合X中是3的倍数,或4的倍数,或既是3的倍数又是4的倍数的所有数,组成一个新的集合y,则集合y中所有数的和为 .

11.若a1=5,a5=8,并且对所有正整数n,有an+an+1+an+2=7,则a2001

12.三条线段能构成三角形的条件是:任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度.现有长为144 cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1 cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为

三、解答题(每题16分,共64分)

13.中国第三届京剧艺术节在南京举行,某场京剧演出的票价由2元到100元多种,某团体需购买票价为6元和10元的票共140张,其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍,问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?

14.如图所示,BD、CE分别是?ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP= AC,点Q在CE上,CQ=AB.

求证:(1)AP=AQ;

(2)AP⊥AQ.

15.有五个数,每两个数的和分别为2,3,4,5,6,7,8,6,5,4(未按顺序排列).求这5个数的值.

16.如图所示,已知等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边三角形PCD、QAE和RAB,求证:P、Q、R是等边三角形的三个顶点.

第十六届江苏省初中数学竞赛试题(C卷)初三年级

一. 选择题(每题6分,共36分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,

请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内

1.已知a=1

?2 b=1

?2则a2?b2?7之值为( )

A、3 B、4 C、5 D、6

2.若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根,则( )

A、a=b B、a+b=0 C、a+b=1 D、a+b= -1

3.下列给出的4个命题:

命题1 若│a│=│b│,则a│a│=b│b│;

命题2 若a2-5a+5=0,则(1?a)2?a?1;

1则m<-3 m?3

命题4 若方程x2+mx-1=0中m>0,则该方程有一正根和一负根,且负根的绝对值较大。

其中正确的命题的个数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4 命题3 若x的不等式(m+3)x>1的解集是x<

4.如图,四边形ABCD中,∠BAD=90°,AB=BC=2,AC=6,AD=3,则CD的长是( )

A、4 B、43 C、33 D、33

5.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数,那么这样的不同的三角形共有( )

A、6 B、7 C、5 D、9

6.12块规格完全相同的巧克力,每块至多被分为两小块(可以不相等),如果这12块巧克力可以平均分给n名同学,则n可以为( )

A、26 B、23 C、17 D、15

二. 填空题(每题5分,共40分)

7.若│a│=3,?2,且ab<0,则a-b=__________.

8.如图2,D、E、F分别是?ABC的边BC、CA、AB上的点,且DE∥BA,DF∥CA,

(1) 要使四边形AFDE是菱形,则要增加条件:____________;

(2) 要使四边形AFDE是矩形,则要增加条件:

____________.

x?1x?8x?2x?79.方程的解是_________________. ???x?2x?9x?3x?8

10.要使26+210+2x为完全平方数,那么非负整数x可以是______________。(要求写出x的3个值)

11.如图,直线y= -2x+6与x轴、y轴分别交于P、Q两点,把?POQ沿PQ翻折,点O落在R处,则点R的坐标是____________.

12.如图4,已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25,144,48,121个平方单位,PR=13(单位),则该八边形的面积=_____________平方单位。

13.如图5,设?ABC的两边AC与BC之和为a,M是AB的中点,MC=MA=5

则a的取值范围是______________.

14.如图6,一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物,要求同一个区域中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物,现有4种不同的植物可供选择,那么有___________种栽种方案。

三、解答题(每题16分,共64分)

15.某商店有A种练习本出售,每本零售价为0.30元,1打(12本)售价为3.00元,买10打以上的,每打还可以按2.70付款。

(1) 初三(1)班共57人,每人需要1本A种练习本,则该班集体去买时,最少

需付多少元?

(2) 初三年级共227人,每人需要1本A种练习本,则该年级集体去买时,

最少需付多少元?

16.设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根,当m为何值时,x12+x22有最小值?并求这个最小值。

17.(1)已知:如图7(1),在四边形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求证:AB+AC>BC2?CD2;

(2)已知:如图7(2),在?ABC中,AB上的高为CD,试判断(AC+BC)2 与AB2+4CD2之间的大小关系,并证明你的结论。

18.编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B中,15号弹珠在篮子A中,把这个弹珠从篮子B中,这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平11均数加,B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加,问原来在篮球赛子A44

中有多少个弹珠。

江苏省第十七届初中数学竞赛 初一年级 第l试

一、选择题(每小题7分,共56分,以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.)

1.给出两个结论:(1) |a-b|=|b-a|, (2) -11

2 >-3其中( )

(A)只有(1)正确 (B)只有(2)正确

(C)(1)和(2)都正确 (D)(1)和(2)都不正确

2.下列说法中,正确的是( )

(A)|-a|是正数 (B)|-a|不是负数 (C)-|-a|是负数 (D)-a不是正数

3.下列计算中,正确的是( )

(A)(-1)2×(-1)5=1 (B)-(-3)2=9 (C)111

3÷(-3)=9 (D)-3÷(-3)=9

4.如图,有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(

同一个直角三角

形的两条直角边不相等).把两个三角.形相等的边靠在一起(两张纸片不重叠),可以拼出若干种图形,其中,形状不同的四边形有( )

(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种

5.把足够大的一张厚度为0.1mm的纸连续对折,要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm,至少要对折( )

(A)6次 (B)7次 (C)8次 (D)9次

6.a、b是两个给定的整数,某同学分别计算当x=-1、1、2、4时代数式ax+b的值,依次得到下列四个结果,已知其中只有三个是正确的,那么错误的一个是

( )

(A)a+b=-1 (B)a+b=5 (C)2a+b=7 (D)4a+b=14

7.已知a、b是不为0的有理数,且|a|=-a,|b|=b,|a|>|b|,那么在用数轴上的点来表示a、b时,应是( )

8.如图所示,一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形.如

果其中图形I、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5,那么阴影部分的面积为( )

971015 (A) (B) (C) (D) 2238

二、填空题(每小题7分,共84分)

9.在下式的两个方框内填入同样的数字,使等式成立:

□3× 6 528=8256× 3□.

10.数轴上有A、B两点,如果点A对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,那么点B对应的数是 。

11.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),使等式成立:6□3□2□12=24. 12.如图是某月的日历,其中有阴影部分的三个数,叫做同一竖列上相邻的三个数.现从该日

历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数,如果设中间的一个数为n,那么这三个数的和为 ,

13.图(1)

图(2)的图形;如果把图(2)的纸片重新恢复成图(1)的纸盒,那么与点G重合的

点是

14.32001×72002×132003所得积的位数字是 ,

15.如果图中4个圆的半径都为a,那么阴影部分的面积为

16.我们把形如abba的四位数称为―对称数‖,如1 991、2002等.在1 000~10000之间有―对称数‖.

17.已知整数13ab456(a、b各表示一个数字)能被198整除,那么,b=

18.有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片,从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形);可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形.如果所取的四边形与三角形纸片数的和为n,那么组成的大平行四边形或梯形的周长为

19.一张黄纸的面积是一张红纸面积的2倍.把这张黄纸裁成大小不同的两部分.如果 红纸面积比较大黄纸面积小25%,那么红纸面积比较小黄纸面积大 %.

20.已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc=99,那么|a-b|+|b-a|+|c-a|的值等于

L K

N M J I H

B E F G

C D

? ?

一、选择题

1.A 2.B 3.D 4. B 5.B 6.C 7. C 8. C

二、填空题

9.4,4 10.-5或1 11.×,×,-;或+,× ,+或+,÷,× 12. 3n

13.点A和点C 14. 9

15.12a2-3πa2 或2.58a2 16.90 17. 8,0 18.3n+4或3n+5

19. 50 20. 34,

江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初一年级(第2试)

一、选择题(每小题7分,共56分)

32a?9 1.若的倒数与互为相反数,则a等于( ) a3

33 (A) (B)- (C)3 (D)9 22

3 2.若代数式3x2-2x+6的值为8,则代数式x2-x+l的值为( ) 2

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

b?ca?ba?c 3.若a>0>b>c,a+b+c=1,M= ,N=,P=,则M、N、Pacb

之间的大小关系是( )

(A)M>N>P (B)N>P>M (C)P>M>N (D)M>P>N

4.某工厂今年计划产值为a万元,比去年增长10%.如果今年实际产值可超过计划

l%,那么实际产值将比去年增长( )

(A)11% (B)10.1% (C)11.1% (D)10.01%

5.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,

C区有10人,三个区在一直线上,位置如图所示.公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少,那么停靠点的位置应在( )

A区 B区

图1 C区

(A)A区 (B)B区 (C)C区 (D)A、B两区之间

6.把14个棱长为1的正方体,在地面上堆叠成如图所示的立体,然后

将露出的表面部分染成红色.那么红色部分的面积为 ( )

图2 (A)21 (B)24 (C)33 (D)37

7.用min(a,b)表示a、b两数中的较小者,用max(a,b)表示a、b两数中的较大者,例如min(3,5)=3,max(3,5)=5,min(3,3)=3,max(5,5)=5.设a、b、c、d是互不相等的自然数,min(a,b)=p,min(c,d)=q,max(p,q)=x,max(a,b)=m,max(c,d)=n,min(m,n)=y,则( )

(A)x>y (B)x<y (C)x=y (D)x>y和x<y都有可能

(1)汤姆与父母的血型都相同; (2)汤姆与姐姐的血型不相同;(3)汤姆不是A型血.

那么汤姆的血型是( )

(A)O (B)B (C)AB (D)什么型还不能确定

二、填空题(每小题7分,共56分)

9.仓库里的钢管是逐层堆放的,上一层放满时比下一层少一根.有一堆钢管,每一层都放满了,如果最下面一层有m

根,最上面一层有n根,那么这堆钢管共有 层.

10.在同一条公路上有两辆卡车同向行驶,开始时甲车在乙车前4千米,甲车速度为每 小时45千米,乙车速度为每小时60千米。那么在乙车赶上甲车的前1分钟两车相距 米.

11.把两个长3cm、宽2cm、高lcm的小长方体先粘合成一个大长方体,再把它切分成两个大小相同的小长方体,未了一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积大 cm2.

12.已知四个正整数的积等于2 002,而它们的和小于40,那么这四个数是

13.一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm.先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体,再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体.那么,经三次切割后剩余部

3分的体积为 cm.

14.今年某班有56人订阅过《初中生数学学习》,其中,上半年有25名男生、15名女生订阅了该杂志,下半年有26名男生、25名女生订阅了该杂志,有23名男生是全年订阅,那么,只在上半年订阅了该杂志的女生有 名.

15.电影胶片绕在盘上,空盘的盘心直径为60毫米,现有厚度为0.15

毫米的胶片,它紧绕在盘上共有600圈,那么这盘胶片的总长度约为 米 (圆周率π取3.14计算).

16.如图,三角形ABC的面积为1,BD:DC=2:1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,那么四边形PDCE的面积为.

三、解答题(每小题12分,共48分)

17.有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割成4片,以后每一次都把前面所得的其中的一片分割成4片.如果进行下去,试问:

(1)经5次分割后,共得到多少张纸片?

(2)经n次分割后,共得到多少张纸片?

(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?

18.从小明的家到学校,是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路 的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢 20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,放学途中花12分钟.

(1)判断a与b的大小;

(2)求a与b的比值.

19.如图是一张―3 ×5‖(表示边长分别为3和5)的长方形,现要把它

分成若干张边长为整数的长方形(包括正方形)纸片,并要求分得的任何

两张纸片都不完全相同.

(1)能否分成5张满足上述条件的纸片?

(2)能否分成6张满足上述条件的纸片? 图 (若能分,用―a×b‖的形式分别表示出各张纸片的边长,并画出分割的

示意图;若不能分,请说明理由.)

20.某公园门票价格,对达到一定人数的团队,按团体票优惠.现有A、B、C三个旅游团共72人,如果各团单独购票,门票费依次为360元、384元、480元;如果三个团合起来购票,总共可少花72元.

(1)这三个旅游团各有多少人?

参考答案

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4,C 5.A 6.C 7.D 8.D

二、填空题

9.m-n+l

10.250 11.10

12.2、7、11、13或1、14、11、13

13.73 14.3 7

7 15.282.6m 16. 30

三、解答题

17.(1)16. (2)3n+1 (3)若能分得2 003片,则3n+1=2003,3n=2 002,n无整数解,所以不可能经若干次分割后得到2 003张纸片.

18.(1)因为上学比放学用时少,即上学比放学走的上坡路少,所以a<b.

(2)把骑车走平路时的速度作为―1‖(单位速度),则上坡时的速度为0.8,下

ab5ab坡时的速度为1.2.于是有??(?). 0.81.261.20.8

a3 可得8a=3b,即? b8

19.(1)把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列,有l×l、l× 2、l×

3、I×4、2×2、1×5、2×3、2×4、3×3、2×5、3×4、3×5.

