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2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

发布时间:2014-01-16 11:55:04  

2006年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ).

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90 答:C.

解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.

故选C.

2.已知m?1?2,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)?8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9 答:C.

解:由已知可得 m2?2m?1,n2?2n?1.又

(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)?8,

所以 ?7?a??3?7??8,

解得 a??9.

故选C.

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h?1 (B)h?1 (C)1?h?2 (D)h?2 答:B.

解:设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(c?a),则点B的坐标为(?a,a2),由勾股定理,得

AC2?(c?a)2?(c2?a2)2,

1

BC2?(c?a)2?(c2?a2)2,

AC2?BC2?AB2,

所以 (a2?c2)2?a2?c2.

由于a2?c2,所以a2?c2?1,故斜边AB上高h?a2?c2?1.

故选B.

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 答:B.

解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为

34×(62-2)×180°=34×60×180°,

其余多边形有(k+1)-34=k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-

33)×180°.所以

(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,

解得k≥2005.

当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了

58+33+33×58=2005(刀).

故选B.

2

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,DP交AC于点Q.若QP?QO,则值为( )

(A)2?1 (B)2

(C)?

答:D.

解:如图,设⊙O的半径为r,QO?m,则QP?m,QC?r?m,QA?r?m. QC的QA3

2 (D)3?2

在⊙O中,根据相交弦定理,得QA?QC?QP?QD. 即 (r?m)(r?m)?m?QD,

所以 QD?r?m. m22

连结DO,由勾股定理,得

QD2?DO2?QO2,

?r2?m2?22??r?m即 ?, ?m???2

解得m?3r. 3

所以, QCr?m?1????2. QAr?m?1

故选D.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c?a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为.

答:5013.

解:由a+b=2006,c?a=2005,得

a+b+c=a+4011. 因为a+b=2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.

3

于是,a+b+c的最大值为5013.

7.如图,面积为ab?c的正方形DEFG内接于面积为1

的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则

答:?a?c的值等于 . b20. 3

解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长

4为m,则m2?.由△ADG ∽ △ABC,可得 3

3m?xx?, m3m2解得x?(23?3)m.于是

x2?(2?3)2m2?3?48,

由题意,a=28,b=3,c=48,所以a?c20??. b3

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.

答:104.

解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲

400x?368x米.于是 走了400x米,乙走了46?50

368(x?1)?800?400(x?1)?400,

8?80)0?40x0≤400, 且 (36x

所以,12.5≤x<13.5.

400?13?104. 故x=13,此时t?50

9.已知0?a?1,且满足

4

1??2?29???(?x?表示不超过x的最大整数),则?10a?的a??a????a??18??????30??30??30??

值等于 .

答:6.

解:因为 0?a?12291??2???a????a??2,所以?a??,?a??,…,30303030??30??

29??等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以 a???30??

1??2?11???==…==0, a?a?a???????303030??????

13?29??12???==…==1, a?a?a???????30??30?30???

11?1, 30

121≤a?<2. 30

19故18≤30a<19,于是6≤10a<,所以?10a??6. 3所以 0?a?

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .

答:282500.

解:设原来电话号码的六位数为abcdef,则经过两次升位后电话号码的八位数为2a8bcdef.

根据题意,有81×abcdef=2a8bcdef.

记x?b?104?c?103?d?102?e?10?f,于是

81?a?105?81x?208?105?a?106?x,

解得x?1250?(208?71a).

5

因为0≤x≤105,所以

0≤1250?(208?71a)<105, 故128208<a≤. 7171

因为a为整数,所以a=2.于是

x?1250?(208?71?2)?82500.

所以,小明家原来的电话号码为282500.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知△ABC中,?B是锐角.从顶点A向BC边或其延长线作垂线,垂

2BD2BE足为D;从顶点C向AB边或其延长线作垂线,垂足为E.当和均为BCAB

正整数时,△ABC是什么三角形?并证明你的结论.

2BD2BE?m,?n,m,n均为正整数,则 解:设BCAB

BDBEmn?4???4cos2B?4, ABBC

所以,mn=1,2,3.

…………………5分

(1)当mn=1时,cosB?1,?B?60?,此时m?n?1.所以AD垂直平2

分BC,CE垂直平分AB,于是△ABC是等边三角形.

(2)当mn=2

时,cosB?,?B?45?,此时m?1,n?2,或m?2,n?1,2

所以点E与点A重合,或点D与点C重合.故?BAC?90?,或?BCA?90?,于是△ABC是等腰直角三角形.

(3)mn=3

时,cosB?,?B?30?,此时m?1,n?3,或m?3,n?1.于2

是AD垂直平分BC,或CE垂直平分AB.故?ACB?30?,或?BAC?30?,于是△ABC是顶角为120?的等腰三角形.

…………………15分

6

12.证明:存在无穷多对正整数?m,n?,满足方程

m2?25n2?10mn?7(m?n).

证法1:原方程可以写为

m2?(10n?7)m?25n2?7n?0,

n?7于是 ???10?22?4(2n5?n7?)1n6?8 49

是完全平方数.

…………………5分

设168n?49?49(12k?1)2,其中k是任意一个正整数,则n?42k2?7k.

…………………10分

于是

10n?7?10(42k2?7k)?7?7(12k?1) m??22

?210k2?7k,或210k2?77k?7.

所以,存在无穷多对正整数?m,n???210k2?7k,42k2?7k?(其中k是正整数)满足题设方程.

…………………15分

证法2:原方程可写为

?m?5n?

所以可设 2?7?m?n?,

m?n?7x2(x是正整数), ①

取 m?5n?7x. ②

…………………5分

① -②得

6n?7x(x?1).

令x?6y(y是任意正整数),则n?42y2?7y.

…………………10分

于是

m?7?36y2??42y2?7y??210y2?7y.

所以,存在无穷多对正整数?m,n???210y2?7y,42y2?7y?(其中y是任 7

意正整数)满足题设方程.

…………………15分

13.如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC

边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于

点X,连结AX.求证: AM?cos?BAC. AX

证明:设AX与⊙O相交于点A1,连结OB,OC,

OA1.又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M.

因为OB?BX,OX?BC,所以

XB2?XM?XO. ①

又由切割线定理得

XB2?XA1?XA. ②

…………………5分

由①,②得

XMXA1?, XAXO于是

△XMA∽△XA1O,

所以

AMOA1OB??. AXOXOX

…………………10分

又?BOC?2?BAC,所以?BOX??BAC,于是

AMOB??cos?BAC. AXOX

…………………15分

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至

少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这

两个课外小组中.证明:n的最小值为6.

证明:设10个学生为S1,S2,?,S10,n个课外小组为G1,G2,?,Gn.

8

首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为S1,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其

它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.

…………………5分 若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设S1恰好参加G1,G2,由题设,对

于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与S1没有同过组,矛盾.

所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组G1,G2,?,Gn的人数之和不小于3?10=30.

另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组G1,G2,?,Gn的人数不超过5n,故

5n≥30,

所以n≥6.

…………………10分

下面构造一个例子说明n?6是可以的.

G1??S1,S2,S3,S4,S5?, G2??S1,S2,S6,S7,S8?,G3??S1,S3,S6,S9,S10?, G4??S2,S4,S7,S9,S10?,G5??S3,S5,S7,S8,S9?,G6??S4,S5,S6,S8,S10?. 容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.

所以,n的最小值为6.

…………………15分

9

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