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2012年全国初中数学竞赛试题及答案

发布时间:2014-01-16 09:50:21  

2012年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案(河南区)

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】

(A)2,3,1 (B)2,2,1 (C)1,2,1 (D)2,3,2

【答】A.

解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3.

2.已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【 】

(A)m??1 (B)m??1 (C)m?1 (D)m?1

【答】C.

解:一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,说明其图象

?m?1?0,与y轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以? 解得?m?1?0.

m?1.

??DA???AB,给出下列三个 3.如图,在⊙O中,CD结论:(1)DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°

时,∠DAB=80°.其中正确的个数是【 】

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答】D.

???AB,AD??AB,解:因为CD所以DC=AB;因为?AO是半径,所以AO⊥BD;第3题图

设∠DAB =x度,则由△DAB的内角和为180°得:2(x?30?)?x?180?,解得x?80?.

4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】

(A)

1321 (B) (C) (D) 34321

【答】B.

解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有

424种可能,所以摸出花色不一样的概率是?. 63

5.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(?3,?3),点C是y轴上一动点,要使△ABC为等腰三角形,则符合要求的点C的位置共 有【 】

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

【答】D.

解:由题意可求出AB=5,如图,以点A为圆心AB

的长为半径画弧,交y轴于C1和C2,利用勾股定理可求

第5题图 出OC1=OC2

?C1(0,26),C2(0,?26), 以点B为圆心BA的长为半径画弧,交y轴于点C3和C4, 可得C3(0,1),C4(0,?7),AB的中垂线交y轴于点C5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?17). 66.已知二次函数y?2x2?bx?1(b为常数),当b取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型

抛物线),这条抛物线的解析式是【 】

1(A)y??2x2?1 (B)y??x2?1 2

1(C)y??4x2?1 (D)y??x2?1 4

【答】A.

?b8?b2

解:y?2x?bx?1的顶点坐标是???4,8?2y O x 第6题图

?8?b2b??,设x??4,y?8,由?

8?b28?(?4x)2b??1?2x2. x??得b??4x,所以y?884

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7.若m?n?2,则2m2?4mn?2n2?1的值为

【答】7.

2

解:2m2?4mn?2n2?1?2(m?n)2?1?2?22?1?7.

8.方程112??的解是 . (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3

【答】x1?0,x2??4. 解:111111????? (x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3

112??. x?1x?3(x?1)(x?3)?

22?∴,解得 x1?0,x2??4. (x?1)(x?3)3

9.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),

若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转

90°得到线段BA?,则点A?的坐标是.

【答】(b?1,?a?1).

解:分别过点A、A?作x轴的垂线,垂足分别

为C、D.显然Rt△ABC≌Rt△BA?D. 由于点A的 第9题图 坐标是(a,b),所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b,A?D?BC?a?1,所以点的A?坐标是(b?1,?a?1).

?是以点A为圆心210.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,DE

1?是以点M为圆心2为半径的1圆弧,为半径的圆弧,NB则图中两段弧之间的44

阴影部分的面积为 .

【答】2.

解:连接MN,显然将扇形AED向右平移

可与扇形MBN重合,图中阴影部分的面积等于

矩形AMND的面积,等于1?2?2.

第10题图 3

11.已知α、β是方程x2?2x?1?0的两根,则?3?5??10的值为.

【答】?2.

解:∵α是方程x2?2x?1?0的根,∴?2?1?2?.

∴ ?3??2???(1?2?)????2?2???2(1?2?)?5??2,

又 ∵?????2,

∴ ?3?5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2.

12.现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个.

【答】36.

解:利用抽屉原理分析,设最多有x个小朋友,这相当于x个抽屉,问题变为把145颗糖放进x个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145,解得x≤36,所以小朋友的人数最多有36个.

三、解答题(第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分)

13.王亮的爷爷今年(2012年)80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁?

解:设王亮出生年份的十位数字为x,个位数字为y(x、y均为0 ~ 9的整数).∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前.故应分两种情况: ???????2分

(1)若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为2000?10x?y,依题意,得 201?2

整理,得 y?,(20?00x?1y0?)?2?x0?y x、y均为0 ~ 9的整数, 10?11x,2

∴x?0. 此时y?5.

∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁.???????8分

(2)若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为1900?10x?y,依题意,得 201?2,(19?00x?1y0?)?1?x9?y

102?11x102?11x,0≤≤9, 22整理,得 11x?102?2y,故x为偶数,又y?

∴ 77≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7. 11

∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁. ???????14分

综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁.?????15分

4

14.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D在线段OA上,BD=BA, 点Q是线段BD上一个动点,点P的坐标是(0,3),设直线PQ的解析式为y?kx?b.

(1)求k的取值范围;

(2)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线y?ax2?5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部,求a的取值范围.

解:(1)直线y?kx?b经过P(0,3),∴ b?3.

∵B(3,2),A(5,0),BD=BA,∴ 点D的坐标是(1,0)

∴ BD的解析式是y?x?1, 1≤x≤3.

?y?x?1,4依题意,得 ?,∴x?, 1?k?y?kx?3.41≤3.解得?3≤k≤?.?????????????????7分 1?k3

1 (2)??3≤k≤?,且k为最大整数,∴k??1. 3∴ 1≤

则直线PQ的解析式为y??x?3.?????????????????9分

5?525?又因为抛物线y?ax2?5ax的顶点坐标是?,?a?,对称轴为x?. 4?2?2

5??y??x?3,?x?,551??2解方程组?得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为x?(,), ?5222x?.??y?1.2??2?

∴12582??a?2.解得 ??a??.??????????????15分 242525

?上一动点, 15. 如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是MN

BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;(2)探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;(3)连结PQ,试说明3PQ2?OA2是定值.

解:(1)证明:如图①,

∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON,

5

∴四边形OABC是矩形. ∴AB//OC,AB?OC.

∵E、G分别是AB、CO的中点, ∴AE//GC,AE?GC.

N

C

G

F B ∴四边形AECG为平行四边形.

∴CE//AG. ???????????4分 O A M D 连接OB, 图① ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ,

∴四边形EPGQ是平行四边形.??????????????????6分

(2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形. 此时 ∠AED+∠CEB =90°.

N 又∵∠DAE=∠EBC =90°,∴∠AED=∠BCE.

∴△AED∽△BCE.????????????8分 C

ADAE∴. ?BEBC

E G

xyy22

设OA=x,AB=y,则∶=∶x,得y?2x.?10分 222又 OA2?AB2?OB2,即x2?y2?12. ∴x2?2x2?1,

解得x?

O

D A 图②

M

Q

∴当OA

时,四边形EPGQ是矩形.????????????12分 (3)如图③,连结GE交PQ于O?,则O?P?O?Q,O?G?O?E..过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?.

PGPEGE2

???, PFPCFC1

2111

∴ PA?=A?B?=AB, GA?=GE=OA,

333311

∴ A?O??GE?GA??OA.

26

在Rt△PA?O?中,PO?2?PA?2?A?O?2,

由△PCF∽△PEG得,

NCG

B'FEPQABOAAOD, 又 AB2?OA2?1, ??4936

图③ 122

∴ 3PQ?AB?,

3

14

∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?.??????????????18分

33

222

M

6

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

|a?b||b?c|可以化简为( ).

(A)2ca (B)2a2b (C)a (D)a

b2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,x

其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)2a?111 (C) (D) 244

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x

的取值范围是

.

7.如图,正方形

ABCD的边长为,E,F分别是AB,BC分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

x3298.如果关于x的方程x+kx+k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,那么1

2012 的24x222011

值为 .

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分) (m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方11.已知二次函数y?x?

程x?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?

229.求m的取值范围. 10

8

12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O 1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与⊙O 1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

?x2012,满足x1?x2???x2012,且14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,

122012?????n. x1x2x2012

9

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

b?a?0?c,且b?c,

所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

2.D

2解:由题设知,?2?a?(?3),(?3)?(?2)?b,所以a?,b?6. 3

2?y?x,??x??3,?x?3,?3解方程组?得? ? y??2;y?2.6??y?,??x?