若能分成5张满足条件的纸片,因为其面积之和应为15,所以满足条件的有

l × l、1 × 2、l × 3、l × 4、1×5 或l× l、l×2、l×3、2×2、l× 5. 画出示意图(略).

(2)若能分成6张满足条件的纸片,则其面积之和仍应为15,但上面排在前列的6个长方形纸片的面积之和为 l×l+l×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19,

所以分成6张满足条件的纸片是不可能的.

20.(1)360+384+480-72=1152(元),

1152÷72=16(元/人),即团体票是每人16元

因为16不能整除360,所以A团未达到优惠人数.

若三个团都未达到优惠人数,则三个团的人数比为360:384:480=15:16:

15162020,即三个团的人数分别为×72、× 72、×72,这都不是整数(只要指出515151

其中某一个不是整数即可),不可能.所以B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数.

这有三种可能:①只有C团达到,②只有B团达到,③B、C两团都达到. 对于①,可得C团人数为480÷16=30,A、B两团共有42人,A团人数为1516×42(或 B团人数为x 42),不是整数,不可能.对于②,可得B团人数为5151

1520384÷16=24,A、C两团共有48人,A团人数为×48(或C团人数为×48),5151

不是整数,不可能.

所以必是③成立,即C团有30人,B团有24人,A团有18人.

(团体票人数限制也可是―须超过18人‖等.)

江苏省第十七届初中数学竞赛 初二年级 第l试

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的;请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.

1.a、b、c是正整数,a>b,且a2-ab-ac+6c=7,则a-c等于( )

(A)-1 (B)-1或-7 (C)1 (D)1或7

2.用数码2、4、5、7组成的四位数中,每个数码只出现一次.将所有这些四位数从小 到大排列,排在第13个的四位数是 ( )

(A)4 527 (B)5247 (C)5 742 (D)7 245

3.1989年我国的GDP(国民生产总值)只相当于英国的53.5%,目前已相当于英国的81%.如果英国目前的GDP是1989年的m倍,那么我国目前的GDP约为1989年的( )

(A)1.5倍 (B)1.5m倍 (C)27.5倍 (D)m倍

6x?3 4.若x取整数,则使分式的值为整数的x值有( ). 2x-1

(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个

5.已知。为整数,关于x的方程a2x-20=0的根是质数,且满足|ax2-7|>a2,则a等于( )

(A)2: (B)2或5 (C)±2 (D)-2

6.如图,已知Rt?ABC,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得?PAB是等腰三角形,则符合条件的P点有( )

(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个

7.边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起,在这些用各种方式粘合在一起的立体中,表面积最小的那个立体的表面积是 ( )

(A)570 (B)502 (C)530 (D)538

8.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论中正确的是( )

(A)AB-AD>CB-CD (B)AB-AD=CB-CD

(C)AB-AD<CB-CD (D)AB-AD与CB-CD的大小关系不确定

二、填空题(每小题7分,共84分)

9.多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为a?ab-b1110.已知-=1,则的值等于 a-2ab-bab

11.如图是一块电脑主板,每一个转角处都是直角,数据如图所示,单位是mm,则该主板的周长为 mm.

12.某学校建了一个无盖的长方体水箱,现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底,则砂轮磨不到的部分的面积为

113.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算(α+β+γ)的15

值时,有三位同学分别算出了23°、24°、25°

这三个不同的结果,其中确有一个

是正确的答案,则α+β+γ=

14.设a为常数,多项式x3+ax2+1除以x2-1所得的余式为x+3,则

15.在?ABC中,高BD和CE所在直线相交于O点,若?ABC不是直角三角形,且∠A=60°,则∠BOC= 度.

16.小王的学校举行了一次年级考试,考了若干门课程,后加试了一门,小王考得98分,这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分.后来又加试了一门,小王考得70分,这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了1分,则小王共考了(含加试的两门) 门课程,最后平均成绩为 分.

c 17.已知a+b+c=0,a>b>c,则

的范围是

(

注:有时需

) 在显示屏上的结果是-0.75 19.有A、B、C三种不同型号的电池,它们的价格各不相同.有一笔钱可买A型4只,B型18只,C型16只;或A型2只,B型15只,C型24只;或A型6只,B型12只,C型20只.如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池,则能买 只。

20.如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+ DE=2,则五边形ABCDE的面积为

参考答案;

一、选择题

1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A

二、填空题

9. -18 10.0 11,96 12;3(4-π)r2

13.345° 14.2

15.120°或;60 16.10,88

c117.-2< <- 18.0.2 19.48 20.4 a2

江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初二年级(第2试)

一、选择题(每小题7分,共56分)

1.下列四个数中等于100个连续自然数之和的是( )

(A)1627384950 (B)2345678910 (C)3579111300 (D)4692581470

2.在体育活动中,初二(1)班的n个学生围成一圈做游戏,与每个学生左右相邻的两个 学生的性别不同.则n的取值可能是( )

(A)43 (B)44 (C)45 (D)46

3.在?ABC中,∠B是钝角,AB=6,CB=8,则AC的范围是( )

(A)8<AC<10 (B)8<AC<14 (C)2<AC<14 (D)10<AC<14

4.图(1)是图(2)中立方体的平面展开图,图 (1)与图(2)中的箭头位置和方向是一致的,那么图(1)中的线段AB与图(2)中对应的线段是( )

(A)e (B)h (C)k (D)d

5.若a、b、c为三角形的三边,则下列关系式中正确的是( )

(A)a2-b2-c2-2bc>0 (B)a2-b2-c2-2bc=0

(C)a2-b2-c2-2bc<0 (D)a2-b2-c2-2bc≤0

6.一个盒子里有200只球,从101到300连续编号.甲、乙两人分别从盒子里拿球,直到他们各有100只球为止,其中甲拿到102号,乙拿到280号,则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差的最大值是 ( )

(A)10000 (B)9 822 (C)377 (D)9 644

?7x-m?07.如果关于x的不等式组?的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等

?6x-n?0

式组的整数对(m,n)共有( )

(A)49对 (B)42对 (C)36对 (D)13对

8.如果x2-x-1是ax3+bx2+1的一个因式,则b的值为( )

(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2

二、填空题(每小题7分,共56分)

9.美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中,拿下28分,其中三分球三投全中,那么 乔丹两分球投中 球,罚球投中 球.

115ba10.已知:??,则??aba?bab

111.若y1=-x-4,y2=x2-8,则满足y1>y2的整数的值x有: · 2

12. [x]表示不超过x的最大整数,如[3.2]=3.已知正整数n小于2002,

n6n且[]+[]=;则这样的n有 个. 3n2

13.?ABC中,BD和CE分别是AC和AB上的中线,且BD与CE互相垂直,BD=8,CE=12,则?ABC的面积是 ·

14.如图是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标,由4个全等的直角三

1角形拼合而成.若图中大小正方形的面积分别为62和4,则直角三角形的2

两条直角边边长分别为 .

a4?ma2?115.已知a+4a+1=0,且3=5,则 23a?ma?3a2

16.将2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这10个自然数填到图中10个格子里,每个格子只填一个数;使得―田‖字形的4个格子中所填数字之和都等于p,那么p的最大值是 ·

三、解答题(每题12分,共48分)

17.如果多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)、(x+c)的乘积 (b、c为整数),则a的值应为多少?

18.某城市有一段马路需要整修,这段马路的长不超过3 500米,今有甲、乙、丙三个施工队,分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工,每天24小时 连续施工.若干天后的零时;甲完成任务;几天后的18时,乙完成任务;自乙队完成的当天零时起,再过几天后的8时,丙完成任务,已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米,240米,180米,问这段路面有多长?

19.?ABC中,已知∠C=60°,AC>BC,又?ABC'、?BCA'、?CAB'都是?ABC形外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC.

(1)证明:?C'BD≌?B'DC;

(2)证明:?AC'D≌?DB'A;

(3) 对?ABC、?ABC'、?BCA'、?CAB',从面积大小关系上,你能得出什么结论?

20.一个长方体水箱,从里面量得它的深是30cm,底面的长是25cm,宽是20cm,水箱里已盛有深为acm (a≤30)的水,现在往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块后,水深多少cm?

参考答案

一、选择题

1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A

二、选择题

9. 8,3 10.3 11. -3,-2,-1,0,1

113712. 333 13.64 14.6 ,4 15. 16.28 222

三、解答题

17.x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c),

x2-(a+5)x+5a-1=x2+(b+c)x+bc,

b+c=-a+5, ①

bc=5a-1 ②

①×5+②得

bc+5(6+c)=-26,

bc+5(b+c)+25=-1,

(b+5)(c+5)=-1.

∴b+5=1 b+5=-1

c+5=1

∴b=-4 b+5=--6

-6 c+5=-4

∴a=5

188 18.乙队最后一天完成=180米, 丙队最后一天完成 =602424

米.

设甲队a天完成,过b天后的18时乙队完成,自乙队完成的当天零时起,再过c天后的8时丙队完成,则根据题意得:

300a=240(a+b)+180=180(a+b+c)+60,

5a=4(a+b)+3 =3(a+b+c)+1.

a=4b+3, ①

a+b=3c-2, ②

5b+3=3c-2. ③

3 b=c-1. 5

∵b是正整数,

∴c=5,10,15,…….

若c=5,则 b=2,a=11.

当c>5时,300a≥3600(米),矛盾.

∴马路的长为300×11=3 300(米).

19.(1)?C'BD与?ABC中,BD=BC,AB=BC’,∠C’BD=60°+∠ABD=∠ABC ∴?C’BD≌?ABC, ∴C’D=AC. ①

又在?BCA与?DCB',中,BC=DC,AC=B'C,

∠ACB=∠B'CD=60°,

∴?BCA≌?DCB',

∴DB'=BA. ②

∴?C'BD≌?B'DC.

(2)由①得C'D=AC=AB',

由②得DB'=BA=C'A,

又AD=AD,

∴AC'D≌?DB'A.

(3)①S?AB'C>S?ABC'>S?ABC>S?A'BC

②S?ABC+S?ABC'=S?ACB'+S?A'BC

20.铁块体积=1 000cm3,水箱底面积=500cm2.若铁块全部浸入水中,则铁块放进后水面升高2cm.(这是因为铁块放入水中相当于增加了1 000cm3的水,而水箱底面积是 500cm2,500×2=1 000.故水面升高2cm.)故 (1)当a≥28时,放入铁块后水面高为30cm;(水可以漫出一些)

(2)当a=8时,设铁块放入后,水面高度为x cm,则由 500×8=(500-100)x,得x=10, 即水面高度为10cm,此时铁块顶部与水面相平.

(3)当8<a<28时,铁块放入后,全部浸入水中,故水面高度为(a+2)cm.

(4)当0<a<8时,铁块不能全部浸入水中,设铁块放入后水面高度为xcm,则由 (

55 500a=(500-100)x;得x=a,即水面高度为 a cm , 44

江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初三年级

一、选择题(每小题6分,共36分)

12a 1.已知a+=+2b≠0,则的值为 ( ) bab

(A)-1 (B)l (C)2 (D)不能确定

3x?4AB 2.已知2,其中为常数,则4A-B的值为( ) ?-x-x-2x-2x?1

(A)7 (B)9 (C)13 (D)5

3.在一个多边形中,除了二个内角外,其内角之和为2002°,则这个多边形的边数为 ( )

(A)12 (B)12或13 (C)14 (D)14或15

4.已知一次函数y=kx-k,若y随x的减小而减小,则该函数的图象经过( )

(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限

(C)第一、三、四象限 (D)第二、三、四象限

5.如图,D是?ABC的边AB上的点,F为?ABC外的点.连DF交AC于E点,连FC.现有三个断言:(1)DE=FE; (2)AE=CE; (3)FC∥AB以其中两个断言为条件,其余一个断言为结论,如此可作出三个命题,这些命题中正确命题的个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

6.如图,在?ABC中,∠ABC=90°,D是AC中点,BE⊥BD交CA的延长线于E.下列结论中正确的是( )

(A) ?BED∽?BCA (B)?BEA∽?BCD

(C)?ABE∽?BCE (D)?BEC∽?DBC.

二、填空题(每题5分,共40分)

17.设-1≤x≤2,则|x-2|-|x|+x+2|的最大值与最小值之差为 2

8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对.

119.方程2=2的解为 ?2x?x-2x?7x?10

10HJ牌小汽车的油箱可装汽油30升,原来装有汽油10升,现在再加汽油x升.如果每升汽油2.95元,油箱内汽油的总价y(元)与x(升)之间的函数关系式是 ,其图象为(请画在右边的坐标系中).

11.已知 (x+x2?2002)(y+y2?2002)=2002,则x2-3xy-4y2-6x-6y+58=

12.如图,直线AB与⊙O相交于A、B两点,点O在AB上,点C在

⊙O上,且∠AOC= 40°,点E是直线AB上—个动点(与点O不重合),直线EC交;⊙O于另一点D,则使DE=DO的点E共有 个.

