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不等式恒成立教案

发布时间:2013-09-23 09:02:38  

导数恒成立问题

教学分析

教学目标

知识技能:掌握利用一些常见函数恒成立处理方法解决导数中的恒成立问题。

过程与方法:(1)在教学过程中,注意培养学生归纳、类比的能力

(2)为学生学会初步建立恰当的数学模型打下基础。

情感、态度与价值观

(1)培养学生解决实际问题的能力。

(2)引导学生在自我学习和探索中学会总结。

教学重难点:

重点:解决函数恒成立问题。

难点:将函数问题转化为恒成立问题。

教学设计:

教学过程:

复习引入:

恒成立问题是中学数学的一类重要题型,它散见于许多知识板块中,载体较多,而且不

少情况下题意较为隐含,正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高,因而倍受

高考命题者的青睐。概括一下,恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数的性质、图像,

渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。下面这节课简单地谈一谈恒成立问

题与导数的常见类型及其解题策略

恒成立问题:解恒成立问题常用方法:①△判别式法;②分离参数法;③主参换位法;

④数形结合。你能清楚何时用何种方法吗?

探究一:(1)一次函数型:给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0, 则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于

(1)??a?0?a?0?f(m)?0或(2)?亦可合并定成? f(m)?0f(n)?0f(n)?0???

?f(m)?0 ?f(n)?0

?a?0 ??0?同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有?(2)二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有?

ex

例1:设f(x)?,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 1?ax2

分析:关于单调性,当题里出现恒增恒减,转换到二次函数恒成立。然后考虑如

何列式。

解: 若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号.

结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,

由此并结合a>0,知0<a≤1.

例2:设函数f(x)?lnx?x?ax,若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围; 2

???.方程2x?ax?1?0的判别式??a?8, 解:f(x)的定义域为?0,22

(1) 当??0,

即?a?2x?ax?1?0, 2

???内恒成立, 此时f(x)为增函数. f?(x)?0在?0,

(2) 当??0,

即a??

或a?

???内为增函数, 要使f(x)在定义域?0,

???内有2x?ax?1?0即可, 只需在?0,2

设h(x)?2x?ax?1, 2

?h(0)?1?0,?由? 得 a?0,

所以a? a??0??2?2

由(1) (2)可知,若f(x)在其定义域内为增函数,a

的取值范围是[???).

结论:若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

常见题型:①若m?f(x)在x?[a,b]上恒成立,则m?f(x)max;若m?f(x)在x?[a,b]上恒成立,则m?f(x)min。②若m?f(x)在x?[a,b]上有解,则m?f(x)min;若

(注:m为常数。) m?f(x)在x?[a,b]上无解,则m?f(x)min。

辨式练习:f(x)?4x?ax?

随堂练习:已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1,当a??1.函数f(x)是单调减函数,如果对任意x1,x2?(0,??),|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|,求a的取值范围。

2223 x(x?R),在区间??1,1?是增函数,求实数a的取值范围。3

探究2:引入:当x?0时,求证:e?x?1恒成立;

分析: f(x)?g(x)在x?[a,b]上恒成立,是对于任意的x?[a,b],f(x)min必须大于g(x)max吗?应该怎样解?(不是。通常移项,使h(x)min?f(x)?g(x)?0即可;若h(x)的最值无法求出,则考虑数形结合,只需在x?[a,b]上f(x)的图像始终在g(x)的上方即可。)

例4:已知函数f(x)??x?3x?9x?2,g(x)?x?3ax?2a,是否存在实数a?1,使得对于?x1???2,2?,总存在x0??0,1?,使得f(x1)?g(x0)恒成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由。

辨式练习:

例5:若不等式3x?logax?0在x??0,?内恒成立,求实数a的取值范围。

【分析】我们可以先把不等式两端的式子分别看成两个函数,在同一坐标系内分别作出2x3232??1?3?

?1?gx的图象,因为x??0,?时,y?logax的图象位于函数y?3x2 和 y?loa?3?

?1?y?3x2的图象上方,列出关于含参数的不等式,容易得出a的取值范围为?,1? ?27?

1练习:当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是 2

(A)(0,

小结:数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化,恒成立问题形式多样,方法灵活多变,技巧性较强。这就要求我们要以变应变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认真观察题目中不等式的结构特征,从不同的角度,不同的方向,加以分析探讨,从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外,还有许多其它的方法,值得一提的是,各种方法之间并不是彼此孤立的。因此,系统地掌握参数问题的解题方法,无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助 22 (B)(1) (C)(1 (D)(,2) 22

课后习题:

(1)设函数f(x)?x?ax?2x?b,若对于任意的a???2,2?,不等式f(x)?1在?-1,1?432

上恒成立,求b的取值范围;

解:x?ax?2x?b?1,x?ax?2x?b?1?0

设g(x)?x?ax?2x?b?1 432432432

g'(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)

?△?9a2?64?0,说明4x2?3ax?4?0

则g(x)的单调性只与x 关

?g(?1)?0

g(1)?0b?(?2?a)min,b?(?2?a)min,又a???2,2?

?b??4

(2)已知a?e,e?1,对任意t?R恒成立,a?te?a?e则( )

???????????????

A.e?(a?e) B.e?(a?e) C.e?a D.(a?e)?(a?e)

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强 ????

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