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

3.D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?24

4?4a?2b3?4a?2b1于是 ??. 444

4.D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2), ?y?n?2(x?n),?

消去x得 (2y-7)n = y+4,

10

2n =(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?7

因为15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,2y?7

6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

5.D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以p0?

98910,p1?,p2,p3,因此p3最大. 36363636

二、填空题

6.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得

26≤487,

-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是

7<x≤19.

7.8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN1

2由此得AN?2NF,所以AN?AF. 3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF??,

于是 cos?BAF?AB. AF由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?.

11

于是

AM?AE?cos?BAF,

2MN?AN?AM?AF?AM?, 315

S?MNDMN4??. S?AFDAF15

又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2.

21515

因为a?S?MND?8.

8.?2 3

39?=k2-4(k2?3k?)≥0, 42解:根据题意,关于x的方程有

由此得 (k-3)≤0.

又(k-3)≥0,所以(k-3)=0,从而k=3. 此时方程为x+3x+222293=0,解得x1=x2=?. 24

故x1

x220112012=12=?. x23

9.8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知

2a?3b?130,

由此得0≤b≤43.

又 a?b?(m?1)(m?2),所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是 2

0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43,

87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,

a?a?b55,不合题设. ?22

故m?8.

12

10.32 2

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 BCBA. ?CFAD

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC, 于是 DEOE??2. 因此 DCOB

DE?2CD?2AD,CE?3AD.

由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE.因为AE?所以 2AD?3AD?BA3,BE?BA, 22BA3?BA,BA=22AD ,故 22

CF?AD?. ?

BC?2BA三、解答题

11.解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

即(m?1)?0,所以m??1. ???(5分)

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即 2

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 3?3(m?3)?m?2≤0,

解得m≤?5. ???(10分)

设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与22

系数的关系得

13

x1?x2???m?3?,x1x2?m?2. 因为119???,所以 x1x210

x1?x2m?39????, x1x2m?210

解得m??12,或m??2.

因此m??12. ????(20分)

12. 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以?ODB?90?.又

因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角形.

????(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又因为

,所以 OC?OB

?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.

????(15分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F. ????(20分)

13.解:设a-b = m(m是素数),ab = n(n是正整数).

因为 (a+b)-4ab = (a-b),

所以 (2a-m)-4n= m,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m. ???(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以 2a-m+2n?m,2a-m-2n?1. 2222 2222

(m?1)2m2?1解得 a?,n?. 44

2(m?1)于是 b= a-m?. ????(10分) 4

(m?1)2

又a≥2012,即≥

2012. 4

14

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025.

4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980.

因此,a的最小值为2025. ????(20分)

?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以 14.解:由于x1,x2, ,

x1≥1,x2≥2,?,x2012≥2012.

于是 n?

122012122012

≤?????????2012.????(10分)

x1x2x2012122012

?x2012?2012?2012,则 当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,

122012

?????1.????(15分) x1x2x2012

,x2?2, ,?xk?k, 当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1

xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?????k?(2012?k)??k?1?n. x1x2x20122012?k

综上,满足条件的所有正整数n为1, 2, , ?2012. ????(20分)

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)

答题时注意:

15

1.用圆珠笔或钢笔作答;

2.解答书写时不要超过装订线;

3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1(甲).如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

可以化简为( ).

(第1(甲)题)

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙).如果(A)

(B),那么的值为( ). (C)2 (D)

2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

2(乙). 在平面直角坐标系

y)的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,

16

3(甲).如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)

(C) (D)

3(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.

AD = 3,BD = 5,则CD的长为

( ).

(第3(乙)题)

(A)

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于x的方程

这样的方程的个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3

的概率为,则

(B)4 (C) (D)4.5 是正整数)的正根小于3, 那么中最大的是( ). 17

(A)

(B) (C) (D)

5(乙).黑板上写有

中选取2个数,然后删去共100个数字.每次操作先从黑板上的数,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是

.

(第6(甲)题)

6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足,,那么

的值为 .