13.有两道算式: 好+好=妙,

妙×好好×真好=妙题题妙,

其中每个汉字表示0~9中的一个数字,相同汉字表示相同数字,

不同汉字表示不同数字.那么,―妙题题妙‖所表示的四位数的所有因数的个数是

14.已知实数a,b,c,满足a+b+c=0,a2+b2+c2=6,则a的最大值为

三、解答题(每题16分,共64分)

15.华鑫超市对顾客实行优惠购物,规定如下:

(1)若一次购物少于200元,则不予优惠;(2)若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠;

(3)若一次购物超过500元,其中500元部分给予九折优惠,超过500

元部

分给予八折优惠小明两次去该超市购物,分别付款198元与554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,他需付款多少?

16.当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果没有,请说明理由.

17.现有长为150cm的铁丝,要截成n(n>2)小段,每段的长为不小于1(cm)的整数.如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.

18.如图,⊙O为?ABC的外接圆,∠BAC=60°,H为边AC、AB上的高BD、CE的交点,在BD上取点M,使BM=CH.. (1)求证:∠BOC=∠BHC;

(2)求证:?DOM≌?COH;

MH (3)求的值 OH

参考答案

一、选择题

1.C 2.C.3.D 4.C 5.D 6.C

二、填空题

7. 1 8.24 9. 10.y=2.95x+29.5

11. 58 12.3 13.16 14,2

三、解答题

15.第一次付款198元,可能是所购物品的实价,未享受优惠;也可能是按九折优惠后所付的款.故应分两种情况加以讨论.

情形1 当198元为购物不打折付的钱时,所购物品的原价为198元. 又554=450+104,其中450元为购物500元打九折付的钱,104元为购物打八折付

的钱,104÷0.8=130(元).

因此,554元所购物品的原价为130+500=630(元),于是购买小明花198+630=828(元)所购的全部物品,小亮一次性购买,应付500×0.9+(828-500)×0.8=712.4(元).

情形2 当198元为购物打九折付的钱时,所购物品的原价为198÷0.9=220(元).

仿情形1的讨论,购220+630=850(元)物品一次性付款应为500×0.9+(850-500)×0.8=730(元).

综上所述,小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品,应付款712.40元或730元

16.因为m为整数,故2m-1≠0.

由Δ={2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5 =4m(m-1)+5,

而m(m-1)为2的倍数,知厶必可表示为

m(m?1) 8k+5(k=为整数)的形式, 2

即Δ为奇数.但奇数的平方 [(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1=8k+1] 应为8k+1的形式,所以Δ不是完全平方数.

∴原方程无有理根.

17.因为n段之和为定值150(cm),故欲n尽可能的大,必须每段的长度尽可能的小.又由于每段的长度不小于1(CITl),且任意3段都不能拼成三角形,因此这些小段的长度只可能分别是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…但

1+1+2+……+34+55=143<150,

1+1+2+……+34+55+89=232>150,

故n的最大值为10.

将长为150(cm)的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式: 1,1,2,3,5,8,13,2l,34,62

1,1,2,3,5,8,13,21,35,6l

1,1,2,3,5,8,13,21,36,60

1,1,2,3,5,8,13,21,37,59

1,l;2,3,5,8,13,22,35,60

1,1,2,3,5,8,13,22,36,59

1,l,2,3,5,8,14,22,36,58

18.(1)∵∠BAC=60°

∴∠BOC=2∠BAC=120°, ∠BHC=∠DHE

=360°-(90°+90°+∠BAC) =120°

∴∠BOC=∠BHC.

(2)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,

又∠BOC=120°,

1 ∴∠OBC=(180°-120°)=30° 2

而∠HBC=90°-∠BCA,

∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°

1 又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB- (180°-120°) 2

=∠HCB-30°

但∠HCA=90°-∠BAC =90°-60°=30°

∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30° =∠BCA-60°

∴∠OBM=∠OCH;

又已知BM=CH,OB=OC,

∴?BOM≌?COH.

(3)由(2)得OH=OM,且∠COH=∠BOM;从而

∠OHM=∠OMH, ∠MOH=∠BOC=120°

1 ∠OHM= (180°-120°)=30°. 2

在?OMH中作OP⊥MH,P为垂足,则

111OP=OH,由勾股定理,得 (MH)2=OH2-OP2 =OH2-(OH )2=3. 222

江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试

一.选择题

1.三个质数p,q,r满足p+q=r,且p<q,那么p等于( )

A、2 B、3 C、7 D、13

2.数a,b,c,d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示,那么a+c

与b+d的大小关系是( )

A D O C B

A、a+c<b+d B、a+c=b+d C、a+c>b+d D、不能确定

3.如果有2003名学生排成一列,按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,。。。。。。的规律报数,那么第2003名学生所报的数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4

4.画两条线段,它们除有一个公共点外不再有重叠的部分,在所得图中,设以所画线段的端点以及它们的公共点为端点的线段条数为n,那么对于各种可能的图形,不同的n值有( )

A、2个 B、3个 C、4个 D、多于4个

5.已知2n-1表示―任意正奇数‖,那么表示不大于零的偶数的是( )

A、-2n B、2(n-1) C、-2(n+1) D、-2(n-1)

6.用一根长度为11的铅丝折成三段,再首尾相接围成一个等腰三角形,如果要求所围成的等腰三角形的边长都是整数,那么其底边可取的不同长度有( )

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

7.如图,在一个正方体的两个面上画了两条对角线

AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于( )

A、60° B、75° C、90° D、135°

8.由若干个小正方体堆成的大正方体,其表面被涂成红色,在所有小正方体中,三面被涂成红的有a个,两面被涂成红的有b个,一面被涂成红的有c个,那么在a,b,c三个数中( )

A、a最大 B、b最大

C、c最大 D、哪一个最大与堆成大正方体的小正方体个数有关

二.填空题

a b c d9.右边的算式表示四位数abcd与9的积是四位数dcba, ? 9

d c b a那么a、b、c、d的值分别是____________

10 3 4

可以排出不同的四位数,其中能1 2

被22整除的四位数的和是_____________

11.把一根绳子对折后再对折,然后在其一个三等分处剪断,这样变成了________

根绳子,其中最长的是最短的长度的________倍

12.有31个盒子,每个盒子最多能放5只乒乒球,现取若干只乒乒球往盒里放,那么这些盒子中至少有____________个盒子里的球数相同

13.如图,一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形,如果S1=75cm2,S2=15cm2,那么大正方形的面积是S=_____________cm2

+如下(其余符号意义如常):14.如果a,b是任意两个不等于零的数,定义运算○

a2

+b=,那么[(1○+2) ○+3]-[1○+(2○+3)]的值是_____________ a○b

15.如图,画线段DE平行于BC,端点D,E分别在AB,AC上,再画线段FG平行于CA,HI平行于AB,端点也都分别在另两边上,在按上述要求画出的图形中,最少有________个三角形,最多有_______个三角形

C

SS4 3

S1 S2

B 第13题 第15题

11112003?16.如果???...,那么n=______________ 2612nn?12004第18题

17.A、B、C、D、四个盒子中分别入有6,4,5,3个球,第一个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中各取1个球放入这个盒子中,然后第二个小朋友又找到放球最少的盒子,从其他盒子中各取1个球放入这个盒子,。。。。。。如此进行下去,当第2003个小朋友放完后,A、B、C、D四个盒子中的球数依次是_______________________

18.如图,长方形ABCD正好被分成6个正方形,如果中间最小的正方形面积等于1,那么长方形ABCD的面积等于_______________

19.所有分母不超过2003的正的真分数的和等于______________

20.(1)在如图(1)所示的正方体表面展开图中三个空白正方形内各填入一个质数,使该图复原成正方体后,三组对面上两数之和都相等

(2)图(2)是由四个图(1)所示正方体拼成的长方体,其中有阴影的面上为合数,无阴影的面上为质数,且整个表面任意两个相邻正方形内的数都不是图(1)所示正方体相对面上的两数,已知长方体正面上的四个数之和为质数,那么左侧面上的数是_______(填具体数)

(3)如果把图(2)中的长方体从中间等分成左右两个小长方体,它们各自表面上的各数之和分别记为S左和S右,那么S左与S右的大小关系是S左_______S右

(1) 正面 (2)

20.

(2)21

(3)>

2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中一年级 第2试

一、选择题(每小题7分,共56分)

1.下面给出关于有理数a的三个结论:

(1)a>-a, (2)|-a|>0,(3)(-a)2>0.其中,正确结论的个数为( ). A.3 B.2 C.1 D.0

2.某商场经销一批电视机,进价为每台a元,原零售价比进价高m%,后根据市场变化,把零售价调整为原零售价的n%,调整后的零售价为每台( ). A.a(1+m%·n%)元 B.a(1+m%)n%元 C.a(1+m%)(1-n%)元 D.a·m%(1-n%)元

3.从如图的纸板上l0个无阴影的正方形中选1个(将其余9个都剪去),与图中5个有阴影的正方形折成一个正方体,不同的选法有( ). A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

4.已知a、b是正整数(a>b).对于如下两个结论:

(1)在a+b、ab、a-b这三个数中必有2的倍数,(2)在a+b、ab、a-b这三个数中必有3的倍数,( ). A.只有(1)正确 B只有(2)正确

C.(1)、(2)都正确 D.(1)、(2)都不正确

5.如果以一组平行的―视线‖观看物体,那么从物体正上方往下看可得―俯视图",

从物体正左方往右看可得―左视图‖,从物体正前方往后看可得―主视图’’.图2(1)中的正方体被经过相邻三条棱中点的平面截去一块后得到图2(2)的几何体.图

(3)、(4)、(5)依次是小明画的该几何体的主视图、俯视图和左视图.其中,画得正确的图有( ).

A.O个 B.1个 C.2个 D.3个

6.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a<b<c、abc<O和a+b+c=O.那么线段AB与BC的大小关系是( ).

A.AB>BC B.AB=BC C.AB<BC D.不确定的

7.一个袋子里有9个球,球上分别标有1~9这9个数字.现有211个人,每人从袋中摸出两个球(计数后再将两球都放回袋中),那么,所取两球上数字之和相等的至少有( ).

A.6人. 13.13人 C.15人. D.16人,

8.a1,a2,…,a2004都是正数.如果M=(al+a2+…+a2003)(a2+a3+…+a2004),

N=(al+a2+…+a2004)(a2+a3+…+a2003),那么M、N的大小关系是( ).

A.M>N B.M=N C M<N D.不确定的

二、填空题(每题7分,共56分)

9.图3中有个正方形,个三角形,个梯形.

10.如图,长方形纸片的长为a,宽为b.在相邻两边上各取一个三等分点,过这两点的直线将把纸片分成一个三角形和一个五边形.由不同的取点、画线所得的五边形中,按面积大小,有 种不同的情况,其中,最小的面积等于 .

11.已知图中数轴上线段MO(O是原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中,只

有两点对应的数是整数,点M对应的数m>-10,那么埘可以取的不同值有 个,m的最小值为 .

12.如果|m|、|n|都是质数,且满足3m+5n=-1,那么m+n的值等于.

13.一个长方体的长为42 cm,宽为35 cm,高为31.5 cm.如果要把这个长方

体正好分割成若干大小相同的小正方体(没有剩余),那么这些小正方体至少有 个,这时所得小正方体的棱长为 cm.

14.如图中有4个三角形和1个正方形.如果要把1~8这8个自然数分别填

入图中的8个圆圈中,使每个三角形顶点处的3个数之和都相等,且与正方

形顶点处的4个数之和也相等,那么这个和等于 .请在图中填入各

数.

15.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习,每人投球10个,每投进一球得

1

得分不到8分的人的平均得分为3分,那么该班学生有 人.

16.某校初一年级5个班举行4项环境保护知识竞赛,每班各选派2名代表参加,

10名学生中,在同一

个班的分别是: 和 ,. 和 , 和 ,

和,和.

三、解答题(每题12分,共48分)

17.18×1=18, 18×4=72, 18×7=126,

18×2=36, 18×5=90, 18×8=l44,

18×3=54, 18×6=108, 18×9=162.

上列等式说明18是一个奇怪的二位数——18分别乘以1、2、3、4、5、

6、7、8、9以后,所得乘积的各位数字的和不变.请你找出另外一个二位

数,它也具有这种奇怪的现象,并加以验证.

18.如图,三角形ABC内的线段BD、CE相交于点0.已知OB=OD,OC=20E,

设三角形BOE、三角形BOC、三角形COD和四边形

AEOD的面积分别为

S1、S2、S3、S4.

(1)求S1:S3的值.

(2)如果S2=2,求S4的值.

19.某地区的民用电,按白天时段和晚间时段规定了不同的单价.某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%,9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%,结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%,但9月份的电费却比8月份的电费少1 O%.求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数.

20.已知正整数a、b、c、m、n中,m、n分别是a、b被c除所得的余数.

(1)m+n与2c的大小关系是:.

a?b (2)当m+n=且a>b时,a、b、c三个数各与m、n有什么样的关系 (用2

等式表示)?

(3)写出满足上述所有条件的一组a、b、c、m、n的值.

2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中二年级 第2试

一、选择题(每小题7分,共56分)

1111.已知??=O,a2+b2+c2=1,则a+b+c的值等于( ). abc

A.1 B.-1 C.1或-1 D.O

2.已知整数a、b、c、d满足abcd=25,且a>b>c>d,那么|a+b|+|c+d|等于( ).

A.O B.10 C.2 D.12

3.如图,∠ABC=31°,又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点,则∠AEC为( ).

A .14.5° B.15.5° C.16.5° D.20°

4.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存

入、取出按照―先进后出’’的原则.如图2,堆栈(1)的2个连续存储单

元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个连续

存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e以现

在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺

序的取法的种数有( ).

A5种 B6种 C.10种 D.12种

5.如图,?ABC是等边三角形,P是BC上任意一点,PD⊥AB,

PE⊥AC,连结DE.记?ADE的周长为L1,四边形BDEC的周长为L2,则L1与L2的大小关系是( ).

A.Ll=L2 B.L1>L2 C.L2>L1 D.无法确定

6.直角三角形的三条边长分别为x-y,x,x+y,这里x>y>0,则x:y为 ( ).

A.4:1 B.4:3 C.3:2 D.2:1

7.如图,长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形,则阴影部分的面积

( )

11A.π(b2-a2) B. π(b2-a2) 48

11C.π(2ab-b2) D.π(2ab-b2) 48

8.在冬季篮球赛中,选手王霞在第六、第七、第八、第九场比赛

中分别得了23分、14分、11分和20分.

她的前九场的平均成绩

高于前五场的平均成绩,如果她的前十场的平均成绩高于l8分,那么她的第十场的成绩至少为( ).

A.27分 B.29分 C.31分 D.33分

二、填空题(每题7分,共56分)

9.已知4x2-3x+1=a(x-1)2+b(x-1)+c对任意数x成立,则

10.直线上有n个点,我们进行如下的操作:每相邻两点间插入1个点,经过3次操作,直线上有 个点.

11.如图,四边形ABCD中,∠C=90°,∠D=150°,BC= CD=DA,则∠A= 度,∠B= 度.

12.不同的3个质数a,b,c满足abbc+a=2000,则

l3.在图(1)中取阴影等边三角形各边的中点,连成一个等边三角形,将其挖去,得到图(2);对图(2)中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法,得到图(3),如此继续.如果图(1)的等边三角形面积为1,则第n个图形中所有阴影三角形面积的和为 .

14.如图,四边形ABDC中,?EDC是由?ABC绕顶点C旋转40°所得,顶点A恰好转到AB上一点E的位置,则∠1+∠2= 度.

15.超市送货员将9袋桔子送往甲、乙、丙3家客户.这9袋桔子的重量

(千克数)分别为22,25,28,31,34,36,38,40,45.客户丙家只送了

1袋.回来后,送货员记不清送往客户丙家的是多重的l袋,但是他记得

送往客户甲家的重量是送往客户乙家的重量的2倍,则送往客户丙家的1

袋桔子重量(千克数)为 .

16.将奇数依顺序排列成如图所示的三角形数阵,从上到下称为行.图中数11为第3行、从左向右数的第2个数;数29为第4行、第6个数.那么,2003为第行、第个数.

三、解答题(每题12分,共48分)

17.如图,在?ABC中,AD为∠BAC的平分线,BP⊥AD,垂足为P.已知AB=5,BP=2,AC=9.试说明∠ABC=3∠ACB.

18.宁工养殖场从1999年到2003年五年中,年产值逐年增加;头三年平均年产值180万元;后三年平均年产值260万元;头两年产值之差为70万元;后两年产值之差为50万元;最高年产值和最低年产值的平均值为220万元.

根据上述数据,请你确定1999年到2003年各年的产值.

19.将1,2,3,…,37排列成一行a1,a2,…,a37,其中al=37,a2=l,并使a1+a2+…+ak能被ak+l整除(k=1,2,3,…,36).

(1)求a37 (2)求a3.

20.设m=12+22+32+…+20032.今天是星期一,若算第一天,则第m天是星期几?

1 5.设送往客户乙家的桔子重量为x千克.则送往客户甲家的桔子重量为2x、千克.桔子的总千克数为22+25+28+3 1+34+36+38+40+45=299.

因此,送往客户丙的重量(千克数)=299-3x=3(99一x)+2,所以它被3除余2.在这9袋中重量数(千克)除以3余2的只有38.故送往客户丙家的桔子是38千克的1袋.

2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中三年级

一、选择题(每小题7分,共42分)

1.在直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点.设k为整数,当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时,k的值可以取 ( )

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

2.如图,AB是⊙0的直径,C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合),CD⊥AB,AD、CD分别交⊙O于E、F,则与AB·AC相等的一定是 ( ).

A.AE·AD B AE·ED C.CF·CD D.CF·FD

3.在?ABC与?A'B'C’中,已知AB<A’B’,BC< B’C’,CA<CA’

.下列结

论:

(1)?ABC的边AB上的高小于?A'B'C’的边A'B’上的高;

(2)?ABC的面积小于?A’B’C’的面积;

(3)?ABC的外接圆半径小于?A’B’C’的外接圆半径;

(4)?ABC的内切圆半径小于?A’B’C’的内切圆半径.其中,正确结论的个数为

( ).

A.O B.1 C.2 D.4

4.设S=11,那么S与2的大小关系是( ). ?(1?x)2(1?x)2

A S=2 B.S<2 C S>2 D.S与2之间的大小与x的取值有关

5.折叠圆心为0、半径为10 cm的圆纸片,使圆周上的某一点A与圆心0重合.对圆周上的每一点,都这样折叠纸片,从而都有一条折痕.那么,所有折痕所在直线上点的全体为( ).

A以0为圆心、半径为10 cm的圆周

B.以O为圆心、半径为5 cm的圆周

C.以O为圆心、半径为5 cm的圆内部分

D.以O为圆心、半径为5 cm的圆周及圆外部分

6.已知x,y,z都是实数,且x2+y2+z2=1,则m=xy+yz+zx( ).

A只有最大值 B.只有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既无最大值又无最小值

二、填空题(每小题7分,共56分)

7.如图是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于 .

8.设0.al a2 a31为四位十进制纯小数,ai(i=1,2,3)只取0或1.记T是所有这些四位小数的个数,S是所有这些四位小数的和,则S/T=

9.如图,取一张长方形纸片,它的长AB=10 cm,宽BC=53cm,然后以

虚线CE(E点在AD上)为折痕,使D点落在AB边上,则AE= cm,∠DCE= 。

1O.直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=5 cm,AC=4cm,则∠A的平分线

AD的长为cm

11.房间里有凳子(3条腿)、椅子(4条腿)若干张,每张凳子或椅子只能坐1人.一些人进来开会,只坐凳子或只坐椅子都不够坐,但每人都有椅子或凳子坐,且还

有空位.已知人腿、凳腿、椅腿之和为32,则房间里共有 个人、 张凳子、 张椅子.

12.如图,⊙C通过原点,并与坐标轴分别交于A、D两点.已知∠OBA=30°,点D的坐标为(0,2),则点A,C的坐标分别为 A( , );C( ,

)

13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=O的根是正整数,则整数r的值可以是 .

14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组,使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么,整数行可以取得的最大值是 .

三、解答题(每题13分,共52分)

15.初三(8)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元,拟为每位同学买l本相册.某批发兼零售文具店规定:购相册50本起可按批发价出售.少于50本则按零售价出售,批发价比零售价每本便宜2元.班长若为每位同学买l本,刚好用完m元;但若多买12本给任课教师,可按批发价结算,也恰好只要m元.问该班有多少名同学?每本相册的零售价是多少元?

16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根

1?5k的积;反比例函数y=的图象的两个分支在各自的象限内,点的纵坐标y随x

点的横坐标,r的增大而减小.求满足上述条件的是的整数值.

17.求360的所有正约数的倒数和.

18.如图,在?ABC中,BC=6,AC=42 ,∠C=45°,P为边BC上的动点,过P作PD∥AB交AC于点D,连结AP,?ABP、?APD、?CDP的面积分别记为S1,S2,S3设BP=x.

(1)试用x的代数式分别表示S1,S2,S3;

(2)当P点位于BC上某处使得?APD的面积最大时,你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条

)?

参考答案:

一、 选择题

1.A 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C

二、 填空题

7. 377 8. 0.0556

9.30 10.

11. 5, 2, 4 12.

(-

1)0) 33

13. 0, 1或7 14. 28

三、 解答题

15. 设该班共有x名同学,相册零售价每

江苏省第十九届初中数学竞赛初一年级 第1试

2004年12月5月 上午8:30—10:30

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,

请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。

l.(?2)2004?3?(?2)2003的值为( )

(A)?22003 (B)22003 (C)?22004 (D)22004

2.已知ab2c3d4e5?0,下列判断正确的是( )

(A)abcde?0 (B)ab2cd4e?0 (C)ab2cde?0 (D)abcd4e?0

3.如果x?1?1?x,那么( )

(C)x≤1 (D)x≥1

1114.已知m是小于l的正数,a?1?,b??1,d??m,那么( ) mmm

(A)c<d<a<b (B)b<c<d<a (C)c<a<b<d (D)a<c<b<d

5.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动,那么从3时整(3:00)开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )

(A)1次 (B)2次 (C)3次 (D)4次

6.下面所说的―平移‖,是指只沿方格的格线(即上下或左右)运动,将图中的任一条线段平移1格称为―1步‖。要通过平移,使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形,最少需要移动( )

(A)7步 (B)8步 (C)9步 (D)10步

7.如图,正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,那么?AEG的面积的值

( )

(A)只与m的大小有关 (B)只与n的大小有关

(C)与m、n的大小都有关 (D)与m、n的大小都无关

(A)x<1 (B)x>1

8.如图(1),将正方体的左上部位切去一个小三棱拄(图中M、N都是正方体的棱的中点),得到如图(2)所示的几何体。设光线从正前方、正上方、正左方照射图(2)中的几何体,被光照射到的表面部分面积之和分别为S前、S上、S左。那么( )

(A)S前=S上=S左 (B)S前<S上=S左

(C)S上<S左<S前 (D)S上<S左=S前

二、填空题(每小题7分,共84分)

5551119.计算:(1?3?9)?(1?3?9)?。 993311993311

10.在有5个正约数的正整数中,最小的一个是。

11.如果两个正数的最大公约数是72,最小倍数是864,那么这两个数是。

12.把从1开始的2004个连续正整数顺次排序,得到一个多位数

N=123456789101112……20032004

那么,N除以9所得的余数是 。

13.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF。如

果∠DEF=123°,那么∠BAF= °。

14.如果3个连续的三位正整数a、b、c的平方和的个位数字是2,那么b的最

小值是 。

15.如图,由12根铅丝焊接成一个正方体框架。现要将每个正方形的4根铅丝

分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色。如果已将AD涂成红色,BF涂成黄色,GH涂成蓝色,那么该涂成白色的铅丝有。

16.有3种新书,单价分别为4元、5元、9元。某班有43名学生,每人都从中

选购了自己所喜爱的书(可以不止1种,但不重复),那么至少有 名学生所付的书款相同。

17.把图(1)中的正方体沿图中用粗线画出的7条棱剪开,即可将其表面展开在

平面上。在图(2)中按已确定的一个面ABCD的位置,画出这个平面展开的示意图。

18.某旅游团一行50人到某旅社住宿,该旅社有三人间、双人间和单人间三种

客房,其中三人间每人每晚20元,双人间每人每晚30元,单人间每晚50元。已知该旅行团住满了20间客房,且使总的住宿费用最省。那么这笔最省的住宿费用是 元,所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 。

19.甲、乙、丙三辆车均在A、B两地间往返行驶,三辆车在A、B两地间往返

一次所需时间分别为5小时、3小时和2小时。三辆车第一次同时汇合于A地时,甲车先出发,经过1小时后乙车出发,再经过2小时后丙车出发。那么丙车出发 小时后,三辆车将第三次同时汇合于A地。

20.池塘里有3张荷叶A、B、C,一只青蛙在这3张荷叶上跳来跳去。若青蛙

从A开始,跳k(k≥2)次后又回到A,并设所有可能的不同跳法种数为ak,则当k>2时,ak与ak-1之间的关系式是 ,a8的值是 。

参考答案:

1.每题7分,满分140分.