7(甲).如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是

(第7(甲)题) (第7(乙)题)

18

7(乙).如图,

.延长,与的半径为20,分别交于是上一点.以两点,则为对角线作矩形的值等于 . ,8(甲).如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+= 0的两个实数根分别为,

,那么 的值为

8(乙).设为整数,且1≤n≤2012. 若

的个数为 .

9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形能被5整除,则所有数.若 和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是 .

10(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与

EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为

.

(第10(甲)题)

19

10(乙).已知是偶数,且1≤≤100.若有唯一的正整数对成立,则这样的的个数为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11(甲).已知二次函数,当时,恒有;使得关于x的方程围.

的两个实数根的倒数和小于.求的取值范

11(乙). 如图,在平面直角坐标系xOy中, AO = 8,AB = AC,sin∠ABC=. CD与y轴交于点E,且S△COE = S△ADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式

.

(第11(乙)题)

12(甲).如图,上的点,线与与交于点的直径为,且,过点.点. ,且与在内切于点.为交于点上,且,BE的延长,求证:△BOC∽△

20

(第12(甲)题)

12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线, AC的中点I是△ABD的内心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;

(2)AB+AD = 2BD

.

(第12(乙)题)

13(甲).已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于

14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数,满足,?并说明理由 且

14(乙).将. (n≥2

)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数,求的最小值

21 (可以相同)使得

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

一、选择题

1(甲).C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知所以

1(乙).B

,且, .

解:

2(甲).D

解:由题设知, ,,所以.

解方程组 得

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤

22 ≤2.

因为

均为整数,所以有

解得

以上共计9对

3(甲).D

解:由题设知,

. ,所以这四个数据的平均数为

中位数为

于是

3(乙).B

.

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

23

(第3(乙)题)

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为

在Rt△

于是DE=

4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,可得

均为非负整数. 由题设,所以CD = DE = 4. 中, ,所以.

消去x得 (2y-7)n = y+4,

24

2n =

.

因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为

二次函

.

由于有

5(甲).D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所

以的图象知,

当都是正整数,所以. 于是共有7组时

,,故方程的根为一正一负.由,所

以,即

,1≤q≤2,此时都,1≤q≤5;或

符合题意.

,因此

5(乙).C

解:因为

1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则

最大. ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加

25

解得

二、填空题

6(甲).7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 27x-26≤487,

81x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,

7<x≤19.

6(乙).7

解:由已知可得

487 ≤487,故x的取值范围是 ,.

26

7(甲).8

解:连接DF,记正方形

的边长为2. 由题设易知△∽△,所以

由此得 ,所以.

(第7(甲)题)

在Rt△ABF中,因为

,所以

于是

.

由题设可知△ADE≌△BAF,所以

27 ,

.

于是

.

又 因为 ,所以,所以. .

7(乙).

解:如图,设所以

的中点为,连接,则.因为,

28

(第7(乙)题)

所以

.

8(甲).

解:根据题意,关于x的方程有

=k2-4

由此得 (k-3)2≤0.

≥0,

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+ =0,解得x1=x2=.

故 ==.

8(乙).1610

解:因为 ==.

29

当被5除余数是1或4时,整除;

当被5除余数是2或3时,

当被5除余数是0时,

或能被5整除,则能被5能被5整除,则能被5整除; 不能被5整除.

所以符合题设要求的所有的个数为

9(甲).8

解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知

由此得0≤b≤43.

0≤

,所以. 于是 ≤43,

87≤

由此得

,或. ≤130,

时,;当时,,,不合题设. 30

9(乙).

解:由题设得

≤1

所以

整理得

.

由二次函数 的图象及其性质,得.

又因为

≤1,所以≤1.

10(甲).

解:如图,连接AC,BD,OD.

31

(第10(甲)题)

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

.

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,

于是

. 因此

.

由△ ∽△,知.因为,

32

所以

,BA=AD ,故

.

10(乙). 12

解:由已知有4的倍数.设

(Ⅰ)若

(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数

对满

足,可得,与b是正整数矛盾. ,则1≤,且为偶数,所以≤25. 同为偶数,于是是

;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对 满足.