2.第11、18、20题,7分按4、3分配,第15题,7分按3、2、2分配且错填

1条棱扣2分。

14.110 15.AB、DH、FG 16.8 17.如图

18.1150,15、O、5 19.52 20.ak=2k-1-ak-1, 86

江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试

2004年12月5日上午8:30—10:30

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,

请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。

1.已知x1,x2,x3的平均数为5,y1,y2,y3的平均数为7,则2x1?3y1,2x2?3y2,2x3?3y3的平均数为( )

3193 (C) (D)17 35

2.在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=70°。则∠ADC等于( )

(A)145° (B)150° (C)155° (D)160°

3.如图,?ABC为等边三角形,且BM=CN,AM与BN相交于点P,则∠APN( )

(A)等于70° (B)等于60° (C)等于50° (D)大小不确定―

4.如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等.图(1)、图(2)所示的的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置( )

(A)3个球 (B)4个球 (C)5个球 (D)6个球

(A)31 (B)

5.已知一列数a1,a2,a3,…,an,…中,a1?0,a2?2a1?1,a3?2a2?1,…,an+1?2an?1,…。则a2004?a2003的个位数字是( )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

6.在0,1,2,3,…,100这101个整数中,能被2或3整除的数一共有( )

(A)85个 (B)68个 (C)34个 (D)17个

7.如果每1秒钟说一个数,那么说1012个数需要多少时间?下面的估计最接近的是( )

(A)32年 (B)320年 (C)3千2百年 (D)3万2千年

8.如图是3×3正方形方格,将其中两个方格涂黑有若干种涂法.约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD

中心旋转能重合的图案

都视为同一种图案,例如就视为同一种图案,则不同的涂法有

( )

(A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种

二、填空题(每小题7分,共84分)

9.一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍,则这个多边形是

10.多项式x4?4x3?ax2?4x?1被x?3除,余数为2,则a?

11.已知143=2744,153=3375,则 的3次方等于2 924 207。

1212.一个摩托车手旅程速度为40千米/时,旅程速度为50千米/时,则他33

的全旅程的平均速度为 。

13.盒子里有l0个球,每个球上写有1—10中的1个数字,不同的球上数字不

同,其中两个球上的数的和可能是3,4,…,19。现从盒中随意取两个球,这两个球上的数的和,最有可能出现的是 。

14.a,b,c为?ABC的三边,且3a3?6a2b?3a2c?6abc?0,则?ABC

的形状为 。

15.如图,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形

ABE,CE与DB相交于点F,则∠AFD= 度。

16.若有理数x、y(y≠0)的积、商、差相等,即xy?

则x? ,y? 。

17.如图,横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1.若六边形(可

以是凸的或凹的)的顶点都在格点上,且面积为6,画出三个

形状不同的这样的六边形.

18.有3堆硬币,每枚硬币的面值相同。小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬

币放入第2堆;又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆;最后从第3堆中取出和现存的第l堆一样多的硬币放入第l堆,这样每堆有16枚硬币,则原来第l堆有硬币 枚,第2堆有硬币 枚,第3堆有硬币 枚

19.七位数1abcdef,这里数码a,b,c,d,e,f是0或l,所有这样的七

位数的和是 。

20.甲、乙、丙三人进行智力抢答活动,规定:第一个问题由乙提出,由甲、丙

抢答.以后在抢答过程中若甲答对1题,就可提6个问题,乙答对1题就可提5个问题,丙答对l题就可提4个问题,供另两人枪答.抢答结束后,总共有16个问题没有任何人答对,则甲、乙、丙答对的题数分别

是 .

x?x?y,y

江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试

参考答案及评分标准

9.十三 13.11

10.-2

11.143 12.46

14.等腰三角形

2

千米/时(或填约46.15千米/时) 13

1

15.60 16.-,-1

2

17.

注 符合条件的六边形有许多。填对1个给2分,填对2个给4分。 18.22,14,12 19.67 555 552

20.(1,2,2)或(0,3,1) 注 填对1个只给4分。

江苏省第十九届初中数学竞赛试卷初二年级第2试

(2004年12月26日 8:30-----11:00)

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确的答案的英文字母填写在题后的圆括号内。

1.数学大师陈省身于2004年12月3日在天津逝世,陈省身教授在微分几何等领域做出了杰出的贡献,是获得沃尔夫奖的惟一华人,他曾经指出,平面几何中有两个重要定理,一个是勾股定理,另一个是三角形内角和定理,后者表明平面三角形可以千变万化,但是三个内角的和是不变量,下列几个关于不变量的叙述: (1)边长确定的平行四边形ABCD,当A变化时,其任意一组对角之和是不变的;

(2)当多边形的边数不断增加时,它的外角和不变;

(3)当?ABC绕顶点A旋转时,?ABC各内角的大小不变; (4)在放大镜下观察,含角α的图形放大时,角α的大小不变; (5)当圆的半径变化时,圆的周长与半径的比值不变; (6)当圆的半径变化时,圆的周长与面积的比值不变。 其中错误的叙述有 ( )

(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个

2.某种细胞在分裂过程中,每个细胞一次分裂为2个,1个细胞第一次分裂为2个,第2次继续分裂为4个,第3次继续分裂为8个,……则第50次分裂后的细胞的个数最接近( )

(A) 1015 (B) 1012 (C) 108 3.如图,在五边形ABCDE中,BC∥图中与?ABC面积相等的三角形有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 44.如图,四边形ABCDA,B,C三点,且l1∥l2∥l3,若l1与l2距离为7,则正方形ABCD的面积等于 (D) 148

5上,一球从BC、DA各1次后,又回到出发点P处,每次球撞击桌边时,撞击前后的路线与桌边所成的角相等(例如图∠α=∠β)若AB=3,BC=4,则此球所走路线的总长度(不计球的大小)为 ( )

(A) 不确定 (B) 12 (C) 11 (D) 10

6.代数式2x2-6xy+5y2,其中x、y 可取任意整数,则该代数式不大于10的值有

( )

(A) 6个 (B) 7个 (C) 8个 (D) 10个

7.在2004,2005,2006,2007这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是

( )

(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D)2007

?3x?a?0

8.已知关于x的不等式组?的整数解有且仅有4个:-1,0,1,2,那么?bx??2?

适合这个不等式组的所有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )

(A)1 (B)2 (C) 4 (D)6

二、填空题(每小题7分,共56分)

9.在公路沿线有若干个黄沙供应站,每两个黄沙供应站之间有一个建筑工地,一辆载着黄沙的卡车从公司出发,到达第1个黄沙供应站装上沙,使车上的黄沙增加1倍,到达第1个建筑工地卸下黄沙2吨,以后每到达黄沙供应站装沙,使车上黄沙增加1倍,每到达建筑工地卸下黄沙2吨,这样到达第3个建筑工地将黄沙下好卸光,则卡车上原来装有黄沙 吨

10.有20个队参加比赛,每队和其他各队都只比赛1每场比赛裁定有1队胜,即没有平手,获胜1场得1得零分,则其中任意8个队的得分和最多是 11.在如图所示的梯形等式表中,第n行的等式是 。

12.普通骰子是各面点数分别为1,2,3,4,5,6现有甲、乙两个普通骰子,

加,得到的如表1,从中可看出和2,3,4,…12各自出现的次数。(表中数据表示骰子点数)

现在设计丙、丁两个特殊的正方体骰子,要求将丙骰子每面的点数分别与丁骰子每面的点数相加后,所得的和仍是2,3,4,…,12,且同一种和出现的次数与甲、乙两个普通骰子完全相同,即2出现1次,3出现2次,…,12出现1次,已知丙、丁两个骰子各面的最大点数分别为4和8,且它们各面的点数都是正整数。请在表2中分别填入丙、丁两个骰子各面的点数(可用点或数字表示)

13.如图,将四根木条用螺钉连接,构成一个四边形ABCD(在A、B、C、D处都是活动的)。现固定AB不动,改变四边形的形状,当点C在AB的延长线上时,∠C=90°,当点D在BA,,

14小9,这个长方体的体积是

15.如图,两个矩形ABCD和EFGH相交,EH、DC相交于点M,EF、DA相交于点P,FG、AB相交于点N,GH、BC相交于点Q,且MN∥DA,PQ∥EH。已知MN=10,PQ=9,矩形EFGH的周长等于34,则矩形ABCD的周长等 。

16.一个纸质的正方形―仙人掌‖,假设―仙人掌‖在不断地

生长,新长的叶子是―缺角的正方形‖,这些―正方形‖的中心在先前正方形的角上,它们的边长是先前正方形的一半(若第一个正方形的边长是1,则生长到第4面积是 。

三、解答题

17.长边与短边之比为2:1的长方形为―标准长方形‖。约定用短边分别为a1、a2、a3、a4、a5(其中a1<a2<a3<a4<a5的5个不同―标准长方形‖拼成的大长方形记为(a1、a2、a3、a4、a5),如图,短边长分别为1,2,2.5,4.5,7的―标准长方形‖拼成的大长方形记为(1,2,2.5,4.5,7),解答下列问题:

(1)写出长方形(1,2,5,a4,a5)中a4和a5可取的值及相应的面积不同的长方形(用上述长方形的记法表示出来),并画出其中两个符合要求的长方形示意图。

(2)所有这些长方形(1,2,5,a4,a5)的面积的最大值是多少?

18.A、B、C、D、E五人到商店去买东西,每人都花费了整数元,他们一共花了56元,A、B花费的差额(即两人所花钱的差的绝对值,下同)是19元,B、C花费的差额是7元,C、D花费的差额是5元,DE花费的差额是4元,E、A花费的差额是11元,问E花费了几元?为什么?

19.当x=20时,一个关于x的二次三项式的值等于694,若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数,求满足条件的所有二次三项式。

20.《时代数学学习》杂志编辑部为了更好地提高杂志质量,邀请了20位同学围坐在会议桌旁召开座谈会,会上备有足量的各期杂志供大家任意选取,每人可取任意多本,座谈会结束时,统计一下每人所取杂志的本数,发现总有一些座位连在一起的人(可以1人或可含全部),他们所取的杂志的本数的和是20的整数倍。为什么?

江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级(第1试)

2004年12月5日 上午8:30~10:30

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,

请将正确答案的英文字母填在题后的括号内。

1.P是⊙O内一点,⊙O的半径为15,P点到圆心O的距离为9,通过P点、

长度是整数的弦的条数是 ( )

A、5 B、7 C、10 D、12

2.若bk<0,则直线y=kx+b一定通过

( )

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、

四象限

3、如图E,F,G,H,J,K,N分别是正方形各边的三等分点,要使中间阴影

部分的面积是5,那么大正方形的边长应该是 ( )

A、5 B、3 C、52 D、4 2

4、直线y=x和y=-x+1把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

4个部分(包括边界在内,如图),则满足

的点(x,y)必在:( ) A、第Ⅰ部分 B、第Ⅱ部分

C、第Ⅲ部分 D、第Ⅳ部分 Ⅱ

5、矩形ABCD中,E,F分别为边BC、的中点,线段AE、AF与对角线BDG、H.设矩形ABCD的面积为S结论中: ①AG:GE=2:1 ②BG:GH:1③S1?S2?S3?S ④S2:S4:S6?1:2:4 3AEFGHBIDNK4F

C正确的结论有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、若2x4?3x3?ax2?7x?b能被x2?x?2整除,

则a:b的

( )

A、-2 B、-12 C、6 D、4 S5BES6是 值

7、要使关于x的二次议程mx2?2x?m(m2?1)?0的两根的倒数之和等于m,这样

的实数值m的

( )

A、0 B、1 C、2 D、4

8、若使函数y?1

x2?2bx?c2个数为 的自变量的取值范围是一切实数,则下面的关系中一

定满足要求的是( )

A、b>c>0 B、b>0>c C、c>0>b D、c>b>0

二、填空题(每小题7分,共84分)

9、已知a,b(ab≠0)是方程x2?2bx?a?0的两个实数根,则 10、某班有50名同学,第人都要从下列3类运动中各选1个项目参加测试:球类包括篮球、排球、足球、乒乓球4个项目;跑步包括100m、200m、400m3个项目;跳跃包括跳高、跳远2个项目。那么该班全体同学中至少有 人所选的3个项目完全相同。

11、如图,ABCD是边长为9的正方形,E是BC上的一点,

BE=1EC。将正方形折叠,使点A与点E重合,折痕为MN,则2

DA。 S?ANE?