(Ⅲ)若是素数,或恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对 满足.

因为有唯一正整数对

23,25,共有12个.

三、解答题

11(甲).解: 因为当,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,时,恒有,所以

33

即,所以.

????(5分)

当 ≤,

解得≤.

????(10分)

设方程系数的关系得

的两个实数根分别为,由一元二次方程根与≤, 时,≤;当时,≤,即

因为

,所以

解得 因此.

????(20分)

34 ,或.

11(乙).解:因为sin∠ABC=

AB = 10.

由勾股定理,得 BO=

.

,,所以

(第11(乙)题)

易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).

设点D的坐标为(m,n),由S△COE = S△ADE,得S△CDB = S△AOB. 所以

解得n=-4.

35

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4).

????(10分)

因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E

的坐标为

.

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =

.

故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

.

????(20分)

12(甲). 证明:连接BD

,因为

,所以△CBE是等腰三角形.

的直径,所以

.又因为

(第12(甲)题)

????(5分)

36

设 与交于点,连接OM,则.又因为,所以

????(15分)

又因为

△BOC∽△.

????(20分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

分别是等腰△,等腰△的顶角,所以

(第12(乙)题)

所以 CI = CD.

同理, CI = CB.

故点C是△IBD的外心.

连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

37

所以OI⊥AC,即OI⊥CI.

故OI是△IBD外接圆的切线.

????(10分)

(2) 如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F. 由

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以

Rt△BCF≌Rt△AIE,

所以BF = AE.

又因为I是△ABD的内心,所以

AB+AD-BD = 2AE = BD.

故AB+AD = 2BD.

????(20分)

13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数).

因为 (a+b)2-4ab = (a-b)2,

所以 (2a-m)2-4n2 = m2,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m.

????(5分)

38 2,知OC⊥BD.

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2a-m+2nm,2a-m-2n1.

2

解得

a

,.

于是

= a-

m.

????(10分)

又a≥2012,即

≥2012.

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥

当 时,,,. =2025.

因此,a的最小值为2025.

????(20分)

13(乙).解:假设凸边形中有个内角等于

(1)若于,由,得,正十二边形的12个内角都等,则不等于的内角有个. ;

39

????(5分)

(2)若即≤11.

时,存在凸边形,其中的11

个内角等于

,其余

个内角都等于

,且≥13,由

,可得

????(10分)

(3)若 当一个内角

可得

;由

≥8

可得

,且

时,设另一个角等于

.存在凸边形,其中的

个内角等于

,另

,且≤≤

????(15分)

(4)若其中

综上,当 当≤≤

时,的最大值为

;当3≤≤7时,的最大值为

. ????(20分)

40

,且3≤≤7,由(3)可知≤

,另两个内角都等于

.当

时,存在凸边形,

个内角等于

时,的最大值为12;当≥13时,的最大值为11;

14(甲).解:由于

≥1,≥2,?,

≥2012. 都是正整数,且,所以

于是

≤.

????(10分)

时,令,则

.

????(15分)

,则

时,其中≤≤,令

综上,满足条件的所有正整数n为.

????(20分)

14(乙).解:当 时,把分成如下两个数组:

41

在数组不存在数 在数组.

所以,≥. 中,由于,所以其中不存在数

,使得. 中,由于. ,所以其中,使得

????(10分)

下面证明当

不妨设2在第一组,若组. 同理可设

此时考虑数8.如果8在第一组,我们取在第二组,我们取 综上,

所以,的最小值为.

????(20分) 满足题设条件. ,此时. ,此时;如果8在第一组,也在第一组,则结论已经成立.故不妨设在第二组. 在第二时,满足题设条件.

42

2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

一、选择题

1(甲).C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

,且

所以

1(乙).B

. ,

解:

2(甲).D

解:由题设知, ,,所以.

解方程组 得

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

43

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤

因为

均为整数,所以有

≤2.

解得

以上共计9对

3(甲).D

解:由题设知,

. ,所以这四个数据的平均数为

中位数为

于是

3(乙).B

.

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

44

(第3(乙)题)

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为

在Rt△

于是DE=

4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,可得

均为非负整数. 由题设,所以CD = DE = 4. 中, ,所以.

消去x得 (2y-7)n = y+4,

45

2n =

.

因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为

二次函

.

由于有

5(甲).D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所

以的图象知,

当都是正整数,所以. 于是共有7组时

,,故方程的根为一正一负.由,所

以,即

,1≤q≤2,此时都,1≤q≤5;或

符合题意.

,因此

5(乙).C

解:因为

1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则

最大. ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加

46

解得

二、填空题

6(甲).7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 27x-26≤487,

81x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,

7<x≤19.

6(乙).7

解:由已知可得

487 ≤487,故x的取值范围是 ,.

47

7(甲).8

解:连接DF,记正方形

的边长为2. 由题设易知△∽△,所以

由此得 ,所以.

(第7(甲)题)

在Rt△ABF中,因为

,所以

于是

.

由题设可知△ADE≌△BAF,所以

48 ,

.

于是

.

又 因为 ,所以,所以. .

7(乙).

解:如图,设所以

的中点为,连接,则.因为,

49

(第7(乙)题)

所以

.

8(甲).

解:根据题意,关于x的方程有

=k2-4

由此得 (k-3)2≤0.

≥0,

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+ =0,解得x1=x2=.

故 ==.

8(乙).1610

解:因为 ==.

50

当被5除余数是1或4时,整除;

当被5除余数是2或3时,

当被5除余数是0时,

或能被5整除,则能被5能被5整除,则能被5整除; 不能被5整除.

所以符合题设要求的所有的个数为

9(甲).8

解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知

由此得0≤b≤43.

0≤

,所以. 于是 ≤43,

87≤

由此得

,或. ≤130,

时,;当时,,,不合题设. 51

9(乙).

解:由题设得

≤1

所以

整理得

.

由二次函数 的图象及其性质,得.

又因为

≤1,所以≤1.

10(甲).

解:如图,连接AC,BD,OD.

52

(第10(甲)题)

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

.

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,

于是

. 因此

.

由△ ∽△,知.因为,

53

所以

,BA=AD ,故

.

10(乙). 12

解:由已知有4的倍数.设

(Ⅰ)若

(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数

对满

足,可得,与b是正整数矛盾. ,则1≤,且为偶数,所以≤25. 同为偶数,于是是

;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对 满足.

(Ⅲ)若是素数,或恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对 满足.

因为有唯一正整数对

23,25,共有12个.

三、解答题

11(甲).解: 因为当,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,时,恒有,所以

54

即,所以.

????(5分)

当 ≤,

解得≤.

????(10分)

设方程系数的关系得

的两个实数根分别为,由一元二次方程根与≤, 时,≤;当时,≤,即

因为

,所以

解得 因此.

????(20分)

55 ,或.

11(乙).解:因为sin∠ABC=

AB = 10.

由勾股定理,得 BO=

.

,,所以

(第11(乙)题)

易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).

设点D的坐标为(m,n),由S△COE = S△ADE,得S△CDB = S△AOB. 所以

解得n=-4.

56

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4).

????(10分)

因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E

的坐标为

.

设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =

.

故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

.

????(20分)

12(甲). 证明:连接BD

,因为

,所以△CBE是等腰三角形.

的直径,所以

.又因为

(第12(甲)题)

????(5分)

57

设 与交于点,连接OM,则.又因为,所以

????(15分)

又因为

△BOC∽△.

????(20分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

分别是等腰△,等腰△的顶角,所以

(第12(乙)题)

所以 CI = CD.

同理, CI = CB.

故点C是△IBD的外心.

连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

58

所以OI⊥AC,即OI⊥CI.

故OI是△IBD外接圆的切线.

????(10分)

(2) 如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F. 由

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以

Rt△BCF≌Rt△AIE,

所以BF = AE.

又因为I是△ABD的内心,所以

AB+AD-BD = 2AE = BD.

故AB+AD = 2BD.

????(20分)

13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是正整数).

因为 (a+b)2-4ab = (a-b)2,

所以 (2a-m)2-4n2 = m2,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m.