B ADDMC dEHE N cFKEab CBFB AN第11题 图 1

第15题

12、图2为正方体图(1)的展开图。图1中M,N分别 是FG,GH的中点,CM,CN是三条线段,试在图2中画出这些线段。

13、有3辆汽车同时从A城出发,沿同一公路开往B城,其中第二辆车每小时比第一辆车少走4千米,而比第三辆车多走6千米,第二辆车比第一辆车迟到达B城3分钟,而比第三辆车早到B城5分钟,假设它们在路上都没有停过,且速度是均匀的,那么,A城到B城的路程为 千米,第二辆车速度为第小时 千米。

14、过年时老祖母给三个孙子压岁钱,总额300元,共有50元、20元、10元三种面额各若干张。每个孙子只拿到同一种面额的钱。若小面额钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积,那么三个孙子所得的压岁钱分别是 。

15、如图,矩形ABCDS中,点E在AB上,点F在BC上,且S?BEF?S?CDF?S?ADE,若BF=a,FC=b,BE=c,AE=d,则a:b= 。

16、如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,D为BC中点,

?ABC折叠,使A点 与D点重合。若EF为折痕,则sin∠BED

的值为 ,

17、方程1

x2?3x?2FDBDE的值为 。 DF?1

x2?5x?6?1

x2?7x?12?1

x2?9x?20?1的解8A

为 。

18、20个质量分别为1,2,3…,19,20克的砝码放在天平两边,正好达到平衡。

(1)试将砝码①,②,③…⒇(①,②,③…分别表示质量为1克,2克,…的砝码)分别放在天平两边,使之达到平衡,且可从每边各取下同样多的偶数个砝码,仍能使天平保持平衡;

(2)试将砝码①,②,③…⒇分别放在天平两边,使之达到平衡,且从每边无论

怎样取下同样多个砝码,都不能再使天平保持平衡。

(1) (2)

19,参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。

若这次会议握手的总次数是159,那么参加会议的成员有 人,其中,第二次握手共有 次。

20、n为自然数,若9n2?5n?26为两个连续的自然数之积,则n的最大值是 。

参考答案:

条线段不全正确,均不给分;第14,17,18题两个(组)解答,只填对一个(组)给4分

9.-3,1 10. 3 11. 15/2 12. 如图 13. 120,96 14.100元、100元、

100元、60元、90元、150元 15. 1?3 16. , 2517. 3, -9 18. (1)左边为:①④⑤⑧⑨⑿⒀⒃⒄⒇ (2)左边:①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿⒀⒁ 19, 18, 6 20. 6

江苏省第十九届初中数学竞赛(保留)初三年级第l试

2004年12月5日上午8:30~10:30

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.

1.P是⊙O外一点,⊙O的半径为15,P点到圆心的距离为9,通过P点、长度是整数的弦的条数是( ) A.5 B.7 C.10 D.12 2.若bk<0,则直线y=kx+b一定通过

A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限

3.如图,E、F、G、H、I、J、K、N分别是正方形各边的三等分点,要使中间阴影部分的面积是5,那么大正方形的边长应该是

A.

I J (第3题

)

55

2

D N K

B.35

C.52

A

D.4

4

S5

FC

C

B

E

S6

4.直线y?x和y??x?1把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ个部分(包括边界在内,如

图),则满足y?x且y??x?1的点(x,y)必在( )

A.第Ⅰ部分 B. 第Ⅱ部分 C. 第Ⅲ部分 D. 第Ⅳ部分 5.矩形ABCD中E、F分别为边BC、CD的中点,线段AE、AF与对角线BD分别

交于G、H。设矩形ABCD的面积为S,则以下4个结论中: ①AG:GE=2:1 ②BG:GH:HD=1:1:1;

1

③S1?S2?S3?S; ④S1:S2:S3=1:2:4

3

正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4322

6.若2x-3x+ax+7x+b能被x+x-2整除,则a:b的值是 A.-2 B.-12 C.6 D.4 7.要使关于x的二次方程mx2?2x?m(m2?1)?0的两个倒数之和等于m,这样的实数m的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

1

8.若使函数y?2的自变量x的取值范围是一切实数,则下面的关系2

x?2bx?c

中一定满足要求的是( ) A.b>c>0 B.b>0>c C. c>0>b D.c>b>0 二、填空题(每小题7分,共84分)

9.已知a,b(ab?0)是方程x2?2bx?a?0的两个实数根,则

a=________,b=___________.

10.某班有50名同学,每人都要从下列3类运动中各选1个项目参加测试:球类包括篮球、排球、足球、乒乓球4个项目;跑步包括100m、200m、400m3个项目;跳跃包括跳高、跳远2个项目。那么该班全体同学中至少有____人所选的3个项目完全相同。

111.如图,ABCD是边长为9的正方形,E是BC上的一点,BE=EC。将正方形2

折叠,使得点A与点E重合,折痕为MN,则S?ANE=____。

B CE (图2) (图1) N

(第12题) (第11题

)

12.图2为正方体图1的展开图。图1中M、N分别是FG、GH的中点,CM、CN、MN是三条线段,试在图2中画出这些线段。

13.有3辆汽车同时从A城出发,沿同一公路开往B城,其中第二辆车每小时比第一辆少走4千米,而比第三辆车多走6千米,第二辆车比第一辆车迟到达B城3分钟,而比第三辆车早到达B城5分钟。假设它们在路上都没有停过,且速度是均匀的。那么A城到B城的路程为____千米,第二辆车的速度为每小时____千米。

14.过年时老祖母给三个孙子压岁钱,总额300元,共有50元、20元、10元三种面额各若干张。每个孙子只拿到同一种面额的钱。若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积,那么三个孙子所得的压岁钱分别是_________________。 C

15.如图,矩形ABCD中,点E在AB上,点F在BC上,且S?BEF?S?CDF?S?ADE.

若BF=a,FC=b,BE=c,AE=d,则a:b=_____。

CAD d E c

BC

AF(第15题) (第16题)

16.如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,D为BC的中点。将?ABC折

DE叠,使A点与点D重合。若EF为折痕,则sin∠BED的值为___,的DF

值为____。

1111117.方程2?2?2?2?的解是_____x?3x?2x?5x?6x?7x?12x?9x?208

_____。

18..20个质量分别为1,2,3,……,19,20克的砝码放在天平两边,正好达到平衡。

(1)试将砝码①,②,……,⒇(①,②,……分别代表1克,2克,……的砝

码)分别放在天平两边,使之达到平衡,且可从每边各取下同样多的偶数个砝码,仍能使天平保持平衡;

(2) (1)

(2)试将砝码①,②,……,⒇分别放在天平两边,使之达到平衡,且从每边

无论怎样取下同样多个砝码,都不能再使天平保持平衡。

19.参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。

若这次会议握手的总次数是159,那么参加会议的成员有___人,其中,第二次握手有__次。

20.n为自然数,若9n2+5n+26为两个连续自然数之积,则n的最大值是____。

江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级(第l试)参考答案及评分标准

二、填空题(第9,13,16,19题中的两空,只填对一空给4分;第12题中所画3条线段不全正确,均.

不给分;第14,17,18题两个(组)解答,只填对一个(组)给4分)

159.一3,l 10.3 11. 12.如图 2

13.120,96 14.100元、100元、100元,60元、90元、150元

15.!? 2?2216., 5317.3,一9

凡符合要求的其他放法,同样给分.

19.18.6 20.6

江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案

初三年级(第2试)

(2004年12月26日 8﹕30-11﹕00)

一、选择题(每小题7分,共42分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.

1、已知整数x,y

?,那么整数对(x,y)的个数是( D )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

22、方程2x?x2?的正根的个数是 ( A ) x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

3、在直角坐标系中,已知两点A(?8,3)、B(?4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0),则当四边形ABCD的周长最小时,比值m为 ( C ) n

23(A)? (B)?2 (C)? (D)?3 32

4、设一个三角形的三边长为正整数a,n,b,其中b?n?a。则对于给定的边长n,所有这样的三角形的个数是( D )

1(A)n (B)n?1 (C)n2?n (D)n(n?1) 2

5、甲、乙、丙、丁4人打靶,每人打4枪,每人各自中靶的环数之积都是72(中靶环数最高为10),且4人中靶的总环数恰为4个连续整数,那么,其中打中过4环的人数为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

6、空间6个点(任意三点不共线)两两连线,用红、蓝两色染这些线段,其中A点连出的线段都是红色的,以这6个点为顶点的三角形中,三边同色的三角形至少有 ( C )

(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个

二、填空题(每题7分,共56分)

17、已知S?x?2?x?x?2,且?1?x?2,则S的最大值与最小值的差2

是 1 。

9a8、已知两个整数a、b,满足0?b?a?10,且是整数,那么数对(a,b)a?b

有 7 个。

?x?2?x?0?x?19、方程xy?9x?y?12xy?9的非负整数解是?,?,?,y?3y?3y?0???2222

?x?1. ?y?6?

10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序(自左至右、自上而下)与26个自然数1,2,3,…,25

如,有一种译码方法按照以下变换实现:

x?x?,其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26)。 则x?1时,x??6,即明文Q译为密文Y; x?10时,x??7,即明文P译为密文U。

现有某变换,将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?: x?x?,x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和(1?x?26,1?b?26)。 已知运用此变换,明文H译为密文T,则明文DAY译成密文为 CHQ.

11、如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,?AOC?60?,点P在AB的延长线上,且PB?BO?3cm。连结PC交半圆于点D,过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E,则PE。

12、?ABC中,BC=a,AC=b,AB=c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O,则c可用a、b的代数式表示为 c?

A

第11题EFrrErBD第14题13、设m为整数,且关于x的方程mx2?2(m?5)x?m?4?0有整数根,则m的值为?4,?16,4.

14、已知?ABC的内切圆半径为r,?A?60?,BC?r的取值范围

是0?r?1.

三、解答题(每题13分,共52分)

15、对于实数a,只有一个实数值x满足等式

试求所有这样的实数a的和.

解:题中等式可化为 2x2?2x?a?4?0 ①

当方程①有两个相等的实数根时, ??4?4?2??a?4??0, 711由此得a1??,此时方程①有一个根x??,验证可知x??的确满足题中的222

等式

7当方程①有两个不相等的实数根时,??4?4?2?(a?4)?0,由此得a?? 2x?1x?12x?a?2?2?0 x?1x?1x?1

若x?1是方程①的根,则原方程有增根x?1,代入①解得a2??8,此时方程①的另一个根x??2,它确也满足题中的等式;

若x??1是方程①的根,则原方程有增根x??1,代入①解得a3??4,此时方程①的另一个根x?0,验证可知x?0确满足题中的等式; 731因此a1??,a2??8,a3??4即为所求,且a1?a2?a3??. 22

16、若干个工人装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作,则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式,开始一个人干,以后每隔t(整数)小时增加一个人干,每个参加装卸的人都一直干到装卸结束,且最后增加的1一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的. 4

问:(1)按改变后的装卸方式,自始至终需要多长时间? (2)参加装卸的有多少名工人?

x解:(1)设装卸工作需x小时完成,则第一人干了x小时,最后一个人干了4

x1x小时,两人共干活(x?)小时,平均每人干活(x?)小时,由题意知,第二人424

1x与倒数第二人,第三人与倒数第三人,…,平均每人干活的时间也是(x?)小24

1x时。 据题设,得(x?)?10,解得x?16(小时). 24

(2)共有y人参加装卸工作,由于每隔t小时增加一人,因此最后一人比第一

1人少干(y?1)t小时,按题意,得16?(y?1)t?16?,即(y?1)t?12. 解此不定方4

?y?2?y?3?y?4?y?5?y?7?y?13程得?,?,?,?,?,?即参加的人数y?2或3t?12t?6t?3t?4t?2t?1??????

或4或5或7或13.

17、下列4个判断:

(1) 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;

(2) 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;

(3) 三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全等;

(4) 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。

上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例。

解:判断(1)、(2)、(3)、(4)都不正确.

判断(1)的反例:如图(1),在?ABC、?AB?C中,AC=AC,BC=B?C,高AH=AH,但两个三角形不全等.

判断(2)的反例:如图(2),在在?ABC、?ABC?中,AB=AB,AC=AC?,高AH=AH,但两个三角形不全等.

判断(3)的反例:设?ABC的三边长分别为AB=16,AC=24,BC=36;?A?B?C?的三边长分别为A?B??24,A?C??36,B?C??54。由于?ABC与?A?B?C?的对应边成比例,故?ABC∽?A?B?C?,从而它们有5个边角元素分别相等:?A??A?,?B??B?,?C??C?,AC=A?B?,BC=A?C?,但它们不全等.

判断(4)的反例:如图(3),在?ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,作?BAF??BAC,延长BC、FA交于点C?,则高BF=BE,AD=AD,又AB=AB,但?ABC与?ABC?不全等。 综上所述,题中4个判断都不正确.

18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分,第2名运动员给2分,…,第12名运动员给12分。最后评分结果显示:每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为c1,c2,…,c12,且c1?c2?…?c12,求c1的最大值。

解:9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分,因为对于5位或5位以上的运动员中,至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5,而按照题意,这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4,矛盾。因此,9名裁判至多给某4位运动员都评为1分. 下面分情形讨论

(1)如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分,那么c1=9;如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下,那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分,于是由题设可知,其余裁判给该运动员的评分不大于4,从而c1?5?1?4?4?21; (2)如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下,那么,这三名运动员各自所得的总分之和不大于9?1?9?3?9?4?72,从而

3c1?c1?c2?c3?72,故,c1?24; (3)如果9个1分为4名运动员拥有,那

么这4名运动员各人所得总分之和等于9?1?9?2?9?3?9?4?90,从而

4c1?90,故c?23.综上可知,c1?24.

c1?24这种情形是可以实现的,见下表:

江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案初三年级(第2试)

(2004年12月26日 8﹕30-11﹕00)

一、选择题(每小题7分,共42分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.

1、已知整数x,y

?,那么整数对(x,y)的个数是( D )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

22、方程2x?x2?的正根的个数是 ( A ) x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

3、在直角坐标系中,已知两点A(?8,3)、B(?4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0),则当四边形ABCD的周长最小时,比值m为 ( C ) n

23(A)? (B)?2 (C)? (D)?3 32

4、设一个三角形的三边长为正整数a,n,b,其中b?n?a。则对于给定的边长n,所有这样的三角形的个数是( D )

1(A)n (B)n?1 (C)n2?n (D)n(n?1) 2

5、甲、乙、丙、丁4人打靶,每人打4枪,每人各自中靶的环数之积都是72(中靶环数最高为10),且4人中靶的总环数恰为4个连续整数,那么,其中打中过4环的人数为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

6、空间6个点(任意三点不共线)两两连线,用红、蓝两色染这些线段,其中A点连出的线段都是红色的,以这6个点为顶点的三角形中,三边同色的三角形至少有 ( C )

(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个

二、填空题(每题7分,共56分)

17、已知S?x?2?x?x?2,且?1?x?2,则S的最大值与最小值的差2

是 1 。

8、已知两个整数a、b,满足0?b?a?10,且

有 7 个。 9a是整数,那么数对(a,b)a?b

?x?2?x?0?x?19、方程x2y2?9x2?y2?12xy?9的非负整数解是?,?,?,?y?3?y?3?y?0

?x?1. ?y?6?

10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序(自左至右、自上而下)与26个自然数1,2,3,…,25

如,有一种译码方法按照以下变换实现:

x?x?,其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26)。

则x?1时,x??6,即明文Q译为密文Y; x?10时,x??7,即明文P译为密文U。

现有某变换,将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?: x?x?,x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和(1?x?26,1?b?26)。 已知运用此变换,明文H译为密文T,则明文DAY译成密文为 CHQ.

11、如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,?AOC?60?,点P在AB的延长线上,且PB?BO?3cm。连结PC交半圆于点D,过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E,则PE。

12、?ABC中,BC=a,AC=b,AB=c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O,则c可用a、b的代数式表示为 c?

A

第11题ErrErBD第14题

13、设m为整数,且关于x的方程mx2?2(m?5)x?m?4?0有整数根,则m的值为?4,?16,4.

14、已知?ABC的内切圆半径为r,?A?60?

,BC?r的取值范围是0?r?1.

三、解答题(每题13分,共52分)

15、对于实数a,只有一个实数值x满足等式

试求所有这样的实数a的和.

解:题中等式可化为 2x2?2x?a?4?0 ①

当方程①有两个相等的实数根时, ??4?4?2??a?4??0, 711由此得a1??,此时方程①有一个根x??,验证可知x??的确满足题中的222

等式

7当方程①有两个不相等的实数根时,??4?4?2?(a?4)?0,由此得a?? 2x?1x?12x?a?2?2?0 x?1x?1x?1

若x?1是方程①的根,则原方程有增根x?1,代入①解得a2??8,此时方程①的另一个根x??2,它确也满足题中的等式;

若x??1是方程①的根,则原方程有增根x??1,代入①解得a3??4,此时方程①的另一个根x?0,验证可知x?0确满足题中的等式; 731因此a1??,a2??8,a3??4即为所求,且a1?a2?a3??. 22

16、若干个工人装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作,则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式,开始一个人干,以后每隔t(整数)小时增加一个人干,每个参加装卸的人都一直干到装卸结束,且最后增加的1一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的. 4

问:(1)按改变后的装卸方式,自始至终需要多长时间? (2)参加装卸的有多少名工人?

x解:(1)设装卸工作需x小时完成,则第一人干了x小时,最后一个人干了4

x1x小时,两人共干活(x?)小时,平均每人干活(x?)小时,由题意知,第二人424

1x与倒数第二人,第三人与倒数第三人,…,平均每人干活的时间也是(x?)小24

1x时。 据题设,得(x?)?10,解得x?16(小时). 24

(2)共有y人参加装卸工作,由于每隔t小时增加一人,因此最后一人比第一

1人少干(y?1)t小时,按题意,得16?(y?1)t?16?,即(y?1)t?12. 解此不定方4

?y?2?y?3?y?4?y?5?y?7?y?13程得?,?,?,?,?,?即参加的人数y?2或3t?12t?6t?3t?4t?2t?1??????

或4或5或7或13.

17、下列4个判断:

(5) 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;

(6) 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;

(7) 三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全等;

(8) 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。

上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例。

解:判断(1)、(2)、(3)、(4)都不正确.

判断(1)的反例:如图(1),在△ABC、△AB?C中,AC=AC,BC=B?C,高AH=AH,但两个三角形不全等.

判断(2)的反例:如图(2),在在△ABC、△ABC?中,AB=AB,AC=AC?,高AH=AH,但两个三角形不全等.

判断(3)的反例:设△ABC的三边长分别为AB=16,AC=24,BC=36;△A?B?C?的三边长分别为A?B??24,A?C??36,B?C??54。由于△ABC与△A?B?C?的对应边成比例,故△ABC∽?A?B?C?,从而它们有5个边角元素分别相等:?A??A?,?B??B?,?C??C?,AC=A?B?,BC=A?C?,但它们不全等.

判断(4)的反例:如图(3),在△ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,作?BAF??BAC,延长BC、FA交于点C?,则高BF=BE,AD=AD,又AB=AB,但△ABC与△ABC?不全等。 综上所述,题中4个判断都不正确.

18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分,第2名运动员给2分,…,第12名运动员给12分。最后评分结果显示:每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为c1,c2,…,c12,且c1?c2?…?c12,求c1的最大值。 解:9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分,因为对于5位或5位以上的运动员中,至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5,而按照题意,这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4,矛盾。因此,9名裁判至多给某4位运动员都评为1分. 下面分情形讨论

(1)如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分,那么c1=9;如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下,那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分,于是由题设可知,其余裁判给该运动员的评分不大于4,从而c1?5?1?4?4?21; (2)如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下,那么,这三名运动员各自所得的总分之和不大于9?1?9?3?9?4?72,从而

3c1?c1?c2?c3?72,故,c1?24; (3)如果9个1分为4名运动员拥有,那

么这4名运动员各人所得总分之和等于9?1?9?2?9?3?9?4?90,从而

4c1?90,故c?23.综上可知,c1?24.

c1?24这种情形是可以实现的,见下表:

抚顺市初中数学科教师基本功竞赛选拔试题

考试时间60分钟,试卷满分100分

一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号填入下表 中相应题号后的空格内.(每小题4分,共20分)

1、二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示, 则点A(a, b)在( )

A. 第一象限 B .第二象限 C. 第三象限 D .第四象限

2

2、如图,若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为

使△ABC∽?PQR,则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )

A. 甲 C. 丙

B. 乙 D. 丁

3、如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为( )

A.4 B.6 C.16 D.55

4、正?ABC的边长为3cm,边长为1cm的正?RPQ的顶点

(第3题图)

R与点A重合,点P,Q分别在AC,AB上,将?RPQ沿着

边AB,BC,CA顺时针连续翻转(如图所示),直至点P第一 次回到原来的位置,则点P运动路径的长为( )cm.

(结果保留π)

A((第4题图)

A.4

π B.3π C.2π D.π

5、如图,小明周末到外婆家,走到十字路口处,记不清前面哪条

路通往外婆家,那么他能一次选对路的概率是( )

11 (B) 23

1(C) (D)0 4(A)

二、填空题(每小题4分,共20分)

6、 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑

色瓷砖 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 块(用含n的代数式表示).

7.将边长为3cm的正三角形的各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,再顺

次连接这个正六边形的各边中点,又形成一个新的正六边形,则这个新的正六边形的面积等

于 。

?? (1) (2) (3)

8.如图,在由24个边长都为1的小正三角形的网格中,点P是正六边形

的一个顶点,以点P为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的P

三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 .

9.如图,P是正三角形 ABC 内的一点,且PA=6,PB=8,

PC=10.若将?PAC绕点A逆时针旋转后,得到?P'AB ,则

点P与点P' 之间的距离为_______,∠APB=______°.

10.线段AB,CD在平面直角坐标系中的位置如图7所示,O为坐

标原点.若线段AB上一点P的坐标为(a,b),则直线OP与线段

CD的交点的坐标为

三、解答题(共60分)

11、(本题满分10分)

如图所示的是一个物体的主视图、左视图、俯视图,请你根据给出的图形绘制出这个实物。

12.(本题满分12分)

某种日记本的专卖柜台,每天柜台的租金,人员工资等固定费用为160元,该日记本每本进价是4元,规定销售单价不得高于8元/本,也不得低于4元/本,调查发现日均销售量y(本)与销售单价x(元)的函数图象如图线段AB.

(1)求日均销售量y(本)与销售单价x(元)的函数关系式;

(2)当销售单价为多少元时,日均获利最多,获得最多是多少元?

(销售单价/元)

13、(本题满分12分)

如图1,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和ACE,且AD⊥AC,AB⊥AE,DE和AB相交于F.

试探究线段FD、FE的数量关系,并加以证明.

说明:如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,可以从下列图2、3中选取一个,

B D 并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后,D

再完成你的证明.

注意:选取图1或2或3完成证明, 分别得12分、8分、10分. A C C E 图1 图2

D B C A 图3

14.(本题满分12分)

将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理,得到其频数及频率如下表(未完成):

(1(2)补全频数分布直方图;

(3)如果此地汽车时速不低于60千米即为违章,则违章车辆共有多少辆?

15.(本小题满分14分)

已知A(?1,

m)与B(2,m?是反比例函数y?

(1)求k的值; k图象上的两个点. x

k图象上是否存在点D,使得以A,B,C,D四x

点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. (2)若点C(?1,0),则在反比例函数y?

(第15题)

2007年广东省初中数学竞赛初赛试卷

学校: 班级: 姓名:

说明:竞赛时间:2007年3月9日上午9:00~10:00。考试时间:60分钟.总分120分.每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填在下面的答题

1.某校为了解学生的体能情况,随机抽查30名初三学生,测试1分钟内 仰卧起坐的次数,并绘制成如图1所示的频数分布直方图,则仰卧起坐次数在25~30次的频率是( )

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4 2.若a

2n

?3,则2a6n?1的值为( )

A、17 B、35 C、53 D、1457

3.从一副扑克牌中抽出如下四张牌,其中是中心对称图形的有( )

A、1张 B、2张 C、3张 D、4张

4.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况,他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同,那么影子最长的时刻为( )

A、上午12时 B、上午10时 C、上午9时30分 D、上午8时 5.如图2所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是( ) A、

A

561019

B、 C、 D、 25252525

图6.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以 BC为公共边的“共边三角形”有( )

A、2对 B、3对 C、4对 D、6对

7.点M(?sin60,cos60)关于x轴对称的点的坐标是( )

?

?

D

B

图3

EC

A

、1111

(?,? B

、(? C

、(? D -)

22222222

8.从鱼塘打捞草鱼300尾,从中任选10尾,称得每尾的质量分别是1.5,1.6,1.4,1.6,

1.2,1.7,1.5,1.8,1.3,1.4(单位:kg),依此估计这300尾草鱼的总质量大约是( ) A、450kg B、150kg C、45kg D、15kg

9

.下列实数1), sin60?,?属于无理数有( )

22

7

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 10.在函数y?

k

A2(x2,y2), A3(x3,y3),已知 (k?0)的图像上有三点A1(x1,y1),

x

x1?x2?0?x3,则下列各式中正确的是( )

A、y1?0?y2 B、y3?0?y1 C、y2?y1?y3 D、y3?y1?y2 11.如果关于x的不等式(a?1)x?a?1的解集为x?1,那么a的取值范围是( )

A、a?0 B、a?0 C、a??1 D、a??1

12.如图4,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S?ABC?S四边形DEOF中错误的有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

13.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图5所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价为a元,则购买这种草皮至少需要( )

A、450a元 B、300a元 C、225a元 D、150a元

1

2

3

4

5

6

7

8

图4

20B

A图5

C

14.观察下列算式:2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,2=64,2=128,2=256??通过观察,用你所发现的规律写出8的末位数字是( ) A、2 B、4 C、6 D、8 15.已知a?b?1,a?b?25,a?b的值为( )

A、7 B、-7 C、±7 D、±9

16.某单位购买甲、乙两种纯净水若干桶,共用250元,其中甲种水每桶8元,乙种水每桶6元;乙种水桶数是甲种水桶数的75%。设买甲种水x桶,买乙种水y桶,则所列方程组中正确的是( )

2

2

11

?8x?6y?250A、? B、

y?75%x??6x?8y?250

?