????(5分)

59 2,知OC⊥BD.

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2a-m+2nm,2a-m-2n1.

2

解得

a

,.

于是

= a-

m.

????(10分)

又a≥2012,即

≥2012.

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥

当 时,,,. =2025.

因此,a的最小值为2025.

????(20分)

13(乙).解:假设凸边形中有个内角等于

(1)若于,由,得,正十二边形的12个内角都等,则不等于的内角有个. ;

60

????(5分)

(2)若即≤11.

时,存在凸边形,其中的11

个内角等于

,其余

个内角都等于

,且≥13,由

,可得

????(10分)

(3)若 当一个内角

可得

;由

≥8

可得

,且

时,设另一个角等于

.存在凸边形,其中的

个内角等于

,另

,且≤≤

????(15分)

(4)若其中

综上,当 当≤≤

时,的最大值为

;当3≤≤7时,的最大值为

. ????(20分)

61

,且3≤≤7,由(3)可知≤

,另两个内角都等于

.当

时,存在凸边形,

个内角等于

时,的最大值为12;当≥13时,的最大值为11;

14(甲).解:由于

≥1,≥2,?,

≥2012. 都是正整数,且,所以

于是

≤.

????(10分)

时,令,则

.

????(15分)

,则

时,其中≤≤,令

综上,满足条件的所有正整数n为.

????(20分)

14(乙).解:当 时,把分成如下两个数组:

62

在数组不存在数

在数组.

所以,≥

中,由于

,所以其中不存在数

,使得

中,由于

,所以其中

,使得

????(10分)

下面证明当

不妨设2在第一组,若组. 同理可设

此时考虑数8.如果8在第一组,我们取在第二组,我们取

综上,

所以,的最小值为

????(20分)

满足题设条件.

,此时

,此时

;如果8

在第一组,

也在第一组,则结论已经成立.故不妨设

在第二组.

在第二

时,满足题设条件.

2012年全国初中数学竞赛试题(副题)

63

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答;

2.解答书写时不要超过装订线;

3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1. 小王在做数学题时,发现下面有趣的结果:

由上,我们可知第100行的最后一个数是( ).

(A)10000 (B)10020 (C)10120 (D)10200

2. 如图,在3×4表格中,左上角的1×1小方格被染成黑色,则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是( ).

(A)11 (B)12 (C)13 (D)14

64

3.如果关于的方程整数的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

有两个有理根,那么所有满足条件的正

4. 若函数y=(k2-1)x2-(k+1)x+1(k为参数)的图象与x轴没有公共 点,则k的取值范围是( ).

(A)k>,或k<-1 (B)-1<k<,且k≠1

(C)k>

,或k≤-1 (D)k≥,或k≤-1

5. △ABC中,为

上一点,且

,分别为,则

上的点,与

平分,BM=CM,

的大小关系为( ).

(A)

(C)

(B)

(D)无法确定

二、填空题(共5小题,每小题

7分,共35分)

6. 如图,正方形ABCD的面积为90.点P在AB上,

BD上,且

,则△PZX的面积为

;X,Y,Z三点在

(第6题)

65

7.甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地.乙车比丙车晚5分钟出发,出发后40分钟追上丙车;甲车比乙车晚20分钟出发,出发后100分钟追上丙车,则甲车出发后 分钟追上乙车.

8. 设an=

(填“>”,“=”或“<”)

(n为正整数),则a1+a2+?+a2012的值 1.

9.红、黑、白三种颜色的球各10个.把它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色的球都有,且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等, 那么共有 种放法.

10. △ABC中,已知

,且b=4, 则a+c.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11. 已知c≤b≤a,且

12. 求关于a,b,c,d的方程组

,求的最小值.

的所有正整数解.

13. 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC,BD相交于点O.P,Q分别是AD,BC上的点,且,.求证:OP=OQ.

66

(第13题)

14.(1)已知

值.

(2)设为非零实数,为正整数,是否存在一列数

满足首尾两项的积等于中间项的平方?