?x?75%y

?8x?6y?250

?

x?75%y??6x?8y?250

C、? D、

y?75%x?

17.已知?ABC如图6,则下列4个三角形中,与?ABC相似的是( )

A

55A

B55

5

55C

D5

5

675°

图6

6

B

C

18.下列命题中正确的是( )

b?0 A、若a?b,则a?b B、若ab?0,则a?0, 则a?b D、若a?b,C、若a?b, 则

2

2

22

11? ab

19.小明外出注游玩,带上棕色、蓝色、淡黄色3件上衣和蓝色、白色2条长裤,他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是( ) A、

1111 B、 C、 D、 3569

2

20.如图7,抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A、B,与y轴交于C

x

1

OA,那么b的值为(

) 2

11

A、-2 B

、-1 C、

? D、

22

如果OB=OC=

21.如图8,将图中的阴影部分剪下来,围成一个几何体的侧面,

使AB、DC重合,则所围成的几何体图形是( ) A B C D

22.已知a?b?c0,?并且

图8

1

a?b,?则0cb1(ac1?c1?(a11的值为)?c(ab

?)

( )

A、0 B、1 C、-1 D、-3

23.如图9,正方形的网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=( ) A、175° B、180° C、210° D、225°

24.一个半径为r的圆内切于一个等腰直角三角形,另一个半径为R的

R

圆外接于这个三角形,则等于( )

r

图9

A

1 B

1 C、2 D、3

25.小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,以小莉掷的A立方体朝上的数字为x,小明掷的B立方体朝上的数字为y,来确定点P(x,y),那么他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在已知抛物线y??x2?4x上的概率为( )

A、1111 B、 C、 D、 181296

小数部分为b, a)?b为( ) 26

的整数部分为a,A

、1?、1 C

1 D、2 27.如图10,B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使得∠APB=30,则满足条件的点P的个数是( )

A、3个 B、2个 C、1个 D、不存在

28.将一个无盖正方体纸盒展开(如图11),沿虚线剪开,用得到的5张纸

片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图12),则

所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是( )

A、1124 B、 C、 D、 2335图11图12

29.如图13,两块重合的正方形纸片,上面正方形绕正方形的中心旋转0°~

90°,旋转时露出的

?ABC的面积(S)会随着旋转角度(n)的变化而变化,那么S与n关系的图像大致是( )

A B C D

图13

ba ?b)30.在直角坐标平面中,

已知点P(a,)(,设点P关于直线y=x的对称点为Q,

点P关于原点的对称点为R,则?PQR的形状是( )

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

2007年广东省初中数学竞赛初赛试卷答案

2008年全国初中数学竞赛培训练习题

(全卷满分为120分, 考试时间120分钟)

一、选择题(共6小题,每题5分,共30分) 1.化简|x?1|??x的结果为( )

(A)2 (B)2x (C)0 (D)x?2 2.实数a、b满足ab?1,若P?

ab11

,则P、Q的关系为( ) ?,Q??

1?a1?b1?a1?b

(A)P?Q (B)P?Q (C)P?Q (D)P?(a?b)Q

3.某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他把这两次购物合成一次,则他可以少支付( )

(A)30.6元 (B)68.2元 (C)80.6元 (D)118.2元

4.在?ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=8,CE=6, 那么?ABC的面积等于( )

(A)24 (B)32 (C)36 (D)48

5.在直角坐标系中,横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点.设k为整数,若直线y?x?3与y?kx?k的交点为整点,则k的可能值有( )

(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)7个

6.已知a,b,c,d是非零实数,c和d是方程x?ax?b?0的解, a和b是方程2

x2?cx?d?0的解, 则a?b?c?d的值为( )

(A)?1 (B)2 (C)1 (D)?2

二、填空题(共6题,每题5分,共30分.)

27.化简:a?b?a?b?(b?a)? B

48.如图1, ?C??E?90,AC?3, ?

A

C3DBC?4,AE?2,则DE?___. 9.三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是 。

10.已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点,

O为坐标原点,那么?OAB的面积等于_____ ___.

11.如图2,D、E分别是?ABC的边BC和AB上的点, 22图1 A B D

图2 C ?ABD与?ACD的周长相等,?CAE与?CBE的周 长相等.若BC?a,AC?b,AB?c,则BD的长为_________________.

12. 设a,b,c表示一个三角形三边的长,且它们都是自然数,其中a?b?c,如果b?2008,则满足此条件的三角形共有 个.

三、解答题(共5小题,每题12分,满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

13.若关于x的方程(k?2k)x?(6k?4)x?8?0的解都是整数,试求实数k的值.

14.如图3,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD?a,BC?b,点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.

(1)四边形EGFH是什么特殊四边形?为什么?

(2)当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形?

(3)若(2)中菱形EGFH是正方形,试求等腰梯形的面积.

15. 设a,b都是正整数,若二次函数y?ax?bx?1的图象与x轴有两个交点,且这两个交点的横坐标x1,x2,满足?1?x1?x2?0,求正整数a,b的最小值及此时x1,x2的值.

16. 如图4,已知圆P的圆心在反比例函数y?

点.

且始终与y轴相切于定点C(0,1).

(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,?ABD为正三角形?

222 A E D B F 图

3 C k(k?1)图象上,并与x轴相交于A、B两x

17.如图6,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD?12,设过A,B,C三点的⊙O1与边CD 相交于点E,且CE5?,直线CB与过A,D,C三点的⊙O2相切. ED4

(1) 求边CD的长度; r(2) 设⊙O1与⊙O2的半径分别为r1、r2,求1的取值范围. r2

B

数学竞赛培训练习题参考答案

一、选择题:1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D

二、填空题: 7、0 8、

三、解答题

13、解:(1)当k?2k?0,即k?0或k?2,

① 若k?0时,原方程化为 4x?8?0,即x??2符合题意;

28a?b?c 9、21 10、6 11、BD? 12、15 23

② 若k?2时,原方程化为 ?8x?8?0,则x?1符合题意;

(2)当k?2k?0,即k?0且k?2时,原方程可化为:

2

(k2?2k)x2?(6k?4)x?8?0,

解得 x1?

2244

,x2?,将k?代入x2?得,

x1kk?2k?2

?x1?1??2?x1?1?1

x1x2?2x1?x2?0,则(x1?1)(x2?2)??2,∴ ?或?或

x?2?1x?2??2?2?2

?x1?1?2?x1?1??1?x1?2?x1??1?x1?3?x1?0

或?∴ ? 或 ? 或 ? 或 ?(舍去) ?

x?2??1x?2?2x??4x??1x??3x?0?2?2?2?2?2?2

∴ k?1,?2,

22

,综上:k的值为?2,0,1,?2,. 33

A

E

D

14.解:(1)四边形EGFH是平行四边形.

理由是:?G,F,H分别是BE,BC,CE的中点, ?GF∥EH,GF?EH.

?四边形EGFH是平行四边形.??????? 4分 (2)当点E运动到AD的中点时,四边形EGFH是菱形. 证明:?四边形ABCD是等腰梯形,?AB?DC,?A??D.

B

F

C

?AE?DE,?的中点,?ABE≌?DCE.?BE?CE.?G,H分别是BE,CE. 又由(1)知四边形EGFH是平行四边形,?四边形EGFH是菱形. ?EG?EH

(3)?四边形EGFH是正方形, ?EG?EH,?BEC?90 ?G,H分别是BE,CE的中点,?EB?EC. ?F是BC的中点,?EF⊥BC,EF?

?

1

BC. 2

(a?b)bb(a?b)

又?AD?a,BC?b,?等腰梯形的面积为??.

224

2

15、解法1:依题意,x1,x2为方程ax?bx?1?0的两实根, 则b?4a?0 ① x1?x2??

2

b1

,x1x2? ② aa

∵?1?x1?x2?0,∴1?x1?0,1?x2?0,即(1?x1)(1?x2)?0, ∴(1?x1)(1?x2)?1?x1?x2?x1x2?1?

b1a?b?1???0, aaa

而a?0,∴a?b?1?0,即:a?b?1,又a,b都是正整数,则a?b ③,

由①得,b? 由

③、④得a?

?2,∴a?4, 因此正整数a的最小值为5.

由④得:b??4,∴正整数b的最小值为5, 当a?b?5时,ax?bx?1?

0的根为x?

2

2

?5?5?5,∴x1?

,x2?. 101010

解法2:依题意:y?ax?bx?1?a(x?x1)(x?x2),

令x??1得:a(?1?x1)(?1?x2)?a?b?1,即a(1?x1)(1?x2)?a?b?1, ∵?1?x1?x2?0,∴1?x1?0,1?x2?0,即(1?x1)(1?x2)?0,

∴a(1?x1)(1?x2)?a?b?1?0,而a,b为正整数,则a(1?x1)(1?x2)?a?b?1?1, 而x1x2?

1122

,∴ a(1?x1)(1?x2)x1x2?a?b?1?1,∴ a?,

(1?x1)(1?x2)x1x2a

2

1?111?

由于0?(1?x1)(?x1)???x1????,当x1??时取最大值;

2?442?1?111?

同理0?(1?x2)(?x2)???x2????,当x2??时取最大值;

2?442?

而?1?x1?x2?0 ∴0?(1?x1)(1?x2)x1x2?(1?x1)(?x1)(1?x2)(?x2)?从而 a?

2

2

1

16

1

?16,而a为正整数,所以a的最小值为5,

(1?x1)(1?x2)x1x2

2

2

由于x1,x2为方程ax?bx?1?0的两实根,则b?4a?0,

2

∴b??4,∴正整数b的最小值为5,当a?b?5时,ax?bx?1?

0的根为

x?

?5?,

10

?5??5,x2?. 1010

∴x1?

16.解:(1)连结PC、PA、PB,过P点作PH⊥x轴,垂足为H. ???????1分 ∵⊙P与y轴相切于点C(0,1),∴PC⊥y轴.

∵P点在反比例函数y?k的图象上, x

∴P点坐标为(k,1).∴PA=PC=k.

在Rt?APH中,AH

∴OA=OH—AH=k

∴A(k

0).

∵由⊙P交x轴于A、B两点,且PH⊥AB,由垂径定理可知, PH垂直平分AB. ∴OB=OA+2AH= k

k

∴B

(k?,0). ????????????????????????4分 故过A、B两点的抛物线的对称轴为直线x?k.

可设该抛物线解析式为y?a(x?k)?h. ????????????????5分 又抛物线过C(0,1), B

(k?,0), 得:

2

?ak2?h?1;? ?2??a(k?k)?h?0.

?a?1解得?. ???????7分 2?h?1?k

∴抛物线解析式为y?(x?k)?1?k. ??8分

(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k, 1-k)

∴DH?|1?k|?k?1. 22222图5

又由抛物线对称性知AD?BD ????????????????????9分 ∴要使?ABD为正三角形, 只需?DAB?60. ?

2DH?在Rt?ADH中,tan?DAH?

即tan60? ?????????10分 AH又k?1,得k?2.

∴当k取2时,?ABD为正三角形. ???????????????????12分

17. 解:(1)连结CO1,AO1

由于CB与过A,D,C三点的?O2相切,

则?ACB??ADC,

又AB∥CD,则?DCA??BAC

∴?ACB∽?CDA

∴?ABC??CAD 1?AO1C, 2

1则?CAD??AO1C 2而?ABC?

∴?DAO1??CAD??CAO1?

∵CO1?AO1

∴?ACO1??CAO1 1?AO1C??CAO1, 2

1(?AO1C??CAO1??ACO1)?90? 2

CE5442∴AD与?O1相切,∴AD?ED?DC,而?,∴ED?CD,则122?DC2,ED499∴?DAO1?

∴DC?18

(2)在?O2中,?DO2C?2?DAC,在?O1中,?AO1C?2?ABC 由(1)得?ABC??CAD,∴?DO2C??AO1C, ∴等腰三角形?DO2C∽等腰三角形?AO1C,则r1ACAC??, r2DC18

由于CD?AD?AC?CD?AD,则6?AC?30,则 1r15??. 3r23

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