(3)设为非零实数,若将一列数

中的某一项删去后得到又一列数(按原来的顺序),满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值. 三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方,求的

2012年全国初中数学竞赛试题(副题)参考答案

一、选择题

1.D

解:第k行的最后一个数是

2. B

解:这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定,由于包含黑色小方格,于是,对角线的一个端点确定,另一个端点有3×4=12种选择.

67 ,故第100行的最后一个数是.

3.B

解:由于方程的两根均为有理数,所以根的判别式

≥0,又2≥

4. C

解:当函数为二次函数时,有

k2-1≠0,

=(k+1)2-4(k2-1)<0. 时,解得

. 时,解得

; ,所以, ≥0,且为完全平方数.

解得k>

,或k<-1.

当函数为一次函数时,k=1,此时y=-2x+1与x轴有公共点,不符合题意.

当函数为常数函数时,k=-1,此时y=1与x轴没有公共点.

所以,k的取值范围是k>

,或k≤-1. 68

5. B

(第5题)

解:如图,设

于是A,B,E,C四点共圆. 因为 是的中点,所以,从而有

,作BKCE,则

二、填空题

6. 30

平分.

(第6题)

69

解:如图,连接PD,则

7.180

解:设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x,y,z米,由题意知

消去z,得

设甲车出发后t分钟追上乙车,则

,即

解得

8.<

解:由an=

=, 得

a1+a2+?+a2012=

70

=

9.25

<1.

解:设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为

1≤

≤9, ,则有

, (1)

于是

此时,y可取1,2,?,8,9(相应地z取 9,8,?,2,1),共9种放法.同理可得y=5,或者z=5时,也各有9种放法.但

9×3-2 = 25种放法.

10. 6

时,两种放法重复.因此共有 .因此中必有一个取5.不妨设,代入(1)式,得到

, (2)

71

(第10题)

解:如图,设△ABC内切圆为⊙I,半径为r,⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,连接IA,IB,IC,ID,IE,IF.

由切线长定理得

AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c,其中p=

(a+b+c).

在Rt△AIF中,tan∠IAF=

,即

tan

.

同理, tan

代入已知等式,得

, tan.

.

因此 a+c=

三、解答题

.

72

11. 解:已知次方程

,又,且,所以b,c是关于x的一元二

的两个根.

≥0,

≥0,

所以≥20.

于是

≥30,

12. 解:将abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得

10ab+10bc+10ca=9abc.

73 ≥0, ≤-10,≥10,从而≥≥10,故

时,等号成立.

因为abc≠0,所以,

不妨设a≤b≤c,则

.

≥ ≥>0.

于是,

<≤,

<≤,

<a≤

从而,a=2,或3.

.

若a=2,则

.

因为 <≤,所以,<≤,<b≤5.

从而,b=3,4,5. 相应地,可得 c=15,

当a=2,b=3,c=15时,d=90;

74 (舍去),5.

当a=2,b=5,c=5时,d=50.

若a=3,则

.

因为 <≤,所以,<≤,<b≤.

从而,b=2(舍去),3.

当b=3时,c=

(舍去).

因此,所有正整数解为

(a,b,c,d)=(2,3,15,90),(2,15,3,90),(3,2,15,90),

(3,15,2,90),(15,2,3,90),(15,3,2,90),

(2,5,5,50),(5,2,5,50),(5,5,2,50).

13. 证明:延长DA至

△DPC∽△

, ,使得,则,于是

75

所以PO∥

(第13题)

又因为△DPO ∽△ ,所以

同理可得

而AB∥CD,所以 ,故OP=OQ.

14. 解:(1)由题设可得

.

,或,或

,解得

76

,解得

,解得

.

所以满足题设要求的实数

(2)不存在.

由题设

间项的平方,则有

解得

故不存在这样的数列.

(3)如果删去的是1,或者是

或数列

如果删去的是,得到的一列数为均为1,1,1,即,这与矛盾. , . (整数≥1)满足首项与末项的积是中 ,则由(2)知, ,这与题设矛盾. ,那么

,可得.

77

如果删去的是 ,开得

. ,得到的一列数为,那么

所以符合题设要求的的值为1,或.

78

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